09-专题九 综合与实践-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（河北专用）

AB的中点时，切点为B,即点E与点B重合，此时CD最 小，0'0=√0B2+0'E=22,即0F=√2.在Rt△0DF中， 由勾股定理，得DF=√OD-0F=√2，即CD=22;当 CDAB,且CD恰好经过OO'的中点F时，CD最大，如解 图3，即点E在点0处∴0F=1,.DF=√OD-0F=5, 即CD=25.综上所述，弦CD的最大值为25，最小值为 22. B(D O(E 解图2 解图3 专题九综合与实践 1.(1)SSS:全等三角形的对应角相等 (2)证明：.：∠AED=∠AOB, ∴.ED∥OB,∴.∠EPO=∠POB. .EO=EP,∴.∠EOP=∠EPO, ∴.∠AOP=∠BOP,∴.OP平分∠AOB. 2解：(1)Mw的长为24 【解法提示】：∠ABC=90°，AB= 6.BC=8..AC=AB+BC-10.SANC=2AB.BC= 4一国中—×6× 1 2 X10N..MN= 24 5 (2)①尺规作图如解图1. ②CN平分∠ACB,NB⊥BC,NM⊥AC,.NB=NM. 又：CN=CN,.Rt△BCW≌Rt△MCW(HL), .CM=CB. 设MN=BN=x,则AN=AB-BN=6-x,CM=CB=8, ∴.AM=2, 在Rt△AMN中，由勾股定理，得x2+2=(6-x)2, 解得x= 裁剪线M的长为受 8 解图1 解图2 (3)淇淇所说的MN的长为3.【解法提示】如解图2，四 边形ABNM是轴对称图形..△ABN与△AMN关于AN 成轴对称，.AM=AB=6,MN=BN,∠AMN=∠ABN= ∠NMC=90°，∴.CM=AC-AM=10-6=4.设MW=BN=x,则 CN=BC-BN=8-x.在Rt△CMN中，由勾股定理，得x2+ 4=(8-x)2,解得x=3..MN=3. 3.解：(1)线段EF的长为1.【解法提示】如解图1，过点 GC作GK⊥FⅢ于点K.结合题意可得，四边形FOG'K为矩 形，FO=KG.由拼接可得，HF=FO=KG'.由正方形的性 26 质，得∠A=45°，.△AHG,△I'G'D,△AFE都为等腰直角 三角形，.△GⅢ为等腰直角三角形.设HK=KG'=x, ∴.'D=H'G'=√2x,∴.AH=HG=√2x,HF=FO=x.,·正方 形的边长为2，.对角线的长为√2+2=22，.0A= √2，.x+x+V2x=√2，解得x=√2-1，.EF=AF=√2x+x= (5+1)x=(√2+1)(2-1)=1. H'D 3 G G E ②0① 解图1 (2)与线段BE相等的线段有GE,AH,GH. 由(1)得△AFE为等腰直角三角形，EF=AF=1, AE=2EF=√2， .BE=AB-AE=2-√2. 探究画出裁剪线（线段PQ)的位置如解图2，BP=√2. 或如解图3，BP=2-√2. .0 0 B 2 B P 2 解图2 解图3 4.解：(1)10 (2)如解图1（答案不唯一）. 了ME 解图1 (3)四边形ABCD是矩形， .∠B=90°，AD∥BC,AB=CD ·BG=AB,.∠AGB=45°. .·AN=MG,∴.四边形AGMN是平行四边形， .MN∥AG,.∠NMG=∠AGB=45. ·直线L是GC的垂直平分线，.GM=CM .∴.GM=CM=AN. BM=BC-CM,DN=AD-AN. ∴.BM=DN,∴.AN+AB+BM=CM+CD+DN, .直线MN把矩形ABCD分成周长相等的两部分， .直线MN符合要求. (4)①如解图2，过点H作HG⊥BC于点G,连接AC交PQ 于点O,过点P作PK⊥BC于点K,过点O作OT⊥BC于 点T 解图2 ·四边形ABCD是矩形，且直线PO将矩形ABCD分成周 长相等的两部分，则点O是矩形ABCD的对角线AC与 BD的交点， ∴.O是AC的中点，PK=DC=AB=1,AP=CQ,PD=BQ, BT=CT=2BC=2. ∠PQC=45°，.△PQK是等腰直角三角形， ∴QK=PK=1,.PQ=VPK+QK=√2. 四边形ABCD是矩形， .AD∥BC..∠AP0=∠P0C=45°. 1∠AOP=∠C00. 在△A0P和△COQ中.∠AP0=∠PQC. AP=CO .△A0P≌△C0Q(AAS),P0=Q0=2, .0m=QT=2 3 .CQ=CT+QT=号，BQ=BC-CQ=2 .BH⊥PQ,∴.∠BHQ=90° .'∠BQH=∠PQC=45°， △BHQ是等腰直角三角形， =60-号0-c0=60+60- 3 tam∠Bcn=63 CG 13 ②CH的长为22.【解法提示】如解图3，连接BD交 PQ于点O.:PQ把矩形ABCD分成了周长相等的两部 分，.O为BD和PQ的中点.BH⊥PQ,点H在以B0 为直径的⊙L上运动，当CH与⊙L相切时，∠BCH最大. 连接LH,LC.AB=1,AD=4,.BD=√P+4=√I7, 三m=肌==平过点作 LT⊥BC于点T,则∠BTL=90°.：四边形ABCD是矩形， ∠BCD=90,.TL/CD,△BZT△BDC,∴BDDC BL LT √7 BT 4 LT BT BC. √1 =1·LT=,BT=1·CT=BGBT= 41=3,CD=LT+Cr=15CH是⊙L的切线， 16 ∴.∠CHL=90°，.CH=√CL-Lf=22 P D 解图3 5.解：任务二：由题意得，四边形EBDC为矩形， .'CE DB=42 m,EB=CD=1.4 m. 在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠ACE=61°， ∴.AE=CE·tan∠ACE=42×tan61°≈75.8(m), .AB=AE+EB≈75.8+1.4≈77(m). 答：该城市规划展览馆AB的高度约为77m. 任务三：19【解法提示】设其3D打印模型的高度为 xm,则x:77≈1：400，解得x≈0.1925，∴.其3D打印模型 的高度约为0.1925m.0.1925m=19.25cm≈19cm, .其3D打印模型的高度约为19cm. 6(1号0：10A (2)证明：R1>0,R2>0, B.B:R R+R2R2 RR:RR--R:. .两个电阻并联后的电阻比它们各自的电阻均要小 (3)解：如解图，作矩形ABCD,使得AB=R1+R2,AD=R, 则矩形ABCD的面积S=R(R,+R2)=R+R,R2 .R>0,.R+R1R>R,R 以AB为边作矩形ABFE,使得矩形ABFE的面积为R,R, 则点E,F分别落在边AD,BC上， B E D C 六A6=SE形。了 R2 AB R+R, RR AE<AD.R+ -<R1 同理可证 R.R:_<Rz ,+R, 专题十函数综合题 1.解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b. 将A(-1,-1),B(1,-3)分别代入， 得”得2. (k=-1, (k+b=-3, .直线AB的解析式为y=-x-2. (2)当a=-2时，点P的坐标为(2,1). 由(1)知，直线AB的解析式为y=-x-2, 当x=2时，y=-4≠1， .当a=-2时，点P不在直线AB上. (3)嘉嘉说得对.说理如下： 点P的坐标为(-a,a+3), .点P在直线y=-x+3上运动. 直线y=-x+3与直线y=-x-2平行， ∴.直线P,P与直线AB平行. (4)△PAB的面积为5.【解法提示】由(3)知，点P所在 直线l的解析式为y=-x+3,与直线AB平行，无论a取 何值，点P到直线AB的距离为定值.如解图，过点O作 OC⊥直线I于点C,延长CO交直线AB于点D.易得点D 与点A重合，直线1和直线AB与x轴所夹锐角均为45°， 27专题九 综合与实践（近2年连续考查） 类型1几何操作型(2025.23,2024.23) 1.（2025达州)开启作角平分线的智慧之窗 问题：作∠AOB的平分线OP 作法：甲同学用尺规作出了角平分线； 乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线： 丙同学也用尺规作出了角平分线； 工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上，即得OP为∠AOB 的平分线， 甲同学 乙同学 丙同学 工人师傅 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等， 其判定全等的方法是 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS,ASA或HL, ② 对丙同学的作法陷入了沉思 任务：(1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证： 已知∠AED=∠AOB,EP=E0,求证：OP平分∠AOB. 159 2.(2025邢台任泽区一模)图1是一张三角形纸片ABC,∠ABC=90°，AB=6,BC=8,沿垂直于斜边 AC的方向裁剪一刀（裁剪线为MN),会得到两个图形 情境：(1)当裁剪线MN恰好经过顶点B时，如图2，直接写出MW的长 操作：(2)要使经过沿MW裁剪的三角形纸片ABC中，得到的其中一个图形为轴对称图形. ①嘉嘉想出了如下作法：先作出了∠C的平分线CN交AB于点N,如图3，再过点N沿垂直于AC 的方向裁剪，得到的四边形BCMN一定是轴对称图形.在图3中，请用无刻度的直尺和圆规过点N 作出AC的垂线MW,垂足为点M(保留作图痕迹，不写作法)； ②试对CB与CM相等进行说理，并求出裁剪线MW的长 探究：(3)在(2)的情形中，淇淇说：“裁剪线MW还应有另一个不同的值.”请直接写出淇淇所说的 MW的长. B(N) 图1 图2 图3 160 3.(2024河北23题10分)情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心0为顶点的等腰直角三角形 后得到的.该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示， (说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余) 图1 图2 操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形 如图3，嘉嘉沿虚线EF,GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接 根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： (1)直接写出线段EF的长； (2)直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长. ③ D H ②D F人 ②0① E E ① B B 图3 图4 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的BC边上找一点P(可以借助刻度尺或圆 规)，画出裁剪线（线段PQ)的位置，并直接写出BP的长， 2 B 图5 161 4.(2025河北23题11分)综合与实践 [情境]要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切割线 图1 图2 [模型]已知矩形ABCD(数据如图2所示).作一条直线MN,使MN与BC所夹的锐角为45°，且将 矩形ABCD分成周长相等的两部分： [操作]嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题， 十n十n十n十n十n十n十n十n十十n十n十n十n十n十“ 十十十十十十十十十十十十十十…十十十十十十十十十 如图3，嘉嘉的思路如下： 大1 如图4，淇淇的方法如下： ①连接AC,BD交于，点O: ①在边BC上截取BG=AB,连接AG: ②过点O作EF⊥BC,分别交 ②作线段GC的垂直平分线I,交BC于，点M; BC,AD于点E,F; ③在边AD上截取AN=GM,作直线MW, 图3 图4 4十十十+十十+十十”十十“十 [探究]根据以上描述，解决下列问题， (1)图2中，矩形ABCD的周长为 (2)在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN(作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法)； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线MW符合要求 [拓展]操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题. (4)如图5，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边AD,BC于点P,Q,过点B 作BH⊥PQ于点H,连接CH. ①当∠PQC=45o时，求tan∠BCH的值； ②当∠BCH最大时，直接写出CH的长。 P D H 图5 162 类型2解决问题型 5.(2025吉林)综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度 项目提出：如图是某城市规划展览馆，树人中学的3D打印社团为展示城市文 化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度， 为制作3D打印模型提供数据. 项目报告表 时间：2025年5月29日 项目 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度 分析 测量工具 测角仪、皮尺 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图 1.测出测角仪的高CD=1.4m 任务一 2.利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角∠ACE=61° 测量数据 3.测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间的距离 项目 DB=42 m. Ee--- 61公 实施 B 任务二 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度.（结果精确到1m) 计算实际高度 （参考数据：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804) 任务三 将该城市规划展览馆AB的高度按1：400等比例缩小，得到其3D打印模型的高度 换算模型高度约为 cm.(结果精确到1cm)】 项目 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据 结果 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三. 163 类型3跨学科型 6.综合与实践 课题：借助并联电路，探究不等式 ,<a(或b). atb 已知：如图，在并联电路中，并联后的总电阻计算公式为R急尺+R RR2 验证：在一个电压为12V的电路中，只有两个并联的可变电阻R,R,调节可变电阻并测得对应的 电流，数据如下表： 电阻（单位：Ω） 电流（单位：A) 电阻（单位：2） 电流（单位：A) 单独运行 R 12 03 4 不并联 R, 2 6 4 3 并联 R点 18 12 3 7 (1)若R1=22,R2=32,则并联后的电阻为 ,电流为 发现：两个电阻并联后的电流与其中每一个电阻单独运行时相比，电路中的电流均变大，这意味着 两个电阻并联后的电阻比它们各自的电阻均要小. (2)请利用数学知识证明上述发现. 探究： (3)有同学发现，这一现象也可以借助几何图形来解释，请你设计方案，并说明理由.（提示：可考 虑借助图形面积来设计方案) R A 164