第4章 01-第18节 线段、角、相交线与平行线（含命题）-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（河北专用）

第四章！ 三角形 第18节 线段、角、相交线与平行线（含命题） 考点1直线与线段(10年3考) 两个基 (1)① 点确定一条直线：(2)两点之间，② 最短 本事实 两点的 连接两，点间的线段的长度 距离 如图，在线段AC上有一点B. 线段的 和、差 B 则AB+③ =AC,AB=④ -⑤ ,BC=⑥ -⑦ 如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB,则点M叫作线段AB的中点 线段的 概念 M B 中点 性质 若M是线段AB的中点，则AM=⑧ =⑨ AB 如图，M,N是线段AB的三等分点，则AM=MN=⑩ =① AB. 线段的三 L 等分点 NB 【易错提醒】一条线段有两个三等分点，若未明确三等分，点的位置，常需要分类讨论 D 直尺测量 图1 图2 线段长度 如图1，线段AB的长度为② cm:如图2，线段CD的长度为B cm )考点即时练 1(1)如图1，锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线，然后再锯，这样做的数学道理 是 (2)如图2，嘉淇用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的 周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 图1 图2 52 2已知点A,B,C在同一条直线上，AB=3,BC=1. (1)AC的长为 (2)若D为AB的中点，E为BC的中点，则AD的长为 ,DE的长为 (3)若E是线段AB的三等分点，则AE的长为 考点2角与角平分线(10年5考：2024.10,2023.26) 1.量角器的使用 量角器的中心点0和角的顶点重合，量角器的零刻度线和角的一条边重合，然后看角的另一条边对应的刻 度线的度数（简记：两重合，再读数）.如图，∠AOB的度数为④ B 2.角的分类 分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 角度 0°<a<90° a=5 6 =180° x=360° 3.度、分、秒的换算：1=60'，1'=60”.如：7.24°=7⑦ '⑧ 余角：若∠1+∠2=四 则∠1与∠2互为余角. 4.余角、补角补角：若∠1+∠2=②⑩ 则∠1与∠2互为补角 性质：同角（等角）的余角④ 同角（等角）的补角2 5.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相 如图，PM⊥OA,PN⊥OB. 定义 等的角的射线 D 性质 角平分线上的点到角两边的距离3 —B 定理 (1)0C平分∠A0B曰∠A0C=∠5 在角的内部，到角两边②④ 的点在角 逆定理 6 ∠AOB; 平分线上 (2)0C平分∠A0B=PM=②@ 考点即时练 3(人教七下P8T8改编)如图，已知∠A0B=8527'36",0C平分∠A0B. (1)∠AOB= °，它是 (填“钝角”“直角”或“锐角”)； (2)∠AOB的余角等于 °，LAOB的补角等于； (3)∠AOC= (4)若P是射线OC上一点，点P到OA的距离为2，则点P到OB的距离为 (5)在∠AOB的内部有一点Q,有以下条件，满足（填出所有符合要求的序号），可说明 点Q在射线OC上. ①∠A0Q=∠A0B:2∠A0B=2∠B00:③∠A00=∠B00,④点Q到0A和0B的距离相等 53 考点3垂线与相交线(10年4考；2024.11) 「基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 1.垂线垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，⑧ 最短 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度. 2.垂直平分线 经过一条线段的中点，并且垂直于这 如图. 定义 条线段的直线 性质 线段垂直平分线上的点到线段两端点 定理 的距离9 (1)l是线段AB的垂直平分线曰l① AB 到一条线段两端点① 的点在 逆定理 且AC2 BC; 这条线段的垂直平分线上 (2)点P在线段AB的垂直平分线上→PA3 PB 3.三线八角 类型 图示 对应的角 ∠1与∠2或∠4，∠2与34 邻补角 性质：邻补角之和等于⑤ ∠1与36 ,∠2与3⑦ 对顶角 性质：对顶角8 ∠1与39 ,∠2与40 同位角（形如F) ∠3与① ,∠4与4② 2 内错角（形如Z) 85 ∠2与43 ,∠3与④ 7\6 同旁内角（形如[） ∠2与5 ,∠3与⑥ 【特别提醒】三线八角只是说明角之间的位置关系，加了平行条件，才能得到角之间的数量关系 考点即时练 4(冀教七下P37B组T1改编)如图，直线AB与CD相交于点O. (1)若∠D0B+∠A0C=50°，则∠A0C= .∠AOD= (2)∠CA0是∠A0C的 ,是∠COB的 ,是∠AOD的 .(填“同位角”“内 错角”或“同旁内角”) 54 5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC,BA上分别截取BE,BD,使BE=BD;分别以D,E 为圆心，以大于2DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F:作射线BF交AC于点G若 CG=1,P为AB上一动点，则GP的最小值为 考点4平行线的性质与判定（必考）》 概念 在同一平面内，如果直线a与直线b不相交，我们就说直线a与b互相平行，记作a仍 平行公理 经过直线外一点，有且只有④⑦ 条直线与这条直线平行 若ac,b/c,则a⑧ b. 推论 【知识拓展】在同一平面内，若a⊥c,b⊥c,则a% 两线平是69 如图，a/%曰∠1=⑤0 平行线的性 两直线平行警内猎角 如图，a/B曰∠4=⑤2 质与判定 两线平是 同旁内角3 如图，a/曰∠3+∠2=④ 两条平行线 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离 之间的距离 性质：两条平行线之间的距离处处相等 【思维拓展】利用平行线求角度时常见的辅助线作法 作法1：过拐 点作平行线 作法2：从拐点 处延长相交 '2C 结论 LABC=⑤5 ∠ABC=6 ∠ABC=⑤ 考点即时练 6如图，点E在BC的延长线上，下列结论正确的是 (填序号) 3 B C E ①若∠1=∠2，则AD∥BC:②若∠3=∠4，则AD∥BC:③若AD∥BC,则∠B=∠DCE;④若AB∥CD, 则∠1+∠3+∠D=180°：⑤若∠D=∠DCE,则AD∥BC. 55 7(2023河北15题改编)如图1和图2中的两组水平线均互相平行，其他角的度数如图中标注，则 图1中∠1= °，图2中∠2= 0 1009 40 60° 60 图1 图2 考点5命题与定理(2021.13) 类型 概念 命题 判断一件事情的语句叫作命题.命题由题设和结论两部分组成 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫作真命题 假命题 如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫作假命题 有两个命题，如果一个命题的题设是另一个命题的结论，且这个命题的结论是另一个命题 逆命题 的题设，把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题 有些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫作定理.定理也可以作为继续 定理 推理的依据 反例 判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了 证明一个命题是真命题时，可以用反证法，假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛 反证法 盾，由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立 )考点即时练 8(人教七下P24T12改编)能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是 30° 309 30° 40° 409 30P 30° 309 A B C 9用反证法证明“若1a≠1bl,则a≠b”.补全下面证明过程. 证明：假设 则lal 1b1, 这与已知“|a≠1b1” 56第14节反比例函数及其应用 ①> ② ③二、四④每个象限 ⑤减小⑥每个象限⑦增大⑧k⑨原点①y=-x ①Ik1 例1B【技巧点拨】>；<；>；> 例22：(-3，-1)和(1,3)【技巧点拔】一、二、三；一、三； 2;x2+2x-3=0;>;两个不相等；2 例3-3<x<0或x>1x<-3或0<x<1 【技巧点拨】<；>；<；>；-3<x<0或x>1;x<-3或0<x<] 考点即时练 1.(1)k>0:(2)①ADEF;②-3<y<0:x>0或x≤-6； (3)y2>y3>y1 2.D 3.(1)4:24:(2)6:13:2(3)7;号 4(1)y=2:(2)=-3 5.(-1,2) 6(1)反比例函数的表达式为)=-12 x 3 一次函数的表达式为)=之+3. (2)S△40B=9.(3)-2<x<0或>4. 7.C8.C 第15节二次函数的图象与性质、图象与系数的关系 ①上②下③x=名④=h⑤x- ⑥(-64c6)⑦(h,k)⑧'2⑨小00大 2 ①减小2增大3左侧④右侧⑤>06<0 m=08-力>0⑩异号④c=0①<0 2a 22b2-4ac<0 考点即时练 1.12.(5.0) 3.(1)下；x=1;2:(-1,0)和(3,0)；(0,3)；大；大；4；(1,4) (2)y=-(x-1)2+4;y=-(x+1)(x-3); (3)作图略.(4)增大：3：(5)<；< 4.②3④5⑧0 第16节二次函数解析式的确定、图象的 变换、与一元二次方程的关系 ①a(x-h)2+k②a(x-x1)(x-x2) ③a(x-m)2+b(x-m)+c④ax2+bx+c+m⑤ax2+bx+c-m 例(1)1：y=(x+1)2+2:(-1,2): (2)1:(-1,7):y=(x+1)2+7;x+2x+3+5:x2+2x+8: -1;(-1,-2);y=-(x+1)2-2: 1;(1,2);y=(x-1)2+2:y=(-x)+2(-x)+3;y=x2 4 2x+3: -1;(1,-2);y=-(x-1)2-2;-y=(-x)2+2(-x)+3;y= -x2+2x-3: -1:(-1,2):y=-(x+1)2+2 考点即时练 1.(1)二次函数的解析式为y=x2+2. (2)二次函数的解析式为y=-17x2-34x-8. （3)二次函数的解折式为)子+3x+12 (二次函数的解折式为子-5 (5)二次函数的解析式为y=5x2+20x+15. (6)二次函数的解析式为y=-x2+4x-3. 2.(1)1:下：2：(2)5 3.解：由题意得，平移得到的抛物线解析式为y=-x2+2x-3+m, .22-4×(-1)×(-3+m)=0,解得m=2. 4.(1)x1=-3,x2=0;(2)2;(3)x1=-3,x2=1;(4)-3<x<1 5(1)6或-2：(2)-2 第17节二次函数的实际应用 1.【审题】(0,0)；(4,4)；相同；横；纵；交点；纵；≥ ()抛物线L的解析式为y=子(x-4)+4 (2)①点A的横坐标为8. ②反弹后的小球不经过点(13,2).理由略. (3)xs≥10. 2.【审题】2x+y;xy;≤ (1)y与x的函数关系式为y=30-2x(6≤x<15), S与x的函数关系式为S=-2x2+30x(6≤x<15). (2)当S=100m2时，垂直于墙的一边长为10m. (3)当垂直于墙的一边长为8m时，这个矩形劳动实践基 地的面积最大，这个最大值为112m2. 【变式设问】S=-2x2+31x(6≤x<15) 3.(1)10x:(300+10x):(150-x):(150-x-100). (2)W=-10x2+200x+15000. (3)当每盒售价降低10元时，公司每天所获利润最大，最 大利润为16000元. (4)当每盒售价降低20元时，公司每天所获利润最大，最 大利润为15000元. 第四章三角形 第18节线段、角、相交线与平行线（含命题） ①两②线段③BC④AC⑤BC⑥AC⑦AB⑧MB ⑨1 2 ⑧NB ·22B3④55°590° 1690°<a<180°714824990°2①180°0相等 ②相等3相等④距离相等5B0C52 PN ⑧垂线段②四相等团距离相等团12=3= ①∠1或∠3180°∠3⑦∠48相等③9∠5 4④∠6①∠74②∠8∠8④∠545∠546∠8 ④⑦一8∥④9相等⑤0∠2①相等2∠33互补 厨180°质∠1+∠2⑤6360°-∠1-∠2⑤⑦L2-∠1 考点即时练 1.(1)两点确定一条直线：(2)两点之间，线段最短 2（12或4：(2)21或2，(31或2 3.(1)85.46;锐角；(2)4.54：94.54：(3)42.73； (4)2:(5)①②3④ 4.(1)25°；155°：(2)同旁内角：同位角：内错角 5.16.②④⑤7.40：208.A 9.a=b:=:矛盾：a≠b 第19节三角形的分类及其基本性质 ①90°②>③<④大于⑤小于⑥180⑦180 ⑧B⑨不相邻0和①>②>B大于 考点即时练 1.C2.D3.A 4.(1)1<AC<5:(2)120:钝角：(3)85：锐角 5.76.120° 第20节三角形中的重要线段 ⑦相等 1 ⑧中点⑨BC0 ①ah2=3=④mn 6号 考点即时练 1.(1)高：6：(2)角平分线；①65°：②15： ③解：AD,CF分别是∠BAC和∠ACB的平分线， LOAC=2LBAC,LOCA=2LBCA, ÷∠C0A=180°-∠01C-∠0CA=180°-2 ∠BAC- 1 1 ∠BCM=180°-2（∠B1C+∠BCA)=180°-7(180°- ∠B)=904分∠R=10 （3)中线；①12；②22 2.1 第21节等腰三角形 ①相等②相等③重合④C⑤相等⑥相等⑦60° 860⑨3 4 1060° 考点即时练 1(1)65;25;(2)①34：224： 边子 2.解：.BO平分∠ABC,∴.∠MB0=∠CBO. .MN∥BC,∴.∠MOB=∠CBO, ∴.∠MB0=∠MOB,.MB=MO 同理，WC=NO. ∴.△AMN的周长为AM+AN+MW=AM+AN+MO+NO=AM+ AN+MB+NC=AB+AC=22. 【变式】18 3.5-1 4.55°或70°【变式1】30°或100°【变式2】35° 5.16cm或14cm【变式】15cm 第22节直角三角形 ①90°②90° ④-半⑤4B⑥15：2 ⑦-半⑧BC⑨AB02h①45°②450 考点即时练 1.D 20305292293)36 3.27或104.2或85.10 6.解：如解图，过点B作BD⊥AC于点D. B A D ·AB=42,∠A=45°，..AD=BD=4 .·BC=5,.CD=√BC2-BD3=3, .AC=AD+CD=7. 1 六Sac=2BD·AC=14 第23节 全等三角形 ①相等②相等③相等④相等⑤相等⑥三边 ⑦夹角⑧夹边⑨对边 考点即时练 1.(1)AB=DE:(2)∠ACB=∠DFE(或AC∥DF); (3)∠A=∠D:(4)AC=DF; (5)证明略 2.证明略。3.证明略.4.证明略。 专项1常见的构造全等三角形的方法 方法1△EDB:△BDE:△CND:△CFD 例1（1)证明：如解图1，延长AD到点G,使得DG=AD,连 接BG. ·D是BC的中点，.BD=CD. 又.∠1=∠2，.△BDG≌△CDA(SAS), ∴.BG=CA,∠G=∠A 又.·∠BED=∠CAD,.∠G=∠BED .∴.BE=BG,∴.BE=AC. 4 B B 0 B D G 解图1 解图2 5