第5章 05-第31节 正方形&06-专项5 “十”字模型-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（河北专用）

第31节 正方形 考点1正方形的性质(10年7考：2025.21,2023.11) 性质 (正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所 几何语言 有性质)》 对边① ABCD,AD∥BC 边 四条边都② AB=BC=CD=AD 角 四个角都是③ ∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° AC=BD,OA=OB=OC=OD,AC LBD: 对角线相等且互相④ ,并且每条 对角线 对角线与四条边的夹角均为⑥ 对角线⑤ 组对角 如∠ODA=⑦ 既是轴对称图形，有⑧ 条对称轴， 对称性 又是中心对称图形，对称中心是⑨ 周长、面积 CADAC 【特别提醒】(1)正方形的两条对角线把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形； (2)正方形的边长与对角线长的比为⑩ 考点即时练 1如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为AC上一点，CE=CB,连接BE. (1)∠B0C= °，LABD= (2)∠CEB= o,∠ABE= (3)若AB=8,则： ①AC= ,A0= ②正方形ABCD的周长为 ,△COD的面积为 ③点E到BC的距离为 2(人教八下P68T8改编)如图，点E,F分别在正方形ABCD的边AD,DC上，且AE=DF,连接AF, BE交于点G.求证：AF⊥BE. 95 考点2正方形的判定(2025.21,2016.6) 有一组邻边① 且有一个角是 边 ② 的平行四边形是正方形（定义） 菱形B 或∠DAB=90 有一组邻边B 的矩形是正方形 平行 AB=AD,∠DAB=90° 四边形，么 正方形 角 有一个角是④ 的菱形是正方形 对角线互相⑤ 的矩形是正方形 B 或AB=AD 对角线 矩形 对角线⑥ 的菱形是正方形 【知识串联】平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： 从边、角的角度看 从对角线的角度看 有一个角是直角 矩形 一组邻边相等 对角线 矩形 对角线 相等 互相垂直 有一个角是直角 /平行四边形☑ 且一组邻边相等 组邻边相等 有一个角 正方形 平行四边形 菱形 是直角 对角线 对角线相等 正方形 互相垂直 菱形 考点即时练 3(北师九上P26T2改编)有下列四个条件：①AB=BC,②∠ABC=90°，③AC=BD,④AC⊥BD.从中 选取两个作为补充条件，使口ABCD为正方形（如图）.现有下列四种选法，其中错误的是() A.②③ B.②④ C.①② D.①③ 4(2018河北23题改编)如图，∠CAB=∠ABD=50°，P为AB的中点，M为射线AC上（不与点A重 合)的任意一点，连接MP并延长，交射线BD于点N,连接MB,NA.设∠BPN=. (1)求证：四边形MBNA为平行四边形； M (2)当a= 时，四边形MBNA为矩形； (3)当a= o时，四边形MBNA为菱形； (4)四边形MBNA可能是正方形吗？ .(填“可能”或“不可能”)》 96 考点3中点四边形与梯形 1.中点四边形的概念： 如图，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点，则四边形EFGH是四边形ABCD的中点四边形.由中位线 定理可知：EH/GF/BD,EH=GF=)BD,Hc/EFMC,HG=EF=2AC, 2.中点四边形的形状：由原四边形中两条对角线的关系决定 原四边 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 任意四边形 形特点 (如矩形) (如菱形) (如正方形) 中点四边 平行四边形 菱形 矩形 正方形 形形状 图示 【技巧点拨】(1)中，点四边形的周长等于原四边形的两条对角线之和； (2)中，点四边形的面积等于原四边形面积的一半 3.梯形(2022版课标新增)： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.如图，在梯形ABCD中，AD/BC,Sm=2(上底+ 下底)×高.若AB=CD,则梯形ABCD是等腰梯形 A上底D 腰 高 食 E下底 考点即时练 5如图，在□ABCD中，∠ABC=a,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，顺次连接E,F,G,H (1)若BC>AB,则a从0逐渐增大到180°的过程中，四边形EFGH形状的变化依次是 A.平行四边形→菱形→平行四边形 B.平行四边形→矩形→平行四边形 E C.平行四边形→菱形→正方形平行四边形 F D.平行四边形→矩形→正方形→平行四边形 (2)若AB=BC=1,a=90°，则四边形EFGH的形状是 ,周长为 ,面积为 6(2025河北23题改编)如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG=2,底边BC=6,∠B= 45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形.若∠BEF=30°，则AF的长为 AF D D 97 专项5“十”字模型 专项精讲 类型 过顶点 不过顶点 【拓展】若在三角形中出现 “十”字，可以先构造特殊四 D 正方形 H 边形，如： 常见 H 中的 模型 G “十” B E E M B F 字模型 △ABE≌△BCF」 △EFM≌△HGN, △DAN≌△CDM, 结论 AE=BF EF=GH EF=GH KD K D 矩形中 常见 的“十” 模型 字模型 B B 结论 △ABN∽△DAM △EFM∽△KHN △ABN∽△DAM 从而得到△BCD∽△CAG 例如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为BC的中点，G,H分别为AD,AB边上的点，且DG=3AG, ∠GOF=90°，则HF的长为 H 通关训练 1如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=3√3，过点A作BD的垂线，交BD于点F,交BC于点E,则EF 的长为 2(1)如图1，四边形ABCD为正方形，BF⊥AE,那么BF与AE相等吗？为什么？ (2)如图2，在Rt△ABC中，BA=BC,∠ABC=90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E,交AC于点 F,则AF:FC的值为 (3)如图3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E,交AC于点F,若AB= 3,BC=4,则CF的长为 图3 98第29节矩形 ①平行且相等②直角③相等④2⑤两对角线的交点 ⑥AB·BC⑦直角⑧直角⑨相等 考点即时练 1(a50:50:0:(2)010:528:4s:312,0号 259 4.C 5.选择①②均可，证明略. 第30节菱形 ①相等②相等③垂直平分④平分⑤2 6两对角线的交点⑦子4C·助⑧邻边⑨相等 瓜0垂直①垂直平分 考点即时练 1(160:(205,2024:2号÷330号 2.C 3.(1)AD=BC.理由略.（2)证明略 第31节正方形 ①平行（②相等③直角④垂直平分⑤平分⑥45° ⑦45°⑧4⑨两对角线的交点01：√2①相等 ②直角B相等④直角5垂直G相等⑦AC=BD 18AC⊥BD 考点即时练 1.(1)90:45;(2)67.5:22.5; (3)①82：42：②32：16：③42 2.证明略 3.A 4.(1)证明略.(2)80；(3)90：(4)不可能 5(1)A:(2)正方形：2万： ，6.2-√3 专项5“十”字模型 例√7【解析】如解图，过点G作GM⊥BC于点M,过点 F作FN⊥AB于点N,则四边形ABMG和四边形ADFN都 是矩形，.∠FNH=∠GME=90°，GM=AB,NF=AD.四 边形ABCD是正方形，∴.AB=AD,∴.GM=NF..∠HOE= ∠G0F=90°，∠B=90°，∴.∠OHB+∠GEM=180°.又 .'∠FHN+∠OHB=180°，∴.∠GEM=∠FHN,∴.△GEM≌ △FHN,.∴.GE=HF..正方形的边长为4，DG=3AG,E为 BC的中点∴.AG=1,BE=2,∴.BM=AG=1,ME=BE- BM=1.GM=AB=4,GE=√GM+ME=√7， ∴.HF=17 BME 2 【解析小四边形ABCD是矩形，∠BAD=90°，BC= 10 AD=35.:AB=3tan∠ADB=根-3 AD3,∠4DB=30 ∠ABD=60°..AE⊥BD,.∠AFB=90°，∴.∠BAE=30°， 30=26.4f=AB·0s30-35 .AF=- AB FAF- ArsB3 2 2.解：(1)BF与AE相等理由如下： :四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠BAD=∠D=90°， ∴.∠BAE+∠DAE=90°. ,AE⊥BF,∴.∠BAE+∠ABF=90°， .∠ABF=∠DAE, .△ABF≌△DAE,.BF=AE. (2)2【解法提示】如解图1，过点A作AM∥BC,过点C 作CM∥AB,两线相交于点M,延长BF交CM于点G,则四 边形ABCM是平行四边形.：∠ABC=90°，.□ABCM是 矩形.·BA=BC,.矩形ABCM是正方形，.AB=BC= CM,同(1)的方法，得△ABD≌△BCG,CG=BD.D是 BC的中点BD=BC=号CM,CG=2CM=号AB .AF AB AB/CM,.△AFB∽△CFG,÷CFC =2 解图1 解图2 (3)40 17 【解法提示】在Rt△ABC中，AB=3,BC=4, 、AC=5.D是BC边的中点，BD=)BC=2如解图 2,过点A作ANBC,过点C作CN∥AB,两线相交于点N, 延长BF交CW于点P,则四边形ABCW是平行四边形 :∠ABC=90°，.口ABCN是矩形，同(1)的方法，得 ∠BAD=∠CBP..·∠ABD=∠BCP=90°，∴.△ABD 4-Cp:CP=8 △BCP.C-CP,即=2」 ,同(2)的方法， 8 CF CP CF 3 40 得△CFP∽△AFB, ·FAB即与-CF3CF Γ17 第六章圆 第32节圆的相关概念与性质 ①圆心②半径③圆心④BD⑤2⑥优弧⑦劣弧 ⑧圆心⑨圆上0圆心①圆心②平分B平分 ④垂直5平分0BM⑦⊥⑧一半9相等②@直角 ②直径②008图90西互补雪1s0: