5.2 角（题型专练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

5.2 角 题型一、角的概念辨析与表示 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列图形中，角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念，根据角的概念判断即可． 【详解】解：根据角的概念“有公共端点的两条射线组成的图形叫作角”判断． 故选：B． 2．（24-25六年级下·山东烟台·期中）下列说法：①射线与射线是同一条射线；②连接两点之间的线段叫两点间的距离；③若点C是线段的中点，则；④角的大小与角的两边的长短有关．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查射线，线段，角的概念，根据两点之间的距离的定义，线段的中点的定义以及角的定义即可作出判断． 【详解】解：①射线是以A为端点通过点B的射线，射线是以B为端点通过点A的射线，故①错误，不符合题意； ②连接两点之间的线段的长度叫两点间的距离，故②错误，不符合题意； ③若点C是线段的中点，则，故③正确，符合题意； ④角的两边由两条射线组成，射线不能测量，故④错误，不符合题意． 故选：A． 3．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的表示方法．根据角的表示方法即可得出结果． 【详解】解：A、与是同一个角，说法正确，故本选项不符合题意； B、不可以用表示，原说法错误，故本选项符合题意； C、，说法正确，故本选项不符合题意； D、可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，的边经过的点是（    ）    A． B．B C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的有关概念，一个角是由有公共顶点的两条射线组成的，因此边经过的点一定在射线上，据此作图求解即可． 【详解】解：如图所示，的边经过的点是B，    故选：B． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）下列四个图中，能用三种方法表示同一角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的定义及其表示方法，正确认识角和记忆角的表示方法是解决本题的关键． 根据角的表示方法进行判断即可． 【详解】解：根据角的表示方法可知，选项C的表示同一角， 故选：C． 6．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，还可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的表示，理解角的表示方法是解题的关键．根据角的表示方法，即可获得答案． 【详解】解：还可以表示为， 故选：C． 7．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，下列说法不正确的是（   ） A．和是同一个角 B．也可以用表示 C．图中有三个角 D．和是同一个角 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念和表示，解题的关键是掌握角的表示方法．根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、…）表示，或用阿拉伯数字（，…）表示进行分析即可． 【详解】解：A、和是同一个角，说法正确，不符合题意； B、不能用表示，故原说法错误，符合题意； C、图中有、和三个角，说法正确，不符合题意； D、和是同一个角，说法正确，不符合题意． 故选：B． 8．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，，是的平分线，， (1)图中共有______个角； (2)求，的度数． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了角的数量问题，角平分线的定义，几何图形中角度的计算； （1）根据图形数出角的个数，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，根据已知得出，结合得出的度数，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：图中有共6个角， 故答案为：． （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型二、角的分类 9．（2025·河北·一模）如图，若，则边可能经过的点为（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】B 【分析】本题考查了角的分类，掌握锐角、直角、钝角的概念是解题关键．连接各选项点进行分析即可． 【详解】解：A、连接，由图形可知，，不符合题意； B、连接，由图形可知，接近于，则边可能经过点N，符合题意； C、连接，由图形可知，，不符合题意； D、连接，由图形可知，，不符合题意； 故选：B． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各角中，是钝角的为（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【答案】B 【分析】本题考查了直角、平角、周角的概念．要知道大于而小于的角是钝角这样的常识． 通过给出的角分别计算出各角的度数，然后和、比较，即可得出答案． 【详解】解：∵周角，是直角，不符合题意； 平角，是钝角，符合题意； 平角，是锐角，不符合题意； 直角，是锐角，不符合题意； 故选：B． 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列各角中，是锐角的是（  ） A．周角 B．周角 C．平角 D．平角 【答案】D 【分析】本题考查角的概念，掌握平角、周角的定义是解决问题的前提． 根据周角、平角的意义分别进行计算即可． 【详解】解：∵1平角，1周角， ∴周角，结果是直角，因此选项A不符合题意； 周角，因此选项B不符合题意； 平角，因此选项C不符合题意； 平角，因此选项D符合题意； 故选：D． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中有 个小于平角的角，写出以为一边的所有角： ． 【答案】 7 ，，， 【分析】本题考查了角的表示及分类熟练掌握角的表示及分类是解答本题的关键．根据角的表示方法及角的分类，即可得到答案． 【详解】题图中小于平角的角有，，，，，，，共7个；其中以为一边的角有，，，． 故答案为：7； ，，，． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）看图，回答下列问题： (1)图中共有多少个角？ (2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角． 【答案】(1)10个 (2)见解析 【分析】本题考查角度的概念及分类； （1）列举出来图形中所有的角度即可； （2）根据锐角、直角和钝角的定义分类即可． 【详解】（1）解：图中角有：、、、、、、、、、，共有10个角； （2）解：直角是， 锐角是， 钝角是． 题型三、角的大小比较 14．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）在小于平角的的内部取一点，并做射线，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角的大小比较，利用角的大小进行比较即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵C点是内部任一点， ∴与的大小无法确定，必大于， 故选：D． 15．（24-25七年级上·广东深圳·期末）下列方法能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查三角形的边角关系，关键是根据三角形的三边得出角的大小比较解答． 根据角的比较大小解答即可． 【详解】解：A、由图可知，不符合题意； B、根据图可知，不符合题意； C、根据图可知，不符合题意； D、根据图可知，符合题意； 故选：D． 16．（23-24八年级上·北京·期中）如图，在正方形网格中，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的大小比较，解题的关键是求出角的度数，然后再比较大小就容易了． 根据题意和图得出：，，再根据，从而得出，然后结合图观察出，，最后比较大小即可． 【详解】解：由题意知：， 同理， 又， ， 由图可知，， ， 故选：D． 17．（2024七年级上·山东·专题练习）用叠合的方法比较和两个角的大小，先将的顶点与的顶点O重合，边与边重合，边落在了的内部，则和的关系是（ 　） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了角的比较，熟练掌握叠合法比较角的大小是解题的关键，根据角的大小比较即可得到结论． 【详解】解：如图， ∴， 故选：A. 18．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，熟练掌握网格特点和角的大小比较是解题关键．如图（见解析），根据网格特点可得，，，由此即可得． 【详解】解：如图，由网格可知，，，， 则， 故答案为：． 题型四、角的度数大小的比较 19．（24-25六年级下·山东泰安·期中）若，，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查度数的大小比较，解题的关键是统一单位再进行比较，注意：、．据此解答即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 故选：A． 20．（24-25七年级上·四川自贡·期末）若，则下面说法正确的是（　　） A． B． C． D．互不相等 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：， 故， 故选C． 21．（23-24七年级上·河北保定·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角度的比较大小，将统一化成“度、分、秒”的形式，即可比较大小． 【详解】解：， ， ， 故答案为：A． 22．（2025·河北唐山·一模）如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（　　） A． B．没有量角器，无法确定 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 由图知，，故可比较大小． 【详解】解：图中三角尺为等腰直角三角形， ，． ． 故选：D． 23．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）和相等吗？如果不相等，哪个大？ 【答案】不相等，大 【分析】本题主要考查了度分秒的换算的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题将化成度分秒的形式后与进行比较，然后即可求解； 【详解】解：∵， 所以和不相等，大． 题型五、角度制的换算 24．（2025·陕西西安·模拟预测）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了度分秒换算，根据度分秒换算换算法则，按照60进制计算即可求解，掌握度分秒换算法则是关键． 【详解】解：， ， 故选：B． 25．（24-25六年级下·山东泰安·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的单位转化，解题关键是明确，按照角的度量单位进行转化即可判断． 【详解】A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确， 故选：D． 26．（24-25六年级下·山东烟台·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查度，分，秒之间的转化，根据度，分，秒之间的换算关系，进行计算即可． 【详解】解：， ， ∴； 故答案为：． 27．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中） ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角度的单位，将角度转化是解题的关键． 先根据度分秒之间的关系将化为，然后再比较大小． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 28．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习） ． 【答案】45 【分析】本题考查了度分秒的换算，利用大单位化小单位乘以进率是解题关键． 根据大单位化小单位乘以进率，可得答案． 【详解】解：， 故答案为：45． 29．（24-25七年级上·四川乐山·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查角的计算和度分秒的换算，解题的关键是掌握角的单位之间的换算关系：，． 【详解】解：． 故答案为：． 题型六、角度的四则运算 30．（24-25六年级下·山东淄博·期中）计算： ° ′ ″． 【答案】 19 8 12 【分析】本题主要考查了角的四则运算，根据度分秒的关系，结合有理数除法运算法则进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为：19；8；12． 31．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的度分秒计算，熟练掌握计算方法是解题的关键． 根据度分秒之间的关系进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 32．（24-25七年级上·广东江门·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 33．（2025六年级下·山东·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题是考查了角度制中的度分秒计算，解题关键是掌握度分秒是六十进制． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度． （2）两个度数相减时，度与度，分与分对应相减，应先算最后一位，后面的位上的数不够减时向前一位借数． 【详解】解：（1） ； （2） ． 34．（2025六年级下·山东·专题练习）（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了角的计算，解题的关键是牢记角的化简，注意角的书写形式，根据，求解即可． （1）将度、分、秒分别计算再相加即可； （2）按照分不足则取化为再计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 35．（2025六年级下·山东·专题练习）计算 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了角度的四则运算，熟练掌握是解题是关键． （1）结合，进行加法运算，即可作答． （2）结合，先进行乘法，再进行加法运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 36．（24-25六年级下·山东青岛·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角度的运算，掌握角度是60进制和相关运算法则是解题的关键． （1）根据角度是60进制和角度的加减运算求解即可． （2）根据角度是60进制和角度的乘法运算求解即可． 【详解】（1） （2） 题型七、特殊角与钟面角 37．（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图，在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了钟面角，正确理解题意得到6点20分，时针和分针中间相差个大格是解题的关键． 6点20分时，时针指向6和7的中间，分针指向4，则时针和分针中间相差个大格，再根据一大格为进行求解即可． 【详解】解：， 6点20分，时针和分针中间相差个大格． 钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， 6点20分时分针与时针的夹角是． 故选：C． 38．（2025八年级下·全国·专题练习）从到，钟表的分针转动的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了钟面角，先求出分针转动的时间，再乘以分钟每分钟转动的角度即可得到答案． 【详解】解：， ∴从到，钟表的分针转动的角度是， 故选：A． 39．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，时钟的时针从上午8时转动到上午10时，时针绕表盘中心旋转的旋转角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查钟面圆心角的求法，解题的关键是知道钟面刻度将圆心角分为了12份． 将圆心角分为12份求出2份即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 故选C． 40．（24-25六年级下·山东威海·期末）若时钟显示的时间是上午，则时针与分针的夹角是 【答案】105 【分析】本题考查了钟面角．解题的关键是掌握钟面角的计算方法：利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数． 根据钟面平均分成12份，可得每份的度数，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：钟面平均分成12份，每份30度， 时，时针在数字9和10中间，分针在数字6上 ∴时针与分针相距3.5份， ∴夹角为， 故答案为：105． 41．（24-25六年级下·山东淄博·期中）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． _______              _______                 _______                    _______ （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ 【答案】（1）；；；；（2）时针每经过1小时，转过，分针每分钟转过；（3） 【分析】本题主要考查了钟面角的计算，熟知钟面角的计算方法是解题的关键． （1）时针12小时转一圈，转一圈转360度，则可求出时针每小时转的度数，据此求解即可； （2）时针12小时转一圈，转一圈转360度，分针每60分钟转一圈，转一圈转360度，据此求解即可； （3）先求出10点整时时针与分针的夹角，再求出十分钟分针所转的度数与时针所转的度数之差即可得到答案． 【详解】解：（1）巴黎时间是1点，则时针和分针的夹角为； 伦敦时间是12点，则时针和分针的夹角为； 北京时间是8点，则时针和分针的夹角为； 东京时间是9点，则时针和分针的夹角为； 故答案为：；；；； （2）∵时针12小时转一圈，转一圈转360度， ∴时针每经过1小时，转过， ∵分针每60分钟转一圈，转一圈转360度， ∴分针每分钟转过； （3）， ∴当时钟指向上午，时针与分针的夹角是． 题型八、作一角等于已知角 42．（2025·贵州六盘水·二模）如图，用尺规作射线平行，关于作法正确的描述是（   ） A．以点为圆心，线段长为半径 B．以点为圆心，线段长为半径 C．以点为圆心，线段长为半径 D．以点G为圆心，线段长为半径 【答案】C 【分析】本题考查的是作一个角等于已知角，平行线的判定，熟记作图步骤是解本题的关键，根据作一个角等于已知角的作图步骤可得答案． 【详解】解：用尺规作射线平行，关于作法正确的描述是： 以点为圆心，线段长为半径画； 故选：C 43．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，过的边上的一点图，用尺规作图以下作图步骤排序正确的是（    ）   ①过点Q作射线； ②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点N，M； ③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q； ④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点． A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③① 【答案】D 【分析】本题考查作图—作一个角等于已知角，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的步骤．根据基本作图作一个角等于已知角的步骤判断即可． 【详解】解：正确的步骤是：②④③①． 故选：D 44．（24-25六年级下·山东威海·期中）如图，已知与，分别以和为圆心，以同样长为半径画弧，交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，作射线．下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作图是解题关键．根据作一个角等于已知角可得，据此逐项判断即可得． 【详解】解：由题意可知，，则选项C符合题意； ∵， ∴，则选项D符合题意； ∵，， ∴，则选项B符合题意； 假设正确，则， ∴， 又∵， ∴，但根据已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即选项A不符合题意； 故选：A． 