第2章 02-第7节 分式方程及其应用-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（河北专用）

第7节 分式方程及其应用 考点1分式方程的相关概念与解法(2023.18,2020.9) 概念 分母中含有未知数的方程 基本思想：化分式方程为整式方程 一般步骤： 等于0，则x=a 分式方 检验 是方程的增根 程无解 解整式 x=0 整 代入最简不等于0，则 式 去分母 式 方程 公分母 解法 乘最简 x=a是方程的根 程 公分母 程 无解 分式方程无解 【特别提醒】分式方程有增根和无解并非同一概念： (1)分式方程的增根是去分母后的整式方程的解，也是使分式方程的最简公分母值为0的解； (2)分式方程无解包含两种情况：①分式方程有增根：②去分母后的整式方程无解 例1 1+2 解方程，-3 【特别提醒】 x+1 1+x (1)最简公分母与分母互为相反数时 解：方程两边同乘 得 注意符号； 示例 解得 (2)去分母时，整式部分（含常数项）不 检验：当 时， 要漏乘最简公分母； .原分式方程的解是 (3)不要忘记检验 )考点即时练 1习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 +1+1, 习题2：解方程 1x=1, 解：原式=x(+1)2 解：x2-x(x+1)=1… 第一步 第一步 x+1x+1 x2-x2-x=1… 第二步 =2x2+1 X=-1… 第三步 第二步 x+1x+1 检验：当x=-1时，x+1=0, 第三步 .x=-1是原方程的增根， x+1 .原方程无解 …… 第四步 (1)习题1的解答过程从第 步开始出错，习题2的解答过程从第 步开始出错； (2)分别写出习题1,2的正确的解答过程. 19 2关于x的分式方程mx-1 =3 x-1 (1)当m=-2时，该方程的解为 (2)若该方程有增根，则m的值为 (3)若该方程无解，则m的值为 (4)若该方程的解为整数，则m的值为 (5)若该方程的解为正数，则m的取值范围是 考点2分式方程的实际应用(2016.12) 一般步骤：实际问题 找等量关系列分式方程 设未知数 解方程→双检验一答 【特别提醒】双检验：(1)检验所得解是否是所列分式方程的解；(2)检验所得解是否符合实际意义 例2根据下列实际问题列方程： 【技巧点拨】常用数量关系： (1)[购买问题]随着电影《哪吒2》的热映，其哪吒相 (1)购买问题： 关书籍的销量也急剧上升.某书店分别用2000元和 3000元两次购进该书籍，第二次购进数量比第一次 第一次总费用第二火总费用=数量差（或两次 第一次单价第三次单价 多50套，两次进价相同.设该书店第一次购进x套， 数量之间的和差倍分关系)； 则 (2)工程、生产问题： (2)[工程、生产问题]师傅和徒弟两人每小时共做 工作总量 40个零件，在相同时间内，师傅做了300个零件，徒 原计划每天完成的数量 弟做了100个零件.师傅每小时做了多少个零件？ 工作总量 =提前完成的 若设师傅每小时做了x个零件，则 提高工作效率后每天完成的数量 (3)[行程问题]嘉淇乘电动汽车比乘公交车上学所 天数； 需的时间少15分钟，已知电动汽车的平均速度是公 (3)行程问题： 交车的2.5倍，嘉淇家到学校的距离为8千米.若设 总路程总路程 甲的速度乙的速度乙比甲提前到的时间 乘公交车平均每小时行驶x千米，则 考点即时练 3嘉淇发现自己在单位时间内可完成m页A书籍的阅读或完成(7-m)页B书籍的阅读，并且阅读 25页A书籍所用时间与阅读10页B书籍所用时间相同，求m的值 20当x=1时，原式=2×1+8=10. 第二章方程（组）与不等式（组） 第6节一次方程（组）及其应用 例12(3x-1)=6-(4x-1);6x-2=6-4x+1: 6x+4=6+1+2:10x=9:x=9 10 例2(1)y=2x-4;3x+2(2x-4)=-1;x=1;x=1;y=-2; x=1, x=1, {y=-2(2)8x=8w=1=1y=1:{ y=1 例3(1)+2=28， {2x+y=32(2)(1+60%)ax0.9-a=44: (3)630 15(4) x+y=60, 200x=2×50y 考点即时练 1.C2.2x=y 3.(1)x=-8.(2)x=1. 4.(1)-1;(2)3;(3)a>3:(4)2 5.解法1：x=3-23-2-2=1y=2=2 11 x=2, 解法2：2x=4=23x=2y=2= 1 x=2 解法3：4y=2;y= 2y= 2t=2: y=2 6.(1)当a=1时，x+y的值为2. (2)a=3. (3)由题意，得+5=3a+7, sq-1 2 解得 (x-3y=-a-5, 2· ÷yx=a43a- -=2 22 .无论a为何值，y的值始终比x的值大2. 7.53 8.这架飞机无风时的平均速度为765km/h,风速为 15 km/h. 9.午餐含甲原料30克，乙原料20克恰好能满足一个初中学 生的身体需要 第7节分式方程及其应用 例1x+1;x-3+x+1=x+2;x=4;x=4;x+1≠0；x=4 例2(1)2000.3000 3+50200-300:(3)8=81 x2.5x4 考点即时练 1.(1)；. 1 (2)习题1：原式 x+1 2 习题2：原分式方程的解为x=2 1 2 2.(1)x=5(2)1;(3)1或3：(4)2或4或5： (5)m<3且m≠1 3.m的值为5. 第8节一元二次方程及其应用 ①是②不是③3④-2⑤-1 例1(1)x1=-1,x2=-3: (2)x2+4x-3=0:x2+4x=3;x2+4x+4=3+4;x+2;7; x1=-2+√7，x2=-2-√7； (3)x2+4x-12=0;1;4;-12;42-4×1×(-12)=64>0; -4±√64 =-2±4：x1=2,x2=-6; 2×1 (4)x1=0,x2=2 ⑥-n±5⑦-6±V-4ac ⑧a⑨b⑩不相等 2a ①相等卫没有B-b ④C⑤≠0≥ 例2(1)2.5(1+x)2=3.6:【变式】3200(1-x)2=1568; (21+xx(1+x)=121:(3)xx--36: 2 (4)x(x-1)=870:(5)x[120-0.5(x-60)]=8800 da(1+x)2⑧a(1-x）29a(1+x)2②0n(m-l） 2 @n(n-1）2x·b 考点即时练 1.(1)m≠-1：(2)-1；(3)x;1;-3x;-3:2 2.(1)x1=-1+W2,x2=-1-√2. (2)x1=0,x2=3. (3)x1=1+√5，x2=1-√5. (4)x1=-2,x2=2. 3.(1)甲同学的解答过程是从第一步开始出现错误的，乙同 学的解答过程是从第二步开始出现错误的： (2)x1=3,x2=6. 4(1m<g且m≠-1：(2)尽：(3)m>g:(4)n≤g且 1 m≠-1：(5)m≤g;(6)有两个不相等的实数根 5.(1)013:27:③3：④5；⑤5：(2)6 7 6.(1)道路的宽度为2m (2)道路的宽度应设计为5m. 第9节一元一次不等式（组）及其应用 ①>②>③>④<⑤<⑥改变 例1x>6-2(2-x):x>6-4+2x;x-2x>6-4;-x>2;x<-2 ⑦公共⑧x>a⑨x≤a0x≥a①x>a2x<b B弘<x<a④无解5实心圆点⑥空心圆圈⑦左 8右