6.3 一元一次方程的应用（题型专练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

6.3 一元一次方程的应用 题型一、一元一次方程应用-数字问题 1．（24-25七年级下·福建泉州·期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．加密规则如下：明文，，对应的密文分别为，，．例如明文1，，3对应的密文为，，18．若接收方收到密文4，，9，则解密得到的明文为（   ） A．3，0， B．3，，0 C．5，，36 D．4，，3 2．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，例如解“幻方”模型试题．幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为 ． 3．（24-25七年级下·云南红河·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，根据图1中的规律，求出图2中 ． 4．（24-25七年级下·北京丰台·期末）有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则编号记为 的卡片上的数最大． 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 71 48 54 66 59 5．（24-25七年级下·全国·假期作业）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的2倍，如果把这两个数字对调位置，组成一个新的两位数，所得新数与原数的和是，原来的两位数是多少？ 6．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）小刚是个爱动脑筋的同学，他将连续的奇数，，，，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，求十字形框架中的五个数的和．（用含的式子表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于吗？若能，写出这五个数；若不能，请说明理由． 题型二、一元一次方程应用-积分问题 7．（24-25七年级下·河南周口·期中）在世界预防溺水日来临之际，河南省南阳市开展预防溺水主题活动．某校举行了一次安全防溺水知识竞赛，竞赛题目一共30题，记分规则如下：每对一题得5分，每答错或不答一题扣1分，明明一共得90分，则明明答对的题数为（   ） A．20 B．18 C．17 D．16 8．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）为了丰富同学们的课余生活，某学校组织九年级足球比赛，在小组赛环节，每个班级的队伍分为一个组，小组内进行单循环赛，积分规则为：胜一场积分，平一场积分，负一场积分，其中班被分在了组．以下是本次小组赛组的积分表，小组赛结束后，整理数据时，负责登记分数的小明同学发现忘记登记班的积分了，他只记得，组比赛共场，其中只有两场比赛结果是战平，则根据此表，可以推断班的积分是 ． 排名 球队 积分 班 班 班 班 9．（24-25七年级下·北京·期末）四初一年级学生参加有理数计算闯关，闯关共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小于 25 0 100 小王 21 4 76 小李 15 10 40 … … … … (1)根据表格提供的数据，答对1题得 分，答错1题扣 分： (2)参赛者小赵得了64分，求他答对了几道题． 10．（2025·湖南长沙·三模）近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 1 B 4 C 7 D E 0 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分； (2)参赛者得分，他答对了几道题？ (3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明． 题型三、一元一次方程应用-和差倍分问题 11．（2025·福建泉州·二模）在阅读课上，老师把一批文学名著分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本．求该班学生多少人？设该班有学生x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25六年级下·山东青岛·期中）有一户人家，父亲和儿子同一天过生日．若父子两人的年龄加起来是100岁，则称为“百岁父子”．已知父亲38岁时，儿子10岁，现在父亲是儿子年龄的2倍，请解决如下问题： (1)现在父亲多少岁？ (2)再过几年，父子两人可以称为“百岁父子”？ 13．（24-25七年级下·全国·假期作业）世界上最大的蜂鸟是巨蜂鸟，体长是230毫米，比世界上体型最小的鸟类古巴的吸蜜蜂鸟体长的4倍还多30毫米．古巴的吸蜜蜂鸟的体长约是多少毫米？ (1)下面哪幅图正确表达了题目的意思，请将正确的序号填在横线内___________． (2)请列方程解决这个问题． 14．（2025·河北唐山·二模）某校举行跳远能力竞赛，比赛场地从起跳线由近及远共三个得分区域，每个区域对应的分数如图所示，每位选手跳远5次，5次成绩的和为该选手的最终成绩，两位参赛选手的跳远情况如下图. (1)求嘉嘉5次跳远的最终成绩. (2)若淇淇的最终成绩为3分，求x的值. 题型四、一元一次方程应用-古代问题 15．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这是出自我国《孙子算经》中著名的“雉（鸡）兔同笼”问题，设有x只鸡，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 16．（24-25七年级下·河南周口·期中）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短、引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则木长（   ） A．5.5尺 B．6.5尺 C．7.5尺 D．8尺 17．（2025·江苏无锡·二模）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房．问有多少间客房？多少客人？设有x间房，则可列出方程是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·四川成都·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题（注：荡杯即洗碗）：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？”妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？其大意是：一位农妇在河边洗碗．渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只碗．”请问：她家里究竟来了多少位客人？设客人是人，可列方程为（  ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级下·山西临汾·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： 甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程 则下列判断正确的是（　　） A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误 题型五、一元一次方程应用-工程问题 20．（24-25七年级下·全国·假期作业）一项工程，甲单独做要天，乙单独做要天，丙单独做要天，三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了（　　）天假． A．1 B．3 C．5 D．6 21．（24-25六年级下·重庆·自主招生）有一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管．开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水，池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光．如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时．问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？ 22．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 23．（24-25七年级下·四川乐山·期末）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了360亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍． (1)请问一名工人和一架无人机每小时各完成多少亩？ (2)一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成1000亩的打药任务？请说明理由． 24．（24-25七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米． (2)若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数． 题型六、一元一次方程应用-配套问题 25．（24-25七年级下·云南红河·期中）建水某紫陶坊有7名工人，每人每天可以制作茶壶8个或茶杯24个，1个茶壶和4个茶杯配成一套．为使每天制作的茶壶和茶杯刚好配套，设有名工人制作茶壶，余下工人制作茶杯，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 26．（2025·浙江·模拟预测）明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成?”也就是说：有根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管个或笔套个，怎样安排制作笔管或笔套的短竹数量，使制成的笔管数量与笔套数量正好配套?下列说法正确的是（   ） A．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 B．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 C．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 D．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 27．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）某工厂需要生产一批设备，每套设备由一个部件和3个部件组装而成；若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产部件的个数比部件的个数少6个，且每天6个工人生产部件的数量与5个工人生产部件的数量相同． (1)工厂每人每天平均生产部件和部件各多少个？ (2)现共有21名工人，应如何分配工人才能使每天的生产的部件和部件配套？ 28．（24-25六年级下·山东泰安·期中）小红和小军假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有21张白板纸，问最多可做几个包装盒？（用一元一次方程的应用解答） (2)现有33张白板纸，问最多可做几个包装盒？ 为了解决这个问题，小红和小军各设计了一种解决方案： 小红：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖； 小军：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小红和小军设计的方案，谁做出的包装盒最多？ 题型一、一元一次方程应用-收费问题 29．（24-25七年级上·北京·期中）某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过，则每立方米按元收费；若每月每户用水超过，则超过部分每立方米按元收费． (1)李明家上个月用水，他上个月应交水费多少元？ (2)若当月用水量为（），请你用含的式子表示当月所付水费金额； (3)如果王鹏家月份所交水费的平均价为每立方米元，那么王鹏家月份用水多少立方米？请你设未知数列方程完成此问． 30．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）个人所得税征收标准：个人收入不超过5000元的不纳税；个人收入超过5000元的，超过部分按下面的标准征税： 级数 金额 税率 1 不超过3000元部分 2 超过3000元至12000元部分 3 超过12000元至25000元部分 (1)王阿姨的月收入是7000元，她每月应缴纳个人所得税多少元？ (2)某月李叔叔缴纳个人所得税810元，李叔叔的税后收入是多少元？ 31．（24-25七年级下·浙江温州·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 32．（24-25七年级下·全国·假期作业）滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费用项计价方式． 【起步价】包含一定里程和时长 普通时段 5.00元/含2.3千米；含7分钟 00：00～09：00 17：00～00：00 6.00元/含2.3千米；含7分钟 【里程费】超出起步里程后计算 【时长费】超出起步时长后计算 普通时段 1.55元/千米 普通时段 0.30元/分钟 00：00～06：00 23：00～00：00 2.40元/千米 00：00～06：00 23：00～00：00 0.60元/分钟 说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费；超出部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟． (1)李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要支付多少元？ (2)6月14日早上5：30李叔叔又在该平台预约了出行服务，时长6分钟，共支付10.8元，李叔叔本次里程最长多少千米？ 33．（2025·河南信阳·二模）学科实践： 近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决： (1)若汽车充电的总电量为， ①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____； ②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． (2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． 34．（24-25七年级上·广西南宁·期中）某出租车公司推出专车和快车两种出租车，它们的收费方式如下： 专车：千米以内收费元，超过千米的部分每千米收费元，不收其他费用； 快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程千米；里程大于千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过千米的，超出的部分每千米加收元． (1)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付费用多少元？ (2)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付的费用多少元（用含的式子表示）？ (3)如果乘车路程是千米时，使用快车出行的费用比使用专车出行省4元，求的值． 题型二、一元一次方程应用-行程问题 35．（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）甲、乙两车从相距的两地相向而行，经过3小时后相遇，甲的速度：乙的速度，甲的速度是（   ）． A． B． C． D． 36．（23-24七年级下·全国·课后作业）学校组织学生乘汽车去自然保护区，前三分之二路段为平路，其余路段为上坡路，已知汽车在平路上行驶的平均速度为60km/h，在上坡路上行驶的平均速度为40km/h．汽车从学校到自然保护区一共行驶了2.8h，则汽车在平路上行驶的时间是（   ） A． B． C． D． 37．（24-25六年级下·山东东营·期中）如图所示，甲从A点以的速度，乙从B点以的速度，同时沿着边长为的正方形按…的方向行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的 边上．（用大写字母表示） 38．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）“绿波控制系统”就是通过信号控制技术，让车辆在指定的速度下，避免或减少通过多个路口的红灯等待，从而实现道路通行效率最大化的交通信号控制系统．以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数对比： 指标 优化前 优化后 备注 行程总时间 分钟 12分钟 行程总时间红灯等待时间行驶时间， 如：若汽车经过一路段的行程总时间为20分钟，红灯等待时间共计2分钟，则行驶时间为18分钟． 红灯等待次数 7次 1次 单次红灯平均等待时长 为优化前的 行驶速度 500米/分钟 800米/分钟 行驶速度总路程行驶时间 设“绿波控制系统”优化前的单次红灯平均等待时长为t分钟，则t的值为 ． 39．（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）在沿铁路的公路上，甲乙两汽车同时从站向站行驶．甲车每小时行30千米，乙车每小时行45千米，两车同时出发半小时后，一辆列车也从站向站行驶，列车行驶一定时间后分别赶上了两车．列车从追上甲车到完全超过甲车用了9秒钟，从追上乙车到完全超过乙车用了12秒钟．当列车完全超过乙车时，列车离开站多远？（列方程解应用题） 40．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）以下是两张不同类型火车的车票（“”表示动车，“”表示高铁），已知该高铁的平均速度比动车的平均速度快， 请根据车票中的信息，解答下列问题： (1)如果两车均按车票信息准时出发，准时到达终点，求该高铁和动车的平均速度分别是多少？ (2)在（1）的条件下，请直接写出在什么时刻两车相距． 41．（24-25六年级下·山东威海·期中）【问题背景】借助适当的图表，可以直观、形象地呈现数量关系，使复杂的数量关系变得清晰明了，从而帮助我们更好地理解问题、分析问题、解决问题． 下面是智慧小组同学的学习报告： 项目主题 借助示意图列一元一次方程解决行程问题 问题 A，B两地相距，甲从A地骑车出发，每小时行驶，乙从B地骑车出发，每小时行驶．如果甲、乙同时出发，相向而行，经过多长时间相遇？ 示意图                等量关系 相遇时，甲走的路程+乙走的路程 解决问题 设经过两人相遇， 根据题意得， 解得， 答：如果甲、乙同时出发，相向而行，经过相遇． 请根据以上内容，继续完成任务： (1)任务1：如果甲、乙同时出发，相向而行，那么经几小时后，甲、乙相距？ (2)任务2：如果甲、乙同时出发，按由B向A的方向同向而行，那么经过多长时间乙追上甲？ (3)任务3：如果甲、乙同时出发，按由B向A的方向同向而行，那么经过多长时间甲、乙相距？ 42．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）【问题情境】 随着互联网的发展，外卖经济影响着大家的生活方式，穿梭在大街小巷的骑手给我们的生活带来了便利．如图，某天甲乙两名骑手从商店A到同一条街道上的两个小区送外卖，由于备餐时间不同，甲先出发向东前往距离商店3600米的光明小区，2分钟后乙出发向西前往距离商店4800米的幸福小区，甲的平均速度为600米/分，乙的平均速度为400米/分，设骑手甲行驶的时间为分钟． 【数学思考】 （1）在两人送外卖到达目的地前，骑手甲离开商店A的距离为________米，骑手乙离开商店A的距离为________米（均用含的式子表示）； 【问题解决】 （2）在两人送外卖到达目的地前，当骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店A的距离时，求的值． 题型三、一元一次方程应用-几何问题 43．