45．（24-25七年级下·山东青岛·期中）尺规作图：如图，已知三角形，延长到．过点在上方作射线，使（保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图，解题的关键是熟练掌握作图方法． 作即可． 【详解】解：如图即为所求． 46．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图所示，已知：线段和．用尺规作，使，，；（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查复杂作图，在射线上截取,作，即可解决问题． 【详解】解：如图所示 九、方位角及其应用 47．（24-25八年级下·广西北海·期末）如图，小明家在学校的（    ） A．南偏西方向上 B．北偏东方向上 C．南偏西方向上 D．北偏东方向上 【答案】D 【分析】本题考查了方向角的定义，由方向角的定义可得小明家的方向，即可作答． 【详解】解：由图可得：小明家在学校北偏东方向上， 故选：D 48．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则的方位角是(    ) A．北偏西方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．南偏东方向 【答案】B 【分析】本题主要考查了与方位角有关的计算，正确求出是解题的关键． 先根据题意得到，再由方位角的定义求出，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ∵射线与射线成角， ∴， ∵是北偏东方向的一条射线， ∴， ∴，即的方位角是北偏西方向， 故选：B． 49．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，一艘船在A处遇险后向相距位于处的救生船报警，用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置是（   ） A．遇险船在救生船的南偏东，处 B．遇险船在救生船的南偏东，处 C．救生船在遇险船的北偏东，处 D．遇险船在救生船的南偏西，处 【答案】D 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义即可求解，解题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量一个是方向角，一个是距离． 【详解】解：由题意可得，遇险船在救生船的南偏西，处． 故选：． 50．（24-25六年级下·山东泰安·期中）一艘轮船行驶在处同时测得小岛的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方位角，涉及方位角的概念，根据题意，准确由方位角得到图中各个角度求解即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图， 根据题意，得，， ∴， 故选：D． 51．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，一物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力G方向的夹角，则斜面的坡角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质等知识．根据题意，由平行线的性质得到，得到，根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵摩擦力的方向与斜面平行．摩擦力与重力方向的夹角， ∴， ∵重力的方向竖直向下， ∴， ∴， 故选：C． 52．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 【答案】(1)学校和公园 (2)商场在小明家北偏西方向上，学校在小明家北偏东方向上，公园在小明家南偏东方向上，停车场在小明家南偏东方向上；公园和停车场的方位相同 (3)； 【分析】本题主要考查了用方位角和距离确定位置，正确读懂图示是解题的关键． （1）求出的长，得到即可得到答案； （2）根据图示结合方位角的表示方法求解即可； （3）根据题意可知地图上表示实际，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵C为的中点，， ∴， ∴， ∴图中距小明家距离相同的是学校和公园； （2）解：由题意得，商场在小明家北偏西方向上， 学校在小明家北偏东方向上， 公园在小明家南偏东方向上， 停车场在小明家南偏东方向上， ∴公园和停车场的方位相同． （3）解：∵学校距离小明家， ∴商场距离小明家，停车场距离小明家． 题型一、三角板中的角度计算 53．（2025·四川南充·中考真题）如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形内角和与平角的性质，熟练掌握直角三角形内角特点和平角为是解题关键． 先确定三角板的内角，再利用平角与对顶角等知识，通过角度关系求出 ． 【详解】解：直角三角板含角，则另一个锐角为 ． ∴ 故选：D ． 54．（24-25七年级下·福建宁德·期末）将一副三角板按如图所示放置，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角板中的角度计算问题，根据角的和差关系得出，再根据角度的和差关系即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 55．（24-25七年级下·四川绵阳·开学考试）在，，， 的角中，不能用一副三角尺画出来的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角尺角度，利用和、差关系解答即可． 本题考查了角的计算，熟记三角尺的角度，利用和、差关系求解是解答此题的关键． 【详解】解：， 不能画出， ， ， 所以不能用一副三角尺画出来的有共1个， 故选：A． 56．（24-25八年级下·全国·期中）把一副直角三角尺如图摆放，，，，斜边、在直线l上，保持不动，在直线l上平移，当以点三点为顶点的三角形是直角三角形时，则的度数是（    ） 　 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，直角三角形的性质. 分两种情况进行讨论：①当点D运动到与A重合时；②当点D运动到A是中点时；分别画出相应的图形进行求解即可． 【详解】解：当点D运动到与A重合时，是直角三角形，此时， 当点D运动到A是中点时，是直角三角形，此时， ∴的度数为或， 故答案为：或． 57．（24-25七年级下·山东青岛·期中）将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则，，三个角的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握三角板中的角度计算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，，再求出，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：①，②，③， 由②③得：， ∴④， 将④代入①得：， ∴， 故选：C． 58．（24-25六年级下·山东烟台·期中）将一副直角三角尺如图放置，其中，，若，则的度数为 （结果以“”为单位）． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差关系，角度加减运算，根据计算即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴． 故答案为： 59．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图所示，将一副三角板的直角顶点O重合叠放在一起． (1)如图1若，则 ；若，则 ； (2)如图2若，则 ； (3)猜想与的数量关系，并结合图1说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算,三角板中的角度计算. （1）根据可求得，根据可求得； （2）根据计算可得； （3）根据，即可求得． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴ ； （3），理由如下， ∵ ， ∴． 60．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，其中，，． (1)操作判断 若，则______；若，则______； (2)性质探究 由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】本题考查了叠放三角板中的角的计算．熟练掌握三角板性质，余角补角定义和性质，旋转性质，平行线性质，是解题的关键． （1）先根据直角三角板的性质求出，进而可得、的度数； （2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由，论证即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 若， 则； 若， 则． 故答案为：，． （2）解：．证明如下： ∵， ∴． 题型二、几何图形中的角度计算 61．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图，直线相交于点，，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的运算，先由平角得，平分，得，因为，则，再进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 62．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）如图，直线和相交于点，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算．根据垂直定义可得，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 63．（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，已知，，点、、在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的计算，先根据角的和差的定义得出，再根据平角的定义即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点、、在同一条直线上， ∴， 故选：C 64．（24-25六年级下·山东泰安·期中）如图，平分，平分，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的和与差，角的平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； 利用角的平分线的性质，可设，则，结合角的和差求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 65．（2025·北京顺义·二模）如图，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何图形中角的和差计算，由求出，再由即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 66．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线相交于点 E，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，根据平角的定义，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 67．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知，， 在的内部．某数学兴趣小组进行了探究： （1）在上取一点M，以点O为圆心，以为半径画弧交射线的N； （2）以点N为圆心，线段的长为半径画弧交前弧于点D； （3）以点O为端点，作射线． 若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图—角平分线，角平分线的定义，熟练掌握其相关知识点是解题关键． 根据作图得到，根据两角互余得到，最后可求. 【详解】解：由作图过程可知， ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：. 68．（24-25六年级下·山东青岛·期末）如图，平分，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中的角度计算，角平分线的有关计算，根据角平分线的定义可得，，再根据求出，依次求出，，即可求解． 【详解】解：平分，分， ，， ， ， ． ， ， ． 69．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）在同一平面内已知，平分平分． (1)当，求的度数； (2)在做题过程中聪聪同学认为就算不知道的度数，也能求的度数，请你在的度数未知的情况下，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了角的和差，角平分线定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据题意得到，再结合角平分线定义推出，最后根据求解，即可解题； （2）根据题意得到，再结合角平分线定义表示出，最后根据代换求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ， 平分平分， ∴，， ∴； （2）解：， ∴， 平分平分， ∴，， ∴． 题型三、实际背景下的角度计算 70．（2024·河南周口·三模）如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角的定义和角的计算，熟练掌握余角的定义并能进行角的加减运算是解题关键． 根据余角的定义计算即可求解． 【详解】为水面，入射角为， ， 故选 C． 71．（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 72．（24-25七年级上·河南商丘·期末）“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了方位角的计算，角度的计算，如图，根据题意得，由即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意：， 则， ∴， 故答案为：． 73．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析． （1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可； （2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出的度数即可； （3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出的度数即可． 【详解】（1）解：如图，当，，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，∵，且， ∴， 由题可得：， 解得：； （3）解：如图，与都不回弹时， ，解得； 如图，当在的左边， ， ∴， ∴，解得：， 如图，当在的右边， 根据题意得：，解得：， 综上，对应的值是或或． 74．（21-22七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90 (2)正确，代数式的值为； (3)①；②当时，；当时，． 【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出； （2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90； （2）∵， 设，则， ∴，， ∴． ∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为； （3）解：∵， ∴，， 设运动时间为，则，则． ①运动停止时，即时，OA旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点C，O，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，， ， ∴． 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键． 75．（24-25七年级下·四川达州·期末）大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析如何能让班上同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论．如图1，为方便研究，定义两手手心位置分别为两点，两脚脚跟位置分别为两点，定义平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图1，三点在同一条直线上，两点重合，，求的度数； (2)如图2，三点在同一条直线上，且，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平角和求解即可； （2）首先根据平角和求出，，然后有由平分线得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：三点在同一条直线上 ∴ ∵ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分 ∴ ∴． 题型四、角平分线的应用 76．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，先根据平分，得，故，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 77．（24-25六年级下·山东泰安·期中）如图，已知为直线上一点，，平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义及角的和差计算，邻补角互补求角度等知识点． 先由求出，再根据角平分线求出，最后根据邻补角求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 78．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图所示，是的平分线，是的平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义和平面内角的相关计算，理解并掌握角平分线的定义是解题关键． 根据题意可知，结合角平分线的定义可得，由即可获得答案； 【详解】解：∵， ， ∵是的平分线， ， ∵是的平分线， ， ， 故选：B． 79．（2025·河北唐山·二模）在学校可以看到一种现象，有同学不由自主地转动手中的笔．同学的转笔过程可以看成一条直线绕一个点旋转，其示意图如图所示，若，恰好平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，直接根据角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，恰好平分， ∴， 故选：B． 80．（24-25七年级下·江西赣州·期末）【课本原型】 （1）如图（1），点、、在同一条直线上，射线和射线分别平分和．则______°． 【拓展与延伸】 （2）如图（2），点、、不在同一条直线上，射线和射线分别平分和． ①若，求的度数； ②若，则的度数为______． 【答案】（1）；（2）①；②． 【分析】本题考查了角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义及角的和差即可得出答案； （2）根据角平分线的定义及角的和差得到与的数量关系，即可得出①②答案 【详解】（1）解： 射线和射线分别平分和 ， 故答案为：； （2）射线和射线分别平分和 ， ①若，则； ②若，则， 故答案为：． 81．（24-25七年级上·江苏南京·期末）定义：在同一平面内有，，三条射线．若分别与，形成的角的度数成2倍关系，即或，则称射线是的“倍距线”．如图①，若，，满足，则是的一条“倍距线”． (1)若，是的一条“倍距线”，则的度数为______°．（写出一个答案即可） (2)如图②，点O在直线上，，． ①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒（，当t为何值时，是的“倍距线”？ ②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒，若是的“倍距线”，则______． 【答案】(1)（或或或） (2)①或或   ②3或4或8 【分析】本题考查了角度的计算，新定义，一元一次方程的应用； （1）根据新定义可得当在的外部时，，当在的内部时，为的三等分线，进而分类讨论，即可求解； （2）根据新定义按照（1）的方法，分类讨论，即可求解． ②同（1）的方法，得出当在的内部时，当在的外部时，分别列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的一条“倍距线”， ∴或， 如图所示，当在的外部时，， 当在的内部时，为的三等分线， ∵， 当在的外部时，，则 当在的内部时，为的三等分线，则或 综上，的度数为或或或； 故答案为：（或或或）． （2）解：①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒 ∴ ∵，． ∴ ∵是的“倍距线” 由（1）可得当在的内部时，或 即或 解得：或 当在的外部时， 即 解得： 综上， 或或． ②∵是的“倍距线”， ∴或， 当在的内部时， 或 即或 解得：或 当在的外部时， ，则 ∴ 解得： 综上：或4或8 故答案为：3或4或8． 82．（23-24七年级上·河北保定·期末）【特例感知】如图1，已知线段，，点和点分别是，的中点．若，则__________；    【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和；    ①若，，求的度数； ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？请说明理由． 【类比探究】如图3，在内部转动，若，，，，求的度数．（直接写出结果，用含有的式子表示）．    【答案】【特例感知】21；【知识迁移】①；②，理由见解析；【类比探究】 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义和角的和差； 【特例感知】欲求，需求．则需求．根据点C和点D分别是，的中点，得，进而解决此题． 【知识迁移】①欲求，需求．已知，需求．由射线和射线分别平分和，可求出，进而解决此题．②与①同理可证． 【类比探究】由，可得，，从而得到，再根据，即可求解． 【特例感知】∵，，， ∴， ∵点和点分别是，的中点， ∴， ∴． ∴． 故答案为：21． 【知识迁移】①∵射线和射线分别平分和， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴， ； ②．理由如下： ∵射线和射线分别平分和， ∴． ∴， ； 【类比探究】∵， ∵， ∴， ， ． 83．（2024七年级上·浙江·专题练习）在、、、、各时刻，时针与分针所成角中，锐角、直角、钝角的个数之比为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了钟面角，角的分类等知识点，熟练掌握角的相关知识是解题的关键． 首先分别求得、、、、各时刻，时针与分针所成角的度数，进而可求得锐角、直角、钝角的个数之比． 【详解】解：∵时针与分针所成角是：， 时针与分针所成角是：， 时针与分针所成角是：， 时针与分针所成角是：， 时针与分针所成角是：， ∴锐角有：、、、， 直角有：， 钝角：没有， ∴锐角、直角、钝角的个数之比为：， 故选：C． 84．（22-23七年级上·河北保定·期末）已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 【答案】C 【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误． 【详解】解：由题意知，；当时，；当时，； 令，即，解得秒， ∴存在的情况； 故A错误，不符合题意； 令，即，解得秒， 令，即，解得秒， ∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒； 故B、D错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴射线恰好平分， 故C正确，符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度． 85．（2025·河南信阳·二模）为了提高学生体质，2025年新学期国家出台了“中小学课间延长至15分，每天1节体育课”政策，孩子们有了更多时间进行体育锻炼．如图，有一次大课间，A、B两处均有学生在练跳绳，为了减少练跳绳时相互干扰，小红同学就拿着跳绳走到了的平分线上的处，则处相对观测点的方向为（     ） A．南偏东 B．东偏南 C．南偏东 D．东偏南 【答案】C 【分析】本题考查了方位角与角的和与差，根据、两点的方位可知，根据点在的平分线上，可知，因为．所以处相对观测点的方向为南偏东． 【详解】解：由图象可知：， ， 平分， ， ∴处相对观测点的方向为南偏东． 故选：C． 86．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列说法： ①画射线； ②如图，可以用表示； ③若，，则； ④植树时栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，依据的数学原理是两点确定一条直线． 其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了射线的定义，度分秒的换算，直线的性质，角的表示，理解射线的定义，直线的性质，角的表示，会进行度分秒的换算是解题的关键． 【详解】解：①画射线，射线只有一个端点，无长度，故①不正确； ②如图，表示的角是，不能用表示，故②不正确； ③，，故③不正确； ④植树时栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，依据的数学原理是两点确定一条直线，故④正确； 故选：B． 87．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 88．（2025·湖南张家界·二模）已知，，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，首先根据把化成，再比较和的大小即可． 【详解】解：， ． 故答案为： ． 89．（24-25六年级下·山东东营·期中）如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有 个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律． 根据图形数出即可得出前三个的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 90．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，烟台舰巡航时在O处发现灯塔A在南偏东方向（即大塔A的方位角），同时发现大连舰B和无名海岛C分别在北偏东方向和西北方向． (1)在图中分别画出表示大连舰B和无名海岛C方向的射线；（在图中标注字母和度数） (2)烟台舰在O处发现一艘长岛号渔船D，若的补角是余角的6倍，求长岛号渔船D的方位角； (3)在（2）的条件下，烟台舰在O处还发现一艘青岛号货轮E，若射线是的平分线，则青岛号货轮E的方位角是 ． 【答案】(1)见解析 (2)长岛号渔船D在北偏东方向或南偏西方向； (3)青岛号货轮E的方位角是北偏东方向或南偏东方向． 【分析】本题考查了方位角，角平分线的性质，角度的计算，掌握方位角的定义是解题关键． （1）根据题意画出方位角即可； （2）根据“的补角是余角的6倍”，求出，再结合方位角求解即可； （3）在（2）的条件下，结合角平分线的性质求方位角即可． 【详解】（1）解：如图即为所求作； （2）解：的补角是余角的6倍， ， ， 由题意可知，，， 当时，， 当时，， 即长岛号渔船D在北偏东方向或南偏西方向； （3）解：当射线是的平分线时，， 此时， 当射线是的平分线时，， 此时， 即青岛号货轮E的方位角是北偏东方向或南偏东方向． 91．（24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西． (1)若，则的方向是 (2)若是的反向延长线，则的方向是 (3)在(2)的条件下，可以看作是由射线绕点O旋转至形成的，作的平分线，则的方向是 (4)在(1)(2)(3)的条件下，求的度数． 【答案】(1)北偏东 70° (2)南偏东40° (3)南偏西50°或北偏东 50° (4)或 【分析】本题主要考查了方位角，角的和差，角平分线的定义， 对于（1），先求出，可知的方向； 对于（2），根据的方向可解答； 对于（3），分两种情况得出答案； 对于（4），分两种情况：；，再代入度数计算． 【详解】（1）解：如图所示，根据题意，得， ∴， ∴， 所以的方向是北偏东； 故答案为：北偏东； （2）解：如图所示，根据题意可知， 所以的方向是南偏东； 故答案为：南偏东； （3）解：如图所示， ∵平分， ∴， ∴， 所以的方向是南偏西或北偏东． 故答案为：南偏西或北偏东； （4）解：； ． 所以的度数是或． 92．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）探究学习，寻求真知 (1)特例感知：如图1，已知线段，线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），点和点分别是的中点． ①若，则______； ②当线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度？如果变化，请说明理由． (2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和，请你猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由． (3)类比探究：如图3，在的内部转动，当时，用含的式子表示和之间的数量关系（直接写出结果）． 【答案】(1)①21；②线段的长度不会发生变化，长度为19 (2) (3) 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）①根据题意可得，再由线段中点的定义，可得，即可求解；②根据题意可得，再由线段中点的定义，可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由，即可求解； （3）根据，可得， 从而得到，再由，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵点和点分别是的中点， ∴， ∴； 故答案为：21 ②∵， ∴， ∵点和点分别是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度不会发生变化，长度为19； （2）解：∵射线和射线分别平分和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 93．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）数学活动课上，老师以直线上一点为端点作射线，使平分，平分． (1)如图1，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点处，即，则的度数为___________； (2)受“兴趣小组”的启发，如图2，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点处，即，求的度数； (3)如图3，已知，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角的平分线定义，平角的定义，角的和的定义解答即可． （2）仿照（1）的思路解答即可． （3）仿照（1）的思路解答即可． 本题考查了角的和差，角的平分线，平角的定义，熟练掌握平角定义，角的平分线是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴． （3）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴． 94．（24-25六年级下·山东东营·期中）综合与实践：六年级李老师带领同学们探究双中点和双角平分线问题 【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，M、N分别是和的中点． ①若，则线段___________； ②若（），则线段___________． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分．射线平分．求的度数． 【类比探究】 （3）如图③，若，是外部的一条射线，射线平分，射线平分，请求出的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1）①8；②8；（2）60度；（3） 【分析】本题考查了与线段有关的计算和角有关的计算，解题关键是能根据图形正确得到线段或角之间的和差关系，同时要求学生牢记中点、角平分线的定义等相关概念． （1）①利用线段中点得出求解即可； ②利用线段中点得出求解即可； （2）利用角平分线的定义得到，，再利用角的和差关系进行计算即可； （3）先利用角平分线得出，再利用角的和差关系进行转化即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∵M、N分别是和的中点， ∴； 故答案为：8； ②∵，， ∴， ∵M、N分别是和的中点， ∴； 故答案为：8； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ， ， ； （3）射线平分，射线平分， ， ， ． 95．（23-24七年级·江苏泰州·期末）七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角． (1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度； ①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形； ②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）． (2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度． (3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角． 小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：． 请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由． (4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②不能 (2)见解析 (3)选用，理由见解析 (4)不一定能，理由见解析 【分析】（1）①用一副三角尺画出角的画图方案，用含的两个角拼接即可求解; ②根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答； （2）根据题意设计一个，一边与射线重合，另一边即为角平分线， （3）根据题目所给的方案，进行设计即可求解； （4）根据角度的四则运算进行判断即可求解． 【详解】（1）解： ①用一副三角尺画出角，如图所示， ②用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数， ∴用一副三角尺能不能画出的角， 故答案为：不能． （2）解：如图所示， （3）选用， 用的角旋转15次，则，与差， 再旋转16次，得到，与周角差， 再旋转16次，得到，超过始边 ∴绕点O逆时针旋转，得， 再将绕点O逆时针旋转， 得，……，如此连续操作47次， 可得的角， 即：． （4）对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板不一定能画出的角 例如，，此时无论如何旋转，都不能得到的角 【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的定义，角度的计算，理解题意是解题的关键． 96．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）我们常借助直角三角板进行一些数学问题的探究．如图1所示，在直角三角板中，，，点在直线上，先将边与重合，然后将三角板绕着点按每秒1度的速度顺时针旋转，旋转后的三角板记作，设运动时间为秒，且． (1)当与重合时，______； (2)当时，求的值； (3)如果把原题中的直角三角板换成普通的三角形纸片，不妨设，其他条件不变，在的内部作一条射线，使，如果在旋转过程中，始终有成立，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)120 (2)70或170 (3) 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用平角的定义求出，当与重合时，，结合题意即可求出的值； （2）分两种情况讨论：①在上方；②在下方，求出的度数，结合题意即可的值； （3）在旋转过程中，，则，则有，，再利用角的和差得到，整理即可得出与的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与重合， ∴， ∴． 故答案为：120． （2）解：①当在上方时， 则， ∴； ②当在下方时， 则， ∴； ∴综上所述，的值为70或170． （3）解：在旋转过程中，，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得：． 97．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如，，，．①小明利用三角尺作出了一个的角；②小乐利用三角尺作出了一个的角；除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出___________度的角（写出一种即可）． （2）如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，，，，在，）内作射线，，且，，则_____度； （3）如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中，，他把这两个三角形的顶点及边，重合在一起，三角形固定，将三角形绕点顺时针旋转，当边与重合时，停止运动．在此过程中，在，内作射线，，使，．这时，小明说“的度数可以用，表示出来”；小乐说“的度数无法用，表示出来”．请你判定一下谁的说法正确，并说明理由． 【答案】（1）75；（2）；（3）小明的说法正确，见解析 【分析】本题考查了角的和差倍分运算，三角板中角度的计算； （1）根据三角板的角度，可作出，，，，即可得解； （2）先求得，根据已知条件得出，根据，即可求解； （3）先得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 故答案为：75、105、135、150（任意一个即可）； （2）解：， ， ， ∵， ， ， 故答案为：； （3）解：小明的说法正确，理由如下： ，，， ， ， ． 试卷第2页，共74页 72 / 72 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 角 题型一、角的概念辨析与表示 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列图形中，角是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·山东烟台·期中）下列说法：①射线与射线是同一条射线；②连接两点之间的线段叫两点间的距离；③若点C是线段的中点，则；④角的大小与角的两边的长短有关．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形 4．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，的边经过的点是（    ）    A． B．B C． D． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）下列四个图中，能用三种方法表示同一角的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，还可以表示为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，下列说法不正确的是（   ） A．和是同一个角 B．也可以用表示 C．图中有三个角 D．和是同一个角 8．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，，是的平分线，， (1)图中共有______个角； (2)求，的度数． 题型二、角的分类 9．（2025·河北·一模）如图，若，则边可能经过的点为（   ） A．M B．N C．P D．Q 10．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各角中，是钝角的为（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列各角中，是锐角的是（  ） A．周角 B．周角 C．平角 D．平角 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中有 个小于平角的角，写出以为一边的所有角： ． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）看图，回答下列问题： (1)图中共有多少个角？ (2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角． 题型三、角的大小比较 14．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）在小于平角的的内部取一点，并做射线，则一定有（   ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·广东深圳·期末）下列方法能判断的是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·北京·期中）如图，在正方形网格中，记，，，则（    ） A． B． C． D． 17．（2024七年级上·山东·专题练习）用叠合的方法比较和两个角的大小，先将的顶点与的顶点O重合，边与边重合，边落在了的内部，则和的关系是（ 　） A． B． C． D．不确定 18．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则 ．（填“”，“”或“”） 题型四、角的度数大小的比较 19．（24-25六年级下·山东泰安·期中）若，，则（   ） A． B． C． D．无法确定 20．（24-25七年级上·四川自贡·期末）若，则下面说法正确的是（　　） A． B． C． D．互不相等 21．（23-24七年级上·河北保定·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 22．（2025·河北唐山·一模）如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（　　） A． B．没有量角器，无法确定 C． D． 23．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）和相等吗？如果不相等，哪个大？ 题型五、角度制的换算 24．（2025·陕西西安·模拟预测）计算：（    ） A． B． C． D． 25．（24-25六年级下·山东泰安·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25六年级下·山东烟台·期中）计算： ． 27．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中） ．（填“”，“”或“”） 28．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习） ． 29．（24-25七年级上·四川乐山·期末） ． 题型六、角度的四则运算 30．（24-25六年级下·山东淄博·期中）计算： ° ′ ″． 31．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）计算：的结果是 ． 32．（24-25七年级上·广东江门·期末）计算： ． 33．（2025六年级下·山东·专题练习）计算： （1）； （2）． 34．（2025六年级下·山东·专题练习）（1）； （2）． 35．（2025六年级下·山东·专题练习）计算 （1） （2）． 36．（24-25六年级下·山东青岛·期中）计算 (1) (2) 题型七、特殊角与钟面角 37．（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图，在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（    ） A． B． C． D． 38．（2025八年级下·全国·专题练习）从到，钟表的分针转动的角度是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，时钟的时针从上午8时转动到上午10时，时针绕表盘中心旋转的旋转角为（   ） A． B． C． D． 40．（24-25六年级下·山东威海·期末）若时钟显示的时间是上午，则时针与分针的夹角是 41．（24-25六年级下·山东淄博·期中）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． _______              _______                 _______                    _______ （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ 题型八、作一角等于已知角 42．（2025·贵州六盘水·二模）如图，用尺规作射线平行，关于作法正确的描述是（   ） A．以点为圆心，线段长为半径 B．以点为圆心，线段长为半径 C．以点为圆心，线段长为半径 D．以点G为圆心，线段长为半径 43．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，过的边上的一点图，用尺规作图以下作图步骤排序正确的是（    ）   ①过点Q作射线； ②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点N，M； ③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q； ④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点． A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③① 44．（24-25六年级下·山东威海·期中）如图，已知与，分别以和为圆心，以同样长为半径画弧，交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，作射线．下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 45．（24-25七年级下·山东青岛·期中）尺规作图：如图，已知三角形，延长到．过点在上方作射线，使（保留作图痕迹）． 46．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图所示，已知：线段和．用尺规作，使，，；（保留作图痕迹，不要求写作法） 九、方位角及其应用 47．（24-25八年级下·广西北海·期末）如图，小明家在学校的（    ） A．南偏西方向上 B．北偏东方向上 C．南偏西方向上 D．北偏东方向上 48．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则的方位角是(    ) A．北偏西方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．南偏东方向 49．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，一艘船在A处遇险后向相距位于处的救生船报警，用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置是（   ） A．遇险船在救生船的南偏东，处 B．遇险船在救生船的南偏东，处 C．救生船在遇险船的北偏东，处 D．遇险船在救生船的南偏西，处 50．（24-25六年级下·山东泰安·期中）一艘轮船行驶在处同时测得小岛的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 51．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，一物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力G方向的夹角，则斜面的坡角的度数为（   ） A． B． C． D． 52．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 题型一、三角板中的角度计算 53．（2025·四川南充·中考真题）如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 54．（24-25七年级下·福建宁德·期末）将一副三角板按如图所示放置，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 55．（24-25七年级下·四川绵阳·开学考试）在，，， 的角中，不能用一副三角尺画出来的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 56．（24-25八年级下·全国·期中）把一副直角三角尺如图摆放，，，，斜边、在直线l上，保持不动，在直线l上平移，当以点三点为顶点的三角形是直角三角形时，则的度数是（    ） 　 A． B． C．或 D．或 57．（24-25七年级下·山东青岛·期中）将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则，，三个角的数量关系是（    ） A． B． C． D． 58．（24-25六年级下·山东烟台·期中）将一副直角三角尺如图放置，其中，，若，则的度数为 （结果以“”为单位）． 59．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图所示，将一副三角板的直角顶点O重合叠放在一起． (1)如图1若，则 ；若，则 ； (2)如图2若，则 ； (3)猜想与的数量关系，并结合图1说明理由． 60．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，其中，，． (1)操作判断 若，则______；若，则______； (2)性质探究 由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 题型二、几何图形中的角度计算 61．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图，直线相交于点，，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 62．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）如图，直线和相交于点，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 63．（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，已知，，点、、在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 64．（24-25六年级下·山东泰安·期中）如图，平分，平分，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 65．（2025·北京顺义·二模）如图，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 66．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线相交于点 E，．若，则的度数为 ． 67．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知，， 在的内部．某数学兴趣小组进行了探究： （1）在上取一点M，以点O为圆心，以为半径画弧交射线的N； （2）以点N为圆心，线段的长为半径画弧交前弧于点D； （3）以点O为端点，作射线． 若，则 度． 68．（24-25六年级下·山东青岛·期末）如图，平分，平分，，，求的度数． 69．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）在同一平面内已知，平分平分． (1)当，求的度数； (2)在做题过程中聪聪同学认为就算不知道的度数，也能求的度数，请你在的度数未知的情况下，求的度数． 题型三、实际背景下的角度计算 70．（2024·河南周口·三模）如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为 （   ） A． B． C． D． 71．（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 72．（24-25七年级上·河南商丘·期末）“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为 ． 73．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 74．（21-22七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 75．（24-25七年级下·四川达州·期末）大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析如何能让班上同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论．如图1，为方便研究，定义两手手心位置分别为两点，两脚脚跟位置分别为两点，定义平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图1，三点在同一条直线上，两点重合，，求的度数； (2)如图2，三点在同一条直线上，且，平分，求的度数． 题型四、角平分线的应用 76．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 77．（24-25六年级下·山东泰安·期中）如图，已知为直线上一点，，平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 78．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图所示，是的平分线，是的平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 79．（2025·河北唐山·二模）在学校可以看到一种现象，有同学不由自主地转动手中的笔．同学的转笔过程可以看成一条直线绕一个点旋转，其示意图如图所示，若，恰好平分，则（   ） A． B． C． D． 80．（24-25七年级下·江西赣州·期末）【课本原型】 （1）如图（1），点、、在同一条直线上，射线和射线分别平分和．则______°． 【拓展与延伸】 （2）如图（2），点、、不在同一条直线上，射线和射线分别平分和． ①若，求的度数； ②若，则的度数为______． 81．（24-25七年级上·江苏南京·期末）定义：在同一平面内有，，三条射线．若分别与，形成的角的度数成2倍关系，即或，则称射线是的“倍距线”．如图①，若，，满足，则是的一条“倍距线”． (1)若，是的一条“倍距线”，则的度数为______°．（写出一个答案即可） (2)如图②，点O在直线上，，． ①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒（，当t为何值时，是的“倍距线”？ ②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒，若是的“倍距线”，则______． 82．（23-24七年级上·河北保定·期末）【特例感知】如图1，已知线段，，点和点分别是，的中点．若，则__________；    【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和；    ①若，，求的度数； ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？请说明理由． 【类比探究】如图3，在内部转动，若，，，，求的度数．（直接写出结果，用含有的式子表示）．    83．（2024七年级上·浙江·专题练习）在、、、、各时刻，时针与分针所成角中，锐角、直角、钝角的个数之比为（  ） A． B． C． D． 84．（22-23七年级上·河北保定·期末）已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 85．（2025·河南信阳·二模）为了提高学生体质，2025年新学期国家出台了“中小学课间延长至15分，每天1节体育课”政策，孩子们有了更多时间进行体育锻炼．如图，有一次大课间，A、B两处均有学生在练跳绳，为了减少练跳绳时相互干扰，小红同学就拿着跳绳走到了的平分线上的处，则处相对观测点的方向为（     ） A．南偏东 B．东偏南 C．南偏东 D．东偏南 86．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列说法： ①画射线； ②如图，可以用表示； ③若，，则； ④植树时栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，依据的数学原理是两点确定一条直线． 其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 87．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 88．（2025·湖南张家界·二模）已知，，则 （填“”，“”或“”）． 89．（24-25六年级下·山东东营·期中）如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有 个角． 90．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，烟台舰巡航时在O处发现灯塔A在南偏东方向（即大塔A的方位角），同时发现大连舰B和无名海岛C分别在北偏东方向和西北方向． (1)在图中分别画出表示大连舰B和无名海岛C方向的射线；（在图中标注字母和度数） (2)烟台舰在O处发现一艘长岛号渔船D，若的补角是余角的6倍，求长岛号渔船D的方位角； (3)在（2）的条件下，烟台舰在O处还发现一艘青岛号货轮E，若射线是的平分线，则青岛号货轮E的方位角是 ． 91．（24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西． (1)若，则的方向是 (2)若是的反向延长线，则的方向是 (3)在(2)的条件下，可以看作是由射线绕点O旋转至形成的，作的平分线，则的方向是 (4)在(1)(2)(3)的条件下，求的度数． 92．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）探究学习，寻求真知 (1)特例感知：如图1，已知线段，线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），点和点分别是的中点． ①若，则______； ②当线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度？如果变化，请说明理由． (2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和，请你猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由． (3)类比探究：如图3，在的内部转动，当时，用含的式子表示和之间的数量关系（直接写出结果）． 93．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）数学活动课上，老师以直线上一点为端点作射线，使平分，平分． (1)如图1，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点处，即，则的度数为___________； (2)受“兴趣小组”的启发，如图2，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点处，即，求的度数； (3)如图3，已知，求的度数（用含的式子表示）． 94．（24-25六年级下·山东东营·期中）综合与实践：六年级李老师带领同学们探究双中点和双角平分线问题 【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，M、N分别是和的中点． ①若，则线段___________； ②若（），则线段___________． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分．射线平分．求的度数． 【类比探究】 （3）如图③，若，是外部的一条射线，射线平分，射线平分，请求出的度数．（用含的式子表示） 95．（23-24七年级·江苏泰州·期末）七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角． (1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度； ①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形； ②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）． (2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度． (3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角． 小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：． 请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由． (4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由． 96．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）我们常借助直角三角板进行一些数学问题的探究．如图1所示，在直角三角板中，，，点在直线上，先将边与重合，然后将三角板绕着点按每秒1度的速度顺时针旋转，旋转后的三角板记作，设运动时间为秒，且． (1)当与重合时，______； (2)当时，求的值； (3)如果把原题中的直角三角板换成普通的三角形纸片，不妨设，其他条件不变，在的内部作一条射线，使，如果在旋转过程中，始终有成立，直接写出与的数量关系． 97．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如，，，．①小明利用三角尺作出了一个的角；②小乐利用三角尺作出了一个的角；除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出___________度的角（写出一种即可）． （2）如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，，，，在，）内作射线，，且，，则_____度； （3）如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中，，他把这两个三角形的顶点及边，重合在一起，三角形固定，将三角形绕点顺时针旋转，当边与重合时，停止运动．在此过程中，在，内作射线，，使，．这时，小明说“的度数可以用，表示出来”；小乐说“的度数无法用，表示出来”．请你判定一下谁的说法正确，并说明理由． 试卷第2页，共74页 12 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $