第5章 04-第30节 菱形-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（河北专用）

第30节菱形 考点1菱形的性质(10年4考；2025.21,2023.15) 性质 几何语言 对边平行 AB∥CD,ADBC 边 四条边都① AB=BC=CD=AD 角 对角② ∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC AC⊥BD,OA=OC,OB=OD: 对角线互相③ ,并且每条对角线 对角线 AC平分∠BAD和∠BCD, ④ 组对角 BD平分LABC和∠ADC 既是轴对称图形，有⑤ 条对称轴， 对称性 又是中心对称图形，对称中心是⑥ 周长、面积 C菱形D=4AB;S菱形McD=底×高=⑦】 【特别提醒】(1)常用等面积法求菱形的相关线段长： (2)菱形的两条对角线把菱形分成了四个全等的直角三角形； (3)若菱形有一个内角为60°，则其中一条对角线将菱形分成两个全等的等边三角形. 【知识拓展】对角线互相垂直的四边形的面积等于其两条对角线乘积的一半.推导如 1 B 下：如图，在四边形ABCD中，若AC⊥BD,剥StCD=Sac+Sac=2AC·B0+ 号ic-0m0.(m+0)=34cBD 考点即时练 1如图1，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O. 图1 (1)若∠ABC=60°，则∠CAD= (2)若AC=6,BD=8,则： ①AB= 菱形ABCD的周长为 ,面积为 ②点O到AB所在直线的距离为 ,点A到BC所在直线的距离为 ③若P是AB的中点，则OP= ④如图2，若E是边AD上的动点，过点E作EF⊥BD于点F,作EG⊥AC于点G,则GF长的最小 值为 93 考点2菱形的判定(2016.6) 判定 几何语言 有一组⑧ 相等的平行四边形是 ,四边形ABCD是平行四边形，AB=AD, 菱形（定义） ∴.四边形ABCD是菱形 边 AB=BC=CD=AD, 四条边都⑨ 的四边形是菱形 ∴.四边形ABCD是菱形 对角线互相0 的平行四边形是 四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD, 菱形 .四边形ABCD是菱形 对角线 .AC⊥BD,OA=OC,OB=OD, 对角线互相① 的四边形是菱形 .四边形ABCD是菱形 )考点即时练 2(2022河北8题改编)依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是 () 1109 Q70° 51109 B D 3(人教八下P58T3改编)剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个 四边形ABCD. (1)如图1，线段AD和BC的长度有什么关系？请说明理由； (2)如图2，若这两张纸条等宽，求证：四边形ABCD是菱形 图1 图2 94第29节矩形 ①平行且相等②直角③相等④2⑤两对角线的交点 ⑥AB·BC⑦直角⑧直角⑨相等 考点即时练 1(a50:50:0:(2)010:528:4s:312,0号 259 4.C 5.选择①②均可，证明略. 第30节菱形 ①相等②相等③垂直平分④平分⑤2 6两对角线的交点⑦子4C·助⑧邻边⑨相等 瓜0垂直①垂直平分 考点即时练 1(160:(205,2024:2号÷330号 2.C 3.(1)AD=BC.理由略.（2)证明略 第31节正方形 ①平行（②相等③直角④垂直平分⑤平分⑥45° ⑦45°⑧4⑨两对角线的交点01：√2①相等 ②直角B相等④直角5垂直G相等⑦AC=BD 18AC⊥BD 考点即时练 1.(1)90:45;(2)67.5:22.5; (3)①82：42：②32：16：③42 2.证明略 3.A 4.(1)证明略.(2)80；(3)90：(4)不可能 5(1)A:(2)正方形：2万： ，6.2-√3 专项5“十”字模型 例√7【解析】如解图，过点G作GM⊥BC于点M,过点 F作FN⊥AB于点N,则四边形ABMG和四边形ADFN都 是矩形，.∠FNH=∠GME=90°，GM=AB,NF=AD.四 边形ABCD是正方形，∴.AB=AD,∴.GM=NF..∠HOE= ∠G0F=90°，∠B=90°，∴.∠OHB+∠GEM=180°.又 .'∠FHN+∠OHB=180°，∴.∠GEM=∠FHN,∴.△GEM≌ △FHN,.∴.GE=HF..正方形的边长为4，DG=3AG,E为 BC的中点∴.AG=1,BE=2,∴.BM=AG=1,ME=BE- BM=1.GM=AB=4,GE=√GM+ME=√7， ∴.HF=17 BME 2 【解析小四边形ABCD是矩形，∠BAD=90°，BC= 10 AD=35.:AB=3tan∠ADB=根-3 AD3,∠4DB=30 ∠ABD=60°..AE⊥BD,.∠AFB=90°，∴.∠BAE=30°， 30=26.4f=AB·0s30-35 .AF=- AB FAF- ArsB3 2 2.解：(1)BF与AE相等理由如下： :四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠BAD=∠D=90°， ∴.∠BAE+∠DAE=90°. ,AE⊥BF,∴.∠BAE+∠ABF=90°， .∠ABF=∠DAE, .△ABF≌△DAE,.BF=AE. (2)2【解法提示】如解图1，过点A作AM∥BC,过点C 作CM∥AB,两线相交于点M,延长BF交CM于点G,则四 边形ABCM是平行四边形.：∠ABC=90°，.□ABCM是 矩形.·BA=BC,.矩形ABCM是正方形，.AB=BC= CM,同(1)的方法，得△ABD≌△BCG,CG=BD.D是 BC的中点BD=BC=号CM,CG=2CM=号AB .AF AB AB/CM,.△AFB∽△CFG,÷CFC =2 解图1 解图2 (3)40 17 【解法提示】在Rt△ABC中，AB=3,BC=4, 、AC=5.D是BC边的中点，BD=)BC=2如解图 2,过点A作ANBC,过点C作CN∥AB,两线相交于点N, 延长BF交CW于点P,则四边形ABCW是平行四边形 :∠ABC=90°，.口ABCN是矩形，同(1)的方法，得 ∠BAD=∠CBP..·∠ABD=∠BCP=90°，∴.△ABD 4-Cp:CP=8 △BCP.C-CP,即=2」 ,同(2)的方法， 8 CF CP CF 3 40 得△CFP∽△AFB, ·FAB即与-CF3CF Γ17 第六章圆 第32节圆的相关概念与性质 ①圆心②半径③圆心④BD⑤2⑥优弧⑦劣弧 ⑧圆心⑨圆上0圆心①圆心②平分B平分 ④垂直5平分0BM⑦⊥⑧一半9相等②@直角 ②直径②008图90西互补雪1s0: