第3章 06-第15节 二次函数的图象与性质、图象与系数的关系-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（河北专用）

第15节二次函数的图象与性质、图象与系数的关系 考点1二次函数的图象与性质（必考） 解析式 般式： 顶点式： 交点式： (三种形式) y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0) y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) a的符号 a>0 a<0 大致图象 (抛物线) 开口方向 开口向① 开口向② 对称轴 直线③ 直线④ 直线⑤ 将x=⑧ 代入解析式，求y 顶点坐标 ⑥ ⑦ 值，从而求得顶点坐标 最值 在对称轴处，y取得最⑨ 值 在对称轴处，y取得最⑩ 值 在对称轴左侧，y随x的增大而① 在对称轴3 ,y随x的增大而增大； 增减性 在对称轴右侧，y随x的增大而② 在对称轴④ ,y随x的增大而减小 【技巧点拔】利用二次函数的性质比较函数值大小的方法 (1)代入比较法：已知函数解析式→将横坐标代入解析式→求得纵坐标→比较大小 (2)增减性比较法：已知图象对称性→将已知，点转化到对称轴同侧→利用增减性比较大小 a>0时，距离越大，对应函数值越大； (3)距离比较法：比较，点到对称轴的距离 a<0时，距离越小，对应函数值越大 考点即时练 1若抛物线过点(-2，m)和(4，m),则抛物线的对称轴为直线x= 2已知抛物线的对称轴为直线x=2.若抛物线与x轴的一个交点的坐标为(-1,0)，则该抛物线与 x轴的另一个交点的坐标为 3已知抛物线y=-x2+2x+3. (1)该抛物线开口向 对称轴是直线 ,与x轴有 个交点，交点坐标 是」 ,与y轴的交点坐标是 有最 (填“大”或“小”)值，最 值为 顶点坐标为 (2)将抛物线的解析式化为顶点式是 化为交点式是 (3)在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线： (4)当x≤0时，y随x的增大而 ,最大值为 (5)若抛物线经过点(-2，a)和(-1，b),则a b:若抛物线经过点 (-3,m)和(4，n),则m n.（填“>”“<”或“=”) 44 考点2二次函数图象与系数的关系 开口向上台→a⑤ ;开口向下→a⑥ 开口方向 【拓展】Ial越大，开口越小；la相同，说明抛物线的开口大小相同； (由a决定)》 抛物线y=ax2和y=-a2(a≠0)关于x轴对称 b 对称轴在)轴左侧台2a<0(即a,6同号)： 对称轴 简记： (由a,b决定) 对称轴是y轴令22二0（即☑ 左同右异 对称轴在y轴右侧→⑧ (即a,bM9 与y轴的交点 与y轴正半轴相交→c>0;过原点→20 (由c决定) 与y轴负半轴相交→① 与x轴有两个交点b2-4ac>0: 与x轴的交点个数 与x轴有一个交点b2-4ac=0,顶点在x轴上； (由b2-4ac决定) 与x轴无交点→2 其他特殊关系 看到24+，比较。和1的大小 看到2，比较多和-1的大小 （先把含a,b,c 看到a+b+c,找当x=1时y的值 看到a-b+c,找当x=-1时y的值 的项移到等式或 不等式的一边) 看到4a+2b+c,找当x=2时y的值 看到4a-2b+c,找当x=-2时y的值 ↓考点即时练 4如图，抛物线y=2+x+e(a≠0)与x轴负半轴交于点(-子，0)，对称轴为直线x=1,则以下结论 中正确的是 .(填序号) ①abc<0; ②a-b+c>0: ③4a+2b+c<0; ④2a-b>0; ⑤c<0; ⑥b2<4ac; ⑦3a+c=0: ⑧一元二次方程ax2+bx+c-3=0有实数根； ⑨若(-1，y1),(2,y2),(4,y3)都是该抛物线上的点，则y1<y2<y3; ⑩am2+bm≥a+b(m为任意实数). 45第14节反比例函数及其应用 ①> ② ③二、四④每个象限 ⑤减小⑥每个象限⑦增大⑧k⑨原点①y=-x ①Ik1 例1B【技巧点拨】>；<；>；> 例22：(-3，-1)和(1,3)【技巧点拔】一、二、三；一、三； 2;x2+2x-3=0;>;两个不相等；2 例3-3<x<0或x>1x<-3或0<x<1 【技巧点拨】<；>；<；>；-3<x<0或x>1;x<-3或0<x<] 考点即时练 1.(1)k>0:(2)①ADEF;②-3<y<0:x>0或x≤-6； (3)y2>y3>y1 2.D 3.(1)4:24:(2)6:13:2(3)7;号 4(1)y=2:(2)=-3 5.(-1,2) 6(1)反比例函数的表达式为)=-12 x 3 一次函数的表达式为)=之+3. (2)S△40B=9.(3)-2<x<0或>4. 7.C8.C 第15节二次函数的图象与性质、图象与系数的关系 ①上②下③x=名④=h⑤x- ⑥(-64c6)⑦(h,k)⑧'2⑨小00大 2 ①减小2增大3左侧④右侧⑤>06<0 m=08-力>0⑩异号④c=0①<0 2a 22b2-4ac<0 考点即时练 1.12.(5.0) 3.(1)下；x=1;2:(-1,0)和(3,0)；(0,3)；大；大；4；(1,4) (2)y=-(x-1)2+4;y=-(x+1)(x-3); (3)作图略.(4)增大：3：(5)<；< 4.②3④5⑧0 第16节二次函数解析式的确定、图象的 变换、与一元二次方程的关系 ①a(x-h)2+k②a(x-x1)(x-x2) ③a(x-m)2+b(x-m)+c④ax2+bx+c+m⑤ax2+bx+c-m 例(1)1：y=(x+1)2+2:(-1,2): (2)1:(-1,7):y=(x+1)2+7;x+2x+3+5:x2+2x+8: -1;(-1,-2);y=-(x+1)2-2: 1;(1,2);y=(x-1)2+2:y=(-x)+2(-x)+3;y=x2 4 2x+3: -1;(1,-2);y=-(x-1)2-2;-y=(-x)2+2(-x)+3;y= -x2+2x-3: -1:(-1,2):y=-(x+1)2+2 考点即时练 1.(1)二次函数的解析式为y=x2+2. (2)二次函数的解析式为y=-17x2-34x-8. （3)二次函数的解折式为)子+3x+12 (二次函数的解折式为子-5 (5)二次函数的解析式为y=5x2+20x+15. (6)二次函数的解析式为y=-x2+4x-3. 2.(1)1:下：2：(2)5 3.解：由题意得，平移得到的抛物线解析式为y=-x2+2x-3+m, .22-4×(-1)×(-3+m)=0,解得m=2. 4.(1)x1=-3,x2=0;(2)2;(3)x1=-3,x2=1;(4)-3<x<1 5(1)6或-2：(2)-2 第17节二次函数的实际应用 1.【审题】(0,0)；(4,4)；相同；横；纵；交点；纵；≥ ()抛物线L的解析式为y=子(x-4)+4 (2)①点A的横坐标为8. ②反弹后的小球不经过点(13,2).理由略. (3)xs≥10. 2.【审题】2x+y;xy;≤ (1)y与x的函数关系式为y=30-2x(6≤x<15), S与x的函数关系式为S=-2x2+30x(6≤x<15). (2)当S=100m2时，垂直于墙的一边长为10m. (3)当垂直于墙的一边长为8m时，这个矩形劳动实践基 地的面积最大，这个最大值为112m2. 【变式设问】S=-2x2+31x(6≤x<15) 3.(1)10x:(300+10x):(150-x):(150-x-100). (2)W=-10x2+200x+15000. (3)当每盒售价降低10元时，公司每天所获利润最大，最 大利润为16000元. (4)当每盒售价降低20元时，公司每天所获利润最大，最 大利润为15000元. 第四章三角形 第18节线段、角、相交线与平行线（含命题） ①两②线段③BC④AC⑤BC⑥AC⑦AB⑧MB ⑨1 2 ⑧NB ·22B3④55°590° 1690°<a<180°714824990°2①180°0相等 ②相等3相等④距离相等5B0C52 PN ⑧垂线段②四相等团距离相等团12=3= ①∠1或∠3180°∠3⑦∠48相等③9∠5 4④∠6①∠74②∠8∠8④∠545∠546∠8