第6章 01-第32节 圆的相关概念与性质-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（河北专用）

第六章圆 第32节 圆的相关概念与性质 考点1圆的相关概念与基本性质(2022.24,2021.16) 1.相关概念 (1)如图，在一个平面内，线段O4绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端 点A所形成的图形叫作圆.其固定的端点O叫作① ,线段OA叫 A 圆 作② (2)圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如图中的线段CD,BD 弦 经过③ 的弦叫作直径，如图中的线段④ 【技巧点拨】直径是一个圆中最长的弦：直径等于半径的⑤ 倍 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每 条弧都叫作半圆.如图中的半圆BD 圆上任意两点 大于半圆的弧叫作⑥ (用三个点表示)， 弧 间的部分叫作 如图中ABD 圆弧，简称弧 小于半圆的弧叫作⑦ 如图中CD 在同圆或等圆中，能够重合的弧叫作等弧（注意： 长度相等的孤不一定是等孤) 圆心角 顶点在⑧ 的角叫作圆心角，如图中∠AOB,∠AOD 顶点在⑨ ,并且两边都与圆相交的角叫作圆周角，如图 圆周角 中∠BDC 2.基本性质 圆是轴对称图形，过⑩ 的每一条直线都是它的对称轴； 对称性 圆也是中心对称图形，① 是它的对称中心 旋转不变性 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合 3.圆的确定 (1)由圆心和半径可以确定一个圆； (2)不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆. )考点即时练 1嘉嘉在半径为5cm的⊙O中测量弦AB的长度，则下列测量结果中一定错误的是 A.4cm B.5 cm C.8 cm D.11 cm 99 2(冀教九上P148T2改编)嘉淇利用含45°角和30°角的一副直角三角板分别拼成如图所示的图 形，则 图中四点共圆.（填“甲”“乙”或“甲和乙”) 考点2弧、弦、圆心角之间的关系 内容 数学表达 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 定理 如图，在同圆或等圆中，有以下三个结论： 弧相等，所对的弦也相等 (1)圆心角相等： A 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么 ∠AOB=∠A'OB'; 推论1 它们所对的圆心角相等，所对的弦相等 (2)弧相等：AB=A'B: 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么 (3)弦相等：AB=A'B'. 推论2 它们所对的圆心角相等，所对的弧相等 只要满足其中一个，另外两个一定成立，即“知一求二” 考点即时练 3(人教九上P84思考改编)如图，AB,CD是⊙O的两条弦，且AB=CD. A (1)连接OA,OB,OC,OD,下列结论不一定成立的是 A.OA=OB=AB B.∠AOB=∠COD C.AB=CD D.点O到AB,CD的距离相等 (2)连接BC,AD,求证：BC=AD. 考点3垂径定理及其推论（必考） 内容 数学表达 垂直于弦的直径② 弦， 如图，有以下五个结论： 定理 并且⑧ 弦所对的两条弧 (1)AD=BD:()AC=BC: (3)AM=⑥ 平分弦（不是直径）的直径④ ； (4)AB⑦ 推论于弦，并且⑤ CD; 弦所对的 (5)CD是⊙0的直径 D 两条弧 只要满足其中两个，另外三个一定成立，即“知二求三” 100 【技巧点拨】(1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造以半径、弦心距、弦的一半为边的直角三角形，利用勾 股定理求解如图1，+()2=子； (2)如图2，AB是⊙0的弦，C是圆上的动，点，则当点C在优孤AB上，且C0⊥AB时，S△Ac取得最大值 id 图1 图2 马考点即时练 4如图，CD是⊙O的直径，且CD=10,AB是弦且不是直径，CD⊥AB于点E. E D (1)下列结论不一定正确的是 () A.AE=BE B.OE=DE C.AO=CO D.AD=BD (2)若AB=8. ①AE= OE= ED= CE= ②若F是⊙O上的动点（不与点A,B重合），则△ABF面积的最大值为 (3)若劣弧AB沿AB所在直线向上翻折，恰好经过圆心O,则AB= 5如图，AB为⊙0的弦，半径OC交AB于点D,AD=DB,OC=5,OD=3,求AB的长. 