第2章 03-第8节 一元二次方程及其应用-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（河北专用）

当x=1时，原式=2×1+8=10. 第二章方程（组）与不等式（组） 第6节一次方程（组）及其应用 例12(3x-1)=6-(4x-1);6x-2=6-4x+1: 6x+4=6+1+2:10x=9:x=9 10 例2(1)y=2x-4;3x+2(2x-4)=-1;x=1;x=1;y=-2; x=1, x=1, {y=-2(2)8x=8w=1=1y=1:{ y=1 例3(1)+2=28， {2x+y=32(2)(1+60%)ax0.9-a=44: (3)630 15(4) x+y=60, 200x=2×50y 考点即时练 1.C2.2x=y 3.(1)x=-8.(2)x=1. 4.(1)-1;(2)3;(3)a>3:(4)2 5.解法1：x=3-23-2-2=1y=2=2 11 x=2, 解法2：2x=4=23x=2y=2= 1 x=2 解法3：4y=2;y= 2y= 2t=2: y=2 6.(1)当a=1时，x+y的值为2. (2)a=3. (3)由题意，得+5=3a+7, sq-1 2 解得 (x-3y=-a-5, 2· ÷yx=a43a- -=2 22 .无论a为何值，y的值始终比x的值大2. 7.53 8.这架飞机无风时的平均速度为765km/h,风速为 15 km/h. 9.午餐含甲原料30克，乙原料20克恰好能满足一个初中学 生的身体需要 第7节分式方程及其应用 例1x+1;x-3+x+1=x+2;x=4;x=4;x+1≠0；x=4 例2(1)2000.3000 3+50200-300:(3)8=81 x2.5x4 考点即时练 1.(1)；. 1 (2)习题1：原式 x+1 2 习题2：原分式方程的解为x=2 1 2 2.(1)x=5(2)1;(3)1或3：(4)2或4或5： (5)m<3且m≠1 3.m的值为5. 第8节一元二次方程及其应用 ①是②不是③3④-2⑤-1 例1(1)x1=-1,x2=-3: (2)x2+4x-3=0:x2+4x=3;x2+4x+4=3+4;x+2;7; x1=-2+√7，x2=-2-√7； (3)x2+4x-12=0;1;4;-12;42-4×1×(-12)=64>0; -4±√64 =-2±4：x1=2,x2=-6; 2×1 (4)x1=0,x2=2 ⑥-n±5⑦-6±V-4ac ⑧a⑨b⑩不相等 2a ①相等卫没有B-b ④C⑤≠0≥ 例2(1)2.5(1+x)2=3.6:【变式】3200(1-x)2=1568; (21+xx(1+x)=121:(3)xx--36: 2 (4)x(x-1)=870:(5)x[120-0.5(x-60)]=8800 da(1+x)2⑧a(1-x）29a(1+x)2②0n(m-l） 2 @n(n-1）2x·b 考点即时练 1.(1)m≠-1：(2)-1；(3)x;1;-3x;-3:2 2.(1)x1=-1+W2,x2=-1-√2. (2)x1=0,x2=3. (3)x1=1+√5，x2=1-√5. (4)x1=-2,x2=2. 3.(1)甲同学的解答过程是从第一步开始出现错误的，乙同 学的解答过程是从第二步开始出现错误的： (2)x1=3,x2=6. 4(1m<g且m≠-1：(2)尽：(3)m>g:(4)n≤g且 1 m≠-1：(5)m≤g;(6)有两个不相等的实数根 5.(1)013:27:③3：④5；⑤5：(2)6 7 6.(1)道路的宽度为2m (2)道路的宽度应设计为5m. 第9节一元一次不等式（组）及其应用 ①>②>③>④<⑤<⑥改变 例1x>6-2(2-x):x>6-4+2x;x-2x>6-4;-x>2;x<-2 ⑦公共⑧x>a⑨x≤a0x≥a①x>a2x<b B弘<x<a④无解5实心圆点⑥空心圆圈⑦左 8右第8节一元二次方程及其应用 考点1一元二次方程的相关概念及一般形式 只含有一个未知数，并且未知数的 举例：x2+2=0① 元二次方程；2x2+3x-1= 概念 最高次数是2的整式方程 2(x2-4)② 元二次方程（填“是”或“不是”）》 二次项系数 →一次项系数 一般 举例：方程3x2-2x=1的二次项系数是③ 次项系 形式 ax2+bx+c=0(a≠0) 数是④ ,常数项是⑤ 二次项一次项常数项 【特别提醒】若题目中有“一元二次方程a2+bx+c=0”,则必然隐含着a≠0这一条件.若未说明方程类 型，则需分a=0时是一元一次方程和a≠0时是一元二次方程两种情况讨论 ↓考点即时练 1已知关于x的方程(m+1)x2-3x+2=0. (1)若该方程是一元二次方程，则m的取值范围是 (2)若该方程是一元一次方程，则m的值是 (3)若m=0,则该方程的二次项是 ,二次项系数是 。一次项是 一次项 系数是 常数项是 考点2一元二次方程的解法（多在实际应用或二次函数中考查） 例1求下列方程的解： 【方法总结】基本思想：降次，即将二次方程化为一 (1)方程(x+2)2-1=0的根为 次方程 (2)用配方法解方程：2x2+8x-6=0. (1)直接开平方法：形如(x+n)2=p(p≥0)的根 解：二次项系数化为1，得 为x=⑥ 移项，得 (2)配方法：适用于二次项系数化为1后，一次项 配方，得 ,即( 系数为偶数的方程； 解得 (3)公式法：适用于所有一元二次方程，应先将方 (3)用公式法解方程：x2+4x=12. 程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)， 解：将方程化为一般形式，得 方程的解为x=⑦ 原方程中，a= ,b= ,C= (4)因式分解法：先将等号右边的式子全部移到左 b2-4ac= 边，再分解因式.方程(x-a)(x-b)=0的根为x,= 由求根公式，得x= ⑧ 2=⑨ 即方程的解为 (5)解法选择（优先顺序）： (4)用因式分解法解方程：x2=2x. 直接开平方法→因式分解法→配方法→公式法 【特别提醒】用因式分解法解一元二次方程时，若 等号两边有含相同未知数的因式，勿直接约去公 因式，避免漏解 21 考点即时练 2请用合适的方法解下列方程： (1)x2+2x-1=0: (2)x2-3x=0: (3)x2-2x=4; (4)x2-4=0. 3习题课上，数学老师展示了一道习题及两位同学错误的解答过程： 解方程：x(x-3)=2(x-3)2 甲同学： 乙同学： 解：方程两边同时除以(x-3), 解：移项，得x(x-3)-2(x-3)2=0.…第一步 得x=2(x-3). 。第一步 分解因式，得(x-3)(x-2x-6)=0.…第二步 去括号，得x=2x-6.… 第二步 则x-3=0或x-2x-6=0,… 第三步 移项、合并同类项，得x=6.… 第三步解得x1=3,x2=-6. 第四步 (1)分别写出甲同学、乙同学的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)请你写出正确的解答过程. 考点3一元二次方程根的判别式(10年4考) 根的判别式△=b2-4ac与方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系： (1)△>0曰方程有两个⑩ 的实数根： (2)△=0台方程有两个① 的实数根； (3)4<0方程② 实数根 【特别提醒】在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，那么要加上二次项系数不为0这 个限制条件 22 ↓考点即时练 4(冀教九上P42B组T1改编)已知关于x的方程(m+1)x2-3x+2=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 (2)若该方程有两个相等的实数根，则m的值是 (3)若该方程没有实数根，则m的取值范围是 (4)若该方程有两个实数根，则m的取值范围是 (5)若该方程有实数根，则m的取值范围是 (6)若m<-1,则该方程的根的情况是 考点4一元二次方程根与系数的关系(2025.624) 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么x,+比2=B 比1x2=④ 【特别提醒】使用一元二次方程根与系数的关系的前提：(1)a⑤ 0:(2)46 0 ↓考点即时练 5已知关于x的一元二次方程x2-3x+k=0的两个实数根分别为x1,x2 (1)若k=1,则： ①x1x2= ,X1+X,= 11 ②x+x= ;③1+1= X1 x2 ④(x,+1)(x2+1)= :⑤1x1-x2|= (2)若x1=3x2,则k的值为 考点5 一元二次方程的实际应用(2024.9,2020.23) 例2根据下列实际问题列方程： 【技巧点拨】常见数量关系： (1)[变化率问题]某店月销售额从一月份的2.5万元增 (1)变化率问题：变化率 变化量 长到三月份的3.6万元.设这两个月的月平均增长率 基础圣×100% 为x,则 设a为原来的量，b为变化后的量.若平均 变式一“增长”变“下降”某种品牌的手机经过四、五月 增长率为x,增长次数为2，则b=⑦ 若平均下降率为x,下降次数为2，则b= 份连续两次降价，每部售价由3200元降到了1568元.设平 ⑧ 均每月降价的百分率为x,则 (2)病毒传播问题：若初始数据为a,每次 (2)[病毒传播问题]有一个人患了流感，经过两轮传染后 传播x个，则第一轮后共有a(1+x)个，第 共有121个人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了 二轮后共有四 个 x个人，则 (3)握手、单循环赛问题：若共有n人，则握 (3)[单循环赛问题]某中学组织篮球比赛，赛制为单循环 手（单循环赛）总次数为②四 形式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛，若设共 有x支队伍参加比赛，则 23 (4)[互赠礼物问题]联欢会上，每位同学向其他同学赠送 (4)互赠礼物问题：若共有n人，则送礼物 1件礼物，结果共有互赠礼物870件.设参加联欢会的 总份数为@ 同学有x人，则 (5)每每问题：单价每涨a元，少卖b件，则 (5)[每每问题]一学校为了绿化校园环境，向某园林公司 涨价x元时，少卖的数量为② 件 购买了一批树苗.园林公司规定：如果购买树苗不超过60 棵，每棵售价为120元：如果购买树苗超过60棵，在一定范 围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5 元若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共 购买了x棵树苗，则 考点即时练 6某校园内有一块长为40m,宽为30m的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路，剩余部分 种上草坪 (1)如图1，测得草坪的面积是1064m2,求道路的宽度； (2)学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两 竖等宽的道路（横、竖道路各与矩形的一条边平行），如图2所示，剩余部分建为学生综合实践种 植园，如果要使种植园的面积是场地面积的二分之一，道路的宽度应设计为多少？ 图1 图2 24