8.2单项式乘多项式导学案2025-2026学年苏科版七年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“单项式乘多项式”，通过回顾单项式乘单项式法则及乘法分配律导入，以几何图形面积探究为支架，构建新旧知识联系，引导学生经历“观察—猜想—验证—总结—应用”的学习过程。 导学案设计分层练习与错误分析，强化运算规范，结合几何直观与转化思想培养推理意识，通过几何面积、体积计算等实际问题提升模型意识和应用能力，助力学生形成严谨的数学思维与解决问题的能力。

《单项式乘多项式》导学案 【教学内容分析】 同学们，前几节课我们已熟练掌握单项式乘单项式的运算法则，明确“系数相乘、同底数幂相乘、单独字母保留”的核心思路，这是本节课学习“单项式乘多项式”的重要基础。单项式乘多项式是整式乘法的核心内容，更是后续学习多项式乘多项式、整式除法及因式分解的关键铺垫，在整个代数运算体系中起到承上启下的作用。 本节课的核心是理解单项式乘多项式的运算原理，掌握其运算法则，能规范、准确地进行运算，并运用所学知识解决简单实际问题。我们将通过“类比迁移、实例探究、分层练习”的方式，完整经历“观察—猜想—验证—总结—应用”的学习过程，理解“转化思想”——即将单项式乘多项式转化为已学的单项式乘单项式，培养严谨的运算习惯和逻辑推理能力。 通过本节课的学习，大家不仅能熟练进行单项式乘多项式的运算，还能体会数学中“转化”的思想方法，学会将复杂问题转化为简单问题解决，为后续更复杂的整式运算和实际问题求解奠定坚实基础。 【学习目标】 1. 理解单项式乘多项式的运算原理，牢记“用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”的法则，并能准确表述法则含义。 1. 能熟练运用单项式乘多项式的法则，规范书写运算步骤，准确进行单项式与多项式的乘法运算，杜绝漏乘、符号错误、同底数幂运算失误等问题。 1. 能运用单项式乘多项式的知识解决简单实际问题（如几何图形面积计算、代数式求值等），体会数学与生活的联系，提升数学应用意识。 1. 理解“转化”的数学思想，能将多项式乘单项式转化为已学的单项式乘单项式运算，培养观察、猜想、验证和归纳的能力。 【学习重点】 1. 掌握单项式乘多项式的运算法则，明确法则的推导过程和适用范围。 1. 能规范、准确地进行单项式乘多项式的运算，确保步骤完整、符号正确、结果最简。 1. 能运用法则解决简单实际问题，正确处理与几何图形、代数式求值相关的计算。 【学习难点】 1. 理解单项式乘多项式法则的推导原理，尤其是“用单项式去乘多项式的每一项”的本质——乘法分配律的应用。 1. 运算过程中避免漏乘多项式的任意一项，准确处理符号问题（重点关注多项式中含负号的项）。 1. 运算后能将结果化为最简形式，合并同类项时不出现同类项遗漏、系数计算错误等问题。 1. 运用所学知识解决实际问题时，能准确将实际问题转化为代数式运算，规范标注单位并完整作答。 【课前预习·自主探索】 1. 回顾相关知识，完成填空： （1）单项式乘单项式法则：两个单项式相乘，把它们的系数相乘，同底数幂相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式； （2）计算下列单项式乘单项式（结果化为最简）： ① 2x · 3x² = ________； ② (-4xy) · (5x) = ________； ③ (-2a²b) · (-3ab³) = ________； （3）乘法分配律：a(b + c) = ________；用字母表示：m(a + b + c) = ________； （4）多项式2x² + 3x - 1由________、________、________三项组成，其中常数项是________，一次项系数是________。 1. 类比迁移，尝试探究： 根据乘法分配律，计算2x · (3x + 5)时，可将其转化为单项式乘单项式的运算： 2x · (3x + 5) = 2x · 3x + 2x · 5 = ________ + ________ = ________； 同理，计算(-3xy) · (2x² - y + 4)，尝试写出完整运算过程： (-3xy) · (2x² - y + 4) = ________________________________ = ________。 1. 思考：通过上面的尝试，你认为单项式乘多项式的运算步骤是什么？运算时需要注意哪些问题？（至少写出2点） 1. 尝试计算下列各式（结果化为最简）： （1）3a · (a² - 2a + 1) = ________； （2）(-2x) · (x² - 3x - 2) = ________。 【课堂探究·合作交流】 探究一：单项式乘多项式法则的推导（理解型） 1. 小组合作，结合乘法分配律和单项式乘单项式法则，完成下列探究： （1）如图，一个长方形的长为(a + b + c)，宽为m，用两种方法表示这个长方形的面积。 方法一（整体法）：长方形面积 = 长×宽 = ________； 方法二（分割法）：将长方形分割成三个小长方形，面积分别为ma、mb、mc，总面积 = ________； （2）由两种方法表示的面积相等，可得等式：________； （3）类比上述等式，用字母表示一般规律：m(a + b + c) = ________。 1. 小组讨论： （1）这个等式的本质是什么？（提示：结合乘法分配律） （2）由此可归纳出单项式乘多项式的法则： 1. 归纳总结：单项式乘多项式法则 1. 法则内容：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； 1. 字母表示：m(a + b + c) = ma + mb + mc（其中m是单项式，a + b + c是多项式）； 1. 推导本质：利用乘法分配律，将单项式乘多项式转化为已学的单项式乘单项式运算，体现“转化”的数学思想； 1. 关键提醒：① 单项式要乘遍多项式的每一项，不可漏乘任意一项；② 运算时注意符号，多项式中的负项与单项式相乘时，需准确判断结果符号。 探究二：单项式乘多项式的基础运算（规范型） 1. 小组合作，按照单项式乘多项式法则，规范书写运算步骤，计算下列各式（结果化为最简）： （1）2x · (3x² + 4x - 1) （2） (-3ab) · (2a²b - ab² + 3) （3） （3）(-4x²) · (x³ - 2x + 5) 计算过程及结果： （1）_____________________________________________________________ （2）_____________________________________________________________ （3）_____________________________________________________________ 1. 结合计算过程，小组讨论： （1）运算的基本步骤是什么？（提示：分两步） （2）运算过程中容易出现哪些错误？请举例说明并给出改正方法： 示例错误1：漏乘多项式的常数项，如2x · (3x² + 4x - 1) = 2x·3x² + 2x·4x = 6x³ + 8x²（错误原因：漏乘-1这一项，正确结果为6x³ + 8x² - 2x）； 示例错误2：符号错误，如(-3ab) · (-ab²) = -3a²b³（错误原因：两个负数相乘得正，正确结果为3a²b³）； 示例错误3：同底数幂运算错误，如2x · 3x² = 6x²（错误原因：同底数幂相乘，指数相加，正确结果为6x³）。 1. 方法总结：基础运算三步法 ① 乘：用单项式去乘多项式的每一项，注意符号和同底数幂的运算； ② 加：将所得的各个积相加，保留各项的符号； ③ 简：合并同类项，将结果化为最简形式（无同类项则直接保留）。 探究三：单项式乘多项式的提升运算（易错型） 1. 小组合作，计算下列易错题型（重点关注符号、漏乘和同类项合并）： （1） (-2a) · (a² - 3a - 4) （2） （2）3xy · (-x²y + 2xy² - 4y³) （3）-x · (2x² - 5x + 1) - 2x²(x - 3) 计算过程及结果： （1）_____________________________________________________________ （2）_____________________________________________________________ （3）_____________________________________________________________ 1. 小组讨论： （1）当单项式为负数时，如何避免符号错误？ （2）当有多个单项式乘多项式相加（或相减）时，运算顺序是什么？ （3）合并同类项时，如何快速找到同类项并准确计算系数？ 1. 易错点强化： ① 单项式带负号时，乘多项式的每一项都要变号，不能只变第一项； ② 多个单项式乘多项式混合运算时，先算每个单项式乘多项式，再合并同类项； ③ 同类项合并时，只把系数相加，字母和字母的指数不变，避免出现“字母指数相加”的错误。 探究四：单项式乘多项式的实际应用（应用型） 1. 小组合作，运用单项式乘多项式的知识，解决下列实际问题，规范书写解题过程（步骤完整、结果最简）： （1）一个长方形花坛的长为(2x + 3)米，宽为4x米，求这个花坛的面积（用含x的代数式表示）；若x = 2，求花坛的实际面积。 （2）一个长方体的长为3a，宽为2a，高为(a + 2)，求这个长方体的体积（用含a的代数式表示），并指出代数式的次数。 解题过程： （1）_____________________________________________________________ （2）_____________________________________________________________ 1. 讨论：解决实际问题时，步骤是什么？容易出现哪些错误？如何避免？ 解题步骤：审题（明确数量关系，确定运算方式）→ 列式（列出单项式乘多项式的算式）→ 运算（按法则计算，化为最简）→ 代入求值（若有具体数值）→ 作答； 常见错误：① 数量关系理解错误，列错算式；② 代入数值时，未先化简代数式，导致计算繁琐且易出错；③ 忽略单位，未在结果后标注单位。 【课堂练习·巩固提升】 1. 判断下列计算是否正确，对的打“√”，错的打“×”并改正（结果化为最简）： （1）2x · (x² + 3x) = 2x³ + 3x² （ ） 改正：________________ （3） (-3a) · (2a² - 4a) = -6a³ + 12a² （ ） 改正：________________ （4） xy · (x²y - xy² + 1) = x³y² - x²y³ （ ） 改正：________________ （5） -2x² · (x - 3) = -2x³ - 6x² （ ） 改正：________________ 1. 填空（结果化为最简）： （1）3a · (a - 2) = ________ （2）(-4x) · (2x² - 5) = ________ （3）2xy · (x²y - 3xy + 4y) = ________ （4）(-a²) · (3a² - 2a + 1) = ________ 1. 计算下列各式（结果化为最简）： （1）5x · (2x² + 3x - 4) （2）(-2ab) · (3a²b - ab² + 2b) （3）-3x² · (x³ - 2x + 6) + 4x · (x² - 3x) （4）2a · (a² + 3a - 5) - a · (2a² - 4a + 1) 1. 解决问题（规范书写解题过程，结果化为最简，标注单位）： （1）一个平行四边形的底为(3x + 2y)厘米，高为5x厘米，求这个平行四边形的面积（用含x、y的代数式表示）；若x = 1，y = 2，求平行四边形的实际面积。 （2）已知一个多项式为3x² - 2x + 5，将其乘以单项式-2x，求所得的积，并求当x = -1时，积的值。 【参考答案】 【课前预习·自主探索】 1. （1）系数；同底数幂；（2）① 6x³；② -20x²y；③ 6a³b⁴；（3）ab + ac；ma + mb + mc；（4）2x²；3x；-1；-1；3 1. 6x²；10x；6x² + 10x；(-3xy)·2x² + (-3xy)·(-y) + (-3xy)·4；-6x³y + 3xy² - 12xy 1. 步骤：① 用单项式乘多项式的每一项；② 把所得的积相加；注意事项：① 不能漏乘多项式的任何一项；② 注意符号运算；③ 同底数幂相乘时，指数要相加（答出2点及以上即可） 1. （1）3a³ - 6a² + 3a；（2）-2x³ + 6x² + 4x 【课堂探究·合作交流】 探究一： 1. （1）m(a + b + c)；ma + mb + mc；（2）m(a + b + c) = ma + mb + mc；（3）ma + mb + mc 1. （1）乘法分配律的应用；（2）用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 探究二： 1. （1）2x·3x² + 2x·4x + 2x·(-1) = 6x³ + 8x² - 2x；（2）(-3ab)·2a²b + (-3ab)·(-ab²) + (-3ab)·3 = -6a³b² + 3a²b³ - 9ab；（3）(-4x²)·x³ + (-4x²)·(-2x) + (-4x²)·5 = -4x⁵ + 8x³ - 20x² 1. （1）① 用单项式乘多项式的每一项；② 合并同类项（若有同类项） 探究三： 1. （1）(-2a)·a² + (-2a)·(-3a) + (-2a)·(-4) = -2a³ + 6a² + 8a；（2）3xy·(-x²y) + 3xy·2xy² + 3xy·(-4y³) = -3x³y² + 6x²y³ - 12xy⁴；（3）-x·2x² + (-x)·(-5x) + (-x)·1 - 2x²·x + 2x²·3 = -2x³ + 5x² - x - 2x³ + 6x² = -4x³ + 11x² - x 1. （1）单项式带负号时，乘多项式的每一项都要变号，牢记“负负得正，正负得负”的符号法则；（2）先分别计算每个单项式乘多项式，再合并同类项；（3）根据“字母相同且相同字母的指数也相同”快速识别同类项，系数相加时注意符号，字母和字母的指数保持不变 探究四： 1. （1）解：面积 = 长×宽 = 4x·(2x + 3) = 4x·2x + 4x·3 = 8x² + 12x（平方米）；当x = 2时，8×2² + 12×2 = 8×4 + 24 = 32 + 24 = 56（平方米）。答：花坛的面积为(8x² + 12x)平方米，实际面积为56平方米；（2）解：体积 = 长×宽×高 = 3a·2a·(a + 2) = 6a²·(a + 2) = 6a²·a + 6a²·2 = 6a³ + 12a²（立方单位），该代数式的次数为3。答：长方体的体积为(6a³ + 12a²)立方单位，次数为3。 【课堂练习·巩固提升】 1. （1）×；改正：2x·x² + 2x·3x = 2x³ + 6x²；（2）√；（3）×；改正：xy·x²y - xy·xy² + xy·1 = x³y² - x²y³ + xy；（4）×；改正：-2x²·x + (-2x²)·(-3) = -2x³ + 6x² 1. （1）3a² - 6a；（2）-8x³ + 20x；（3）2x³y² - 6x²y² + 8xy²；（4）-3a⁴ + 2a³ - a² 1. （1）5x·2x² + 5x·3x + 5x·(-4) = 10x³ + 15x² - 20x；（2）(-2ab)·3a²b + (-2ab)·(-ab²) + (-2ab)·2b = -6a³b² + 2a²b³ - 4ab²；（3）-3x²·x³ + (-3x²)·(-2x) + (-3x²)·6 + 4x·x² + 4x·(-3x) = -3x⁵ + 6x³ - 18x² + 4x³ - 12x² = -3x⁵ + 10x³ - 30x²；（4）2a·a² + 2a·3a + 2a·(-5) - a·2a² + a·4a - a·1 = 2a³ + 6a² - 10a - 2a³ + 4a² - a = 10a² - 11a 1. （1）解：面积 = 底×高 = 5x·(3x + 2y) = 5x·3x + 5x·2y = 15x² + 10xy（平方厘米）；当x = 1，y = 2时，15×1² + 10×1×2 = 15 + 20 = 35（平方厘米）。答：平行四边形的面积为(15x² + 10xy)平方厘米，实际面积为35平方厘米；（2）解：积 = (-2x)·(3x² - 2x + 5) = (-2x)·3x² + (-2x)·(-2x) + (-2x)·5 = -6x³ + 4x² - 10x；当x = -1时，-6×(-1)³ + 4×(-1)² - 10×(-1) = -6×(-1) + 4×1 + 10 = 6 + 4 + 10 = 20。答：所得的积为(-6x³ + 4x² - 10x)，当x = -1时，积的值为20。 学科网（北京）股份有限公司 $