101 考点4圆周角定理及其推论(10年4考：2025.21) 内容 示例 条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 定理 4⑧ 如图，AB是⊙O的直径，C,D在 ⊙0上，则：∠ABC= B 推论1 同弧或等弧所对的圆周角⑨ ∠2 =8 ∠AOC. 半圆（或直径）所对的圆周角是① 推论2 ∠ACB=24 90°的圆周角所对的弦是① 考点即时练 6如图，AB为⊙0的直径，C,D是⊙0上的两点，∠BAC=26. (1)∠BCA的度数为 ,∠B的度数为 ,∠ADC的度数为 (2)若OD∥BC,则∠DOB的度数为 ,∠DAB的度数为 7在⊙0中，弦AB所对的圆心角∠AOB=60°，C是⊙0上异于A,B的点，则∠ACB的度数 为 考点5 圆内接四边形(2020.14) 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆内接多 概念 边形，这个圆叫作多边形的外接圆 (1)圆内接四边形的对角巧 (如图，∠ABC+∠ADC=②6 ）；; 性质(2)圆内接四边形的任意一个外角等于和它相邻的内角的对角（如图， ∠DCE=∠BAD) 【知识拓展】连接圆内接四边形的对角线，则必然存在两组相似三角形，如图， △ABF∽△DCF,△ADF∽△BCF ↓考点即时练 8(冀教九上P174T5改编)如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A,B,点A的坐标为(0,2)， M为第三象限内OB上一点，∠BM0=120°，则⊙C的半径为 C M 102第29节矩形 ①平行且相等②直角③相等④2⑤两对角线的交点 ⑥AB·BC⑦直角⑧直角⑨相等 考点即时练 1(a50:50:0:(2)010:528:4s:312,0号 259 4.C 5.选择①②均可，证明略. 第30节菱形 ①相等②相等③垂直平分④平分⑤2 6两对角线的交点⑦子4C·助⑧邻边⑨相等 瓜0垂直①垂直平分 考点即时练 1(160:(205,2024:2号÷330号 2.C 3.(1)AD=BC.理由略.（2)证明略 第31节正方形 ①平行（②相等③直角④垂直平分⑤平分⑥45° ⑦45°⑧4⑨两对角线的交点01：√2①相等 ②直角B相等④直角5垂直G相等⑦AC=BD 18AC⊥BD 考点即时练 1.(1)90:45;(2)67.5:22.5; (3)①82：42：②32：16：③42 2.证明略 3.A 4.(1)证明略.(2)80；(3)90：(4)不可能 5(1)A:(2)正方形：2万： ，6.2-√3 专项5“十”字模型 例√7【解析】如解图，过点G作GM⊥BC于点M,过点 F作FN⊥AB于点N,则四边形ABMG和四边形ADFN都 是矩形，.∠FNH=∠GME=90°，GM=AB,NF=AD.四 边形ABCD是正方形，∴.AB=AD,∴.GM=NF..∠HOE= ∠G0F=90°，∠B=90°，∴.∠OHB+∠GEM=180°.又 .'∠FHN+∠OHB=180°，∴.∠GEM=∠FHN,∴.△GEM≌ △FHN,.∴.GE=HF..正方形的边长为4，DG=3AG,E为 BC的中点∴.AG=1,BE=2,∴.BM=AG=1,ME=BE- BM=1.GM=AB=4,GE=√GM+ME=√7， ∴.HF=17 BME 2 【解析小四边形ABCD是矩形，∠BAD=90°，BC= 10 AD=35.:AB=3tan∠ADB=根-3 AD3,∠4DB=30 ∠ABD=60°..AE⊥BD,.∠AFB=90°，∴.∠BAE=30°， 30=26.4f=AB·0s30-35 .AF=- AB FAF- ArsB3 2 2.解：(1)BF与AE相等理由如下： :四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠BAD=∠D=90°， ∴.∠BAE+∠DAE=90°. ,AE⊥BF,∴.∠BAE+∠ABF=90°， .∠ABF=∠DAE, .△ABF≌△DAE,.BF=AE. (2)2【解法提示】如解图1，过点A作AM∥BC,过点C 作CM∥AB,两线相交于点M,延长BF交CM于点G,则四 边形ABCM是平行四边形.：∠ABC=90°，.□ABCM是 矩形.·BA=BC,.矩形ABCM是正方形，.AB=BC= CM,同(1)的方法，得△ABD≌△BCG,CG=BD.D是 BC的中点BD=BC=号CM,CG=2CM=号AB .AF AB AB/CM,.△AFB∽△CFG,÷CFC =2 解图1 解图2 (3)40 17 【解法提示】在Rt△ABC中，AB=3,BC=4, 、AC=5.D是BC边的中点，BD=)BC=2如解图 2,过点A作ANBC,过点C作CN∥AB,两线相交于点N, 延长BF交CW于点P,则四边形ABCW是平行四边形 :∠ABC=90°，.口ABCN是矩形，同(1)的方法，得 ∠BAD=∠CBP..·∠ABD=∠BCP=90°，∴.△ABD 4-Cp:CP=8 △BCP.C-CP,即=2」 ,同(2)的方法， 8 CF CP CF 3 40 得△CFP∽△AFB, ·FAB即与-CF3CF Γ17 第六章圆 第32节圆的相关概念与性质 ①圆心②半径③圆心④BD⑤2⑥优弧⑦劣弧 ⑧圆心⑨圆上0圆心①圆心②平分B平分 ④垂直5平分0BM⑦⊥⑧一半9相等②@直角 ②直径②008图90西互补雪1s0: 考点即时练 1.D2.乙 3.(1)A;(2)证明略. 4.(1)B;(2)①4：3：2；8：②32：(3)55 5.解：AD=DB,OC是半径， .OC⊥AB. 连接0A,则0A=0C=5. .0D=3,.AD=W0A-0D=4, ∴.AB=2AD=8 6.(1)90°：64°：64°：(2)64°：32 7.30°或150°8.2 第33节与圆有关的位置关系 ①<②=③<④相切⑤=⑥1⑦>⑧垂直 ⑨半径⑩一个①垂直②半径B一个④PB 5∠B0雪7D角平分8180：0 00E 2 @0F(②①@的答案可调换)2垂直平分32 40B50C(②④巧的答案可调换) 考点即时练 1.(1)圆上：圆外：圆内：相交：(2)相切：相离 2.(1)4:(2)2:(3)2或4 3.证明：(1)连接0C,如解图1. .·OA=OB,C为AB的中点，.OC⊥AB. 又.OC是⊙0的半径. .直线AB是⊙0的切线. B 解图1 解图2 (2)过点O作OD⊥AB于点D,如解图2. .0A=0B=13,AB=24. h0=4=1200=V0m-A0=5. ⊙0的直径为10，.⊙0的半径r为5， .OD=r,∴.AB是⊙0的切线 4.D5.50°或130°6.(1)12：(2)120°7.A8.24° 专项6点圆、线圆最值模型 例125-2【解析】如解图，连接0P,0C,0C交半圆0 于点P.“0B=2AB=2,在Rt△0BC中，0C= √0B+BC=25.CP≥0C-0P,.CP≥25-2，当点P 与点P'重合时，CP取得最小值2√5-2 B D 1.8;18【解析】当A,E,D三点在一条直线上时，线段AE 的长取得最值.BC=10,D是边BC的中点，.BD=5. ∠ABC=90°，.AD=√AB+BD=13.当点A,E在BC的 同侧时，AE有最小值，最小值为AD-DE=13-5=8:当点 A,E在BC的异侧时，AE有最大值，最大值为AD+DE=13 +5=18. 例230：2√3【解析】分析可知，当AP与⊙0相切时. ∠PA0的度数最大，如解图，连接OP.此时∠AP0=90° OP-2.0A=4.sim LPAO=0A=AP=VOP-OP 2W5,∴.∠PA0=30. D 例33【解析】如解图，连接CQ,CP,过点C作CH LAB 于点H.PQ是⊙C的切线，∴.CQ⊥PQ,PQ= √Cp-CQ=√CP2-3,当CP⊥AB时，CP最小，PQ取最 小值.：△ABC为等边三角形，∴.∠B=60°，.CH=BC· sinB=2√5，.PQ的最小值为/(2√3)2-3=3. 2.B【解析】如解图，设半圆O与Rt△ABC的边AC相切于 点D,连接OD,过点O作OF⊥BC于点F,交半圆O于点 E.∠C=90°，AC=6,BC=8,AB=VAC+BC=10. 直径为2的半圆O与Rt△ABC的边AC相切于点D, AO OD 1 0DLAC,0D=1,△AD0∽△ACB,ABB8A0 0s35 5 BO =:OF⊥BC,△BOF∽△BMC,BA OF 7 亿=3O上=21.当点P与点F重合，点Q与点E重合 时，0有最小值，最小值为1-？，根据圆外的点到圆 17 上的点距离最大时，需经过圆心，当点P与点B重合， 且点Q也在线段AB上时，PQ取得最大值35+1=39 4 , PQ的最大值和最小值之积为39×_663 4416 E C F P B 专项7隐形圆（辅助圆）模型 例12√I3-2【解析】如解图，连接CE..P是直线AB 上的一个动点，AE=2,AE=EF=2,点F在以点E为 圆心，AE为半径的圆上运动，.当点F在线段EC上时，FC 取得最小值在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,.CD=AB= 11