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东的方向上，同时在它北偏东、西北（即北偏西）方向上又分别发现了客轮B和海岛C． (1)仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线，（不写作法）； (2)若有一艘渔船D，且是它补角的，则渔船D在货轮O的__________（写出方位角） 44．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“百度角”；例如，，则与互为“百度角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图1，如果，与互为“百度角”，则 ． 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“百度角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒．当为何值时由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”？ 45．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】 （1）如图①，已知，为的角平分线，则的度数为__________； 【探索归纳】 （2）如图①，，为的角平分线．猜想的度数（用含、的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，若．若射线绕点以每秒逆时针旋转，射线绕点以每秒顺时针旋转，射线绕点每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？ 题型四、一元一次方程应用-方案问题 46．（24-25七年级下·河南周口·期中）洛阳龙门石窟被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”．某校七年级组织了一次研学活动，计划安排6名老师带领名学生参观龙门石窟，已知每张门票的票价为90元．现有，两种购票方案可供选择： 方案：教师全价，学生半价． 方案：不分教师与学生，师生全部六折优惠． (1)请分别计算，两种方案的总费用（请用含的代数式表示）． (2)当学生人数是多少时，，两种方案的总费用一样． (3)当时，请通过计算来说明，两种购票方案中哪种更优惠． 47．（24-25七年级下·河南南阳·期中）某出租车公司推出A专车和B快车两种出租车，这两种出租车的收费方式如下． A专车：3千米以内（包括3千米）收费10元，超过3千米的部分每千米收费2.5元，不收其他费用： B快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 8元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程2千米；里程大于2千米的部分按计价标准收取里程费：远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过12千米的，超出的部分每千米加收1元． (1)如果乘车路程是10千米，使用A专车出行，需支付的费用是______元；使用B快车出行，需支付的费用是______元； (2)如果乘车路程是千米，使用A专车出行，需支付的费用是______元；使用B快车出行，需支付的费用是______元；（用含的式子表示，结果要化简） (3)如果乘车路程是千米时，使用B快车出行的费用比使用A专车出行的费用省3元，求的值． 48．（22-23八年级上·福建厦门·开学考试）问题情景：五缘湾水上乐园门票价格如下表所示： 购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 某校七年级（1），（2）两个班共104人去五缘湾水上乐园春游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，超过50人．经估算如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元． 问题： (1)请算出两个班各有多少名学生? (2)若（1）班先到达乐园，想要单独购票，你能帮他们想出一个比较经济的购票方案吗? 49．（24-25八年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 【驱动问题】如何安排废水处理方案费用最省？ 【问题情境】为了响应国家环保政策，某工厂需要对废水进行处理．现有三种方式：（1）自己建造废水处理车间处理；（2）交给第三方处理；（3）一部分自己建造废水处理车间处理，剩余部分交给第三方处理． 素材1：建造一个废水处理车间需要费用5万元，可以处理废水6000吨，并且每处理一吨废水还需费用5元． 素材2：第三方处理废水费用15元/吨． 素材3：工厂生产产生的废水量少于10000吨． 【问题解决】任务1：当工厂需要处理废水多少吨时，方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等． 任务2：若工厂需处理废水8000吨，如何安排废水处理方案，废水处理费用最省． 任务3：直接写出工厂生产产生不同废水量的处理方案，使废水处理费用最省． 50．（24-25七年级上·陕西安康·期末）某初级中学为适应新中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌篮球和跳绳，在查阅天猫网店后发现篮球每个定价元，跳绳每条定价元．现有两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． 网店：买一个篮球送一条跳绳； 网店：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知该学校要购买篮球个，跳绳条． (1)若在网店购买，需付款_____元，若在网店购买，需付款_____元；（用含的代数式表示） (2)①当时，①通过计算说明在哪家网店购买较为合算？②此时，请你设计一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元？ (3)为何值时，在两家网店花钱一样多（列方程解答）？ 51．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）某学校准备印刷一批证书，现在有两个印刷厂可供选择：甲印刷厂收费方式：收制版费500元，每本印刷费0.5元； 乙印刷厂收费方式：不超过1000本时，每本收印刷费1.5元；超过1000本时，超过部分每本收印刷费0.25元．设该校印刷证书x本． (1)若x不超过1000本，甲印刷厂的收费为 元，乙印刷厂的收费为 元．（用含x 的代数式表示） (2)若x超过1000本，甲印刷厂的收费为 元，乙印刷厂的收费为 元．（用含x 的代数式表示） (3)当印刷证书4000本时，选择哪个印刷厂更节省费用？省了多少元？ (4)印刷多少本证书时，甲、乙两个印刷厂收费相同？ 题型五、一元一次方程应用-营销问题 52．（24-25七年级下·四川眉山·期末）某商品按定价的八折出售，售价为56元，则原定价为 元． 53．（24-25七年级下·山东威海·期末）习近平总书记指出，要培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．良好的身体素质是所有的前提保障，体育锻炼是增强体质最有效的手段，某校决定购买一些羽毛球拍和羽毛球，其中每副羽毛球拍的价格比一桶羽毛球贵12元，购买5副羽毛球拍和4桶羽毛球一共需要330元．求每副羽毛球拍和每桶羽毛球的价格分别是多少元？ 54．（24-25七年级上·重庆秀山·期末）某商场经销A、B两种商品，A种商品每件进价40元，售价50元；B种商品每件售价80元，利润率为． (1)每件A种商品利润率为 ，每件B种商品进价为 ； (2)若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2300元，则该商场购进A种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 不优惠 超过500元，但不超过800元 按总售价打九折 超过800元 其中800元部分打八折优惠，超过800元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款675元，求小华此次购物打折前的总金额． 55．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）某超市以每千克a元的统一进价购进600千克苹果．若将这批苹果按某种标准分为甲乙两类，乙类苹果的重量是甲类的一半． (1)求甲乙两类苹果的重量各是多少千克？ (2)现有以下三种销售方案：方案一：甲类苹果以进价的2倍价格直接销售，乙类苹果以高于进价直接销售；方案二：将两类苹果精加工后销售，两类苹果的售价比方案一中的售价每千克均提高2元；方案三：所有苹果不分类精加工后按同一价格销售，其价格按方案一中的甲类苹果和乙类苹果售价的平均数定价．无论用哪种方案均能确保苹果数量不发生变化且全部销完，且方案二与方案三中的加工费忽略不计，解决以下问题： ①用含a的式子表示三种方案的利润； ②若方案一的利润比方案三的利润高m元，方案二的利润比方案三的利润高n元，且，求a的值． 56．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价35元，且利润为进价的；乙种商品每件进价30元，进价比售价少 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价一律打九折 超过400元 售价一律打八折 (1)求每件甲种商品的进价及每件乙种商品的售价分别是多少元？ (2)该商场购进甲、乙两种商品共100件，且乙种商品比甲种商品少，若全部卖出，求该商场的利润是多少元？ (3)在“五一”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如表优惠促销活动：按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款245元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款360元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 57．（24-25六年级下·山东烟台·期中）大三学生小凡参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是型平板电脑一台和2000元现金，当他工作满20天时因故结束实习，结算工资时公司给了他一台型平板电脑和500元现金． (1)这台型平板电脑公司的报价是多少元？ (2)小凡若工作天，将上述约定工资支付标准折算为现金，他应获得多少报酬（用含的代数式表示）？ (3)若某电脑经销商正在经销这款型平板电脑，他按进货价提高后标价，又以九折优惠卖出，结果每台仍可获利340元，这款型平板电脑每台的进货价是多少元？ 58．（24-25七年级下·重庆·期中）列方程解决下列问题： 年，新能源汽车市场竞争异常激烈，某新能源汽车品牌生产厂为抢占市场份额，提高销售量，对经销商采取销售奖励活动．某经销商在新奖励办法出台前一个月共售出该品牌汽车的型和型共台，新奖励办法出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共台，其中型汽车和型汽车的销售量分别比新奖励办法出台前一个月增长和． (1)在新办法出台后的第一个月，该经销商销售的型汽车和型汽车分别为多少台？ (2)若型汽车每台售价为万元，型汽车每台售价为万元．新奖励办法是：每销售一台型汽车按每台汽车售价的给予奖励，每销售一台型汽车按每台汽车售价的给予奖励．新奖励办法出台后的第二个月，型汽车的销售量比出台后的第一个月增加了；而型汽车受到某问题零件召回的影响，销售量比出台后的第一个月减少了，新奖励办法出台后的第二个月，该经销商共获得的奖励金额万元，求的值． 59．（24-25六年级下·山东烟台·期中）某体育用品商店用7800元购进一批篮球和排球，其中排球的进货数量比篮球的2倍多20个，篮球、排球每个的进价和售价如表： 篮球 排球 进价（元/件） 60 40 售价（元/件） 100 60 (1)该超市购进篮球和排球各多少个？ (2)该超市若按该售价将这批球类全部卖完后一共可获得多少利润？（注：利润=售价-进价） (3)某学校准备到该体育用品商量购买篮球和排球共22个，该体育用品商店给出以下两种优惠方案： 方案一：两种球类售价都打8折；方案二：购买2个篮球赠送一个排球． 学校根据购买清单，通过计算发现两种方案的购买总价是一样的．请你求出学校准备购买篮球和排球各多少个？ 题型六、一元一次方程应用-动点问题 60．（24-25七年级上·全国·期中）阅读：如图，已知数轴上有A，B，C三个点，它们表示的数分别是，8．A到C的距离可以用表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数，8大于，用．用式子表示为：． 根据阅读完成下列问题： (1)填空： ， ； (2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由； (3)现有动点P，Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒，写出P，Q两点间的距离（用含t的代数式表示）． 61．（24-25七年级上·福建南平·期中）阅读并理解下列材料： 数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离为，将数轴沿表示的点折叠，可使点A、B重合，例如点M表示的数是2，点N表示的数是6，则M、N两点之间的距离，将数轴沿表示的点折叠，可使点M、N重合． 请你解决以下问题： 数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，其中． (1)若a、b满足，求A，B两点之间的距离； (2)点A、B、C在数轴上的位置如图所示，沿该数轴上某点折叠，使点A、点B重合，则与点C重合的点表示的数为 （用含a、b、c的代数式表示）； (3)若，，，在数轴上点A以每秒x个单位长度的速度向左匀速运动，同时点B以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，运动t秒后， ， ，则若运动过程中，的值不变，求x的值． 62．（24-25七年级上·广西桂林·期中）绝对值的概念：在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作．实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为点表示的数记为，则两点间的距离就可记作． 【学以致用】 （1）数轴上表示1和的两点之间的距离是___________； （2）数轴上表示与1的两点和之间的距离为2，那么为___________； 【解决问题】 如图，已知分别为数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是50． （3）现有一只蚂蚁从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁恰好从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动．求两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间； 【数学理解】 （4）数轴上两点、对应的数分别为、，已知，点从出发向右以每秒3个单位长度的速度运动．直接写出秒后、之间的距离___________（用含的式子表示）． 63．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）【定义新知】：在数轴上，点和点分别表示数和，可以用绝对值表示点两点间的距离，即．在数轴上互不重合的三个点中，如果，那么点叫做两个点的“伴点”． 例如：如图1，数轴上点分别表示， 因为，， 所以，, 所以，点是点的“3伴点”； 因为，， 所以，， 所以，点是点的“4伴点”． 【初步应用】：如图2，数轴上点分别表示． （1）点是点的“ ____ 伴点”；点 ____ 是点的“6伴点”（只能填写图2中表示的字母）； （2）若点是点的“3伴点”，求点在数轴上表示的数． 【综合应用】： （3）在【初步应用】中的条件下（如图2所示），若点以每秒1个单位的速度向右运动，同时点以每秒2个单位的速度向左运动，当运动秒时，是的“7伴点”，请直接写出的值． 64．（24-25七年级下·辽宁丹东·开学考试）（1）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，如图1，他发现将火车在数轴上水平移动，当火车向右移动，点移动到点时，此时点所对应的数为24；当火车向左移动，点移动到点时，此时点所对应的数为6．由此可得点处的数字是__________，玩具火车的长为__________个单位长度． （2）如果火车正前方8个单位长度处有一个“隧道”，火车从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧道”恰好用了秒，已知火车过“隧道”的速度为个单位长度/秒，则知“隧道”的长为__________个单位长度．（自己在稿纸上画图分析，用含的代数式表示即可） （3）他惊喜地发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：如图2，在（1）条件下的数轴上放置与大小相同的玩具火车，使原点与点重合，两列玩具火车分别从点和点同时在数轴上移动，已知火车的速度为5个单位长度/秒，火车的速度为2个单位长度/秒（两火车均向右移动），几秒后两火车的处与处相距3个单位长度？ 65．（24-25六年级上·上海·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示20，点C表示36，我们称点A和点C在数轴上相距56个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点P从点A出发，以2单位／秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点C处停止运动；点Q从点C出发，以1单位／秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点A处停止运动．设运动的时间为t秒，问： (1)当点P运动3秒时，点P在数轴上表示的数是 ；当点Q运动12秒时，点Q在数轴上表示的数是 (2)动点P从点A运动至C点需要多少时间？ (3)P、Q两点何时相遇？相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 66．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【初步尝试】 （1）如果点表示数，将点向右移动5个单位长度得到点，那么终点表示的数是______； （2）如果点表示数2，将点先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度得到点，那么终点表示的数是______； 【深入研究】 （3）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．如图，两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点表示的数是，乙选择的游戏起点表示的数是2；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： “剪刀、石头、布”的结果 、两点移动方式 平局 点向右移动个单位，点向左移动个单位 甲胜 点向右移动个单位，点向右移动个单位 乙胜 点向左移动个单位，点向左移动个单位 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布”（为正整数）． ①当时，其中平局一次，甲胜两次，求点最终位置表示的数，点最终位置表示的数，、两点间的距离； ②若在次“剪刀、石头、布”中，平局有次，甲胜有次，请用含、、的式子表示点和点最终表示的数；点和点会重合吗？如果能重合，请求出的值． 67．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 68．（24-25七年级下·全国·假期作业）A、B两市相距千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路．甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的． (1)如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ (2)如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 69．（24-25六年级下·山东烟台·期中）临近“五一”，各大商场掀起促销狂潮，甲、乙、丙三个商场的促销活动如下表所示： 商场 促销活动 甲 全场按标价的6折销售 乙 实行“每满100元送100元的购物券”的优惠，再购物时，购物券可冲抵现金．（如：顾客购物240元，赠券200元；再购买340元的商品时可抵现金200元，只需付款140元，不再送券．） 丙 实行“每满100元减50元”的优惠．（如：顾客购物240元，可减100元，只需付款140元．） 根据以上活动信息，解答以下问题： (1)三个商场同时出售一双标价299元的皮鞋和一双标价229元的运动鞋，王阿姨想买这两双鞋，她应选哪家商场？ (2)张阿姨发现在甲、乙商场同时出售一件标价380元的上衣和一条标价300多元的裤子，两家商场所需费用相等，求这条裤子的标价． (3)丙商场又推出“先打九折”，再实行“每满100元减50元”的新优惠活动．李阿姨购买了该商场一件标价600元的小家电，她按照新优惠活动结算，发现费用反而比老优惠活动多20元，求被墨水遮盖的数字． 70．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图1，点为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，，求实数的值； (2)三角板在绕点按逆时针方向旋转时，若在的内部．与大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点以原速按顺时针方向旋转，在、第二次相遇前，当时，求旋转时间的值． 71．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，有一个玩具火车按如图所示放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，记火车移动后对应的位置为．当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．当玩具火车匀速向右移动时，火车从车头到车尾完全经过点需要2秒． (1)玩具火车的长为________个单位长度；玩具火车的速度为每秒________个单位长度；点所对应的数为_____； (2)在数轴上放置与大小相同的火车，使点与点重合，火车和在数轴上分别从点和点同时出发向右移动，记火车移动后对应的位置为．火车的速度为5个单位长度/秒，求几秒后两火车的处与处相距7个单位长度； (3)当火车匀速向右移动，同时点和点分别从，出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度沿数轴向左和向右移动，点、间的距离用表示，点、间的距离用表示，是否存在有理数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请直接写出和这个定值；若不存在，请说明理由． 72．（24-25七年级上·福建福州·期末）枇杷是福清市一都镇传统特产，具有皮薄，汁多，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：某批发市场计划准备从福清市一都镇运输一批枇杷到甲地出售，为保证枇杷新鲜需用带冷柜的货车运输或空运．货车运输的平均速度为80千米/时，飞机的平均速度为800千米/时， 方案一：从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地； 方案二：从福清市一都镇先用带冷柜的货车运输到机场用时1小时后用飞机空运到甲地； 方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米． 材料二：已知有一批枇杷用带冷柜的货车每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，运这批枇杷从福清市一都镇到甲地 陆运单价 冷柜车 空运单价 7000元/吨 400元/（小时·辆） 10000元/吨 注意：如选方案二空运，则陆运时间段只收冷柜使用费，且在飞行途中不收冷柜使用费． 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目；总费用路费冷柜使用费． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： (1)请求出从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间； (2)这批枇杷共有_______吨． (3)本次从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地，冷柜车一次运8吨，应选用那种方案使得总费用较少？ 73．（24-25七年级上·广东广州·期中）同学们都知道：数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为．例如表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)若，则______． (2)表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是______． (3)请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是______． (4)继续探索：是否有最小值？如果有，最小值是多少？此时的取值是多少？如果没有，说明理由． (5)若动点A，，分别从数轴上表示，，的位置沿数轴正方向运动，速度分别为个单位每秒，个单位长度每秒，个单位长度每秒．若点A，点（为数轴原点）中间的点为，点和点中间的点为，点和点中间的点为，若为常数，则的值是多少？ 74．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）【操作思考】将一副直角三角板（分别含和的角）叠放在量角器上，、分别是三角板和三角板的角平分线． 【特例感知】 （1）如图1，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______； 【拓展探究】 （2）如图2，将三角板绕点顺时针旋转一定的角度，三角板不动，使两个直角三角板有重叠． ①当时，求的度数； ②当时，______；（用含的式子表示） 【解决问题】 （3）如图3，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，同时将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在的值，使？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 75．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）活动与实践 问题背景：如图是武汉市某居民区宣传栏的一张新的居民生活电价收费宣传单，但一些数据被涂抹不清了，正在七年级学习的小明同学决定利用自己的所学，做一次有意义的社会实践活动，帮助小区物业管理部门恢复这些数据． 注意：湖北省居民生活用电不执行分时电价． 1千瓦时＝1度 活动过程： （1）他收集并整理了2024年自己家中2-12月的“止码”数据及缴费情况，如下表1： 月份 上期止码 本期止码 用电量（度） 缴费（元） 平均单价（元） 20240201 6328 6688 360 200.88 0.558 20240301 6688 7193 281.79 20240401 7193 7536 343 191.39 0.557988338 20240501 7801 265 147.87 20240601 7801 8090 289 161.26 0.55799308 20240701 8090 8463 373 208.13 0.557989276 20240801 8463 9617 1154 700.38 0.606915078 20240901 9617 11130 1513 920.4 0.608327826 20241001 11130 11874 744 638.35 0.857997312 20241101 11874 12116 242 207.64 0.858016529 20241201 12116 260 223.08 ①因为部分数据损坏，请你直接写出，，的值；______，______，______； 因为天气炎热，用电量剧增，同时他发现电费单价也出现了变化，为了探究变化规律，小明单独重新记录了八月一段时间连续的用电情况，如表2： 日期 上期止码 本期止码 用电量（度） 缴费（元） 平均单价（元） 20240701 8090 8095 5 2.79 0.558 …… …… …… …… …… …… 20240731 8455 8463 8 4.464 0.558 20240801 8463 8468 5 2.79 0.558 20240802 8468 8475 7 3.906 0.558 20240803 8475 8483 8 4.464 0.558 20240804 8483 8490 7 4.006 0.57228571 20240805 8490 8495 5 3.04 0.608 20240806 8495 8501 6 3.648 0.608 …… …… …… …… …… …… 20240831 …… 9617 …… …… …… ②请结合表2，用所学知识，说明日期为20240804（即2024年8月4日）平均单价发生变化的原因． ③按照同样的方式，小明单独重新记录了九月一段时间连续的用电情况，如表3： 日期 上期止码 本期止码 用电量（度） 缴费（元） 平均单价（元） 20240901 9617 9619 2 1.216 0.608 …… …… …… …… …… …… 20240924 11097 11100 3 1.824 0.608 20240925 11100 11105 5 3.04 0.608 20240926 11105 11109 4 2.432 0.608 20240927 11109 11114 5 3.04 0.608 20240928 11114 11117 3 1.824 0.608 20240929 11117 11124 7 4.256 0.608 20240930 11124 11130 6 4.148 0.6913333 20241001 11130 11874 744 638.35 0.8579973 20241101 11874 12116 242 207.64 0.8580165 20241201 12116 12376 260 223.08 0.858 请结合表3，直接写出日期为20240930（即2024年9月30日）按单价为0.858元/度收费的电量为______度． 数学思考：结合表1，表2，表3，小明发现武汉市居民生活用电实施阶梯收费，具体收费标准如下： 第一档：年用电量千瓦时，电费元/千瓦时． 第二档：年用电量千瓦时，电费元/千瓦时． 第三档：年用电量千瓦时及以上，电费元/千瓦时． 注意：湖北省居民生活用电不执行分时电价． 1千瓦时度，请直接写出，，，，的值（，为整数）． 数学运用：如下表4，是小明家2023年1～7月的用电量及缴费情况，请你根据以上探究活动，求？的值． 时间 用电量 电费 230101 320 230201 264 230301 268 230401 245 230501 235 230601 346 230701 ？ 495.74 试卷第2页，共92页 31 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 一元一次方程的应用 题型一、一元一次方程应用-数字问题 1．（24-25七年级下·福建泉州·期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．加密规则如下：明文，，对应的密文分别为，，．例如明文1，，3对应的密文为，，18．若接收方收到密文4，，9，则解密得到的明文为（   ） A．3，0， B．3，，0 C．5，，36 D．4，，3 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据加密规则，将密文通过逆运算转换为明文．分别解方程求出对应的a、b、c值． 【详解】解：接收方收到的密文为4，，9，对应加密规则： 第一个密文4对应明文a：由，解得． 第二个密文对应明文b：由，解得，即． 第三个密文9对应明文c：由，解得，即． 因此，解密得到的明文为3，，0， 故选：B． 2．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，例如解“幻方”模型试题．幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，先列方程求出左下角的数，再列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设左下角方格中的数是x， ∵每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． 3．（24-25七年级下·云南红河·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，根据图1中的规律，求出图2中 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意得到，求得的值，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 4．（24-25七年级下·北京丰台·期末）有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则编号记为 的卡片上的数最大． 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 71 48 54 66 59 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，方程的应用根据题意，求出，结合，求出，结合，求出，依次求出其它卡片表示的数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， 即：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， 故编号记为D的卡片上的数最大； 故答案为：D 5．（24-25七年级下·全国·假期作业）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的2倍，如果把这两个数字对调位置，组成一个新的两位数，所得新数与原数的和是，原来的两位数是多少？ 【答案】84 【分析】解决本题先设出数据，分别表示出两位数的个位和十位上的数字，再分别表示出原来两位数和对调后的两位数，然后找出等量关系列出方程求解．设原来两位数个位上的数字是，那么十位上的数字就是，这个两位数可以表示，当个位和十位数字对调，这时两位数可以表示为，再根据两个两位数的和是，列出方程求解． 【详解】解：设原来个位上的数字为，那么十位上的数字为， ， ， ， ， ， ， 答：原来的两位数是． 6．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）小刚是个爱动脑筋的同学，他将连续的奇数，，，，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，求十字形框架中的五个数的和．（用含的式子表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于吗？若能，写出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)十字形框架中的五个数的和为， (2)能，，，，，． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法及整式的加减，熟练掌握一元一次方程的解法及整式的加减是解题的关键． （）设十字形框架中间的数为，再根据上下的数相差，左右的数相差，就可以求出个数之和； （）由（）可得若可以使这五个数的和等于，需要满足由（）所得的代数式的和为，求出的值，即可判断． 【详解】（1）解：设十字形框架中间的数为，则另外个数分别为：，，，， ∴十字形框架中的五个数的和为， （2）解：能，理由： ∵五个数的和能等于， ∴， 解得：， ∴这个数分别为：，，，，． 题型二、一元一次方程应用-积分问题 7．（24-25七年级下·河南周口·期中）在世界预防溺水日来临之际，河南省南阳市开展预防溺水主题活动．某校举行了一次安全防溺水知识竞赛，竞赛题目一共30题，记分规则如下：每对一题得5分，每答错或不答一题扣1分，明明一共得90分，则明明答对的题数为（   ） A．20 B．18 C．17 D．16 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，设明明答对题，则答错或不答的题数为，根据得分规则，答对得分，答错或不答扣分，总得分为90分，可列方程求解，读懂题意，准确列出一元一次方程是解决问题的关键． 【详解】解：设明明答对题，则答错或不答的题数为， 则， 解得， 则明明答对20题， 故选：A． 8．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）为了丰富同学们的课余生活，某学校组织九年级足球比赛，在小组赛环节，每个班级的队伍分为一个组，小组内进行单循环赛，积分规则为：胜一场积分，平一场积分，负一场积分，其中班被分在了组．以下是本次小组赛组的积分表，小组赛结束后，整理数据时，负责登记分数的小明同学发现忘记登记班的积分了，他只记得，组比赛共场，其中只有两场比赛结果是战平，则根据此表，可以推断班的积分是 ． 排名 球队 积分 班 班 班 班 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据题意，列方程求解即可； 【详解】解：设班的积分为， 根据题意，可得：， 解得：； 故答案为： 9．（24-25七年级下·北京·期末）四初一年级学生参加有理数计算闯关，闯关共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小于 25 0 100 小王 21 4 76 小李 15 10 40 … … … … (1)根据表格提供的数据，答对1题得 分，答错1题扣 分： (2)参赛者小赵得了64分，求他答对了几道题． 【答案】(1)4，2 (2)小赵答对了题 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解表格信息，正确列出方程求解是关键． （1）设答对1题得分，根据小于的分数得到答对1题得分，结合小王的分数可得答错1题扣分，由此即可求解； （2）设小赵答对了题，则答错了题，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：设答对1题得分， ∴根据小于的成绩得到，， 解得， ∴答对1题得分， ∴根据小王的分数得到，， ∴答错1题扣分， 故答案为：4，2； （2）解：设小赵答对了题，则答错了题， ∴， 解得，， ∴小赵答对了题． 10．（2025·湖南长沙·三模）近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 1 B 4 C 7 D E 0 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分； (2)参赛者得分，他答对了几道题？ (3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明． 【答案】(1)4，1 (2)答对了道题 (3)参赛者不可能得分，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据参赛者E的得分情况可求出每答对一道题所得分值，据此即可求解； （2）设参赛者答对了道题，由题意得：据此即可求解； （3）假设他得了分，设他答对道题，根据题意得：，解得，据此即可判断； 【详解】（1）解：根据参赛者E的得分情况可知：每答对一道题得分； 根据参赛者A的得分情况可知：每答错一道题得分； 故答案为：4，1 （2）解：设参赛者答对了道题，由题意得： 解得：， 答：参赛者答对了道题 （3）解：参赛者不可能得分， 理由：假设他得了分，设他答对道题， 根据题意得：， 解得，不是正整数，所以假设不成立， 故参赛者不可能得分． 题型三、一元一次方程应用-和差倍分问题 11．（2025·福建泉州·二模）在阅读课上，老师把一批文学名著分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本．求该班学生多少人？设该班有学生x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程．设这个班有学生人，根据“每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本”，由此列出方程即可． 【详解】解：设这个班有学生人， 由题意得，， 故选：B． 12．（24-25六年级下·山东青岛·期中）有一户人家，父亲和儿子同一天过生日．若父子两人的年龄加起来是100岁，则称为“百岁父子”．已知父亲38岁时，儿子10岁，现在父亲是儿子年龄的2倍，请解决如下问题： (1)现在父亲多少岁？ (2)再过几年，父子两人可以称为“百岁父子”？ 【答案】(1)父亲现在的年龄为56岁 (2)8年 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设现在儿子岁，根据父子年龄差始终不变列方程求解即可； （2）设再过年父子两人可以称为“百岁父子”，根据父子两人年龄和为100岁列方程求解即可． 【详解】（1）解：设现在儿子岁，则父亲岁． 根据题意，得， 解得， 答：父亲现在的年龄为56岁． （2）解：设再过年父子两人年龄和为100岁． 则 解得 答：再求再过8年成为“百岁父子”． 13．（24-25七年级下·全国·假期作业）世界上最大的蜂鸟是巨蜂鸟，体长是230毫米，比世界上体型最小的鸟类古巴的吸蜜蜂鸟体长的4倍还多30毫米．古巴的吸蜜蜂鸟的体长约是多少毫米？ (1)下面哪幅图正确表达了题目的意思，请将正确的序号填在横线内___________． (2)请列方程解决这个问题． 【答案】(1)① (2)50毫米 【分析】（1）把吸蜜蜂鸟的体长用一个线段长表示，则巨蜂鸟的体长用四条这样的线段长还多出一截（30毫米）来表示，由此判断哪个图是正确的． （2）把吸蜜蜂鸟的体长设为x毫米，根据“吸蜜蜂鸟的体长毫米=巨蜂鸟的体长”列方程解答． 本题考查了方程的应用，正确理解题意以及正确列方程是解题的关键． 【详解】（1）解：把吸蜜蜂鸟的体长用一个线段长表示，则巨蜂鸟的体长用四条这样的线段长还多出一截（30毫米）来表示， 故图①正确表达了题目的意思． （2）解：设吸蜜蜂鸟的体长设为x毫米，则 答：吸蜜蜂鸟的体长是50毫米． 14．（2025·河北唐山·二模）某校举行跳远能力竞赛，比赛场地从起跳线由近及远共三个得分区域，每个区域对应的分数如图所示，每位选手跳远5次，5次成绩的和为该选手的最终成绩，两位参赛选手的跳远情况如下图. (1)求嘉嘉5次跳远的最终成绩. (2)若淇淇的最终成绩为3分，求x的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法的应用及一元一次方程的应用，正确理解题意，准确计算是解题的关键. （1）根据题意把5次跳远的成绩相加即可求解； （2）根据题意列出关于的方程，解方程即可求解. 【详解】（1）解：， 故嘉嘉五次跳远的最终成绩为分. （2）解：由题意，得， 解得， 即的值为3. 题型四、一元一次方程应用-古代问题 15．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这是出自我国《孙子算经》中著名的“雉（鸡）兔同笼”问题，设有x只鸡，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设鸡有x只，则兔子有只，根据鸡的脚数加兔子的脚数等于总脚数94，建立方程即可． 【详解】解：设有x只鸡，则可列方程为， 故选：B． 16．（24-25七年级下·河南周口·期中）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短、引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则木长（   ） A．5.5尺 B．6.5尺 C．7.5尺 D．8尺 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设长木的长度为尺，根据绳子的总长度不变建立方程求解即可得到答案，读懂题意，准确列出一元一次方程是解决问题的关键． 【详解】解：设长木的长度为尺， 则， ， 解得， 故长木长尺， 故选：B． 17．（2025·江苏无锡·二模）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房．问有多少间客房？多少客人？设有x间房，则可列出方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．设有x间房，根据人数相等列一元一次方程即可． 【详解】解：设有x间房， 则， 故选：C． 18．（2025·四川成都·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题（注：荡杯即洗碗）：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？”妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？其大意是：一位农妇在河边洗碗．渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只碗．”请问：她家里究竟来了多少位客人？设客人是人，可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只碗，列出方程即可． 【详解】解：设客人是人，由题意，得：； 故选B． 19．（24-25七年级下·山西临汾·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： 甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程 则下列判断正确的是（　　） A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误 【答案】A 【详解】本题考查一元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系是解题的关键．分别根据人数或竹竿数作为未知数，建立方程并判断是否正确． 【分析】甲：设牧童人数为人， 根据竹竿总数相等，每人5竿多12竿时总数为，每人8竿少3竿时总数为， 故方程为，正确． 乙：设竹竿数为竿， 根据人数相等，每人5竿多12竿时人数为，每人8竿少3竿时人数为， 故方程为，正确． 综上，甲、乙均正确． 故选：A． 题型五、一元一次方程应用-工程问题 20．（24-25七年级下·全国·假期作业）一项工程，甲单独做要天，乙单独做要天，丙单独做要天，三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了（　　）天假． A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清每一步所求的问题与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答，设甲请x天假，根据三人的总工作量是“1”列出方程并解答． 【详解】解∶设甲请了x天假，由题意知， 解得． 答∶甲请了3天假． 故选：B． 21．（24-25六年级下·重庆·自主招生）有一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管．开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水，池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光．如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时．问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？ 【答案】至少5根 【分析】设进水管注满水池需要x小时，一根出水管单独排完水需要y小时，池中已经注入m水， 根据题意得解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设进水管注满水池需要x小时，一根出水管单独排完水需要y小时，池中已经注入m水， 根据题意得 解得， ， 故， 解得， 故， 由n是正整数， 故至少开5根排水管，才能在8小时内将池中的水全部排光． 22．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 【答案】在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设机器人在常规模式工作了小时，则在增强模式下工作了小时，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设机器人在常规模式工作了小时，则在增强模式下工作了小时， 由题意得，， 解得：， 则， 答：机器人在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时． 23．（24-25七年级下·四川乐山·期末）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了360亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍． (1)请问一名工人和一架无人机每小时各完成多少亩？ (2)一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成1000亩的打药任务？请说明理由． 【答案】(1)一名工人每小时完成18亩,一架无人机每小时完成108亩 (2)可以完成，见解析 【分析】（1）设一名工人每小时完成亩,一架无人机每小时亩,根据题意，得，解方程即可． （2）计算完成的总工作量，与1000亩比较，解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是理解题的关键． 【详解】（1）解：设一名工人每小时完成亩,一架无人机每小时完成亩, 根据题意，得， 解得， 故． 答：一名工人每小时完成18亩,一架无人机每小时完成108亩． （2）解：根据题意，得（亩）， 大于1000亩， 故可以完成． 24．（24-25七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米． (2)若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数． 【答案】(1)甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米 (2)8天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程； （1）设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米，根据甲、乙两工程队合作4天完成该工程的列出等式； （2）设甲工程队单独挖掘天，得出乙工程队挖掘天，再根据总费用为94万元建立等式求解． 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米． 由题意得，． 解得． ． 答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． （2）解：设甲工程队单独挖掘天，则乙工程队挖掘天， 即天． 由题意得，． 解得． 答：甲工程队单独挖掘8天． 题型六、一元一次方程应用-配套问题 25．（24-25七年级下·云南红河·期中）建水某紫陶坊有7名工人，每人每天可以制作茶壶8个或茶杯24个，1个茶壶和4个茶杯配成一套．为使每天制作的茶壶和茶杯刚好配套，设有名工人制作茶壶，余下工人制作茶杯，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设有名工人制作茶壶，则制作茶杯的工人为名．每天制作的茶壶数量为个，茶杯数量为个．根据配套要求，1个茶壶需配4个茶杯，故茶杯数量应为茶壶数量的4倍，可得出关于x的一元一次方程，即可得出结论． 【详解】解：设有名工人制作茶壶，则制作茶杯的工人为名． 每天制作的茶壶数量为个，茶杯数量为个． 根据配套要求，1个茶壶需配4个茶杯，故茶杯数量应为茶壶数量的4倍，即： 解得：． 故选D． 26．（2025·浙江·模拟预测）明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成?”也就是说：有根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管个或笔套个，怎样安排制作笔管或笔套的短竹数量，使制成的笔管数量与笔套数量正好配套?下列说法正确的是（   ） A．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 B．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 C．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 D．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程——配套问题，理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键． 根据“个笔管与个笔套是一套”，若满足制成的笔管数量与笔套数量正好配套，即“笔管数量等于笔套数量”；若设用于制作笔管的短竹数为根，用于制作笔套的短竹数为根，结合题意，列出方程；若设用于制作笔套的短竹数为y根，用于制作笔管的短竹数为根，结合题意，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：若设用于制作笔管的短竹数为根，则能制成个笔管，用于制作笔套的短竹数为根，则能制成个笔套， 可列方程为：； 若设用于制作笔套的短竹数为y根，则能制成个笔套，用于制作笔管的短竹数为根，则能制成个笔套， 可列方程为：． 故选：B． 27．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）某工厂需要生产一批设备，每套设备由一个部件和3个部件组装而成；若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产部件的个数比部件的个数少6个，且每天6个工人生产部件的数量与5个工人生产部件的数量相同． (1)工厂每人每天平均生产部件和部件各多少个？ (2)现共有21名工人，应如何分配工人才能使每天的生产的部件和部件配套？ 【答案】(1)工厂每人每天平均生产部件30个，部件36个 (2)每天应分配6名工人生产部件，分配15名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； （1）设工厂每人每天平均生产B部件x个，则每人每天平均生产A部件个，根据每天6个工人生产A部件的数量与5个工人生产B部件的数量相同，即可列出方程，解方程即可； （2）设每天应分配y名工人生产部件，名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套，根据B部件的数量=A部件数量的3倍，即可列出方程，解方程即可得. 【详解】（1）解：设工厂每人每天平均生产B部件x个，则每人每天平均生产A部件个， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：工厂每人每天平均生产部件30个，部件36个. （2）解：设每天应分配y名工人生产部件，名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：每天应分配6名工人生产部件，15名工人生产部件时，可使每天的生产的部件和部件配套. 28．（24-25六年级下·山东泰安·期中）小红和小军假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有21张白板纸，问最多可做几个包装盒？（用一元一次方程的应用解答） (2)现有33张白板纸，问最多可做几个包装盒？ 为了解决这个问题，小红和小军各设计了一种解决方案： 小红：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖； 小军：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小红和小军设计的方案，谁做出的包装盒最多？ 【答案】(1)用9张白纸做盒身，12张白纸做盒盖，则最多可做18个包装盒 (2)小军做出的包装盒更多，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系是列方程的关键 （1）设张白纸做盒身，则有张做盒盖，根据一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒列出方程即可解答； （2）分别按小红和小军设计的方案列出方程解答，然后比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设张白纸做盒身，则有张做盒盖，根据题意得： ， 解得：， 则， 答：用9张白纸做盒身，12张白纸做盒盖，则最多可做18个包装盒； （2）解：小红的方案，设张做盒身，则有张做盒盖， 根据题意得：， 解得：； 小军的方案，设余下的纸板张做盒身， 根据题意得：， 解得：， ， 则小军做出的包装盒更多． 题型一、一元一次方程应用-收费问题 29．（24-25七年级上·北京·期中）某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过，则每立方米按元收费；若每月每户用水超过，则超过部分每立方米按元收费． (1)李明家上个月用水，他上个月应交水费多少元？ (2)若当月用水量为（），请你用含的式子表示当月所付水费金额； (3)如果王鹏家月份所交水费的平均价为每立方米元，那么王鹏家月份用水多少立方米？请你设未知数列方程完成此问． 【答案】(1)92.5元； (2)当月所付水费金额为元； (3)50立方米． 【分析】（1）根据收费标准计算即可； （2）根据题意列式即可； （3）根据等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得（元） 答：他上个月应交水费92.5元． （2）解：∵当月用水量为（）， ∴当月所付水费金额为元； （3）解：根据题意，得 解得 答：王鹏家12月份用水50立方米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，有理数运算的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，由水费找出合适的等量关系列出方程，再求解． 30．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）个人所得税征收标准：个人收入不超过5000元的不纳税；个人收入超过5000元的，超过部分按下面的标准征税： 级数 金额 税率 1 不超过3000元部分 2 超过3000元至12000元部分 3 超过12000元至25000元部分 (1)王阿姨的月收入是7000元，她每月应缴纳个人所得税多少元？ (2)某月李叔叔缴纳个人所得税810元，李叔叔的税后收入是多少元？ 【答案】(1)60元 (2)14390元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用王阿姨每月应缴纳的个人所得税（王阿姨的月收入，即可求出结论； （2）设李叔叔的月收入是元，根据李叔叔缴纳个人所得税810元，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）． 答：她每月应缴纳个人所得税60元； （2）解：设李叔叔的月收入是元， （元），（元），， ，即． 根据题意得：， 解得：， （元）． 答：李叔叔的税后收入是14390元． 31．（24-25七年级下·浙江温州·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1) (2)40吨 (3)13吨 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据收费方法，列出方程进行求解即可； （2）设小王家这个月用水吨， 根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设11月份用水吨，则10月份用水吨，分和，两种情况进行讨论，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：， ∴， 解得：； （2）解：由题意可知，元，元，元； 设小王家这个月用水吨， 由题意，得， 解得． 答：小王家这个月用水40吨． （3）解：设11月份用水吨，则10月份用水吨． ①当， 可得， 解得； ②当， 可得， 解得 (舍去)． 即小王家11月份用水13吨． 32．（24-25七年级下·全国·假期作业）滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费用项计价方式． 【起步价】包含一定里程和时长 普通时段 5.00元/含2.3千米；含7分钟 00：00～09：00 17：00～00：00 6.00元/含2.3千米；含7分钟 【里程费】超出起步里程后计算 【时长费】超出起步时长后计算 普通时段 1.55元/千米 普通时段 0.30元/分钟 00：00～06：00 23：00～00：00 2.40元/千米 00：00～06：00 23：00～00：00 0.60元/分钟 说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费；超出部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟． (1)李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要支付多少元？ (2)6月14日早上5：30李叔叔又在该平台预约了出行服务，时长6分钟，共支付10.8元，李叔叔本次里程最长多少千米？ 【答案】(1)14.95元 (2)4.3千米 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，一元一次方程解决实际问题，读懂题意，理解滴滴网约车各费用项计价方式是解题的关键． （1）晚上9时属于17：00~00：00这个时间段，起步价是6元，先用6.5千米减去2.3千米，求出超出2.3千米的距离是千米，4.2千米按照5千米计费，用起步价加上超出4.2千米的钱数，也就是每千米1.55元，再用所用的时间减去7即可求出超出的时长，再成0.3即可求出超出时长的费用，再加上超出起步时长的费用即可． （２）设本次里程最长x千米，起步价加上里程加数减去2.3千米乘每千米的计费标准就等于支付的钱数，列方程，解方程，即可解答． 【详解】（1）解：（千米） 4.2千米千米 （元） 答：李叔叔需要支付14.95元． （2）解：设李叔叔本次里程最长x千米． ， 解得， 答：李叔叔本次里程最长4.3千米． 33．（2025·河南信阳·二模）学科实践： 近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决： (1)若汽车充电的总电量为， ①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____； ②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． (2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． 【答案】(1)①；②； (2)他们此次的充电量是． 【分析】（1）①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为； ②当时，最高充电时间为（小时），此时； 当时，最高充电时间大于（小时）， 解答即可． （2）根据充电结束后两人所支付的费用相同．判定他们充电都超过了4小时，故得到一元一次方程，解答即可． 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握列代数式，解方程是解题的关键. 【详解】（1）解：①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为； 故答案为：． ②解：当时，最高充电时间为（小时），此时； 当时，最高充电时间大于（小时），此时， 综上所述，． （2）解：由题意得，充电量大于， . 解得. 答：他们此次的充电量是. 34．（24-25七年级上·广西南宁·期中）某出租车公司推出专车和快车两种出租车，它们的收费方式如下： 专车：千米以内收费元，超过千米的部分每千米收费元，不收其他费用； 快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程千米；里程大于千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过千米的，超出的部分每千米加收元． (1)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付费用多少元？ (2)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付的费用多少元（用含的式子表示）？ (3)如果乘车路程是千米时，使用快车出行的费用比使用专车出行省4元，求的值． 【答案】(1)使用专车、快车出行各需支付费用元、元； (2)使用专车、快车出行各需支付的费用元、元； (3)的值为或 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，根据题意正确列出代数式和一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列代数式即可； （3）分三种情况讨论：当时，不符合题意；当时，得到，求出；当时，得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：使用专车出行需支付费用为（元） 使用快车出行需支付费用为（元）， 答：使用专车、快车出行各需支付费用元、元； （2）解：当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元）， 答：使用专车、快车出行各需支付的费用元、元； （3）解：当时， 使用专车出行需支付的费用为元， 使用快车出行需支付的费用最少为元， 元， 不符合题意； 当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元） ， 解得； 当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元）， ， 解得， 综上所述，的值为或． 题型二、一元一次方程应用-行程问题 35．（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）甲、乙两车从相距的两地相向而行，经过3小时后相遇，甲的速度：乙的速度，甲的速度是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用——行程问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系，相遇问题中路程的关系，是解题的关键． 设乙的速度为，则甲的速度为．根据两车相向而行，总路程为，相遇时间为，列方程解答． 【详解】设乙的速度为，则甲的速度为． 两车相向而行，总路程为，相遇时间为， 故有：． 解得：． ∴． ∴甲的速度是． 故选：A． 36．（23-24七年级下·全国·课后作业）学校组织学生乘汽车去自然保护区，前三分之二路段为平路，其余路段为上坡路，已知汽车在平路上行驶的平均速度为60km/h，在上坡路上行驶的平均速度为40km/h．汽车从学校到自然保护区一共行驶了2.8h，则汽车在平路上行驶的时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设汽车在平路上行驶的时间是，则在上坡行驶的时间为，根据前三分之二路段为平路，其余路段为上坡路，可知平路的长度是上坡路长度的两倍，据此列出方程，解方程即可． 【详解】解：设汽车在平路上行驶的时间是，则在上坡行驶的时间为， 根据题意得，， 解得， 即汽车在平路上行驶的时间． 故选：C． 37．（24-25六年级下·山东东营·期中）如图所示，甲从A点以的速度，乙从B点以的速度，同时沿着边长为的正方形按…的方向行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的 边上．（用大写字母表示） 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意可得：乙第一次追上甲时所走的路程甲走的路程，设所用的时间为，由此等量关系可列方程，则可求出追到时的时间，再求出路程．根据路程计算沿正方形所走的圈数，即可得出结论． 【详解】解：设乙第一次追上甲用了， 根据题意得：， 解得，， 此时乙行驶的路程为： (圈)…(), ∴乙在距离点处，即在边上． 故答案为：． 38．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）“绿波控制系统”就是通过信号控制技术，让车辆在指定的速度下，避免或减少通过多个路口的红灯等待，从而实现道路通行效率最大化的交通信号控制系统．以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数对比： 指标 优化前 优化后 备注 行程总时间 分钟 12分钟 行程总时间红灯等待时间行驶时间， 如：若汽车经过一路段的行程总时间为20分钟，红灯等待时间共计2分钟，则行驶时间为18分钟． 红灯等待次数 7次 1次 单次红灯平均等待时长 为优化前的 行驶速度 500米/分钟 800米/分钟 行驶速度总路程行驶时间 设“绿波控制系统”优化前的单次红灯平均等待时长为t分钟，则t的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 根据题意列方程得，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， 解得：， ∴的值为1． 故答案为：1． 39．（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）在沿铁路的公路上，甲乙两汽车同时从站向站行驶．甲车每小时行30千米，乙车每小时行45千米，两车同时出发半小时后，一辆列车也从站向站行驶，列车行驶一定时间后分别赶上了两车．列车从追上甲车到完全超过甲车用了9秒钟，从追上乙车到完全超过乙车用了12秒钟．当列车完全超过乙车时，列车离开站多远？（列方程解应用题） 【答案】45.3千米 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设列车的速度为每小时s千米，根据列车的长一定，列出方程，求出的值，设列车到达乙车的时间为t秒，根据列出行驶的总路程等于乙车行驶的总路程，列出方程求出，再根据路程等于速度乘以时间，进行求解即可． 【详解】解：列车的速度为每小时s千米，由题意可得： ， ， ， ， ； 列车到达乙车的时间为t小时，由题意可得： ， ， ， ， ； （千米）； 答：当列车完全超过乙车时，列车离开A站45.3千米． 40．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）以下是两张不同类型火车的车票（“”表示动车，“”表示高铁），已知该高铁的平均速度比动车的平均速度快， 请根据车票中的信息，解答下列问题： (1)如果两车均按车票信息准时出发，准时到达终点，求该高铁和动车的平均速度分别是多少？ (2)在（1）的条件下，请直接写出在什么时刻两车相距． 【答案】(1)动车的平均速度为，高铁的平均速度为 (2)在或时，两车相距 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设动车的平均速度为，根据高铁的平均速度比动车的平均速度快，且总路程相同，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，f分两种情况，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：，， 设动车的平均速度为，则高铁的平均速度为，由题意得： ， 解得：， ∴， 答：动车的平均速度为，高铁的平均速度为； （2）高铁未出发时，， ∴动车出发即18分钟后，两车相距，此时为； 高铁出发后：， ∴高铁出发即出发分钟后，两车相距，此时为； 答：或时，两车相距． 41．（24-25六年级下·山东威海·期中）【问题背景】借助适当的图表，可以直观、形象地呈现数量关系，使复杂的数量关系变得清晰明了，从而帮助我们更好地理解问题、分析问题、解决问题． 下面是智慧小组同学的学习报告： 项目主题 借助示意图列一元一次方程解决行程问题 问题 A，B两地相距，甲从A地骑车出发，每小时行驶，乙从B地骑车出发，每小时行驶．如果甲、乙同时出发，相向而行，经过多长时间相遇？ 示意图                等量关系 相遇时，甲走的路程+乙走的路程 解决问题 设经过两人相遇， 根据题意得， 解得， 答：如果甲、乙同时出发，相向而行，经过相遇． 请根据以上内容，继续完成任务： (1)任务1：如果甲、乙同时出发，相向而行，那么经几小时后，甲、乙相距？ (2)任务2：如果甲、乙同时出发，按由B向A的方向同向而行，那么经过多长时间乙追上甲？ (3)任务3：如果甲、乙同时出发，按由B向A的方向同向而行，那么经过多长时间甲、乙相距？ 【答案】(1)经过或甲、乙相距 (2)经过乙追上甲 (3)经过或甲、乙相距 【分析】（1）设经过甲、乙相距，分相遇前相距及相遇后相距两种情况考虑，利用路程速度时间，结合甲、乙的路程之和为或，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设经过乙追上甲，利用路程速度时间，结合乙、甲的路程之差为，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设经过甲、乙相距，分相遇前相距及相遇后相距两种情况考虑，利用路程速度时间，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论； 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设经过甲、乙相距， 当相遇前相距时，， 解得：； 当相遇后相距时，， 解得：． 答：经过或甲、乙相距； （2）解：设经过乙追上甲， 根据题意得：， 解得：． 答：经过乙追上甲； （3）解：设经过甲、乙相距， 当相遇前相距时，， 解得：； 当相遇后相距时，， 解得：． 答：经过或甲、乙相距． 42．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）【问题情境】 随着互联网的发展，外卖经济影响着大家的生活方式，穿梭在大街小巷的骑手给我们的生活带来了便利．如图，某天甲乙两名骑手从商店A到同一条街道上的两个小区送外卖，由于备餐时间不同，甲先出发向东前往距离商店3600米的光明小区，2分钟后乙出发向西前往距离商店4800米的幸福小区，甲的平均速度为600米/分，乙的平均速度为400米/分，设骑手甲行驶的时间为分钟． 【数学思考】 （1）在两人送外卖到达目的地前，骑手甲离开商店A的距离为________米，骑手乙离开商店A的距离为________米（均用含的式子表示）； 【问题解决】 （2）在两人送外卖到达目的地前，当骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店A的距离时，求的值． 【答案】（1），；（2）4.4 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是正确解答此题的关键． （1）根据“距离速度时间”即可列出骑手甲离开商店A的距离和骑手乙离开商店A的距离； （2）根据“骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店A的距离”列方程，解出即可． 【详解】解：（1）设骑手甲行驶的时间为分钟． 因为甲的平均速度为600米/分， 所以骑手甲离开商店A的距离为米： 因为乙的平均速度为400米/分，2分钟后乙出发， 所以骑手乙离开商店A的距离为米． 故答案为：，； （2）依题意得， 整理得， 则， 解得， 答：的值为4.4． 题型三、一元一次方程应用-几何问题 43．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东的方向上，同时在它北偏东、西北（即北偏西）方向上又分别发现了客轮B和海岛C． (1)仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线，（不写作法）； (2)若有一艘渔船D，且是它补角的，则渔船D在货轮O的__________（写出方位角） 【答案】(1)画图见解析 (2)南偏东或北偏东 【分析】本题考查方位角以及补角的含义，一元一次方程的应用，解题关键在于熟悉方位角定义． （1）根据方向角的度数，再画图可得答案； （2）根据补角的含义，可得的度数，根据角的和差，可得方向角． 【详解】（1）解：客轮B和海岛C方向的射线，如图所示： ； （2）解：∵是它补角的， ∴, 解得：， 如图， 故D在O南偏东或北偏东． 44．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“百度角”；例如，，则与互为“百度角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图1，如果，与互为“百度角”，则 ． 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“百度角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒．当为何值时由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”？ 【答案】（1）；（2）为或；（3）当运动时间t为2秒或4秒或10秒或秒时，由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角” 【分析】本题考查新定义的角度关系，一元一次方程的应用，找到新定义的角度关系是解题的关键． （1）根据新定义，找到角度关系，求解即可； （2）分情况讨论与的位置关系，画出图象，求解即可． （3）分情况讨论与的位置关系，画出图象，根据新定义列出各个角度关于时间t的一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）∵与互为“百度角”， ∴， ， ， ； （2）如图，当在上方时，    ∵平分角， ∴， 根据题意得， ， 同理，当在下方时，    ∵平分角， ∴， 根据题意得， ， 综上所述，为或； （3）①如图    根据题意得，运动的时间为t秒时， ，，， 当和互为“百度角”时， ， 秒； 当和互为“百度角”时， ， 秒． ②如图    根据题意得，运动的时间为t秒时， ，， ， 当和互为“百度角”时， ， 秒． 当和互为“百度角”时， ， 秒． 综上所述，三条射线形成的角互为“百度角”时，t为2秒或4秒或10秒或秒． 45．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】 （1）如图①，已知，为的角平分线，则的度数为__________； 【探索归纳】 （2）如图①，，为的角平分线．猜想的度数（用含、的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，若．若射线绕点以每秒逆时针旋转，射线绕点以每秒顺时针旋转，射线绕点每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，一元一次方程的应用，涉及射线的旋转问题，有一定难度，解题的关键是理清角的和差关系，注意分情况讨论，避免漏解． （1）先根据角的和差关系计算出，再由角平分线的定义求出的度数，再根据求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）分①当为，夹角的角平分线，即平分时，此时，②当为，夹角的角平分线，即平分时，，③当为，夹角的角平分线，即平分时，，④当为，夹角的角平分线，即平分时，，四种情况根据角平分线的定义建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设运动时间为t，反向延长到E，如图： 由题意知，旋转了，旋转了，旋转了， ，， ∴，，， ∴经过9秒射线与直线重合，经过秒射线与直线重合，经过秒射线与直线重合， ∴总运动时间为秒， ∴，， 当重合时，则，解得； 当重合时，则，解得； 当重合时，则，解得， ①当为，夹角的角平分线，即平分时，此时，如图： ∴， ； 解得（舍去）； ②当为，夹角的角平分线，即平分时，，如图： ∴， ∴ 解得，符合题意； ③当为，夹角的角平分线，即平分时，，如图： ∴， ∴， 解得，符合题意； ④当为，夹角的角平分线，即平分时，，如图： ∴， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，运动时间为秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线． 题型四、一元一次方程应用-方案问题 46．（24-25七年级下·河南周口·期中）洛阳龙门石窟被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”．某校七年级组织了一次研学活动，计划安排6名老师带领名学生参观龙门石窟，已知每张门票的票价为90元．现有，两种购票方案可供选择： 方案：教师全价，学生半价． 方案：不分教师与学生，师生全部六折优惠． (1)请分别计算，两种方案的总费用（请用含的代数式表示）． (2)当学生人数是多少时，，两种方案的总费用一样． (3)当时，请通过计算来说明，两种购票方案中哪种更优惠． 【答案】(1)方案元；方案元 (2)当学生人数是24时，，两种方案的总费用一样 (3)方案更优惠 【分析】本题考查列代数式，求代数式的值，一元一次方程的应用： （1）根据优惠方式列代数式即可； （2）根据“两种方案价格一样”列一元一次方程，解方程即可； （3）计算出时，两种方案的费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：方案元； 方案元． （2）解：由题意，得， 解得． 答：当学生人数是24时，，两种方案的总费用一样． （3）解：当时，方案需要付款（元）， 方案需要付款（元）． ， 方案更优惠． 47．（24-25七年级下·河南南阳·期中）某出租车公司推出A专车和B快车两种出租车，这两种出租车的收费方式如下． A专车：3千米以内（包括3千米）收费10元，超过3千米的部分每千米收费2.5元，不收其他费用： B快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 8元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程2千米；里程大于2千米的部分按计价标准收取里程费：远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过12千米的，超出的部分每千米加收1元． (1)如果乘车路程是10千米，使用A专车出行，需支付的费用是______元；使用B快车出行，需支付的费用是______元； (2)如果乘车路程是千米，使用A专车出行，需支付的费用是______元；使用B快车出行，需支付的费用是______元；（用含的式子表示，结果要化简） (3)如果乘车路程是千米时，使用B快车出行的费用比使用A专车出行的费用省3元，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3)y的值为9或15 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的应用，根据题意正确列出代数式和一元一次方程是解题的关键． （1）由乘车路程是10千米，可得专车3千米以内收费10元，超过3千米的部分每千米收费元，快车收起步价与里程费，再计算即可； （2）由乘车路程是千米，可得专车3千米以内收费10元，超过3千米的部分每千米收费元，快车收起步价与里程费，远程费，再计算即可； （3）根据（2）中所列代数式结合乘车路程是千米，再分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：专车费用：乘车路程是10千米，3千米内收费10元，超过3千米的部分是千米，这部分每千米收费元， ∴专车费用为元； 快车费用：乘车路程10千米，起步价8元包含2千米，超过起步里程千米，里程费每千米2元， ∴费用为元； 故答案为：，． （2）解：专车费用： 乘车路程是千米，3千米内收费10元，超过3千米的部分是千米，这部分每千米收费元， ∴专车费用为元． 快车费用： 乘车路程千米，起步价8元包含2千米，里程费部分是元， 远途费部分是∵超过12千米，超出部分是千米，每千米加收1元，即元， ∴总费用为元， 故答案为：，． （3）解：当时： ∵快车费用比专车最多少元， ∴不符合题意舍去； 当时： ∵快车费用比专车最多少元， ∴不符合题意舍去； 当时： 由题意可得：， 解得：； 当时： 由题意可得：， 解得：， ∴y的值为9或15． 48．（22-23八年级上·福建厦门·开学考试）问题情景：五缘湾水上乐园门票价格如下表所示： 购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 某校七年级（1），（2）两个班共104人去五缘湾水上乐园春游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，超过50人．经估算如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元． 问题： (1)请算出两个班各有多少名学生? (2)若（1）班先到达乐园，想要单独购票，你能帮他们想出一个比较经济的购票方案吗? 【答案】(1)（1）班48人，（2）班56人 (2)能，较经济的方案是（1）班购买51张票，比购买48张票节省63元． 【分析】（1）设七年级（1）班有x 人，（2）班有y人，根据“七年级（1），（2）两个班共104人，且以班为单位分别购票一共应付1240元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）求出七年级（1）班购买51张及48张票所需费用，比较作差后，即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． 【详解】（1）解：设七年级(1)班有x人，(2)班有y人，根据题意， 列方程组： 解得：． 答：七年级(1)班有48 人，(2)班有56人． （2）能 若 （1）班先到达乐园，想要单独购票，我建议（1）班购买51张票，购票金额为（张）， ∵购买48张票，购票金额为（元），，（元）， ∴比较经济的方案是（1）班购买51张票，比购买48张票节省63元． 49．（24-25八年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 【驱动问题】如何安排废水处理方案费用最省？ 【问题情境】为了响应国家环保政策，某工厂需要对废水进行处理．现有三种方式：（1）自己建造废水处理车间处理；（2）交给第三方处理；（3）一部分自己建造废水处理车间处理，剩余部分交给第三方处理． 素材1：建造一个废水处理车间需要费用5万元，可以处理废水6000吨，并且每处理一吨废水还需费用5元． 素材2：第三方处理废水费用15元/吨． 素材3：工厂生产产生的废水量少于10000吨． 【问题解决】任务1：当工厂需要处理废水多少吨时，方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等． 任务2：若工厂需处理废水8000吨，如何安排废水处理方案，废水处理费用最省． 任务3：直接写出工厂生产产生不同废水量的处理方案，使废水处理费用最省． 【答案】（1）当工厂需要处理废水5000吨时，方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等（2）按照方案（3）处理废水更省（3）见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数运算的实际应用： （1）设当工厂需要处理废水吨时，方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，只能利用（2）（3）两种方式，分别求出两种方式所需费用，进行比较即可； （3）根据（1）（2）的结果，进行讨论即可． 【详解】解：（1）当工厂需要处理废水吨时，方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等，由题意，得：， 解得：； 答：当工厂需要处理废水5000吨时，方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等； （2）∵只能利用（2）（3）方案进行处理； 当利用（2）方案处理时，（元）； 当利用（3）方案处理时：（元）； ∵， ∴按照方案（3）处理废水更省； （3）由（1）（2）可知： 当处理废水小于5000吨时，选择方案（2）更省钱； 当处理废水等于5000吨时，选择方案（1）和方案（2）所需费用一样； 当处理废水大于5000吨小于等于6000吨时，选择方案（1）更省钱， 当处理废水大于6000吨且小于10000吨时，选择方案（3）更省钱． 50．（24-25七年级上·陕西安康·期末）某初级中学为适应新中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌篮球和跳绳，在查阅天猫网店后发现篮球每个定价元，跳绳每条定价元．现有两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． 网店：买一个篮球送一条跳绳； 网店：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知该学校要购买篮球个，跳绳条． (1)若在网店购买，需付款_____元，若在网店购买，需付款_____元；（用含的代数式表示） (2)①当时，①通过计算说明在哪家网店购买较为合算？②此时，请你设计一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元？ (3)为何值时，在两家网店花钱一样多（列方程解答）？ 【答案】(1)， (2)①在网点购买交合算，理由见详解；②在网点购买个篮球，再在网点购买条跳绳，所需费用为元 (3)当跳绳购买数为条时，两家网点花钱一样多 【分析】本题主要考查代数式的运用，一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）根据题意列式即可； （2）①把代入（1）中的式子计算即可；②根据两个店的情况，在网点购买个篮球，再在网点购买条跳绳，代入计算，进行比较即可求解； （3）根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：学校要购买篮球个，跳绳条， 网店：买一个篮球送一条跳绳，所付费用为：（元）； 网店：篮球和跳绳都按定价的付款，所付费用为：（元）； 故答案为：，； （2）解：当时， ①网店的费用为：（元），网店的费用为：（元）， ∵， ∴在网点购买交合算； ②购买个篮球，条跳绳， 在网点购买个篮球，送了条跳绳，费用为：（元）， 再在网点购买条跳绳，费用为：（元）， 合计：（元）， ∵， ∴在网点购买个篮球，再在网点购买条跳绳，这种方按最省钱，所付费用为元； （3）解：， 解得，， ∴当跳绳购买数为条时，两家网点花钱一样多． 51．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）某学校准备印刷一批证书，现在有两个印刷厂可供选择：甲印刷厂收费方式：收制版费500元，每本印刷费0.5元； 乙印刷厂收费方式：不超过1000本时，每本收印刷费1.5元；超过1000本时，超过部分每本收印刷费0.25元．设该校印刷证书x本． (1)若x不超过1000本，甲印刷厂的收费为 元，乙印刷厂的收费为 元．（用含x 的代数式表示） (2)若x超过1000本，甲印刷厂的收费为 元，乙印刷厂的收费为 元．（用含x 的代数式表示） (3)当印刷证书4000本时，选择哪个印刷厂更节省费用？省了多少元？ (4)印刷多少本证书时，甲、乙两个印刷厂收费相同？ 【答案】(1)，1.5x (2)， (3)乙印刷厂；250元 (4)500或3000本 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用： （1）根据甲乙两个印刷厂的收费方式，列出代数式即可； （2）根据甲乙两个印刷厂的收费方式，列出代数式即可； （3）把代入代数式进行求解即可； （4）根据题意，分两种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，甲印刷厂的收费为元，乙印刷厂的收费为1.5x； 故答案为：，1.5x； （2）由题意，甲印刷厂的收费为元，乙印刷厂的收费为元； 故答案为：，； （3）当时，甲印刷厂所需费用为：元； 乙印刷厂所需费用为：元， ∵， ∴选择乙印刷厂更节省费用，便宜元； 答：选择乙印刷厂更节省费用，便宜250元； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得； 答：印刷500或3000本证书时，甲乙两厂收费相同． 题型五、一元一次方程应用-营销问题 52．（24-25七年级下·四川眉山·期末）某商品按定价的八折出售，售价为56元，则原定价为 元． 【答案】70 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程解题关键． 设原定价为x元，根据题意列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：设原定价为x元， 由题意得：， 解得：， 即商品原定价为70元． 故答案为：70． 53．（24-25七年级下·山东威海·期末）习近平总书记指出，要培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．良好的身体素质是所有的前提保障，体育锻炼是增强体质最有效的手段，某校决定购买一些羽毛球拍和羽毛球，其中每副羽毛球拍的价格比一桶羽毛球贵12元，购买5副羽毛球拍和4桶羽毛球一共需要330元．求每副羽毛球拍和每桶羽毛球的价格分别是多少元？ 【答案】每副羽毛球拍的价格为42元，每桶羽毛球的价格为30元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设每桶羽毛球的价格为元，则每副羽毛球拍的价格为元，根据题意列出方程解方程，即可求解． 【详解】解：设每桶羽毛球的价格为元，则每副羽毛球拍的价格为元， 由题意得，， 解得：， 则， 答：每副羽毛球拍的价格为42元，每桶羽毛球的价格为30元． 54．（24-25七年级上·重庆秀山·期末）某商场经销A、B两种商品，A种商品每件进价40元，售价50元；B种商品每件售价80元，利润率为． (1)每件A种商品利润率为 ，每件B种商品进价为 ； (2)若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2300元，则该商场购进A种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 不优惠 超过500元，但不超过800元 按总售价打九折 超过800元 其中800元部分打八折优惠，超过800元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款675元，求小华此次购物打折前的总金额． 【答案】(1)；50 (2)20件 (3)750元或850元 【分析】（1）根据题意，每件A种商品利润率为，设每件B种商品进价为x元，根据题意，得，解方程即可； （2）设购进A种商品件，B种商品共件，根据题意，得，解方程即可； （3）根据小华一次性购买A、B商品实际付款675元，说明购物费用超过了500元， 设本次购物打折前的费用为元，当时，根据题意，得； 当时，根据题意，得，解答即可； 本题考查了利润率，一元一次方程的应用，打折问题，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，每件A种商品利润率为， 设每件B种商品进价为x元，根据题意，得， 解得； 故答案为：；50． （2）解：设购进A种商品件，B种商品共件， 根据题意，得， 解得， 故购进A种商品20件． （3）解：根据小华一次性购买A、B商品实际付款675元，说明购物费用超过了500元， 设本次购物打折前的费用为元， 当时，根据题意，得， 解得； 当时，根据题意，得， 解得， 小华此次购物打折前的总金额为750元或850元． 55．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）某超市以每千克a元的统一进价购进600千克苹果．若将这批苹果按某种标准分为甲乙两类，乙类苹果的重量是甲类的一半． (1)求甲乙两类苹果的重量各是多少千克？ (2)现有以下三种销售方案：方案一：甲类苹果以进价的2倍价格直接销售，乙类苹果以高于进价直接销售；方案二：将两类苹果精加工后销售，两类苹果的售价比方案一中的售价每千克均提高2元；方案三：所有苹果不分类精加工后按同一价格销售，其价格按方案一中的甲类苹果和乙类苹果售价的平均数定价．无论用哪种方案均能确保苹果数量不发生变化且全部销完，且方案二与方案三中的加工费忽略不计，解决以下问题： ①用含a的式子表示三种方案的利润； ②若方案一的利润比方案三的利润高m元，方案二的利润比方案三的利润高n元，且，求a的值． 【答案】(1)甲400千克，乙200千克 (2)①方案一利润：元，方案二利润：元，方案三利润：元；② 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设乙类苹果的重量为x千克，则甲类苹果的重量为千克，甲、乙两类苹果的总重量为600千克，列出方程，求出甲、乙两类苹果的重量即可； （2）①根据利润售价进价，按照三种方案分别列出代数式即可； ②根据方案一的利润比方案三的利润高m元，方案二的利润比方案三的利润高n元，求出，根据，得出，即可得出，解关于a的方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设乙类苹果的重量为x千克，则甲类苹果的重量为千克，根据题意得： ， 解得：， 则， 答：甲类苹果的重量为400千克，乙类苹果的重量为200千克； （2）解：①方案一利润：（元）； 方案二利润： 元； 方案三利润：元； ②∵方案一的利润比方案三的利润高m元，方案二的利润比方案三的利润高n元， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 56．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价35元，且利润为进价的；乙种商品每件进价30元，进价比售价少 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价一律打九折 超过400元 售价一律打八折 (1)求每件甲种商品的进价及每件乙种商品的售价分别是多少元？ (2)该商场购进甲、乙两种商品共100件，且乙种商品比甲种商品少，若全部卖出，求该商场的利润是多少元？ (3)在“五一”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如表优惠促销活动：按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款245元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款360元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)每件甲种商品的进价为元，每件乙种商品的售价为元 (2)若全部卖出，该商场的利润是元 (3)这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共15或16件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程即可； （3）根据题意列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得：每件甲种商品的进价为（元）， 每件乙种商品的售价为（元）， 故每件甲种商品的进价为元，每件乙种商品的售价为元； （2）解：设该商场购进件甲种商品，则购进件乙种商品， 由题意可得：， 解得：， （元）， 故若全部卖出，该商场的利润是元； （3）解：（元），（元），（元）， ，， 故小王第一天只购买甲种商品时没有优惠，购进数量为（件）， 设小王第二天购买件乙种商品， 由题意可得：或， 解得或， ∴（件）或（件）， 故这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共15或16件． 57．（24-25六年级下·山东烟台·期中）大三学生小凡参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是型平板电脑一台和2000元现金，当他工作满20天时因故结束实习，结算工资时公司给了他一台型平板电脑和500元现金． (1)这台型平板电脑公司的报价是多少元？ (2)小凡若工作天，将上述约定工资支付标准折算为现金，他应获得多少报酬（用含的代数式表示）？ (3)若某电脑经销商正在经销这款型平板电脑，他按进货价提高后标价，又以九折优惠卖出，结果每台仍可获利340元，这款型平板电脑每台的进货价是多少元？ 【答案】(1)这台型平板电脑公司的报价是2500元 (2)他应获得150n元的报酬 (3)这款型平板电脑每台的进货价是2000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出他应获得的报酬；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设这台M型平板电脑公司的报价是x元，利用日均工资不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用日均工资这台M型平板电脑公司的报价，可求出日均工资，再利用他应获得的报酬=日均工资×小凡的工作时间，即可用含n的代数式表示出他应获得的报酬； （3）设这款M型平板电脑每台的进货价是y元，利用利润=售价-进价，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设这台型平板电脑公司的报价是x元， 由题意，得：， 解得：， 因此，这台型平板电脑公司的报价是2500元； （2）解：由题意，得：， 因此，他应获得150n元的报酬； （3）解：设这款型平板电脑每台的进货价是元， 由题意，得：， 解这个方程，得， 因此，这款型平板电脑每台的进货价是2000元． 58．（24-25七年级下·重庆·期中）列方程解决下列问题： 年，新能源汽车市场竞争异常激烈，某新能源汽车品牌生产厂为抢占市场份额，提高销售量，对经销商采取销售奖励活动．某经销商在新奖励办法出台前一个月共售出该品牌汽车的型和型共台，新奖励办法出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共台，其中型汽车和型汽车的销售量分别比新奖励办法出台前一个月增长和． (1)在新办法出台后的第一个月，该经销商销售的型汽车和型汽车分别为多少台？ (2)若型汽车每台售价为万元，型汽车每台售价为万元．新奖励办法是：每销售一台型汽车按每台汽车售价的给予奖励，每销售一台型汽车按每台汽车售价的给予奖励．新奖励办法出台后的第二个月，型汽车的销售量比出台后的第一个月增加了；而型汽车受到某问题零件召回的影响，销售量比出台后的第一个月减少了，新奖励办法出台后的第二个月，该经销商共获得的奖励金额万元，求的值． 【答案】(1)分别为台和台 (2) 【分析】（）设办法出台前该经销商销售的型汽车为台，则该经销商销售的型汽车为台，根据题意列出方程求出的值，进而即可求解； （）根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设办法出台前该经销商销售的型汽车为台，则该经销商销售的型汽车为台， 由题意得，， 解得， ∴新办法后第一个月型汽车台数：(台)， 新办法后第一个月型汽车台数：(台) ， 答：在新办法出台后第一个月，该经销商销售的型和型汽车分别为台和台； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得， 答：的值为． 59．（24-25六年级下·山东烟台·期中）某体育用品商店用7800元购进一批篮球和排球，其中排球的进货数量比篮球的2倍多20个，篮球、排球每个的进价和售价如表： 篮球 排球 进价（元/件） 60 40 售价（元/件） 100 60 (1)该超市购进篮球和排球各多少个？ (2)该超市若按该售价将这批球类全部卖完后一共可获得多少利润？（注：利润=售价-进价） (3)某学校准备到该体育用品商量购买篮球和排球共22个，该体育用品商店给出以下两种优惠方案： 方案一：两种球类售价都打8折；方案二：购买2个篮球赠送一个排球． 学校根据购买清单，通过计算发现两种方案的购买总价是一样的．请你求出学校准备购买篮球和排球各多少个？ 【答案】(1)购进篮球50个，排球120个 (2)一共可获得4400元利润 (3)学校准备购买篮球12个，排球10个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． （1）设超市购进篮球个，则购进排球个，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）根据题意列式计算即可得解； （3）设学校准备购买篮球y个，则学校准备购买排球个，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设超市购进篮球个，则购进排球个，则 ， 解得，， ， 答：购进篮球50个，排球120个； （2）解：（元）， 答：一共可获得4400元利润； （3）解：设学校准备购买篮球y个，则学校准备购买排球个， 由题意可得：， 解得：， ， 答：学校准备购买篮球12个，排球10个． 题型六、一元一次方程应用-动点问题 60．（24-25七年级上·全国·期中）阅读：如图，已知数轴上有A，B，C三个点，它们表示的数分别是，8．A到C的距离可以用表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数，8大于，用．用式子表示为：． 根据阅读完成下列问题： (1)填空： ， ； (2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由； (3)现有动点P，Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒，写出P，Q两点间的距离（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)10；16 (2)不变，，理由见解析 (3)P，Q两点间的距离为t或或 【分析】本题主要考查数轴上动点问题，两点之间距离的计算方法，代数式表示数量关系，掌握数轴特点，两点之间距离的计算方法，代数式表示数量关系的方法是解题的关键． （1）根据材料中提供的方法计算两点间的距离，即可求解； （2）由题意可分别求出运动后点A、点B、点C表示的数，分别计算出，再计算出即可作出判断； （3）由题意，用含t的式子分别表示点P、点Q表示的数，当点Q追上点P时，得到关于t的方程，可求得，据此进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：10；16； （2）解：不变； 理由如下： 因为经过t秒后，A，B，C三点所对应的数分别是， 所以，， 所以， 所以的值不会随着时间t的变化而改变； （3）解：经过t秒后，P，Q两点所对应的数分别是， 当点Q追上点P时，， 解得． ①当时，点Q还在点A处，所以； ②当时，点P在点Q的右边，所以； ③当时，点Q在点P的右边，所以． 综上所述，P，Q两点间的距离为t或或． 61．（24-25七年级上·福建南平·期中）阅读并理解下列材料： 数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离为，将数轴沿表示的点折叠，可使点A、B重合，例如点M表示的数是2，点N表示的数是6，则M、N两点之间的距离，将数轴沿表示的点折叠，可使点M、N重合． 请你解决以下问题： 数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，其中． (1)若a、b满足，求A，B两点之间的距离； (2)点A、B、C在数轴上的位置如图所示，沿该数轴上某点折叠，使点A、点B重合，则与点C重合的点表示的数为 （用含a、b、c的代数式表示）； (3)若，，，在数轴上点A以每秒x个单位长度的速度向左匀速运动，同时点B以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，运动t秒后， ， ，则若运动过程中，的值不变，求x的值． 【答案】(1)8 (2) (3)，， 【分析】（1）利用非负数的性质求得a、b的值，再利用两点之间的距离公式即可求解； （2）先求得折叠点的坐标为，设与点C重合的点表示的数为x，再列式计算即可求解； （3）设运动为t秒，得到点A表示的数为，点B表示的数为，再利用两点之间的距离公式，整理得到，根据题意得到求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 则A，B两点之间的距离是； 故答案为：8； （2）解：使点A、点B重合的折叠点为， 设与点C重合的点表示的数为x， ∴， 解得 则与点C重合的点表示的数为， 故答案为：； （3）解：设运动为t秒，由题意得点A表示的数为，点B表示的数为， ∴， ∴ ∵的值不变 ∴ ∴． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，非负数的性质，用数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，整式加减的应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 62．（24-25七年级上·广西桂林·期中）绝对值的概念：在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作．实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为点表示的数记为，则两点间的距离就可记作． 【学以致用】 （1）数轴上表示1和的两点之间的距离是___________； （2）数轴上表示与1的两点和之间的距离为2，那么为___________； 【解决问题】 如图，已知分别为数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是50． （3）现有一只蚂蚁从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁恰好从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动．求两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间； 【数学理解】 （4）数轴上两点、对应的数分别为、，已知，点从出发向右以每秒3个单位长度的速度运动．直接写出秒后、之间的距离___________（用含的式子表示）． 【答案】（1）4；（2）或；（3）；（4） 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值方程的应用，非负数的性质，一元一次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键． （1）直接利用两点间的距离公式进行计算即可得到答案； （2）由数轴上表示与的两点间的距离为，列方程，再解方程可得答案； （3）由路程除以两只蚂蚁的速度和可得答案； （4）先求解的值，再表示后对应的数为，再利用两点间的距离公式表示之间的距离即可得到答案． 【详解】解：（1）数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）由题意得： 或， 或 故答案为：或； （3）由题意可得：， 所以两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间为： （4） ， 且， ， 如图，秒后对应的数为：， 故答案为：． 63．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）【定义新知】：在数轴上，点和点分别表示数和，可以用绝对值表示点两点间的距离，即．在数轴上互不重合的三个点中，如果，那么点叫做两个点的“伴点”． 例如：如图1，数轴上点分别表示， 因为，， 所以，, 所以，点是点的“3伴点”； 因为，， 所以，， 所以，点是点的“4伴点”． 【初步应用】：如图2，数轴上点分别表示． （1）点是点的“ ____ 伴点”；点 ____ 是点的“6伴点”（只能填写图2中表示的字母）； （2）若点是点的“3伴点”，求点在数轴上表示的数． 【综合应用】： （3）在【初步应用】中的条件下（如图2所示），若点以每秒1个单位的速度向右运动，同时点以每秒2个单位的速度向左运动，当运动秒时，是的“7伴点”，请直接写出的值． 【答案】（1）2，D；（2）点在数轴上表示的数为；（3）的值为 【分析】本题考查新定义，涉及数轴上点表示有理数、两点之间距离及一元一次方程等知识，读懂题意，理解“伴点”是解决问题的关键． （1）由阅读材料，理解“伴点”定义求解即可得到答案； （2）由阅读材料，理解“伴点”定义，分类讨论，列绝对值方程，化为一元一次方程求解即可得到答案； （3）由阅读材料，理解“伴点”定义，分类讨论，列绝对值方程，化为一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：（1）由阅读材料中的“伴点”可知， 分别表示， ， ，则点是点的“伴点”； 分别表示， ， ，则点是点的“伴点”； 故答案为：2，D； （2）设点表示的数是， 分别表示， ， 点是点的“3伴点”， 则分两种情况： 当时， ，则或， 解得或； 当时， ，则或， 解得或； 综上所述，点在数轴上表示的数为； （3）点分别表示， 当点以每秒1个单位的速度向右运动，同时点以每秒2个单位的速度向左运动，当运动秒时，点表示的数为；点表示的数为； ， 是的“7伴点”， 则分两种情况： 当时， ，则或， 解得或； 当时， ，则或， 解得或； 综上所述，的值为． 64．（24-25七年级下·辽宁丹东·开学考试）（1）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，如图1，他发现将火车在数轴上水平移动，当火车向右移动，点移动到点时，此时点所对应的数为24；当火车向左移动，点移动到点时，此时点所对应的数为6．由此可得点处的数字是__________，玩具火车的长为__________个单位长度． （2）如果火车正前方8个单位长度处有一个“隧道”，火车从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧道”恰好用了秒，已知火车过“隧道”的速度为个单位长度/秒，则知“隧道”的长为__________个单位长度．（自己在稿纸上画图分析，用含的代数式表示即可） （3）他惊喜地发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：如图2，在（1）条件下的数轴上放置与大小相同的玩具火车，使原点与点重合，两列玩具火车分别从点和点同时在数轴上移动，已知火车的速度为5个单位长度/秒，火车的速度为2个单位长度/秒（两火车均向右移动），几秒后两火车的处与处相距3个单位长度？ 【答案】（1）12；6；（2）；（3）5或3秒后两火车的处与处相距3个单位长度 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，以及用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，根据题意找到题目中的等量关系． （1）由数轴观察知三个玩具火车长是，则一个玩具火车长为6个单位长度，再求出点处的数字即可； （2）设的长为，根据点的位置也通过“隧道”列出关于的方程，据此求解即可得； （3）设秒后两火车的处与处相距3个单位，则点移动后对应的点为，点所对应的点为，分在的左侧和在的右侧两种情况，分别利用数轴的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）根据题意画出图形如图1所示． 由数轴观察，知三个玩具火车的长为， 所以一个玩具火车的长为． 所以点处的数字是12． 故答案为：12；6． （2）如图2． 根据题意，得， 设的长为， 所以，整理，得， 故答案为． （3）设秒后两火车的处与处相距3个单位， 因为原点与点重合，点表示的数为12， 所以点移动后所对应的点为，点移动后所对应的点为， 由题意，知或， 解得或， 所以5或3秒后两火车的处与处相距3个单位长度． 65．（24-25六年级上·上海·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示20，点C表示36，我们称点A和点C在数轴上相距56个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点P从点A出发，以2单位／秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点C处停止运动；点Q从点C出发，以1单位／秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点A处停止运动．设运动的时间为t秒，问： (1)当点P运动3秒时，点P在数轴上表示的数是 ；当点Q运动12秒时，点Q在数轴上表示的数是 (2)动点P从点A运动至C点需要多少时间？ (3)P、Q两点何时相遇？相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】(1) (2)38 (3) (4)4 或 13 或 22 或 34 或 42 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，理解题意，找出等量关系，正确列出方程求解是解题的关键． （1）先求出点运动 3 秒的路程，再根据数轴上两点之间的距离公式计算即可；先求出点从点运动到点所用的时间，判断时，点位置，再根据此时的速度即可求出运动路程，从而求出点在数轴上表示的数； （2）根据的长除以各自的速度即为时间，相加即可； （3）首先判断出两点相遇在线段上的点处，根据相遇问题公式求出相遇时间，进而可以求出所对应的数； （4）根据的取值分类讨论，用表示出两点在数轴上相距的长度和两点在数轴上相距的长度，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点表示的数为：， ∵从到所用时间为：（秒）秒， 时，在上， ∴所表示数为：， 故答案为：； （2）解：从到所用时间为： （秒）； （3）解：从到所用时间为：（秒）， 从到所用时间为：（秒）， ∴两点在段相遇， 当到达点时，， ∴离开到相遇所用时间为：（秒）， ∴相遇总时间为：（秒）， 此时，， ∴相遇点所对应的数为：； （4）解：当时，， ， 解得：，符合题意； 当时，， ， 解得：，符合题意； 当时，， ， 解得：，符合题意； 当时，， ， ∴无解； 当时，， ， 解得：，符合题意； 当时，， ， 解得：，符合题意； 综上所述，或 13 或 22 或 34 或 42 时，两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等． 66．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【初步尝试】 （1）如果点表示数，将点向右移动5个单位长度得到点，那么终点表示的数是______； （2）如果点表示数2，将点先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度得到点，那么终点表示的数是______； 【深入研究】 （3）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．如图，两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点表示的数是，乙选择的游戏起点表示的数是2；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： “剪刀、石头、布”的结果 、两点移动方式 平局 点向右移动个单位，点向左移动个单位 甲胜 点向右移动个单位，点向右移动个单位 乙胜 点向左移动个单位，点向左移动个单位 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布”（为正整数）． ①当时，其中平局一次，甲胜两次，求点最终位置表示的数，点最终位置表示的数，、两点间的距离； ②若在次“剪刀、石头、布”中，平局有次，甲胜有次，请用含、、的式子表示点和点最终表示的数；点和点会重合吗？如果能重合，请求出的值． 【答案】（1）；（2）7；（3）①点最终位置表示的数为；点最终位置表示的数为；，、两点间的距离为；②点A最终表示的数为，点B最终表示的数为，当A、B重合时，；当点A和点B最终表示的数相距2时，或 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，解一元一次方程，整式的加减计算 （1）用点A表示的数加上移到的距离即可得到答案； （2）用点A表示的数减去向左移动的距离再加上向右移动的距离即可得到答案； （3）①当时，其中平局一次，甲胜两次，乙胜一次，再根据移到规律分别求出点A和点B最终表示的数，再根据两点距离计算公式求解即可；②在m次“剪刀、石头、布”中，平局有x次，甲胜有y次，则乙胜次，再根据移到规律分别求出点A和点B最终表示的数，再根据两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵点A表示数，将点A向右移动5个单位长度到达点B， ∴点B表示的数为， 故答案为：； （2）∵点A表示数2，将A点先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度到达点B， ∴点B表示的数为， 故答案为：7； （3）①当时，其中平局一次，甲胜两次，乙胜一次，则点A最终位置表示的数为，点B最终位置求示的数为， ∴此时两点间的距离为 ∴点最终位置表示的数为；点最终位置表示的数为；，、两点间的距离为； ②在m次“剪刀、石头、布”中，平局有x次，甲胜有y次，则乙胜次， ∴点A最终表示的数为， 点B最终表示的数为， 当A、B重合时，则， 解得； 当点A和点B最终表示的数相距2时，则， ∴， 解得或 67．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． 设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可． 【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为， 由，可得：，解得：； 所以这只风筝的骨架的总高． 答：这只风筝的骨架的总高． 68．（24-25七年级下·全国·假期作业）A、B两市相距千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路．甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的． (1)如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ (2)如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 【答案】(1)甲队：千米/小时，乙队：千米/小时 (2)小时 【分析】本题主要考查工程问题，掌握工程问题的公式以及找准等量关系是解题的关键． （1）设乙队的行进速度是千米/小时，则甲队的行进速度是千米/小时．从早上7点到9点，经历了2小时，甲开工半小时后乙才到，说明乙走了小时，由于受损公路长1千米，用甲、乙走的路程和=两市相距的距离再减去受损公路长，据此即可列出方程，再求解即可． （2）由于从上午9点到下午3点总共经历了6小时，最开始甲队工作小时，完成了总量的，根据工作效率=工作总量÷工作时间，用求出甲的效率．设乙的效率为，由于甲队工作了6小时，乙队工作的时间是：（小时），根据工作效率工作时间=工作总量，甲队工作量＋乙队工作量，据此列方程即可求出乙队的效率，再用1除以乙队的效率即可求出时间． 【详解】（1）解：设乙队的行进速度是千米/小时，则甲队的行进速度是千米/小时， （小时）， 2小时小时=小时， ， （千米/小时）， 答：甲队的行进速度是千米/小时，乙队的行进速度是千米/小时． （2）， 根据题意，设乙的工作效率为， （小时）， 答：乙队单独疏通这条公路的效率是小时． 69．（24-25六年级下·山东烟台·期中）临近“五一”，各大商场掀起促销狂潮，甲、乙、丙三个商场的促销活动如下表所示： 商场 促销活动 甲 全场按标价的6折销售 乙 实行“每满100元送100元的购物券”的优惠，再购物时，购物券可冲抵现金．（如：顾客购物240元，赠券200元；再购买340元的商品时可抵现金200元，只需付款140元，不再送券．） 丙 实行“每满100元减50元”的优惠．（如：顾客购物240元，可减100元，只需付款140元．） 根据以上活动信息，解答以下问题： (1)三个商场同时出售一双标价299元的皮鞋和一双标价229元的运动鞋，王阿姨想买这两双鞋，她应选哪家商场？ (2)张阿姨发现在甲、乙商场同时出售一件标价380元的上衣和一条标价300多元的裤子，两家商场所需费用相等，求这条裤子的标价． (3)丙商场又推出“先打九折”，再实行“每满100元减50元”的新优惠活动．李阿姨购买了该商场一件标价600元的小家电，她按照新优惠活动结算，发现费用反而比老优惠活动多20元，求被墨水遮盖的数字． 【答案】(1)选丙商场 (2)370元 (3)五 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程进行求解． （1）按照不同的优惠方案算出实际花的钱数，再比较得出答案即可； （2）设这条裤子的标价为x元，按照优惠方案算出实际付款数，根据付款额一样，列方程求解即可； （3）根据题意可得可减费用为元，设打m折，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：甲商场所需费用为（元） 乙商场所需费用为（元） 丙商场所需费用（元） 因为， 因此，应选丙商场． （2）解：设这条裤子的标价是x元，根据题意，得∶ ， 解这个方程，得． 因此，这条裤子的标价是370元． （3）解：老优惠活动所需费用为（元）， 由题意，得这件小家电打完折后的价格在之间， 所以可减费用为：（元）． 设打m折，由题意，得： ． 解得． 即被墨水遮盖的数字为五． 70．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图1，点为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，，求实数的值； (2)三角板在绕点按逆时针方向旋转时，若在的内部．与大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点以原速按顺时针方向旋转，在、第二次相遇前，当时，求旋转时间的值． 【答案】(1) (2)与的差是定值，该定值为 (3)或或或69 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，则，再求出的度数即可得到答案； （2）分在上方和在下方两种情况画出对应的示意图，讨论求解即可； （3）先求出旋转前与的夹角，然后再求出与第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分在的左侧和在的右侧两种情况解答即可． 【详解】（1）解：平分， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解；如图所示，当在上方时， ∵，， ∴； 如图所示，当在下方时， ∵，， ∴； 综上所述，与的差是定值，该定值为； （3）解：射线平分，射线平分， ，， 旋转前与的夹角为， 与第一次相遇的时间为秒，此时旋转的角度为， 此时OC与OE的夹角为， 与第二次相遇的时间为（秒）， 设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t， ①当相遇前，解得，； ②当第一次相遇后，解得，； ③当第一次相遇后，相遇前，解得； ④当第一次相遇后，相遇后，解得，； 在与第二次相遇前，当时，旋转时间t为或或或69. 【点睛】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补角等概念合理运用“等量代换”及旋转时会出现多种情况运用，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相同，”是解题关键． 71．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，有一个玩具火车按如图所示放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，记火车移动后对应的位置为．当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．当玩具火车匀速向右移动时，火车从车头到车尾完全经过点需要2秒． (1)玩具火车的长为________个单位长度；玩具火车的速度为每秒________个单位长度；点所对应的数为_____； (2)在数轴上放置与大小相同的火车，使点与点重合，火车和在数轴上分别从点和点同时出发向右移动，记火车移动后对应的位置为．火车的速度为5个单位长度/秒，求几秒后两火车的处与处相距7个单位长度； (3)当火车匀速向右移动，同时点和点分别从，出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度沿数轴向左和向右移动，点、间的距离用表示，点、间的距离用表示，是否存在有理数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请直接写出和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)秒后两火车的处与处相距7个单位长度 (3)存在有理数使得的值与它们的运动时间无关，且，定值为 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上点的平移，数轴上两点之间的距离，解方程，整式计算中的无关问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）设初始位置处表示的数为，初始位置处表示的数为，火车的长度为， 根据题意得，，求出，即可得到答案； （2）设处表示的数为，处表示的数为，秒后两火车的处与处相距7个单位长度，则，，根据题意得，求解即可； （3）设火车匀速向右移秒，则，，火车匀速向右移动个单位长度，则，得到，继而得到根据已知表示，令的系数为，求解即可． 【详解】（1）解：设初始位置处表示的数为，初始位置处表示的数为，火车的长度为， 根据题意得，， ， ； 小火车的速度为个单位长度； ， ； 故答案为：； （2）解：设处表示的数为，处表示的数为，秒后两火车的处与处相距7个单位长度， 则，， 根据题意得， ， 解得， 秒后两火车的处与处相距7个单位长度； （3）解：设火车匀速向右移秒，则，，火车匀速向右移动个单位长度， 则， 解得， ， ， ， ， 的值与它们的运动时间无关， ， ， ， 故存在有理数使得的值与它们的运动时间无关，且，定值为． 72．（24-25七年级上·福建福州·期末）枇杷是福清市一都镇传统特产，具有皮薄，汁多，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：某批发市场计划准备从福清市一都镇运输一批枇杷到甲地出售，为保证枇杷新鲜需用带冷柜的货车运输或空运．货车运输的平均速度为80千米/时，飞机的平均速度为800千米/时， 方案一：从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地； 方案二：从福清市一都镇先用带冷柜的货车运输到机场用时1小时后用飞机空运到甲地； 方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米． 材料二：已知有一批枇杷用带冷柜的货车每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，运这批枇杷从福清市一都镇到甲地 陆运单价 冷柜车 空运单价 7000元/吨 400元/（小时·辆） 10000元/吨 注意：如选方案二空运，则陆运时间段只收冷柜使用费，且在飞行途中不收冷柜使用费． 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目；总费用路费冷柜使用费． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： (1)请求出从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间； (2)这批枇杷共有_______吨． (3)本次从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地，冷柜车一次运8吨，应选用那种方案使得总费用较少？ 【答案】(1)小时 (2) (3)方案一 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（行程问题，其他问题），有理数四则混合运算的实际应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程和算式是解题的关键． （1）根据“方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米”列方程求解即可； （2）根据“每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有装上车” 列方程求解即可； （3）先分别求出两种方案的总费用，再比较大小即可． 【详解】（1）解：设从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间为小时，则用飞机空运到甲地的时间为小时， 由题意得： ， 解得：， 从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间为小时； （2）解：设这批枇杷共有吨， 由题意得： ， 解得：， 故答案为：； （3）解：方案一： （元）， 方案二： （元）， ， 应选方案一， 答：应选用方案一使得总费用较少． 73．（24-25七年级上·广东广州·期中）同学们都知道：数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为．例如表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)若，则______． (2)表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是______． (3)请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是______． (4)继续探索：是否有最小值？如果有，最小值是多少？此时的取值是多少？如果没有，说明理由． (5)若动点A，，分别从数轴上表示，，的位置沿数轴正方向运动，速度分别为个单位每秒，个单位长度每秒，个单位长度每秒．若点A，点（为数轴原点）中间的点为，点和点中间的点为，点和点中间的点为，若为常数，则的值是多少？ 【答案】(1)或 (2)、、、、 (3) (4)，最小值为 (5)2 【分析】（1）根据绝对值的意义可分当时，当时，然后分类求解即可； （2）由题意分当对应的数在与之间（包含与），即时，当对应的数在的左边或右边时，显然或，进而分类讨论进行求解即可； （3）由题意可得当对应的数在与之间（包含与），即时，当对应的数在的左边或右边时，显然或，进而问题可求解； （4）同理可得：的最小值是，当且仅当时取最小值，的最小值是，当且仅当时取最小值，进而问题可求解； （5）设时间为，则点A可表示，点可表示，点可表示，的中点为，的中点为，的中点为，然后可得，，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由可分： 当时，则有；当时，则有； 故答案为1或5； （2）解：表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和为， 如图， 当对应的数在与之间（包含与），即时， ， 这样的整数有、、、、， 当对应的数在的左边或右边时，显然或， 此时不合题意． 故答案为：、、、、； （3）解：表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和， 如图， 当对应的数在与之间（包含与），即时， ， 当对应的数在的左边或右边时，显然或， 此时， 综上所述：的最小值是，当且仅当时，取最小值， 又，当且仅当时，取最小值0， 当且仅当时，取最小值； （4）解：同理可得：的最小值是，当且仅当时取最小值， 的最小值是，当且仅当时取最小值， ，当且仅当时，取最小值， 当且仅当时， ； （5）解：设时间为，则点A可表示，点可表示，点可表示， 的中点为，的中点为，的中点为， 在的左边，在的左边， 在的左边，在的左边， ，， ， 为常数， ， ． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题、两点距离及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上的动点问题、两点距离及一元一次方程的应用是解题的关键． 74．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）【操作思考】将一副直角三角板（分别含和的角）叠放在量角器上，、分别是三角板和三角板的角平分线． 【特例感知】 （1）如图1，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______； 【拓展探究】 （2）如图2，将三角板绕点顺时针旋转一定的角度，三角板不动，使两个直角三角板有重叠． ①当时，求的度数； ②当时，______；（用含的式子表示） 【解决问题】 （3）如图3，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，同时将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在的值，使？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②或；（3）存在，或 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的有关计算，一元一次方程，熟练利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用角平分线的概念即可解答； （2）①根据角度的转换可得，即可解答； ②分两种情况，即或，根据角度的转换可得，即可解答； （3）分两种情况，即重合前或重合后，两种情况，逐一解答即可． 【详解】解：（1）、分别是三角板和三角板的角平分线， ， ， 故答案为：； （2）①当时， ； ②当时，如图， ； 当时，如图， ， 故答案为：或； （3）存在， ， 解得， 当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转， ， 当重合前， 可得， 解得； 当重合前， 可得， 解得； 综上，存在点使，或． 75．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）活动与实践 问题背景：如图是武汉市某居民区宣传栏的一张新的居民生活电价收费宣传单，但一些数据被涂抹不清了，正在七年级学习的小明同学决定利用自己的所学，做一次有意义的社会实践活动，帮助小区物业管理部门恢复这些数据． 注意：湖北省居民生活用电不执行分时电价． 1千瓦时＝1度 活动过程： （1）他收集并整理了2024年自己家中2-12月的“止码”数据及缴费情况，如下表1： 月份 上期止码 本期止码 用电量（度） 缴费（元） 平均单价（元） 20240201 6328 6688 360 200.88 0.558 20240301 6688 7193 281.79 20240401 7193 7536 343 191.39 0.557988338 20240501 7801 265 147.87 20240601 7801 8090 289 161.26 0.55799308 20240701 8090 8463 373 208.13 0.557989276 20240801 8463 9617 1154 700.38 0.606915078 20240901 9617 11130 1513 920.4 0.608327826 20241001 11130 11874 744 638.35 0.857997312 20241101 11874 12116 242 207.64 0.858016529 20241201 12116 260 223.08 ①因为部分数据损坏，请你直接写出，，的值；______，______，______； 因为天气炎热，用电量剧增，同时他发现电费单价也出现了变化，为了探究变化规律，小明单独重新记录了八月一段时间连续的用电情况，如表2： 日期 上期止码 本期止码 用电量（度） 缴费（元） 平均单价（元） 20240701 8090 8095 5 2.79 0.558 …… …… …… …… …… …… 20240731 8455 8463 8 4.464 0.558 20240801 8463 8468 5 2.79 0.558 20240802 8468 8475 7 3.906 0.558 20240803 8475 8483 8 4.464 0.558 20240804 8483 8490 7 4.006 0.57228571 20240805 8490 8495 5 3.04 0.608 20240806 8495 8501 6 3.648 0.608 …… …… …… …… …… …… 20240831 …… 9617 …… …… …… ②请结合表2，用所学知识，说明日期为20240804（即2024年8月4日）平均单价发生变化的原因． ③按照同样的方式，小明单独重新记录了九月一段时间连续的用电情况，如表3： 日期 上期止码 本期止码 用电量（度） 缴费（元） 平均单价（元） 20240901 9617 9619 2 1.216 0.608 …… …… …… …… …… …… 20240924 11097 11100 3 1.824 0.608 20240925 11100 11105 5 3.04 0.608 20240926 11105 11109 4 2.432 0.608 20240927 11109 11114 5 3.04 0.608 20240928 11114 11117 3 1.824 0.608 20240929 11117 11124 7 4.256 0.608 20240930 11124 11130 6 4.148 0.6913333 20241001 11130 11874 744 638.35 0.8579973 20241101 11874 12116 242 207.64 0.8580165 20241201 12116 12376 260 223.08 0.858 请结合表3，直接写出日期为20240930（即2024年9月30日）按单价为0.858元/度收费的电量为______度． 数学思考：结合表1，表2，表3，小明发现武汉市居民生活用电实施阶梯收费，具体收费标准如下： 第一档：年用电量千瓦时，电费元/千瓦时． 第二档：年用电量千瓦时，电费元/千瓦时． 第三档：年用电量千瓦时及以上，电费元/千瓦时． 注意：湖北省居民生活用电不执行分时电价． 1千瓦时度，请直接写出，，，，的值（，为整数）． 数学运用：如下表4，是小明家2023年1～7月的用电量及缴费情况，请你根据以上探究活动，求？的值． 时间 用电量 电费 230101 320 230201 264 230301 268 230401 245 230501 235 230601 346 230701 ？ 495.74 【答案】（1）①，，；②用电量在这一天达到下一档，电价上升了；③；（2），，，，；（3） 【分析】本题考查的是从图表中获取信息，一元一次方程的应用； （1）①由表格信息列式计算即可；②由用电量在这一天达到下一档，电价上升可得答案；③设按照单价为每度元收费的电量有度，可得，再解方程即可； （2）找到20240804，设按照单价为每度元收费的电量有度，可得，可得，可得第一次跳档止码为：8488，从而可得的值，找到20240930，由第一问计算得到第二次的跳档止码为11128，可得，，由最后一档可得：； （3）由前6个月总用电量为，再逐步列式计算即可. 【详解】解：（1）由表格信息可得：， ， ； ②用电量在这一天达到下一档，电价上升了； ③设按照单价为每度元收费的电量有度， ∴， 解得：； （2）找到20240804，设按照单价为每度元收费的电量有度， ∴， 解得：， ∴第一次跳档止码为：8488， ∴，， 找到20240930，由第一问计算得到第二次的跳档止码为11128， ∴，， 由最后一档可得：； （3）前6个月总用电量为， ∴， ， ， （度）， ∴七月份用电量为度. 试卷第2页，共92页 1 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $