第7章 04-专项8 几何图形（直线型）中的最值问题-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（河北专用）

专项8儿何图形（直线型）中的最值问题 (10年3考) 类型1利用“垂线段最短”求最值(2020.26,2019.23) 问题 直线1外一定，点A和直线1上一动点P,求AP的最小值 图示： 过，点A作AP⊥直线l于点P',则当，点P与，点P重合时，AP取得 解题技巧 最小值 例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，E是AB上任意一点.若CD=5,则DE 的最小值为 例1题图 第1题图 例2题图 第2题图 通关训练 1如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点（点P不与点B,C重合），PE⊥AB 于点E,PF⊥AC于点F,则EF的最小值为 类型2利用“三角形的三边关系及共线”求最值(2021.26) 两定点A,B和一动，点C,且AC的长度固定（假设AB>AC), 图示： 问题 求BC的最值 当，点C在线段AB上时，如图2，BC最小，最小值为AB-AC; 图1 图2 解题技巧当，点C在BA的延长线上时，如图3，BC最大，最大值为AB+ 公 AC 图3 【其他应用】(1)如图1，两定点A,B在直线1异侧，P是直线1上一动点，当点P在直线AB上 时，PA+PB最小，最小值为AB的长； - 图1 图2 (2)如图2，两定点A,B在直线1同侧，P是直线1上一动点，当点P在线段AB的延长线上时， IPA-PB|最大，最大值为AB的长 例2如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB边上 点，且AE=2,则线段EF+CF的最小值为 通关训练 2如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,连接AC,O是AC的中点，M是AD上一点，且MD=1,P是 BC上一动点，则PM-PO的最大值为 122 类型3利用轴对称进行转化 考向1两定一动型 问题 两定，点A,B在直线1同侧，P是直线1上一动点，求PA+PB图示： 的最小值 作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交I于点P,A'B的长 解题技巧 为PA+PB的最小值 【拓展】若两定，点A,B在直线I异侧，P是直线1上一动点，则作，点B关于直线I的对称点B′，点P在AB 的延长线上时，IPA-PBI最大，为AB'的长 B 例3如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,P是直线MN上一动 点，H为BC的中点.若AB=13,△ABC的周长为36，则PB+PH的最小值为 H B 例3题图 第3题图 )通关训练 3如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4,∠BCD=15°，P为CD上的动点，则IPA-PB1的 最大值为 考向2两动一定型 P是∠AOB内的一个定点，M,N分别是射线OA,OB上的动图示： 问题 点，求△PMN的周长的最小值 分别作，点P关于OA,OB的对称，点P',P",连接P'P"分别交 解题技巧 OA,OB于，点M,N,P'P"的长即为△PMN的周长的最小值 例4如图，在锐角三角形ABC中，∠C=40°，P是边AB上的一个定点，M,N分别是AC和BC边上 的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数为 B G 例4题图 第4题图 王通关训练 4如图，在边长为8的正方形ABCD中，G是BC边的中点，E,F分别是AD,CD边上的动点，则四边 形BEFG的周长的最小值为 1232.(1)8√2：120：(2)27m 354手-5 第七章图形的变化 第35节尺规作图 ①A②线段a的长③0④0'⑤0C的长⑥C' ⑦CD的长⑧0⑨大于之MN的长国LA0B的内部 ①AEBB大于子B的长中点⑤r G大于之D的长PK的长B大于之DE的长 考点即时练 1.C2.7 3.解：(1) (6) PN 一B 4 B 第36节投影与视图、几何体的展开与折叠 ①CDF②HEF③GEF④由左往右⑤由上往下 ⑥高平齐⑦宽相等⑧实线⑨虚线⑩圆锥①球 2正方体3长方体④三棱柱5三棱锥6矩形 ⑦扇形⑧三角形 考点即时练 1.解：(1)如解图，EF即为所求 D 77777777777777777 (2)6 2.D3.A;D;C4.C5.A6.D7.36 8.心；查；检；我、细、心、检9.√97 第37节图形的对称（含折叠） ①180②平行（或在同一条直线上）③垂直平分 ④平分⑤BE⑥全等⑦湘等⑧FBE⑨FB EFB ①FBE②FEB AEF④ABF5⊥G= 考点即时练 1.①②④⑤6⑦⑧⑨：③④⑤68⑨：④⑤6⑧⑨ 2.C3.64.D5.30:角平分线6.C:32 专项8几何图形（直线型）中的最值问题 例15 1【解折】如解图，连接机在△C中，AB=6,4C=8。 BC=10,.BC2=AB+AC2,.△ABC为直角三角形，且 ∠BAC=90°..PE⊥AB,PF⊥AC,∴.∠AEP=∠AFP=90°， .四边形PEAF是矩形，.AP=EF,当AP最小时，EF 也最小当AD1B时，AD最小：B,AC=C 1 APAP=AB·AC24 BC 5,.EF的最小、值为 B 例225【解析】如解图，连接CE交AD于点F'.EF+ CF≥EF+CF'=CE,.当点F与点F'重合时，EF+CF有最 小值，且最小值为线段CE的长.：AB=4,AE=2,由等边 三角形的性质可知CE⊥AB,.CE=√AC-AE=25,即 EF+CF的最小值为2√5. D 23 2 【解析】在矩形ABCD中，AD=4,MD=1,.AM=3. 如解图，连接MO并延长交BC于点P,此时PM-PO取得 最大值，最大值为OM的长.AM∥CP,.∠MA0= ∠PCO.又：A0=C0,∠A0M=∠C0P,.△AOM≌△C0P (ASA),∴.OM=OP,AM=CP=3,∴.PB=1.过点M作MN ⊥BC于点N,则四边形MNCD是矩形，.MN=CD,CW= DM,.PW=4-1-1=2,.MP=√32+2=√/I3,.0M= PM-P0的最大值为 √13 2 M D B P N C 例312【解析】如解图，连接AP,AH.AB=AC=13, △ABC的周长为36，.BC=36-2×13=10.H是BC的中 点Bm=BC=5:△ABC是等腰三角形M1BC, AH=√AB-BH=√I32-5=12.·MN是线段AB的垂直 平分线，.点B关于直线MN的对称点为点A,.PA=PB, PB+PH=PA+PH≥AH,.AH的长为PB+PH的最小值， PB+PH的最小值为12. 13 3.4【解析】如解图，作点B关于CD的对称点E,连接AE 并延长交CD于点F,连接CE,PE.由轴对称图形的性质 可知PB=PE,BC=CE,∠PCE=∠BCD=15°，.IPA-PBI =IPA-PEI≤AE,即当P,E,A三点共线时，IPA-PBI取得 最大值，最大值为AE的长.·△ABC为等腰直角三角形 AC=BC=4,.∠ACB=90°，CE=BC=AC=4.∠ACE= ∠ACB-(∠BCD+∠PCE)=60°，.△ACE是等边三角形， ·.AE=AC=4,即IPA-PB1的最大值为4. 例4100°【解析】如解图，分别作点P关于BC,AC的对 称点E,D,分别交BC,AC于点G,H,连接DE,交AC于点 M,交BC于点N,此时△PMN的周长最小，且∠PHM= ∠PGN=90°..∠C=40°，∴.∠DPE=360°-∠PHM- ∠PGN-∠C=140°，∴.∠D+∠E=180°-∠DPE=40° PM=DM,NP=NE,.∠MPD=∠D,∠NPE=∠E, .∠MPD+∠NPE=∠D+∠E=40°，.∠MPN=∠DPE- (∠MPD+∠NPE)=100°. E 4.24【解析】如解图，作点G关于CD的对称点G',作点B 关于AD的对称点B',连接B'G,B'E,FG'.BE=B'E,FG =FG',..BE+EF+FG+BG=B'E+EF+FG'+BG..B'E+EF+ FG≥B'G',∴.当B'E+EF+FG'=B'G时，四边形BEFG的周 长有最小值，最小值为BG+BG:BG=CG=CG=C=4, AB'=AB=8,.'.BB'=AB+AB'=16,BG'=BC+CG'=12,..B'G' =√BG+BB=20,.BG+BG'=24,.四边形BEFG的 周长的最小值为24. B G 第38节图形的平移与旋转 ①方向②距离③A'B'C'④AB⑤A'B'C'⑥A'B ⑦A'C'⑧B'C'⑨平移距离OBB'①CC'②BB' BCC'④25中心6方向⑦角⑧相等四相等 14 ②0A'B'C'@AB②2A'B'C'283相等②4A0②5B0 6C0②⑦旋转角8B0B'②9C0C'860 考点即时练 1.(1)①②③④⑥：(2)120°：(3)菱形： (4)垂直：4E=3CD:(5)35:(6)25 2.①：④⑤：①②③ 3.(1)603;(2)点C;3;60:60;(3)90:2 4.(1)2:(2)√0 第八章统计与概率 第39节统计 ①全体对象②一部分对象③这1万名考生的数学成绩 ④海名考生的数学成绩⑤这500名考生的数学成绩 ⑥50⑦(xf+x+…+xf)8处于中间位置的数据 ⑨处于中间位置的两个数据的平均数⑩最多①大 ②不稳定3小④稳定5稳定性⑥0⑦大 18小9小①大①小2大3ax②④a2s25ax+m 0a22②⑦个数公比值四10百分比团1 2百分比3360°团变化趋势516频率 考点即时练 1.B2.②⑤6：①3④3.A 4(1)5:5.5:6:6.2:(2)不变：变大：不变：变大 5.146.8.37.丁8.10：0.259.270 10.(1)25.(2)24.(3)6. (4)补全条形统计图略. (5)86.4°. (6)3.6:4:4 (7)估计评分为5分的观众有840人 (8)1.与(6)相比，中位数没有发生变化. 第40节概率 ①会②1③不会④0⑤相等⑥p 考点即时练 1.①④：①：④：②32C3.C4D5260.83 5 7.解：将两个红球分别记作红1，红2，列表如下： 红1 红2 黑 白 红1 (红1，红1)（红2，红1） (黑，红1) (白，红1)》 红2 (红1，红2)（红2，红2） (黑，红2) (白，红2) 黑 (红1，黑) (红2，黑) (黑，黑) (白，黑) 白 (红1，白) （红2，白) (黑，白) (白，白) 由表可知，共有16种等可能的结果，其中两个球颜色相 同的结果有6种， .P(摸出的两个球颜色相同)= 63 1681