第4章 13-第26节 解直角三角形的实际应用-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（河北专用）

第26节解直角三角形的实际应用 考点1方位角(10年5考：2023.2) 类型 图示 概念 北 般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋 转到目标的方向所成的角（一殷指锐角），通常表达成北（南）偏东 方向角 东 (西)几度.如图，点A位于点O的① 方向；点B位于点O的 1608.B ② 方向；点C位于点0的③ 方向，也称为西北方向 铅 ,视线 膏水中技 如图，在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线④ 的角 仰角、俯角 垂 线 叫作仰角，视线在水平线⑤ 的角叫作俯角 、视线 坡度（坡 铅直 坡面 高度 如图，坡面的铅直高度h与水平宽度1的比叫作坡度（坡比），用字母i表 比)、坡角 示：坡面与水平面的夹角a叫作坡角，i=tana=⑥ 水平宽度 考点即时练 1如图，AC,BD表示两栋楼房，下列说法正确的是 A水平地面B A.两楼之间的距离是AD B.从点C看点D的仰角是∠ADC C.从点A看点D的仰角是∠DAB D.从点D看点A的俯角是∠ADB 2(2023河北2题改编)如图，嘉嘉从A地出发向北偏东30°方向走40m到达B地，淇淇从A地出 发向南偏东60°方向走30m到达C地，则A地在B地的 方向 m处，A地在C地 的 方向 m处，∠BAC= ,BC= m. 北 B 东 84 考点2解直角三角形的实际应用(2024.22,2022.24) 常见模型 常见辅助线作法 【解题策略】测量问题中，最常见的辅 助线是作高，构造直角三角形，通过 母子型 建立已知线段和未知线段之间的等 量关系求解（通常涉及线段的和、差， 要特别注意公共边)· 背靠背型 【特别提醒】计算结果要求精确到哪 一位，就将结果四舍五入到那一位， 如3.146保留整数是⑦ ,精 确到0.1或精确到十分位是⑧ 拥抱型 精确到0.01或精确到百分位 B 是⑨ D 考点即时练 3(人教九下P75例4改编)嘉嘉与淇淇住在同一栋居民楼，他俩想测量所住楼对面商业大厦的高. 已知商业大厦与地面垂直，于是他俩利用所学的数学知识想到了如下四种方案，请你分别进行解 答.（结果均精确到1米） 方案一： 如图1，嘉嘉与淇淇在居民楼底部点A处测得点A到商业大厦底部M的距离为60米，点A到商 业大厦顶部N的仰角为53°，且MN⊥AM,求商业大厦的高MN.(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈ 0.6,ian53°=3 3 y 图1 85 现在两楼之间部分路面维修，无法直接测量出AM的长度，嘉嘉和淇淇想了其他办法也可以 测量 方案二： [母子型]如图2，嘉嘉站在点A处测得商业大厦顶部N的仰角为45°，向前走了35米到达点B处 测得顶部N的仰角为61°，已知嘉嘉眼睛到地面的高度AC(BD)为1.7米，点A,B,M在同一水平 线上，MN⊥AB,求商业大厦的高MN.(参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80)》 C4561° AB海 图2 方案三： [背靠背型]如图3，嘉嘉与淇淇在所住楼顶的防护栏B处，测得商业大厦顶部N的仰角为14°，测得商 业大厦底部M的俯角为37°，已知BA⊥AM,MW⊥AM,AB=60米，求商业大厦的高MN.(参考数 据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan14°≈0.25，√3≈1.73) 14o M 图3 方案四： [拥抱型]如图4，淇淇在所住楼顶的防护栏B处，测得商业大厦底部M的俯角为37°，嘉嘉在商 业大厦顶部的防护栏N处，测得所住楼底部A的俯角为45°，已知AB⊥AM,MN⊥AM,AB=60米， 求商业大厦的高MN.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) B 45ò 37 图4 86解法2：如解图2，连接BF,取BF的中点O,连接OE,OC 四边形ABCD是矩形，EF⊥BE,.∠BEF=∠BCF=90°， .OE=OB=OF=OC,B,C,F,E四点共圆，.∠EBF= .EF AD 5 ∠ECF=∠ACD,tan LEBF=--tanLACD,BECD3 第25节锐角三角函数 ⑨105①a2+6=c290°B65 a 考点即时练 1专号220456，(2 3(1)①60°；30°：222：3 23;(2)⑤ 4.3+√3【变式】150W2 第26节解直角三角形的实际应用 ①北偏东30°②南偏东60°③北偏西45°④上方 ⑤下方⑥4⑦388193.15 考点即时练 1.C 2.南偏西30°：40：北偏西60°：30：90：50 3解：方案-：在R△AMN中，tan∠MaW=M AM MN=AM·tan∠MAN=60x=80(米) 答：商业大厦的高MN约为80米 方案二：如解图1，连接CD并延长，交MN于点E. 由题意可知，四边形ABDC,四边形 BMED均为矩形， .AC=BD=ME=1.7米，CD=AB= 35米. C44561E 设EN=x米」 A B M 在Rt△CEN中，.·∠ECN=45°， 解图1 .CE=EN=x米， .DE=CE-CD=(x-35)米. 在Rt△DNE中，tan∠NDE= EN x E-351.80, 解得x≈78.75. 经检验，x≈78.75是所列分式方程的解，且符合题意， ∴.MW=EN+ME≈78.75+1.7=80.45≈80（米）. 答：商业大厦的高MN约为80米 方案三：如解图2，过点B作BF LMN于点F, 则四边形ABFM是矩形， .FM=AB=60米. 376 在Rt△BFI中，an∠FBM-FPM BE FM 60 ∴.BF tan∠FBM0.75 =80(米). M 解图2 在R△BFN中，an∠NBF=NE BE ..NF=BF·tan∠NBF≈80x0.25=20(米)， MW=FM+NF≈60+20=80（米）. 答：商业大厦的高MN约为80米。 方案四：易知∠AMB=37°，∠MAN=45° 在Rt△BAM中，tan37=4B M*075, 解得AM≈80米. .·∠MAN=45°，∠AMN=90°， ..MN=AM≈80米. 答：商业大厦的高MN约为80米. 第五章四边形 第27节多边形（含正多边形） ①(n-2)·180°②360°③(n-3)④n(m-3】 2 5n-2)·180 6360。 ⑦3600 ⑧n⑨偶①奇 n ①720°260°B60°④1080°15135°645·⑦30° 1830°19320135 考点即时练 1.(1)900°：360°：14：(2)5：2：(3)6 2.(1)9;(2)140°：40°；(3)是；不是3.8 41)030,(215(3635(45(5) 第28节平行四边形 ①平行且相等②相等③互补④平分 ⑤两对角线的交点⑥相等⑦平行且相等⑧相等 ⑨互相平分 考点即时练 1(1)10:2)60:120:3)①1：5：2：②35：3w7:,7； (4)1:(5)2 2.53.14 4.方案一：（答案不唯一，论证方法正确即可） 证明：连接AC. ,四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点， ..OB=OD,点0在AC上，且OA=OC. BN=NO.OM=MD...NO=OM. .四边形ANCM为平行四边形. 判定依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形 方案二：（答案不唯一，论证方法正确即可） 证明：四边形ABCD是平行四边形， .∴.∠BAD=∠BCD,AB=CD,AB∥CD ..∠ABN=∠CDM. AN平分∠BAD,CM平分∠BCD,.∠BAN=∠DCM. ∠ABN=∠CDM, 在△ABN和△CDM中， AB=CD, ∠BAN=∠DCM, ∴.△ABN≌△CDM(ASA),∴.AN=CM,∠ANB=∠CMD, .∴.∠ANM=∠CMN,∴.AN∥CM, ·.四边形ANCM为平行四边形 判定依据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 9