专题05多边形及其内角和同步专项训练(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题05多边形及其内角和同步专项训练 【题型01 多边形的概念与分类】....................................3 【题型02 多边形截角后的边数问题】................................6 【题型03 多边形的周长】..........................................8 【题型04 网格中多边形面积比较】.................................10 【题型05 多边形对角线的条数问题】...............................13 【题型06 对角线分成的三角形个数问题】...........................16 【题型07 多边形内角和问题】.....................................18 【题型08 正多边形的内角问题】...................................20 【题型09 多少算一个角问题】.....................................22 【题型10 多边形截角后的内角和问题】.............................24 【题型11 正多边形的外角问题】...................................26 【题型12 多边形外角和的实际应用】...............................28 【题型13 多边形内角和与外角和综合】.............................30 【题型14 平面镶嵌】.............................................32 【解答题5题】...................................................35 ★知识梳理★ ➽知识点01:基本概念 多边形 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形。 n 边形 有 n 条边的多边形（n≥3，n 为正整数）。 凸多边形 所有内角都小于 180°，且多边形总在任意一边所在直线的同一侧。 正多边形 各个角都相等，各条边都相等的多边形。 ➽知识点02:对角线 对角线定义 连接多边形不相邻两个顶点的线段。 n 边形对角线条数公式 ➽知识点03:内角和公式（最重要） n 边形内角和：内角和=(n-2)180 . ➽知识点04:外角和 任意多边形的外角和都等于：外角和=360（与边数 n 无关） 已知：五边形 ABCDE，在顶点 A,B,C,D,E 处分别取外角 ∠1,∠2,∠3,∠4,∠5。 求证：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360∘。 证明：根据多边形外角和定理，任意凸多边形的外角和恒为 360∘，因此五边形 ABCDE 的外角和为 360∘，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360∘ ➽知识点05:核心公式汇总（直接套用，解题必备） 多边形（n 边形，n≥3） 公式 / 结论 一个顶点出发的对角线条数 n−3 总对角线条数 内角和 (n−2)×180° 外角和 360°（固定值） 正 n 边形每个内角 ​ 正 n 边形每个外角 ​ 【题型1.多边形的概念与分类】 【典例】如图，在多边形中， 是多边形的边； 是多边形的顶点； 是多边形的对角线； 是多边形的内角． 【答案】 ，，，， 点 ，，，， 【分析】本题考查了多边形．根据多边形的定义解答即可． 【详解】解：在多边形中，，，，，是多边形的边； 点是多边形的顶点； 是多边形的对角线； ，，，，是多边形的内角． 故答案为：，，，，；点；； ，，，，． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 【跟踪专练2】将3个大小完全相同的正六边形按如图位置摆放，使得每两个正六边形都有一条边重合，连接正六边形的三个顶点得到，若每个正六边形的面积均为6，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，全等三角的判定以及性质，根据正六边形的性质可得出，再证明，由全等三角形的性质可得出，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如下图1正六边形形中，O为正三角的中心， ∴， ∵为正三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴图 1中，实线画出的6个三角形的面积都相等，为正六变形的， 在下图2中，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【跟踪专练3】下列图形中不是多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．根据多边形的定义即可得到答案． 【详解】 解：是三边形，是多边形，故选项A不符合题意； 是四边形，是多边形，故选项B不符合题意； 不是多边形，故选项C符合题意； 是六边形，是多边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【题型2.多边形截角后的边数问题】 【典例】把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形． 【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形． 故选：D． 【跟踪专练1】若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是 ． 【答案】4或5或6 【分析】本题考查的知识点是多边形的内角与外角，解题关键是列举出所有可能的情况． 一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变，如图： 故答案为：4或5或6． 【跟踪专练2】把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】此题主要考查了多边形，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 锯掉正方形一个角时，锯痕的位置不同会导致剩余多边形的边数变化，从而可能得到三角形、四边形或五边形． 【详解】解：设正方形，锯掉角A， 若锯痕连接上的两点（均非顶点），则增加一条边，剩余5条边，为五边形； 若锯痕连接上的顶点B（或上的顶点D）与上的点（或上的点）， 则边数不变，剩余4条边，为四边形； 若锯痕连接相邻顶点B和D，则减少一条边，剩余3条边，为三角形， ∴ 剩余多边形可能是三角形、四边形或五边形． 故选：D． 【跟踪专练3】将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是 ． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是3或4或5． 故答案为：3或4或5． 【题型3.多边形的周长】 【典例】一个正八边形的周长是16cm，则这个正八边形的边长是 cm． 【答案】 【分析】本题需要根据正多边形的周长公式来求解正八边形的边长． 【详解】正八边形有条边，且每条边长度相等． 设正八边形的边长为，根据正多边形周长公式，可得 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的周长，掌握正边形的周长等于边长乘以，利用这一公式建立方程求解正八边形的边长是解题的关键． 【跟踪专练1】我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，下面四种说法：①周长变大；②周长变小；③外角和增加；④内角和增加，其中正确的是 ． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可．解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 【详解】解：将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， 该六边形的周长比原五边形的周长小， ①的说法错误，②的说法正确； 多边形的外角和与边数无关，都是， ③的说法错误； 五边形的边数增加了1， 根据多边形内角和定理可知内角和增加了， ④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故答案为：②④． 【跟踪专练3】如图，将沿着方向平移得到，使得点为中点．若的周长是12，，则四边形的周长为（　　）    A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】根据平移性质，平移后图形形状大小不变，则，再由点为中点得到，则，结合的周长是12，即可得到四边形的周长． 【详解】解：将沿着方向平移得到， ，， 点为中点， ，则， 四边形的周长为 的周长是12， 四边形的周长为， 故选：D． 【点睛】本题考查平移性质、中点定义及求三角形、四边形周长，数形结合，灵活运用平移性质是解决问题的关键． 【题型4.网格中多边形面积比较】 【典例】如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】 【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可． 【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= 故答案为： 【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割． 【跟踪专练1】如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 【跟踪专练2】如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 【跟踪专练3】.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点处，现将三角形平移得到三角形，使点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)请画出平移后的三角形； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据图形平移的性质分别找到平移前后对应的顶点位置，然后连线即可； （2）采用割补方法，利用矩形面积减去多余直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：通过观察，发现点向右移动格，向下移动格即可得到对应点，将点、按照同样的平移方式，即可分别得到对应点、，然后顺次连接即可得到如下三角形，    （2）解：由图像可得， 则三角形的面积为． 【点睛】本题考查了图像的平移，网格中三角形的面积计算，掌握网格中图像平移的性质并掌握网格中的面积计算是解题关键． 【题型5.多边形对角线的条数问题】 【典例】一个六边形共有 条对角线． 【答案】 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，熟练掌握多边形对角线条数的计算方法是解题的关键．从六边形的一个顶点可以做对角线的条数为条，那么总共可以做条，即可得解． 【详解】解：从六边形的一个顶点可以做对角线的条数为条， 一个六边形总共可以做条， 故答案为：． 【跟踪专练1】若一个正多边形的每个外角是60°，则从它的一个顶点出发的对角线有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形外角和和对角线数量公式．先利用正多边形外角和为360°求出边数，再根据n边形从一个顶点出发的对角线数量公式计算结果． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，且每个外角是， ∴该正多边形的边数， ∵从边形的一个顶点出发的对角线数量为， ∴从正六边形一个顶点出发的对角线数量为． 故选：A 【跟踪专练2】某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为 条． 【答案】 【分析】本题考查了图论基础知识，具体涉及完全图的边数计算和去重思想．题目中传感器均匀分布在正八边形顶点上，相当于一个8个顶点的图，每个顶点需要与其他所有顶点连接，但相邻顶点之间已有连接（即正八边形的边），需要计算额外添加的连接通道数．掌握完全图边数公式和去重原理是解题的关键． 【详解】解：∵对于每个核心传感器，除去相邻传感器，还需要连5个传感器，故需额外建立5条连接通道， ∴一共需要额外建立的连接通道数量为（条）． 故答案为：． 【跟踪专练3】关于多边形有以下描述：（    ） ①六边形内角和为； ②十二边形每个外角度数均为； ③边形从一个顶点最多可引出条对角线； ④多边形内角和等于外角和，这个多边形是四边形． ⑤一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原来这个多边形的边数是． 根据描述判断，其中描述正确的个数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多边形内角和和外角和综合，多边形对角线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． ①根据多边形内角和公式，可判断①； ②根据，可判断②； ③边形从一个顶点最多可引出条对角线，可判断③； ④设多边形边数为，根据多边形内角和等于外角和即可求出边数，可判断④； ⑤设多边形边数为，由，求解可得多边形的边数为，故一个多边形切去一个角后，形成一个七边形时，原来这个多边形的边数是或或，可判断⑤． 【详解】解：①当多边形边数为六时， ∵， ∴六边形内角和为， ∴①正确； ②多边形外角和360°，但无法确定每个外角的度数 ∴②错误； ③∵边形从一个顶点最多可引出条对角线， ∴③错误； ④设多边形边数为， ∴， 解得， ∴多边形的边数为 ∴④正确； ⑤设多边形边数为， ∴， 解得， ∴多边形的边数为， ∴一个多边形切去一个角后，形成一个七边形时，原来这个多边形的边数是或或． ∴⑤错误； 综上所述，其中描述的描述正确的个数有①④． 故选：B． 【题型6.对角线分成的三角形个数问题】 【典例】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个八边形进行三角剖分，能剖分出 个三角形． 【答案】6 【分析】本题考查多边形的剖分，对于凸n边形，三角剖分后能得到个三角形，据此即可求解． 【详解】解：将一个八边形进行三角剖分，能剖分出个三角形． 故答案为：6． 【跟踪专练1】如图，将四边形、五边形、六边形的纸片沿对角线剪成若干个三角形纸片，照此方法，将一个n边形纸片剪开，所得三角形纸片共有（  ） A．个 B．个 C．n个 D．2n个 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的对角线分割成三角形的规律，熟练掌握从n边形一个顶点出发作对角线可将n边形分成个三角形是解题的关键． 先观察四边形、五边形、六边形被分割成三角形的数量，找出规律，再推导出n边形的一般结论． 【详解】解：四边形：（个）， 五边形：（个）， 六边形：（个）， ， ∴n边形：（个）， 故选：A． 【跟踪专练2】从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是 条． 【答案】27 【分析】本题主要考查了多边形的定义和性质，解题的关键是掌握相关公式． 根据从n边形一个顶点出发连接其余顶点可分割成个三角形的规律，求出n值，再代入n边形对角线条数公式计算． 【详解】解：由题意，从n边形一个顶点出发分割三角形数为个， 已知分成7个三角形，得， 解得， n边形的对角线条数公式为，代入，得， 故答案为：27． 【跟踪专练3】已知一个正六边形，选任意一个顶点，连接不相邻的各顶点，将六边形分割为a个三角形；从其任意一条边上的一点（不与该边的端点重合），连接六边形中的其它顶点，可将此六边形分割为b个三角形；从六边形内任意一点，连接六边形的所有顶点，可将此六边形分割为c个三角形，则的值是（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【分析】本题考查多边形的剖分，根据题意画出图形，得到a，b，c的值，即可解答． 【详解】解：如图1，选任意一个顶点，连接不相邻的各顶点，将六边形分割为4个三角形， 如图2，从其任意一条边上的一点（不与该边的端点重合），连接六边形中的其它顶点，可将此六边形分割为5个三角形； 如图3，从六边形内任意一点，连接六边形的所有顶点，可将此六边形分割为6个三角形， ∴，，， ∴． 故选：B． 【题型7.多边形内角和问题】 【典例】如图1，小亮在公园发现一条由一些不规则的多边形拼接而成的道路．小亮由此抽象出如图2所示的多边形，则这个多边形的内角和为 ． 【答案】/720度 【分析】本题考查了多边形的内角和问题，熟练掌握边形的内角和为是解题的关键．根据多边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：由题意得，多边形为六边形， 这个多边形的内角和为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形，若，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和的知识，首先确定五边形的内角和为，然后根据求解即可． 【详解】解：根据题意，图中建筑可近似地看成一个五边形， 则其内角和为， ∵，， ∴ ． 故选：C． 【跟踪专练2】一个不规则的图形如图所示，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了四边形的内角和定理，对顶角相等，三角形的内角和定理，连接，由，，可得，然后通过四边形的内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∴，， 又∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，四边形中，．若中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四边形的内角和，三角形的内角和，掌握三角形和四边形的内角和是正确解答的关键． 先根据三角形内角和为求出，再根据四边形内角和为，即可求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ． ∵在四边形中，， ． 故选：B． 【题型8.正多边形的内角问题】 【典例】如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为 度． 【答案】720 【分析】本题考查了多边形的内角和公式；根据n边形的内角和公式进行计算即可． 【详解】解：根据图形知，空白部分为六多边形， 六边形的内角和为， 故答案为：720． 【跟踪专练1】若一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数是（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的内角问题．熟练掌握正边形的每个内角的度数为，是解题的关键．根据正边形的每个内角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：设该正多边形的边数为， 由题意得， 解得， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），该正五角星的每个顶角（如）的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，根据正多边形的每个内角都相等，每条边都相等求出每个内角的度数，再根据等边对等角分别求出、的度数，即可得解,熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：五边形是正五边形， ∴，， ∴，， ∴， 即该正五角星的每个顶角的度数是， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，正五边形与正方形的两邻边相交，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和，对顶角的性质，由正多边形的性质及多边形的内角和公式可得，，即得，再根据对顶角的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 【题型9.多少算一个角问题】 【典例】一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 ． 【答案】11 【分析】直接利用多边形内角和公式列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：设这个多边形边数为n， ， ∴， ∵n是整数， ∴， 故答案为11． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记公式，列出不等式组． 【跟踪专练1】已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（  ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】D 【分析】根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1，即可确定原多边形的边数． 【详解】∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， ∴原多边形的边数为6或7或8． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的定义，解题时注意：一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变． 【跟踪专练2】小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到的和为，则n等于 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了多边形内角和、解一元一次方程等知识点，牢记“多边形的内角和一定是的整数倍”是解题的关键． 设少输入的内角为，则；由结合可得：，再将代入，解关于n的方程即可． 【详解】解：设少输入的内角为， ∵多边形的内角和一定是的整数倍， ∴ ∵， ∴, ∴， ∵多边形的内角和一定是的整数倍， ∴， ∴， 解得：． 故答案为14． 【跟踪专练3】小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】多边形的内角和公式：，据此进行计算即可． 【详解】解：设多输入的内角为()，由题意得 ， 解得：， 为正整数， 当时， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键． 【题型10.多边形截角后的内角和问题】 【典例】将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和 ． 【答案】或 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，根据剪去一个角后的三角形的边数有：增加、不变两种情况求出边数，再根据多边形的内角和公式列式计算即可得解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】当得到的图形是三角形时，内角和是， 当得到的图形是四边形时，内角和是， 故形成的一个新的多边形的内角和为或， 故答案为：或． 【跟踪专练1】一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原多边形的边数是（    ）． A．8或9或10 B．7或8或9 C．6或7或8 D．5或6或7 【答案】B 【分析】根据切后的内角和可以求出切后的多边形边数，然后又知一个多边形切去一个角可得到的多边形有三种可能，分别是比原边数少1，相等，多1．所以可求得原多边形边数． 【详解】解：设切去一角后的多边形为n边形．根据题意得： ． 解得∶． 因为一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1， 所以原多边形的边数可能为7、8或9． 故选：B 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和问题，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 【跟踪专练2】如题图，五边形为正五边形，一条直线将它分割成两个多边形，这两个多边形的内角和分别为x、y，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了多边形的内角，分类讨论的思想，如图，一条直线将该五边形分割成两个多边形（含三角形）的情况有5种，分别求出每一个图形的两个多边形的内角和即可作出判断． 【详解】解：图①中，； 图②中，； 图③中，； 图④中，； 图⑤中，． 由上述分析可知，的最大值为． 故答案为：． 【跟踪专练3】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（    ） A．10或11 B．11或12或13 C．11或12 D．10或11或12 【答案】D 【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再根据切去的位置求原来的多边形边数． 【详解】解：设截角后的多边形边数为n， 则有：（n-2）×180°=1620°， 解得：n=11， 如图1，从角两边的线段中间部分切去一个角后，在原边数基础上增加一条边，为12边形； 如图2，从角的一边中间部分，另一边与另一顶点连结点处截取一个角，边数不增也不减，是11边形；； 如图3，从另外两个顶点处切去一个角，边数减少1为10边形 ∴可得原来多边形的边数为10或11或12： 故选D． 【点睛】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键． 【题型11.正多边形的外角问题】 【典例】若一个正多边形的一个外角等于，则这个多边形是正 边形． 【答案】九 【分析】本题考查了正多边形的外角性质．正多边形的外角和恒为，每个外角相等，通过外角和除以每个外角度数可求边数，即可作答． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，且一个外角等于， ∴这个正多边形的边数为， 故答案为：九． 【跟踪专练1】.．若一个正多边形的内角和等于，则这个正多边形的每一个外角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意多边形的外角和是定值，且为．应用方程思想求边数是解题的关键． 利用多边形内角和公式求出边数，再根据外角和定理求每个外角即可. 【详解】解：设正多边形的边数为. 由题意得： = , 解得： . 又∵ 多边形的外角和为, ∴ 该正多边形的每个外角为： . 故选：C． 【跟踪专练2】正六边形和正五边形的位置如图所示，其中点E，D，J在同一条直线上，则的度数为 ． 【答案】/48度 【分析】本题考查了正多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和是解题的关键； 根据正五边形和正六边形性质得出各外角度数，进而可得答案． 【详解】解：在正六边形和正五边形中， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，平铺某款圣诞帽后，其下方是正六边形，帽子顶部G为延长线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．根据正六边形可得和的度数，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵正六边形 ∴， ∴． 故选：A． 【题型12.多边形外角和的实际应用】 【典例】十二边形的外角和度数是 ． 【答案】/360度 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，根据多边形的外角和等于即可求解，熟记多边形的外角和定理是解题的关键． 【详解】解：十二边形的外角和是， 故答案为：． 【跟踪专练1】八年级一班的同学体育课上玩游戏，让小李同学从A出发前进15米后左转，再前进15米后左转，按照这样方法一直走下去，当他回到A时，共走了（   ） A．150米 B．120米 C．100米 D．80米 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的外角和． 根据正多边形的外角和为即可解答． 【详解】解：由多边形的外角和为可知，， ∴小李同学的路径围成一个边长为15米的正八边形， 故小李共走了(米)， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米后，又向左转45°；照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．    【答案】 【分析】根据多边形的外角和即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知： ∵小明需要转次才会回到原点， ∴小明共走了米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数，熟练掌握任何一个多边形的外角和都是是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查三角形外角的性质及多边形的外角和，根据题意，利用三角形外角得出，然后利用多边形外角和求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【题型13.多边形内角和与外角和综合】 【典例】如果一个n边形的外角和是内角和的一半，那么 ． 【答案】6 【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是． 根据n边形的内角和可以表示成，外角和为，根据题意列方程求解． 【详解】解：∵n边形的内角和可以表示成，外角和为，n边形的外角和是内角和的一半， ∴， 解得． 故答案为：6． 【跟踪专练1】九边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形外角和性质，任意凸多边形的外角和都等于，与边数无关，所以九边形的外角和为． 【详解】解：根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和等于， 九边形的外角和为． 故选：B． 【跟踪专练2】如图1， 度：利用图1得到的结果，求图2中五角星五个“角”的和，即 度． 【答案】 360 180 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，三角形内角和定理，延长交于点D，根据多边形的外角的性质可求解，进而可求得的度数；利用及三角形的内角和定理可求解． 【详解】解：如图1，延长交于点D， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图2， 类比图1中的结论，由图2可得， ∵， ∴， 故答案为：360；180． 【跟踪专练3】如图七边形中，，的延长线相交于O点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形内角和定理及内外角关系，解题的关键是根据题意得到是五边形．根据七边形中，，的延长线相交于点，得到是五边形，根据、、、的外角和为，得到，结合内角和定理即可得到答案. 【详解】解：∵七边形中，，的延长线相交于点， ∴图形是五边形， ∵、、、的外角和为， ∴， ∴， 故选：A. 【题型14.平面镶嵌】 【典例】某城市进行旧城区人行道的路面翻新，准备对地面密铺彩色地砖，有人提出了4种地砖的形状供设计选用：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中不能进行密铺的地砖的形状是 ． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合内角度数能整除的条件． 分别求出各个正多边形每个内角的度数，结合密铺的条件即可作出判断． 【详解】解：①正三角形的每个内角都是，能整除，6个能组成镶嵌； ②正方形的每个内角都是，能整除，4个能组成镶嵌； ③正五边形每个内角都是，不能整除，不能镶嵌； ④正六边形的每个内角都是，能整除，3个能组成镶嵌； ∴不能进行密铺的地砖的形状是③． 故答案为：③． 【跟踪专练1】某公园准备用地砖铺露天步道．现有若干正三角形地砖，公园计划进购另一种形状的地砖与正三角形地砖一起进行密铺，不应购买的地砖形状是（   ） A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形，根据密铺的条件得，在同一个顶点处的几个多边形的内角之和必须为，计算每个选项的内角，看同一个顶点处的几个多边形的内角之和能否为，即可得． 【详解】解：A．正方形的每个内角是，，所以能密铺，选项说法正确，不符合题意； B．正六边形的每个内角是，，所以能密铺，选项说法正确，不符合题意； C．正八边形的每个内角是，与不能组成的角，所以不能密铺，选项说法错误，符合题意； D．正十二边形的每个内角是，，所以能密铺，选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，是由一块正方形瓷砖与另外一种正多边形瓷砖铺成的无缝隙、不重叠的地面的一部分，则该正多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面镶嵌，先确定正边形的内角，然后确定的值即可．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．也考查了多边形的内角和． 【详解】解：设正多边形的边数为， ∵正方形的内角为， ∴正边形的内角为：， 根据题意可得： ， 解得：， ∴该正多边形的边数为． 故答案为：． 【跟踪专练3】用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．下图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号，，表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查密铺、正多边形的内角度数，根据“密铺图形的公共顶点处的角的度数和为”逐项判断即可． 【详解】解：观察可知“半正密铺”图案记号，则表示由一个正方形和两个正八边形组成的； A．是由一个正三角形、两个正十二边形组成， 正三角形的一个内角为，正十二边形的每一个内角为： ， ，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意； B．是由一个正三角形、两个正方形和一个正六边形组成， 正三角形的一个内角为，正方形的内角为，正六边形的内角为： ， ，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意； C．是由两个正三角形、一个正方形、一个正十二边形组成， 正三角形的一个内角为，正方形的内角为，正十二边形的每一个内角为：， ，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意； D．是由三个正三角形、一个正六边形组成， 正三角形的一个内角为，正六边形的内角为： ， ，不能表示“半正密铺”图案，符合题意； 故选D． 【解答题】 1．在四边形中，． (1)如图①，若和的平分线交于点，则的度数为___________； (2)在（1）的条件下，若延长交于点(如图②)，将原来的条件“”改为“”，其他条件不变，的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出的度数． 【答案】(1)； (2)的度数不变，为 【分析】本题考查四边形内角和定理、角平分线的定义、三角形内角和定理．关键是通过内角和关系，结合角平分线求出相关角的和，进而计算目标角． （1）先利用四边形内角和求出的度数，再根据角平分线性质得到的度数，最后用三角形内角和求出； （2）先在中利用三角形内角和求出的度数，再结合角平分线性质得到的度数，进而求出，判断度数是否变化． 【详解】（1）解：∵四边形的内角和为，，， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴； 在中，； 故答案为：． （2）解：的度数不会发生变化，理由如下： 在中，， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴； 在中，； 答：的度数不变，为． 2．多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三角形．如图所示，给出了四边形的三种具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验研究四边形了． 图①被分割成2个小三角形； 图②被分割成3个小三角形； 图③被分割成4个小三角形． (1)请按照上述三种方法分别将图中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数． (2)如果按照上述三种分割方法分别分割边形，请写出每种方法所得到的小三角形的个数．（用含的代数式写出结论即可，不必画图） 【答案】(1)三角形的个数分别是4个，5个，6个，见解析 (2)第一种分割法把边形分割成了个小三角形；第二种分割法把边形分割成了个小三角形；第三种分割法把边形分割成了个小三角形． 【分析】本题是一道按照已知的分割方法将多边形分割成三角形的题目，根据分割成的三角形的个数找到规律． 从已知分割图中，图①是从一个顶点出发的所有对角线对其进行分割；图②是连接多边形的其中一边上的一个点和各个顶点，对其进行分割；图③是连接多边形内部的任意一点和多边形的各个顶点，对其进行分割． （1）根据上述方法分别进行分割，可以发现把六边形分割而成的三角形的个数分别是4个，5个，6个． （2）根据这样的两个特殊图形，发现：第一种分割法，分割成的三角形的个数比边数少2，第二种分割法分割成的三角形的个数比边数少1，第三种分割法分割成的三角形的个数等于多边形的边数． 【详解】（1）解：仿照已知的分割法，对六边形进行分割，见下图， 分割成的三角形的个数分别是4个、5个、6个； （2）解：结合两个特殊图形，可以发现： 第一种分割法把边形分割成了个小三角形； 第二种分割法把边形分割成了个小三角形； 第三种分割法把边形分割成了个小三角形． 3．如下图，若用五个相同的等腰三角形拼成的五边形图案是正五边形，求等腰三角形的顶角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正五边形的内角计算，等腰三角形的性质，掌握正五边形内角的计算方法，结合等腰三角形的角度关系推导顶角是解题的关键． 先计算正五边形的内角，再结合等腰三角形的角度关系，推导顶角的度数． 【详解】解：如图，该五边形是用五个全等的等腰三角形拼成的，且是正五边形， ，，， ， ， ． 4．如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为是解题的关键． 先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和． 【详解】解：， 的外角为， ． 5．小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【答案】(1)150度 (2)不是正多边形 【分析】本题考查了多边形的内角与外角; （1）根据多边形的内角和是的整数倍求出多边形的边数，再由多边形的内角和求出少加的这个内角的度数； （2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，则， 解得． ∵为正整数， ∴， ∴少加的内角的度数为． （2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为， ∴它的边数应等于． 由（1）可知，这个多边形的边数为14，， ∴这个多边形不是正多边形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05多边形及其内角和同步专项训练 【题型01 多边形的概念与分类】....................................3 【题型02 多边形截角后的边数问题】................................4 【题型03 多边形的周长】..........................................4 【题型04 网格中多边形面积比较】..................................5 【题型05 多边形对角线的条数问题】................................6 【题型06 对角线分成的三角形个数问题】............................7 【题型07 多边形内角和问题】......................................7 【题型08 正多边形的内角问题】....................................8 【题型09 多少算一个角问题】......................................9 【题型10 多边形截角后的内角和问题】..............................9 【题型11 正多边形的外角问题】...................................10 【题型12 多边形外角和的实际应用】...............................10 【题型13 多边形内角和与外角和综合】.............................11 【题型14 平面镶嵌】.............................................11 【解答题5题】...................................................12 ★知识梳理★ ➽知识点01:基本概念 多边形 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形。 n 边形 有 n 条边的多边形（n≥3，n 为正整数）。 凸多边形 所有内角都小于 180°，且多边形总在任意一边所在直线的同一侧。 正多边形 各个角都相等，各条边都相等的多边形。 ➽知识点02:对角线 对角线定义 连接多边形不相邻两个顶点的线段。 n 边形对角线条数公式 ➽知识点03:内角和公式（最重要） n 边形内角和：内角和=(n-2)180 . ➽知识点04:外角和 任意多边形的外角和都等于：外角和=360（与边数 n 无关） 已知：五边形 ABCDE，在顶点 A,B,C,D,E 处分别取外角 ∠1,∠2,∠3,∠4,∠5。 求证：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360∘。 证明：根据多边形外角和定理，任意凸多边形的外角和恒为 360∘，因此五边形 ABCDE 的外角和为 360∘，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360∘ ➽知识点05:核心公式汇总（直接套用，解题必备） 多边形（n 边形，n≥3） 公式 / 结论 一个顶点出发的对角线条数 n−3 总对角线条数 内角和 (n−2)×180° 外角和 360°（固定值） 正 n 边形每个内角 ​ 正 n 边形每个外角 ​ 【题型1.多边形的概念与分类】 【典例】如图，在多边形中， 是多边形的边； 是多边形的顶点； 是多边形的对角线； 是多边形的内角． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【跟踪专练2】将3个大小完全相同的正六边形按如图位置摆放，使得每两个正六边形都有一条边重合，连接正六边形的三个顶点得到，若每个正六边形的面积均为6，则的面积为 ． 【跟踪专练3】下列图形中不是多边形的是（   ） A． B． C． D． 【题型2.多边形截角后的边数问题】 【典例】把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【跟踪专练1】若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是 ． 【跟踪专练2】把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【跟踪专练3】将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是 ． 【题型3.多边形的周长】 【典例】一个正八边形的周长是16cm，则这个正八边形的边长是 cm． 【跟踪专练1】我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，下面四种说法：①周长变大；②周长变小；③外角和增加；④内角和增加，其中正确的是 ． 【跟踪专练3】如图，将沿着方向平移得到，使得点为中点．若的周长是12，，则四边形的周长为（　　）    A．13 B．14 C．15 D．16 【题型4.网格中多边形面积比较】 【典例】如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ． 【跟踪专练1】如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【跟踪专练2】如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为 【跟踪专练3】.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点处，现将三角形平移得到三角形，使点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)请画出平移后的三角形； (2)求三角形的面积． 【题型5.多边形对角线的条数问题】 【典例】一个六边形共有 条对角线． 【跟踪专练1】若一个正多边形的每个外角是60°，则从它的一个顶点出发的对角线有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为 条． 【跟踪专练3】关于多边形有以下描述：（    ） ①六边形内角和为； ②十二边形每个外角度数均为； ③边形从一个顶点最多可引出条对角线； ④多边形内角和等于外角和，这个多边形是四边形． ⑤一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原来这个多边形的边数是． 根据描述判断，其中描述正确的个数有（    ）个． A． B． C． D． 【题型6.对角线分成的三角形个数问题】 【典例】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个八边形进行三角剖分，能剖分出 个三角形． 【跟踪专练1】如图，将四边形、五边形、六边形的纸片沿对角线剪成若干个三角形纸片，照此方法，将一个n边形纸片剪开，所得三角形纸片共有（  ） A．个 B．个 C．n个 D．2n个 【跟踪专练2】从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是 条． 【跟踪专练3】已知一个正六边形，选任意一个顶点，连接不相邻的各顶点，将六边形分割为a个三角形；从其任意一条边上的一点（不与该边的端点重合），连接六边形中的其它顶点，可将此六边形分割为b个三角形；从六边形内任意一点，连接六边形的所有顶点，可将此六边形分割为c个三角形，则的值是（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 【题型7.多边形内角和问题】 【典例】如图1，小亮在公园发现一条由一些不规则的多边形拼接而成的道路．小亮由此抽象出如图2所示的多边形，则这个多边形的内角和为 ． 【跟踪专练1】如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形，若，，则为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一个不规则的图形如图所示，那么 ． 【跟踪专练3】如图，四边形中，．若中，，，则（   ） A． B． C． D． 【题型8.正多边形的内角问题】 【典例】如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为 度． 【跟踪专练1】若一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数是（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 【跟踪专练2】如图，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），该正五角星的每个顶角（如）的度数是 ． 【跟踪专练3】如图，正五边形与正方形的两邻边相交，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【题型9.多少算一个角问题】 【典例】一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 ． 【跟踪专练1】已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（  ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【跟踪专练2】小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到的和为，则n等于 ． 【跟踪专练3】小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【题型10.多边形截角后的内角和问题】 【典例】将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和 ． 【跟踪专练1】一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原多边形的边数是（    ）． A．8或9或10 B．7或8或9 C．6或7或8 D．5或6或7 【跟踪专练2】如题图，五边形为正五边形，一条直线将它分割成两个多边形，这两个多边形的内角和分别为x、y，则的最大值为 ． 【跟踪专练3】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（    ） A．10或11 B．11或12或13 C．11或12 D．10或11或12 【题型11.正多边形的外角问题】 【典例】若一个正多边形的一个外角等于，则这个多边形是正 边形． 【跟踪专练1】.．若一个正多边形的内角和等于，则这个正多边形的每一个外角等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】正六边形和正五边形的位置如图所示，其中点E，D，J在同一条直线上，则的度数为 ． 【跟踪专练3】如图，平铺某款圣诞帽后，其下方是正六边形，帽子顶部G为延长线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【题型12.多边形外角和的实际应用】 【典例】十二边形的外角和度数是 ． 【跟踪专练1】八年级一班的同学体育课上玩游戏，让小李同学从A出发前进15米后左转，再前进15米后左转，按照这样方法一直走下去，当他回到A时，共走了（   ） A．150米 B．120米 C．100米 D．80米 【跟踪专练2】如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米后，又向左转45°；照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．    【跟踪专练3】如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型13.多边形内角和与外角和综合】 【典例】如果一个n边形的外角和是内角和的一半，那么 ． 【跟踪专练1】九边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图1， 度：利用图1得到的结果，求图2中五角星五个“角”的和，即 度． 【跟踪专练3】如图七边形中，，的延长线相交于O点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型14.平面镶嵌】 【典例】某城市进行旧城区人行道的路面翻新，准备对地面密铺彩色地砖，有人提出了4种地砖的形状供设计选用：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中不能进行密铺的地砖的形状是 ． 【跟踪专练1】某公园准备用地砖铺露天步道．现有若干正三角形地砖，公园计划进购另一种形状的地砖与正三角形地砖一起进行密铺，不应购买的地砖形状是（   ） A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形 【跟踪专练2】如图，是由一块正方形瓷砖与另外一种正多边形瓷砖铺成的无缝隙、不重叠的地面的一部分，则该正多边形的边数为 ． 【跟踪专练3】用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．下图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号，，表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（ ） A． B． C． D． 【解答题】 1．在四边形中，． (1)如图①，若和的平分线交于点，则的度数为___________； (2)在（1）的条件下，若延长交于点(如图②)，将原来的条件“”改为“”，其他条件不变，的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出的度数． 2．多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三角形．如图所示，给出了四边形的三种具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验研究四边形了． 图①被分割成2个小三角形； 图②被分割成3个小三角形； 图③被分割成4个小三角形． (1)请按照上述三种方法分别将图中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数． (2)如果按照上述三种分割方法分别分割边形，请写出每种方法所得到的小三角形的个数．（用含的代数式写出结论即可，不必画图） 3．如下图，若用五个相同的等腰三角形拼成的五边形图案是正五边形，求等腰三角形的顶角的度数． 4．如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 5．小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $