第4章 08-第24节 相似三角形（含位似）-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（河北专用）

第24节 相似三角形（含位似） 考点1比例的性质、成比例线段、黄金分割(2025.4) 1.比例的性质 基本性质 （若号-分则a=:(交又相家) (2)若ad=bc(a,b,c,d都不为0)，则=① 6 等比性质 若号 =…=(b+d+…+n≠0)，则g+c+…+m_0 n b+d+…+nb 合比性质 b-d’b-d 2.成比例线段 对于四条线段α，b,c,d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如=9 6=a （中=c),我们就说这四条线段皮比帆行别地，如果？-名，即8矿-c,就把6叫作ae的比创中项 3.黄金分割 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC,且AC-BC 那么就说线段AB被点C黄金分割，点C叫 AB AC' 作线段AB的黄金分制点，4C与B的比叫作黄金比，即1C-5--0.618 AB 2 A C B 考点即时练 1(建教九上P61T1改编)者%，则下列式子成立的晶 .(填序号) ①2a=36:②”=6 2 6433:⑥+6气5 6-3⑦02 a-b 2(2025河北4题)“这么近，那么美，周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三 叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）.回家后量出照片上笔和化石的长 度分别为7cm和4cm,笔的实际长度为14cm,则该化石的实际长度为 () A.2 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 72 考点2平行线分线段成比例(2021.26) 内容 几何表述 D 基本 两条直线被一组平行线所 如图，4，则迟DE BC EF 事实 截，所得的对应线段成比例 AB =② BC AC AC =③ 平行于三角形一边的直线截 如图，DE∥BC,则D ④ DB 推论 其他两边（或两边的延长 AD 线)，所得的对应线段成比例 凸考点即时练 3(人教九下P29探究改编)如图，AB∥CD∥EF,直线1,1，与这三条平行线分别 G> D 交于点A,C,E和点B,D,F.已知AC=3,CE=6,BF=6,则BD的长 F 为 考点3相似三角形的性质与判定（必考） 1.性质与判定 (1)相似三角形的对应角⑥ 对应边⑦ 性质 (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于⑧ (3)相似三角形的周长比等于⑨ ,面积比等于⑩ 方法 图示 几何表述 平行于三角形一边的直线 DE//BC, 和其他两边相交，所构成的 .△ADE∽△ABC 三角形与原三角形相似 三边① 的两个三 AB BC AC AB B'CA'C 判定 角形相似 .△ABC∽△A'B'C' BC 两边成比例且② 相 .AB A'BB'C,∠B=∠B', 等的两个三角形相似 ∴.△ABC∽△A'B'C 两角分别3 的两 .∠A=∠A',∠B=∠B', 个三角形相似 .△ABC∽△A'B'C 73 2.相似三角形的常见模型 类型 图示 结论 △ADE∽△ABC A字型 、300 (注意隐含条件：公共角相等) 正A 斜A,∠1=∠2 D、2 △ADE∽△ABC 8字型 (注意隐含条件：对顶角相等) 正8(X型) 斜8（蝶型）》 一线三 △ABC∽△PDB 等角型 直角三角形 △ACD∽△ABC∽△CBD 斜边高线型 D 3.相似三角形的实际应用 运用相似三角形的有关性质可解决现实生活中的问题，如：①利用光的反射定律求物体的高度：②利 用太阳光下的影子计算建筑物的高度：同一时刻，物高和影长成正比，即A物高_B物高 A影长B影长 考点即时练 4[A字型]在△ABC中，D,E分别是边AB,AC上的点，连接DE. 如图1，若乙ADB=∠ACB,北=，AE=4,则AB S AADE ?S四边形BDEC D B C(E) 图1 图2 (2)如图1，若D是松的中点，D=24C=3,AE=S则△ADE和△ACB是相似三角形吗？ (填 “是”或“否”)，依据是 (3)如图2，当点E与点C重合时，若∠ACD=∠B,AD=6,BD=4,则AC= 5[8字型]同学们在物理课上做“小孔成像”实验.如图，蜡烛与带“小孔”的纸板 之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏之间距离的一半，当蜡烛火焰的高度AB为 1.6cm时，所成的像的火焰的高度A'B'为 cm. 74 6[直角三角形斜边高线型]如图，在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的高.若AD=4,CD=2,则BD的 长为 7[一线三等角型]如图，在等边三角形ABC中，点E,P,F分别在边AC,AB,BC上，∠EPF=60. 求证：△APE∽△BFP. 8[手拉手（旋转）型]如图，将△ABC绕，点A顺时针旋转x(为锐角)得到△ADE,点D与点B对 应，连接BD,CE.求证：△ABD∽△ACE. E 9如图，在正方形ABCD中，AB=2,E为BC的中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动，且 MW=1.若△ABE与以D,M,N为顶点的三角形相似，求DM的长. 75 考点4相似多边形 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边对应成比例，那么这两个多边形叫作相似多 概念 边形.相似多边形对应边的比叫作相似比 (1)相似多边形的对应角④ 对应边⑤ ； 性质 (2)相似多边形的周长比等于⑥ 面积比等于⑦ )考点即时练 10将边长为4,6,6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6,4的矩形按如图所示的方 式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边的间距均为1，则新图形与原图形相似的有 个 考点5 位似(2020.8) 如图，如果一个图形上的点A,B,…,P,…和另一个图形上的点A',B,…,P',…分别对应，并且它 们的连线AA',BB',…,PP',…都经过同一点O, OA'OB'OP' OA OB OP…,那么这两个图形叫作位 似图形，点O是位似中心 概念 BB (1)位似图形是相似图形，具有相似图形的所有性质（位似必相似，相似不一定位似）： (2)对应点的连线所在直线都经过同一点： (3)对应边互相平行或在同一条直线上： 性质 (4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于⑧ (5)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形位似的图形，使它与原图 形的相似比为，那么原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为 19 (注意：有同侧和异侧两种情况) 考点即时练 11在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,2),B(4,2),C(6,4),以原点0为位 似中心，将△ABC缩小后得到的△DEF与△ABC的对应边的比为1：2，则点A的对应点D的坐标 为 76∴.CD=MD,∠C=∠AMD AB=AC+CD...AB=AM+MD ∴.BM=MD,∴.∠B=∠MDB. .·∠AMD=∠B+∠MDB,·.∠C=∠AMD=2∠B. :∠BAC=60°，∠B+∠C=180°-∠BAC=120°， .∠B=40°. 解法2（补短）：如解图2，延长AC至点N,使得AN=AB,连 接DN 解图2 .·AD是∠BAC的平分线，.∠BAD=∠NAD 又，AB=AN,AD=AD,.△ABD≌△AND. ∴.∠B=∠N ·.·AB=AN=AC+CN,AB=AC+CD .CN=CD,∴.∠CDN=∠N, ∴.∠ACB=∠CDN+∠N=2∠N=2∠B. .·∠BAC+∠ACB+∠B=180°， ∴.60°+2∠B+∠B=180°，∴.∠B=40° 方法460：120：90：ADF:90:DE:90:AEG:120:FDG 例410【解析】如解图，将△BDE绕点D顺时针旋转 120°得到△CDP,则∠DCP=∠DBE..:∠DBE+∠ACD 360°-∠A-∠BDC=180°，.∠DCP+∠ACD=180°，∴点 A,C,P共线.由旋转可知DE=DP,∠BDE=∠CDP. .·∠BDC=120°，∠EDF=60°，..∠BDE+∠CDF=60° ∴.∠CDP+∠CDF=60°，∴.∠PDF=∠EDF=60°.在△DEF (DE=DP. 和△DPF中，∠EDF=∠PDF,∴.△DEF≌△DPF(SAS), DF=DF ∴.EF=FP,∴.EF=FC+BE,∴.△AEF的周长=AE+EF+ AF=AB+AC=10. D 6.解：如解图，将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△AFB 连接FD,过点A作AH⊥BC于点H, 则△AEC≌△AFB. B DH E C ∴.∠ABF=∠ACB,∠BAF=∠CAE,AE=AF,FB=EC 在Rt△ABC中，AB=AC,.∠ABC=∠ACB=45°. .∴.∠ABF=45°，∴.∠FBE=45°+45°=90°， ∴.BD+BF2=DF2 .∠DAE=45°，∴.∠BAD+∠CAE=45°， .∴.∠BAD+∠BAF=45°，.∠DAE=∠DAF AD=AD. 在△DAE和△DAF中，{∠DAE=∠DAF, AE=AF. .∴.△DAE≌△DAF(SAS),.DE=DF .BD2+CE2=DE2 BD=3,CE=4,.DE=5. .BC=BD+DE+CE=12. .:AB=AC,∠BAC=90°，AH⊥BC, :AH=BH-CH=BC=6. 5am+5e=2BD·A+子CE,AM= 1 2×(3+4)× 6=21. 第24节相似三角形（含位似）】 0片张s肤a长5华0相等⑦成比例 DE DE EC AC ⑧相似比⑨相似比⑩相似比的平方①成比例 ②夹角B相等④相等⑤成比例⑥相似比 ⑦相似比的平方⑧相似比⑨(kx,y)或(-kx,-ky) 考点即时练 1.②④⑤6 2.C3.2 4 4(1)6:5:(2)是；两边成比例且夹角相等的两个三角形 相似：(3)2√15 5.3.26.2√27.证明略.8.证明略 9.解：E为BC的中点，.BE=1. 由勾股定理，得AE=√AB+BE=√5. 当AanN时总品品-华 ·DM=2 59 当△ABE ANIS时，器识即5 1√5 .DM= 5 综上所述.Dw的长为25支号 5 10.211.(1,1)或(-1，-1) 专项2一线三等角模型 例【分析】①∠B=∠ADE=∠C:②∠BAD=∠CDE. (1)证明：∠BAC=90°，AB=AC, ∴.∠B=∠C=45°=∠ADE. ·∠ADC=∠BAD+∠B,∠ADC=∠ADE+∠CDE, ∴.∠BAD=∠CDE,.△ABD△DCE. (2)解：：△ADE是以AE为底的等腰三角形，.AD=DE 由(1)知△ABD∽△DCE,.∴.△ABD≌△DCE, .·.CD=AB=6. 1证明：：△ABC是等边三角形， 7