精品解析：黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

2025~2026学年度高一年级第二学期开学考试 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角，则角为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数图象的相邻两个对称中心的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 某公司为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该公司2025年全年投入科研经费1700万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该公司全年投入的科研经费开始超过2500万元的年份是（ ） （参考数据：，，） A. 2027年 B. 2028年 C. 2029年 D. 2030年 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数满足：，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为周期函数 C. 为偶函数 D. 关于的方程恰有5个解 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象是中心对称图形 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 若，且，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 13. 已知，且，则的最大值为__________. 14. 已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的值； （2）若是第一象限角，且，求的值. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若，且，求的值. 17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集； （3）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若满足，求的最小值. 18. 已知函数，函数. （1）求的定义域； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若，使得成立，求的取值范围. 19. 已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数. （1）求的解析式； （2）已知函数. （i）证明：函数有且只有一个零点； （ii）记函数的零点为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网组卷网 2025~2026学年度高一年级第二学期开学考试 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚， 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应 题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知角a=-1670°，则角a为() A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得a=130°-5×360°，进而判断角所属象限即可 【详解】已知角u=-1670°，所以a=-1670°=130°-5×360°，故角a为第二象限角. 故选：B 2.已知集合A={-2,0,2,3,5, 则A∩B=() A.{5列 B.{-2,5 C.{-2,3,5 D.{-2,0,3,5 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求出集合B,结合交集的概念求解即可 第1页/共17页 学科网组卷网 因为A={-2,0,2,3,5}，所以A∩B={-2,3,5} 故选：C 3.若函数f(x)=tan(ox+p)(o>0)图象的相邻两个对称中心的距离为，则o=() 8 A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得该函数周期，即可得⊙ 【详解】因为函数f(x=tan(ox+p)(o>0)图象的相邻两个对称中心的距离为 P 所以(x)的最小正周期T=2×石=不，又T=正=买，所以0=4 84 04 故选：C 4.已知sin 11 A. 25 B、31 25 c岩 31 D 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式及同角三角函数关系，将Cos 13π+ cos 转化为cos2 5π-g 122 122 sin 5π 122 即可求解. 【详解】因为sin 所以cos2 +}m竖}os-(倍】or倍+ (语-[（倍+） 第2页/共17页 可学科网 丽组卷网 故选：D 5.已知a,B∈R,则“a≠B”是“sina≠sinβ”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举反例即可求解充分性，根据正弦函数的性质即可求解必要性 【详解】若a5B元。此时aB,但是sina=snB),故"Q毛B”不是“sna≠sinB”的 6 6 充分条件： 若sin≠sinB,由函数的定义知，若a=B,则必有sina=sinB,而sino≠sinB时，能推出a≠B, 故“a≠阝”是“sina≠sinB”的必要条件 综上，“a≠B”是“sina≠sinB”的必要不充分条件 故选：B 6.某公司为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该公司2025年全年投入科研经费1700万元， 在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长13%，则该公司全年投入的科研经费开始超过2500万元 的年份是（) (参考数据：1gl.13≈0.05,1gl.7≈0.23，lg2≈0.30) A.2027年 B.2028年 C.2029年 D.2030年 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出函数关系式，结合对数函数知识解不等式即可 【详解】取2026年是第1年，根据题意得第n年该公司全年投入的科研经费为1700×(1+13%)”. 1700x1+136>2500,即1.T3”>7,即1.13”>2 1.7 2.5 两边取对数可得：1gl.13”>lg nlg1.13 1g2.5-1g1.7, 1.7 则n>1-21g2-1817、1-2×0.30-0.23=34. Igl.13 0.05 则第4年，即2029年该公司全年投入的科研经费开始超过2500万元. 第3页/共17页 耐学科网 可组卷网 故选：C 7.函数f(x)=V-sinx+1+sinr的值域为() 2] B [a c.[1,2] D.[2,2] 【答案】D 【解析】 【分析】将表达式平方并利用余弦函数值域即可求出函数f(x)的值域 【详解】因为V1-sinx≥0，V1+sinx≥0，所以f(x)≥0， [f(x)2=(v1-sinx+1+sinx)2=2+2(1-sinx)(1+sinx)=2+2v1-sin2x=2+2 cosx, 又0≤cosx≤1，所以2≤[f(x)]≤4，所以V2≤f(x)≤2， 即函数f(x)的值域为[V反，2] 故选：D 8.若a·2=b1ogb=c31og5c=1,则（) A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<c<b 【答案】A 【解析】 【分析】先由指数函数、对数函数的基本性质判断α、b、c的大致范围，据此可以得到a与b、c的大小关 系，再根据b1gb=eog,0e=1可得1og-方lg,e=,将其转化为y=x>0与 y=log3x,y=logsx的交点问题即可判断b、c的大小. 【详解】因为a.2=1,而当a≥1时，a.2>1,当a≤0时，a.2≤0，所以0<a<1, 因为b10gb=1,而当0<b≤1时，b31ogb≤0，所以b>1, 因为c1ogsc=1,而当0<c≤1时，c1ogsc≤0，所以c>1, 1 由b1log,b=c1log,c=l,得log,b=51o8,c=。, 所以b为y=1ogx和y=x>0)图象交点的横坐标， 第4项/共17页 命学科网丽组卷网 C为y=log,r和y=。(x>0)图象交点的横坐标， 在同一个平面直角坐标系作出y=1og,xy=1og,x和y=二(x>0)的图象，如图所示。 (x>0) y=log,x v=logsx 由图可得c>b>1,综上，a<b<c. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若a>b,c>d,则() A.ac2>bc2 B.a3>b3 C.ac xbd D.a-d>b-c 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例即可求解AC,利用作差法即可求解B,利用不等式的性质即可求解D. 【详解】对于A,当C=0时，显然不成立，故A错误； 故B正确； 对于C,当a=1,b=0,c=-1,d=-2满足a>b,c>d,但是ac=-1,bd=0,故ac<bd,故C错误； 对于D,因为c>d,所以-d>-c,而a>b,所以a-d>b-c,故D正确 故选：BD 10.己知函数f(x)满足：x∈R,f(x+1)f(x)=2,且当x∈[0,1时，f(x)=2+",则下列说法正确的 是() A.a=1 第5页/共17页 命学科网丽组卷网 B.f(x)为周期函数 C.f(x)为偶函数 D.关于x的方程f(x)=log3x恰有5个解 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用f(x+1fx=2及x∈0,1的表达式求a判断A,依据f(x+1)f(x)=2推出周期判断 B,再求x∈[-1，O)表达式判断奇偶性以判断C,作函数图象判断方程解的个数以判断D. 【详解】在∫(x+1)fx=2中， 令x=0,得f(1f(0)=2, 又当x∈0,1时，f(x)=2+a, 所以f(0)=2,f(1)=2+“, 所以f(0)f(1=2°.2+a=2201=2, 解得a=0,故A错误； 由fx+1fx=2,得fx)≠0，fx+2)fx+1)=2, 所以fx+2)=fx), 所以f(x)是周期为2的周期函数，故B正确； 2 2 当xl.0时，f=+22 又f(0)=1,显然当x∈[-1，时，函数f(x)为偶函数， 又因为函数∫(x)的周期为2， 所以函数f(x)是实数集上的偶函数，故C正确； 函数y=f(x),y=log3x的图象如下图所示： 第6页/共17页 可学科网可组卷网 y=f y=log;x 由图可知函数y=fx)的图象与y=log3x的图象有6个交点， 故关于x的方程∫x=l1og3x恰有6个解，故D错误 故选：BC 1已知函数f()=+x+2,g(x=四，则下列说法正确的是《) A.∫(x)的图象是中心对称图形 B.g(x)在(1，+oo)上单调递增 C.当x∈ 元元 2’2 时，f(cosx)<fcos2x) D.若n>m>0,且gm=g(n,则mn<1 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A:结合函数的对称性及图像平移判断即可. 选项B:结合函数的单调性判断即可 选项C:结合函数的单调性及余弦函数的性质判断即可. 选项D:结合作差法及基本不等式求解即可 【详解】因为f(x)-2=x3+x关于原点对称，所以f(x)关于(0,2)对称，所以f(x)的图象是中心对称 图形，故A正确； ==-+2x+月 又y=(x-1),y=x+二均在(1，+oo)上单调递增，所以gx)在(1，+0)上单调递增，故B正确： 易得f(x)在R上单调递增，又当x∈22 时，0<cosx≤1，所以cos2x-c0sx=coSx(cosx-1≤0 第7项/共17页 学科网列组卷网 ，所以cos2x≤cosx,所以fcos2x≤f(cosx),故C错误； 由gm=g小，得m2+2+1=心+21，即(m-n(m+川=2_2_2m= m n n m mn 又n>m>0,所以m+n= 2>2√mm,所以mn<1,故D正确 mn 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 3 12.log19+ 81 4 +2026°= 27 16 17 【答案】 27 【解析】 【分析】利用指数运算、对数运算法则计算可得结果 【详解】易知1og1 16 +2026=10g,3+2 +1=-28 327 27 27 17 故答案为： 27 13.已知m>0,n>0,且m+n=1,则 2m十”。的最大值为 'm2+n m+n2 【答案】3+2V5 3 【解析】 【分析】根据题意利用换元法将原式变为2m+刀，m+1 m2+nm+m2一m+，再由 心-m+1=m+1+3-3,结合基本不等式求解最值即可 m+1 m+1 【详解】由题可得n=1-m,m∈(0,1)， 所 2m+三2m_+1-m m+1 m产+n+m+7m2+1-m+m+0-mm2-m+1' 则m-m+1=(m+1+3-3≥2N5-3,当且仅当m+1=3 m+1 m+1 +1 即m=√3-1时取等号， 第8页/共17页 可学科网可组卷网 所以2m+” m+1 123+3 m2+nm+n2m2-m+123-33 即2m+”的最大值是3+25 m2+n m+n2 3 故答案为： 3+2v5 3 14.已知函数f(x)=cos(sin@x)-1o>0)在区间 ππ 6’4 上恰有两个零点，则⊙的取值范围是 【答案】(4,6 【解析】 【分析】由f(x)在区间 上怡有商个零点，得到)=1在区何（名到 64 上有两个实数解， 得到sin@x=2kπ，k∈Z,由sinox∈-l,1得到sinox=0在 64 上有两个不同的实数解，由x的范 围得到0x的范围，从而得到⊙的不等式组，计算出⊙的取值范围 【详解】函数f(x)=cos(sinox)-l(o>0)在区间 ππ 6’4 上恰有两个零点， 则cos(sinox)=1在区间 6’4 上有两个实数解， 由cos(sinox=1可得sinox=2k元，k∈Z, 又sin@x∈[-l,1],故有sin@x=0在 上有两个不同的实数解， 、6’4 0≤2π 而当xe( A 时，x∈ 64 -0，0 ,所以 6 4 0≥-元 6 解得4<0≤6，即ω的取值范围是(4,6 故答案为：（4,6 第9项/共17页 可学科网可组卷网 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(1)已知tana-3π=3， sin(7π+a-2cos(6r-a的值： sin4π-a）+3cos5π+】 1-tan (2)若o是第一象限角，且sina 5 13’求 2的值 1+tan 2 【答案】q)三(2)？ 6 3 【解析】 【分析】(1)由题意利用诱导公式求得tana的值，再利用同角三角函数的基本关系化简要求的式子，可得 结果 (2)由同角三角函数关系及倍角公式即可求解 【详解】(1)由题意知tana-3π)=tana=3, 所以 sin(x+a)-2cos(6x-a)-sina-2cosa tana+2_3+25 sin4π-a）+3cos5π+a) -sina-3cosa tana+33+36 5 (2)因为sina= ,0是第一象限角， 13 12 易得cosa=V1-sin2a= 13 sin- 1-- 2 2 12 1-tan coS- coS sin 1- 所以 2 “2 2 1-sina 132 12-3 1+tan Sin a Cos a cosa +sin 2 2-sin2 a 1+ 2 2 2 2 13 coS 2 16.已知函数f(x)=√3 sinxcosx+cos (1)求∫x的最小正周期及单调递减区间； (2)若f八2+25 0.π ,且0<<π，求sina的值 【答案】(1)π， +k,3 2π +kπ(k∈Z) 6 第10页/共17页