数学一模突破卷（上海卷）学易金卷：2026年中考第一次模拟考试

2026年中考第一次模拟考试 数学·考试版 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．用换元法解方程时，若设 则原方程可化为关于y 的方程是（　　） A． B． C． D． 3．下列命题是真命题的是（   ） A．平行四边形的邻边相等； B．平行四边形的对角线互相平分； C．平行四边形内角都相等； D．平行四边形是轴对称图形． 4．如果从、、这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（       ） A． B． C． D． 5．如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点、．如果添加下列一个条件后，仍无法判定，那么这个条件是（   ） A． B． C． D． 6．在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．分解因式： ． 8．计算： ． 9．方程的解为 ． 10．如果，那么的结果是 ． 11．已知抛物线的开口向上，那么此抛物线的顶点在第 象限． 12．如果代数式为单项式，则p的值为 ． 13．如图，一个矩形木箱沿坡比为的斜面下滑，米，当木箱滑至如图位置时，米，那么木箱端点F离地面的高度是 米． 14．如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 15．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为 . 16．定义：一组数据，，…，的平均数为，那么称这个数据与平均数的差的平方和叫做这个数据的离差平方和，记作．那么， ，，，的离差平方和是 ． 17．在直角三角形中，，是边上的中线，，，在上任取一点（不与点，重合）设面积为，长为，则关于的函数解析式和定义域为 ． 18．已知矩形，点E是边的中点，将沿翻折，点A的对应点F恰好落在对角线上，那么 ． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算：． 20．解方程组：． 21．如图，已知点E、F分别在的边和上，，，点D在的延长线上，，连接与交于点G． (1)求的值； (2)设，，那么_________，_________．（用向量、表示） 22．已知：如图，在梯形中，，连接，是等边三角形，，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：点是线段的黄金分割点． 23．探究活动：巧拼地砖外边． 装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料中，小条形边角料中），如图1拼接到直角地砖的外边上，发现点与点不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图2—图9的操作解决了问题，完成了拼接． 图1 图2 图3 图4 图5 【操作说明】 将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边． 【操作说明】 画出的延长线，交于点． 【操作说明】 连接OC． 【操作说明】 沿着射线方向，平移小条形边角料，使点与点重合，得到四边形． 【操作说明】 画出的延长线，交小条形边角料的边于D． 图6 图7 图8 图9 【操作说明】 连接BD． 【操作说明】 沿着切割． 【操作说明】 拼接切割后的两根条形边角料． (1)请根据图2-图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母； (2)如果大条形边角料为的宽度为，小条形边角料为的宽度为，大条形边角料裁剪后的锐角是，那么___________； (3)请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由． 24．如图，抛物线与轴交于两点，过点的直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)是第四象限内抛物线上一动点，连接，若平分，求点的横坐标； (3)将抛物线平移得到，使得抛物线顶点为原点，点，为抛物线上的两个动点，且，连接，过作于点，求点到轴的最大距离． 25．如图1，，点在上，点在上，于点，是半圆的直径，且为上靠近点的三等分点，是上的动点． (1)的最小值为______，的最大值为______； (2)沿直线向右平移半圆，若半圆的右移速度为每秒1个单位长度，求点在的区域内部（包括边界）的时长； (3)过点作于点，且，沿直线向右平移半圆． ①如图2，当点与点重合时，求半圆在上截得的线段的长； ②将半圆移动到如图2所示的位置时作为初始位置，将线段连带半圆按顺时针方向开始旋转，如图3所示，设旋转角为．当半圆与的边相切时，直接写出点运动的路径长．（注：结果保留） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学·解析版 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．求解即可． 【详解】解：A.原式=，符合题意； B.不是同类二次根式，不符合题意； C.不是同类二次根式，不符合题意； D.原式=，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的概念． 2．用换元法解方程时，若设 则原方程可化为关于y 的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程变成，再去分母即可得到答案． 【详解】解： 设，则， ∴原方程为，即， 故选：A． 3．下列命题是真命题的是（   ） A．平行四边形的邻边相等； B．平行四边形的对角线互相平分； C．平行四边形内角都相等； D．平行四边形是轴对称图形． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可进行求解． 【详解】解：由平行四边形的性质可知：平行四边形的两组对边相等；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的对角相等；平行四边形是中心对称图形； 故选B． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及真命题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 4．如果从、、这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数是素数的情况，再利用概率公式求解即可求得 【详解】画树状图得：    ∵共有6种等可能的结果，这个两位数是素数的有13，23，31共3种情况， ∴这个两位数是素数的概率为：=． 故选A 【点睛】本题考核知识点：概率.解题关键点：根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数是素数的情况. 5．如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点、．如果添加下列一个条件后，仍无法判定，那么这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形相似的判定，根据题意得，逐个判断各选项是否可证即可． 【详解】解：∵， ∴， 选项A：添加，可得无法判定； 选项B：添加，可得，可以判定； 选项C：添加，可得，，可以判定； 选项D：添加，可得，可以判定； 故选A． 6．在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键． 【详解】解：圆半径为1，圆半径为3，圆与圆内切， 圆含在圆内，即， 在以为圆心、为半径的圆与边相交形成的弧上运动，如图所示： 当到位置时，圆与圆圆心距离最大，为， ， 圆与圆相交， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查向量的线性计算，根据向量的计算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 9．方程的解为 ． 【答案】3 【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方解出x的值，然后验根，解答即可． 【详解】解：两边平方得：2x+3＝x2 ∴x2﹣2x﹣3＝0， 解方程得：x1＝3，x2＝﹣1， 检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解， 当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解． 故答案为3． 【点睛】此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则 10．如果，那么的结果是 ． 【答案】 【分析】根据，设，分别代入计算求值即可． 本题考查了等比性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据，设， 故． 故答案为：． 11．已知抛物线的开口向上，那么此抛物线的顶点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数顶点坐标的表达式是解题的关键． 根据二次函数的顶点坐标为，代数分析即可． 【详解】解：∵的开口向上 ∴， ∵函数的顶点坐标为：， ∴， ∴顶点在第四象限； 故答案为：四． 12．如果代数式为单项式，则p的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查单项式的概念，将代数式化为，根据单项式的概念即可得到答案． 【详解】解：， 要使其为单项式，则只可能为， 故， 故答案为：5． 13．如图，一个矩形木箱沿坡比为的斜面下滑，米，当木箱滑至如图位置时，米，那么木箱端点F离地面的高度是 米． 【答案】 【分析】本题考查的是坡度的含义，解直角三角形的应用，过作于，交于点，证明，结合坡度的含义求解，，再求解，从而可得答案． 【详解】解：过作于，交于点， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴米， ∴木箱端点离地面的距离是米； 故答案为：． 14．如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入即可求解，构造全等三角形解题是关键． 【详解】解：过B作轴于E，过A作轴于D， 在等腰直角三角形中，，则， ∵A、B两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∵点A、B在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理， 解得：或（舍去）， ∴b的值为2， 故答案为：2． 15．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为 . 【答案】 【分析】根据题意甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同.故可得 ，再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，可得,因此可得二元一次方程组. 【详解】根据题意可得甲袋中的黄金9枚和乙袋中的白银11枚质量相等，可得， 再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两.故可得. 因此 所以答案为 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于理解题意，这是中考的必考题,必须熟练掌握. 16．定义：一组数据，，…，的平均数为，那么称这个数据与平均数的差的平方和叫做这个数据的离差平方和，记作．那么， ，，，的离差平方和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平均数，离差平方和，先求出，然后通过离差平方和公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ∴离差平方和是， 故答案为：． 17．在直角三角形中，，是边上的中线，，，在上任取一点（不与点，重合）设面积为，长为，则关于的函数解析式和定义域为 ． 【答案】（） 【分析】先根据勾股定理求斜边长，再利用直角三角形斜边上的中线性质求长，从而确定定义域；通过建立坐标系表示点P坐标，利用三角形面积公式求y关于x的解析式． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． ∵是边上的中线， ∴． ∵P在上，， ∴定义域为． 以点C为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则，，． ∴中点D的横坐标为，纵坐标为， ∴． 设直线的表达式为，则， 解得：， 所以直线的表达式为， 设点P坐标为， 因为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴P坐标为． ∴的面积为． 故答案为：（）． 【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，动点问题的函数图象，斜边的中线等于斜边的一半，一次函数与几何综合等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 18．已知矩形，点E是边的中点，将沿翻折，点A的对应点F恰好落在对角线上，那么 ． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得到，，，求得，再根据折叠的性质得到，，，求得，推出，由E是边的中点，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】如图，延长交于G，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵将沿折叠，点A落到点F处， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，三角函数定义等知识，解题关键是熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查零次幂、负指数幂及分数指数幂，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据零次幂、负指数幂及分数指数幂进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 20．解方程组：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解二元二次方程组．先把原方程组变形为或，再分别解出方程组，即可求解． 【详解】解：， 变形得：， 即或， 解得：， 21．如图，已知点E、F分别在的边和上，，，点D在的延长线上，，连接与交于点G． (1)求的值； (2)设，，那么_________，_________．（用向量、表示） 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形法则、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由题意可得∽，则，即，再证明∽，即可求解； （2）由题意得，，则；由题意得，，则，，进而求解． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴，， ∴∽， ∴则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴∽， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴则， ∴， ∴． 故答案为：，． 22．已知：如图，在梯形中，，连接，是等边三角形，，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据为等边三角形，，得到,由，得到,,由，得到,结合，得到，由相似三角形的判定方法即可求解； （2）根据题意可得为等边三角形，即，由为等边三角形，得到，根据，得到，即，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵为等边三角形， ∴, ∵， ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴, ∵，且， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴为等边三角形，即， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点是线段的黄金分割点． 23．探究活动：巧拼地砖外边． 装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料中，小条形边角料中），如图1拼接到直角地砖的外边上，发现点与点不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图2—图9的操作解决了问题，完成了拼接． 图1 图2 图3 图4 图5 【操作说明】 将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边． 【操作说明】 画出的延长线，交于点． 【操作说明】 连接OC． 【操作说明】 沿着射线方向，平移小条形边角料，使点与点重合，得到四边形． 【操作说明】 画出的延长线，交小条形边角料的边于D． 图6 图7 图8 图9 【操作说明】 连接BD． 【操作说明】 沿着切割． 【操作说明】 拼接切割后的两根条形边角料． (1)请根据图2-图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母； (2)如果大条形边角料为的宽度为，小条形边角料为的宽度为，大条形边角料裁剪后的锐角是，那么___________； (3)请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据提示的基本操作，按照顺序依次作图，标注好字母即可； （2）延长，交于点T，根据题意，得到，结合，得到，且，同理可证，再证明四边形是矩形，得到，根据，解答即可． （3）延长，交于点E，连接，过点A作，交于点F，利用平行四边形的判定和性质，三角形外角性质证明即可． 本题考查了基本作图，平移，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正切函数的应用，三角形外角性质的应用，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据提示的基本操作，按照顺序依次作图，标注字母画图如下： 则画图即为所求． （2）解：延长，交于点T， 根据题意，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵大条形边角料为的宽度为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵小条形边角料为的宽度为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：延长，交于点E，连接， 过点A作，交于点F， 故沿着切割，然后拼接到位置上即可符合要求，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故沿着切割，然后拼接到位置上，此时，符合要求． 24．如图，抛物线与轴交于两点，过点的直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)是第四象限内抛物线上一动点，连接，若平分，求点的横坐标； (3)将抛物线平移得到，使得抛物线顶点为原点，点，为抛物线上的两个动点，且，连接，过作于点，求点到轴的最大距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴的平行线，与的延长线交于点，进而可证明，结合坐标都，可知点的坐标为，进而求得直线的表达式为，而为直线与抛物线的交点，且在第四象限则，解方程即可求解； （3）由平移可知抛物线，如图，与轴交于点，过点，分别作，垂直于轴，交轴于，，设，，证得，得，可求得，设直线的表达式为，可知，为方程的两个根，得，求得，进而可知点的坐标为，则，由，可知点在以为直径的圆上，可得点到轴的最大距离． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）过点作轴的平行线，与的延长线交于点， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，即，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为，代入，， 得，解得， ∴直线的表达式为， 而为直线与抛物线的交点，且在第四象限 则，解得：（负值舍去）， ∴点的横坐标为； （3）将抛物线平移得到，使得抛物线顶点为原点， ∴抛物线， 如图，与轴交于点，过点，分别作，垂直于轴，交轴于，， 设，， ∵，则， ∴，则， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的表达式为， 又∵，在抛物线上， 则，即，为方程的两个根， ∴， ∴ ∴直线的表达式为， 即点的坐标为，则， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴点到轴的最大距离． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，等角对等边，相似三角形的判定及性质，圆周角定理，抛物线与直线的交点问题等知识点，利用数形结合是解决问题的关键． 25．如图1，，点在上，点在上，于点，是半圆的直径，且为上靠近点的三等分点，是上的动点． (1)的最小值为______，的最大值为______； (2)沿直线向右平移半圆，若半圆的右移速度为每秒1个单位长度，求点在的区域内部（包括边界）的时长； (3)过点作于点，且，沿直线向右平移半圆． ①如图2，当点与点重合时，求半圆在上截得的线段的长； ②将半圆移动到如图2所示的位置时作为初始位置，将线段连带半圆按顺时针方向开始旋转，如图3所示，设旋转角为．当半圆与的边相切时，直接写出点运动的路径长．（注：结果保留） 【答案】(1)4， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据题意得到当点F和点E重合时，有最小值，得到，连接并延长，交于点F，此时有最大值，然后利用勾股定理求出的长度，进而求解即可； （2）如图1，点G落在边上，连接，过点G作于点F．首先根据三角函数值求出，，然后利用等腰直角三角形的性质得到，如图2，点G落在边上，根据切线的性质和三角函数值求出，进而求解即可； （3）①如图3，过点O作，垂足为P，连接．首先利用直角三角形的性质和勾股定理求出，进而得到的长； ②如图4，当半圆O与边相切时，设切点为Q，则．首先利用三角函数值求出，然后利用弧长公式求出此时点E走过的路径长为． 【详解】（1）解：∵F是上的动点， ∴当点F和点E重合时，有最小值，即的长度， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4； 如图所示，连接并延长，交于点F，此时有最大值， ∵是半圆O的直径，且， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴； 故答案为：4，； （2）如图1，点G落在边上，连接，过点G作于点F． ∵为上靠近点的三等分点，为直径， ∴， 在中，， ∴，． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图2，点G落在边上，， ∴， ∴是半圆O的切线， ∴． 在中，． 点G在的区域内部（包括边界）的时长为； （3）①如图3，过点O作，垂足为P，连接． 在中，，， ∴． 在中，， ∴； ②如图4，当半圆O与边相切时，设切点为Q，则． 在中，， ∴， 此时点E走过的路径长为； 点E走过的路径长为． 【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，结合等腰直角三角形的性质、三角函数、勾股定理、弧长公式计算，掌握并灵活运用相关知识点是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第一次模拟考试【上海卷】 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一===-====。==一一====。==。--== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共24分）》 1[A][B][C][D] 3.A][B][C][D1 5.[A1[B][C1[D1 2[AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共48分） 8. 10. 12 13. 16. 17. 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(10分) 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) E G B D 22.(10分) D E 2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) yA D八 A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) A B B D G C HN 图1 图2 图3 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第一次模拟考试 数学·考试版 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．用换元法解方程时，若设 则原方程可化为关于y 的方程是（　　） A． B． C． D． 3．下列命题是真命题的是（   ） A．平行四边形的邻边相等； B．平行四边形的对角线互相平分； C．平行四边形内角都相等； D．平行四边形是轴对称图形． 4．如果从、、这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（       ） A． B． C． D． 5．如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点、．如果添加下列一个条件后，仍无法判定，那么这个条件是（   ） A． B． C． D． 6．在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．分解因式： ． 8．计算： ． 9．方程的解为 ． 10．如果，那么的结果是 ． 11．已知抛物线的开口向上，那么此抛物线的顶点在第 象限． 12．如果代数式为单项式，则p的值为 ． 13．如图，一个矩形木箱沿坡比为的斜面下滑，米，当木箱滑至如图位置时，米，那么木箱端点F离地面的高度是 米． 14．如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 15．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为 . 16．定义：一组数据，，…，的平均数为，那么称这个数据与平均数的差的平方和叫做这个数据的离差平方和，记作．那么， ，，，的离差平方和是 ． 17．在直角三角形中，，是边上的中线，，，在上任取一点（不与点，重合）设面积为，长为，则关于的函数解析式和定义域为 ． 18．已知矩形，点E是边的中点，将沿翻折，点A的对应点F恰好落在对角线上，那么 ． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算：． 20．解方程组：． 21．如图，已知点E、F分别在的边和上，，，点D在的延长线上，，连接与交于点G． (1)求的值； (2)设，，那么_________，_________．（用向量、表示） 22．已知：如图，在梯形中，，连接，是等边三角形，，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：点是线段的黄金分割点． 23．探究活动：巧拼地砖外边． 装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料中，小条形边角料中），如图1拼接到直角地砖的外边上，发现点与点不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图2—图9的操作解决了问题，完成了拼接． 图1 图2 图3 图4 图5 【操作说明】 将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边． 【操作说明】 画出的延长线，交于点． 【操作说明】 连接OC． 【操作说明】 沿着射线方向，平移小条形边角料，使点与点重合，得到四边形． 【操作说明】 画出的延长线，交小条形边角料的边于D． 图6 图7 图8 图9 【操作说明】 连接BD． 【操作说明】 沿着切割． 【操作说明】 拼接切割后的两根条形边角料． (1)请根据图2-图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母； (2)如果大条形边角料为的宽度为，小条形边角料为的宽度为，大条形边角料裁剪后的锐角是，那么___________； (3)请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由． 24．如图，抛物线与轴交于两点，过点的直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)是第四象限内抛物线上一动点，连接，若平分，求点的横坐标； (3)将抛物线平移得到，使得抛物线顶点为原点，点，为抛物线上的两个动点，且，连接，过作于点，求点到轴的最大距离． 25．如图1，，点在上，点在上，于点，是半圆的直径，且为上靠近点的三等分点，是上的动点． (1)的最小值为______，的最大值为______； (2)沿直线向右平移半圆，若半圆的右移速度为每秒1个单位长度，求点在的区域内部（包括边界）的时长； (3)过点作于点，且，沿直线向右平移半圆． ①如图2，当点与点重合时，求半圆在上截得的线段的长； ②将半圆移动到如图2所示的位置时作为初始位置，将线段连带半圆按顺时针方向开始旋转，如图3所示，设旋转角为．当半圆与的边相切时，直接写出点运动的路径长．（注：结果保留） 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第一次模拟考试 数学·参考答案 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的 ，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A A A A 0 二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7.x+3y)x-3y 8.-b-a 9.3 03 11.四 12.5 13.2.3 14.2 9x=11y 15. (10y+x)-(8x+y)=13 16.10 17.y=6-2 (0<x<2.5) 5 18.2 4 三、解答题：（本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤) 9计：-小-5- 【答案】2 解：原式=22+2-2+1- √2-1 =√2+3-(2+1) 1/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =√2+3-√2-1 =2 20.解方程组： x2-2xy-3y2=0 x+2y=5 【答案】 七=3 x32=-5 y=1'1为=5 x2-2xy-3y2=0 解： x+2y=5 变形得： x-3y)(x+y)=0 L x+2y=5 x-3y=0 「x+y=0 +2y=5或x+2y=5 即 解得： x=3 x2=-5 (y=1' (2=5 21. 【答案1山3 【详解】(1)：BE=2AE, .AB =3AE. EF BC, ·∠AEF=∠B,LAFE=LACB, △AEF△ABC, :则E距=AE1 BC AB=3 BC=CD, EF 1 CD3' EF BC, .ZGEF ZGDC,ZEFG ZDCG, ∴△EFG~△DCG, 2/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 EG EF 1 GDCD=3· (2):BC=CD, :8C=}BD=6, 2 BA=a, :AB=-a, AC=AB+BC=-石+五， 2 EG1 GD 3' EG=IGD,EG=1ED, 4 BE =2AE, 六BE=2AB, 31 则丽：子 ED=EB+0=ā+6 :G=2a+6- +6 .1 43 6 故答案为：AC=-a+6,G=-ā+ 6 4 22. 【答案】 (1)证明：如图所示， D 6 B :ABC为等边三角形， ∠1=∠2=60°， :AB∥CD, ∠3=∠2=60°， ∴∠DCB=∠1+∠3=120°， 3/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :DE∥BC, ∠EDC=180°-∠DCB=180°-120°=60°， ∴∠AED=∠EDC+∠3=120°， ·∠AED=∠DCB, :DE∥BC, ∴.∠5=∠6， :∠ADB=2∠5，且∠ADB=∠4+∠6， ∠5=∠4， ·△ADE∽△DBC. (2)解：：∠3=∠EDC=60°， △CDE为等边三角形，即CE=DE=CD, :ABC为等边三角形， :AC=BC, :△ADE∽△DBC, AE-DE CD BC' :AE、EC CEiC,即Ec=4E4C, 点E是线段AC的黄金分割点. 23 【答案】(1)解：根据提示的基本操作，按照顺序依次作图，标注字母画图如下： N M P 则画图即为所求. (2)解：延长N0,交BP于点T, 根据题意，：∠M0B=∠N0A=135°， ∴∠M0N=90°， 4/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 MO∥PB, ∠PT0=∠M0N=90°， .TO⊥BP, :大条形边角料为MOBP的宽度为12cm, .T0=12cm, :ON‖AQ, ∴.∠QDO=∠MON=90°， :DO⊥AQ, :小条形边角料为NOAQ的宽度为9cm, .D0=9cm, :∠OTC=∠QD0=∠MON=90°， .四边形ODCT是矩形， ∴.CT=D0=9cm, N Q M D P C b tan∠Ocp= 0T124 TC931 故答案为： 4 (3)解：延长QA,交BP于点E,连接OE, 过点A作AF∥OE,交NO于点F, N A P E B 故沿着OE切割，然后拼接到AF位置上即可符合要求，理由如下： 5/11 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :AF∥OE,NOII A0, :四边形OEAF是平行四边形， .∠A0E=∠0AF, :∠AFN=∠AON+∠OAF,∠MOE=∠BOM-∠BOE ∠AFN+LMOE=∠BOM-∠BOE+∠AON+∠OAF=∠BOM+∠AON, :∠M0B=∠N0A=135°， ∠AFN+∠M0E=135°+135°=270°， ∠M0F=90°， 故沿着OE切割，然后拼接到AF位置上，此时∠MOF=90°，符合要求. 24. 【答案】(1y=x2-2x-3 2)-1+29 2 )号 【详解】(1)解：抛物线C:y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点， [a-b-3=0 a=1 9a+36-3=0' 解得： b=-2' :抛物线G的表达式为y=x2-2x-3; (2)过点B作y轴的平行线，与DM的延长线交于点P, B M D 6/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :MD平分∠BDO, ·∠ODM=∠BDM, 又：D0∥BP, .∠ODM=∠P, .∠P=∠BDM, .BD=BP, :B3,0),D0,4),即0B=3,0D=4, BP=BD=V32+42=5, ∴点P的坐标为(3，-5)， 设直线DP的表达式为y=kx+b,代入P(3,-5),D(0,4), [3k+b=-5 k=-3 得 b=4 ，解得 b=4· .直线DP的表达式为y=-3x+4, 而M为直线DP与抛物线C的交点，且在第四象限 则-3x+4=2-2r-3,解得：x=1+2四 2 (负值舍去)， 点M的横坐标为1+V29 2 (3)将抛物线C平移得到C,使得抛物线C,顶点为原点0， .抛物线C2:y=x2, 如图，EF与y轴交于点H,过点E,F分别作EM,FT垂直于x轴，交x轴于M,T, 7/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 E H N F M 0 T 设E(m,m2），Fn,n2), :OE⊥OF,则∠EM0=∠E0F=∠FT0=90°， ∴.∠EOM+∠ME0=∠EOM+∠TOF,则∠ME0=∠TOF, .△ME0∽aT0F, EMOM,即- OT FT nn ∴mn=-1, 设直线EF的表达式为y=kx+b2, 又：E,F在抛物线C2:y=x2上， 则x2=k,x+b2,即m,n为方程x2-kx-b2=0的两个根， ∴.mn=-b2=-1, .b2=1 直线EF的表达式为y=kx+1, 即点H的坐标为(0,1，则OH=1, :ON⊥EF, ∴∠0NH=90°， 点N在以OH为直径的圆上， 六点N到y轴的最大距腐d=0H=号 25. 8/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【答案】(1)4,2√5+2 23+V5 B059,②3， 40 【详解】(1)解：：F是DE上的动点， :当点F和点E重合时，CF有最小值，即CE的长度， :∠A=45°，AB∥MN, .∠ACE=∠A=45°， DE⊥MN, .∠EDC=45°， .CE=DE=4, :CF的最小值为4： 如图所示，连接CO并延长，交DE于点F,此时CF有最大值， B M E :DE是半圆O的直径，且DE=4, ·OE=5DE=2, :∠A=45°，AB∥MN, .LACE=∠A=45°， :DE⊥MN, ∠EDC=45° .CE=DE=4, OC=OE2+CE2=25 CF=0C+0F=2W5+2; 故答案为：4,2√5+2； (2)如图1，点G落在边AC上，连接0G,过点G作GF⊥DE于点F. :G为DE上靠近点D的三等分点，DE为直径， 9/11 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠G0D=60°， 在Rt△0GF中，∠G0D=60°， GF=0Gsin60°=√3,0F=1. 在Rt△GPF中，∠GPF=∠CPE=∠PCE=∠A=45°， ·PF=GF=V5, OP=PF-OF=3-1, PE=0E-OP=2-3-1=3-V3, CE=PE=3-√5. EC 图1 如图2，点G落在边BC上，∠G0E=180°-∠G0D=120°， ∴.∠0GC=360°-∠G0E-∠0EC-∠GCE=90°， BC是半圆O的切线， ÷∠0CE= 2ZGCE-1 B=30° 在RtAOCE中，CE= 0E=25. tan 30 点G在ABC的区域内部（包括边界）的时长为(3-V5+2W5)÷1=3+V5; M E N 图2 (3)①如图3，过点O作0P⊥RT,垂足为P,连接OR, M C H(E)N 图3 10/11 11 2026年中考第一次模拟考试【上海卷】 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题4分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷2、 填空题（每小题4分，共48分） 7._________________ 8. _________________ 9. _________________ 10. _________________ 11. _________________ 12. _________________ 13．_________________ 14．_________________ 15. _________________ 16. _________________ 17. _________________ 18. _________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分） 20.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （10分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $