5.1 线段、射线、直线（题型专练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

5.1 线段、射线、直线 题型一、直线、射线、线段的区别与联系 1．（24-25六年级下·山东烟台·期中）下列语句中正确的是（   ） A．延长直线 B．延长线段到点C，使线段与线段相等 C．延长射线 D．反向延长射线到点B，使射线与射线相等 【答案】B 【分析】本题考查了几何基本概念：直线、射线与线段；根据几何基本概念，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A选项错误：直线是向两端无限延伸的，没有端点，因此无法再被“延长”； B选项正确：线段可以沿B点方向延长到点C，使；例如，用圆规截取的长度，从B点延长即可构造点C； C选项错误：射线从端点O向A方向无限延伸，已无法再延长； D选项错误：射线反向延长得到的是另一条射线（方向与相反），射线本身是无限长的，无法定义“相等”； 综上，只有B选项符合几何基本概念． 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．射线与射线是同一条射线 B．联结两点的线段叫做两点之间的距离 C．两点之间，直线最短 D．线段与线段是同一条线段 E． 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间线段最短，线段、射线的定义，两点之间的距离，熟练掌握概念是解题的关键． 【详解】解：A、射线与射线不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； B、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，原说法错误，不符合题意； C、两点之间，线段最短，原说法错误，不符合题意； D、线段与线段是同一条线段，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25六年级下·山东威海·期末）已知线段，现有一点P满足，有下列说法：①点P在线段上；②点P在直线上；③点P在直线外．正确的说法是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的和差，熟练掌握线段之间的运算和大小比较是解题关键． 根据线段的长度及的值判断点P的位置即可解答． 【详解】解：当点P在线段上时，与矛盾，故①错误； 若点P在直线的延长线上（如M左侧或N右侧），例如P距M有5个单位时，，此时，满足条件．因此，点P可能在直线MN上，故②正确； 若点P在直线外，例如，存在这样的点．因此，点P也可能在直线外，故③正确． 综上，正确的说法是②和③． 故选B． 4．（24-25七年级下·全国·假期作业）对于直线，线段，射线，在下列各图中能相交的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段有两个端点，射线有一个端点，直线无端点，解答即可， 本题考查了线段，直线，射线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解： A.    都是线段，无法相交，不符合题意； B. ，射线向一个方向无限伸展，可以相交，符合题意；     C.     线段，无法相交，不符合题意； D. 射线的方向不对，无法相交，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．射线和射线不是同一条射线 C．点在线段上 D．点是直线的一个端点 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的概念，熟练掌握直线、射线、线段的概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的概念逐项判断即可 【详解】解：A． 直线和直线是同一条直线，故该选项错误，不符合题意； B． 射线和射线是同一条射线，故该选项错误，不符合题意； C． 点在线段上，故该选项正确，符合题意； D． 直线没有端点，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 6．（24-25六年级下·山东济宁·阶段练习）下列有关线段或者直线的表示方法，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线、线段的表示，直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线；线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段（或线段）．据此判断即可． 【详解】解：有关线段或者直线的表示方法，正确的是： 故选：C． 7．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，下列给出的直线，射线，线段中能相交的是（   ） A．a与b B．c与d C．b与d D．a与c 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线和线段，根据射线可以向一方无限延伸，直线可以向两方无限延伸，线段不能延伸即可判断求解，掌握直线、射线和线段的特征是解题的关键． 【详解】解：∵射线可以向一方无限延伸，直线可以向两方无限延伸，线段不能延伸， ∴能相交的是与， 故选：D． 8．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是(   ) A．如图1，直线，相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长射线 D．如图4，点在直线上 【答案】A 【分析】本题考查直线、射线、线段，解题的关键是根据图形，能用几何语言描述它们的关系．根据直线、射线、线段的定义与图形逐项判断即可． 【详解】解：①如图1，直线、相交于点，与图相符，故选项A符合题意； ②如图2，直线与线段有公共点，故选项B不符合题意； ③如图3，只能反向延长射线，故选项C不符合题意； ④如图4，点不在直线上，故选项D不符合题意． 故选：A． 题型二、点与直线的位置关系 9．（2025·河北廊坊·一模）如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】该题考查了直线的定义，根据图象解答即可． 【详解】解：根据图象可得，该直线为直线， 故选：C． 10．（24-25七年级上·重庆渝中·期末）如图，直线与直线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点在直线外 B．点在直线上 C．点在线段的反向延长线上 D．直线与线段相交于点 【答案】B 【分析】本题考查了线段，射线，直线的关系．根据线段，射线，直线的特点判断即可． 【详解】解：A、点在直线外，说法正确，本选项不符合题意； B、点在直线外，原说法不正确，本选项符合题意； C、点在线段的反向延长线上，说法正确，本选项不符合题意； D、直线与线段相交于点，说法正确，本选项不符合题意； 故选：B． 11．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下列几何图形与相应语言描述不相符的有（   ） A．如图1，直线、相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长线段 D．如图4，直线不经过点 【答案】B 【分析】本题考查线段、射线和直线的语言描述．利用线段、直线和射线，点与直线的关系等语言描述逐一判断即可解题． 【详解】解：A. 如图1，直线、相交于点，描述相符，故该选项不符合题意； B. 如图2，直线与线段有公共点，描述不相符，故该选项符合题意； C. 如图3，延长线段，描述相符，故该选项不符合题意； D. 如图4，直线不经过点，描述相符，故该选项不符合题意； 故选：B． 12．（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系： ． 【答案】点P在直线l外 【分析】本题考查点和直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．根据点与直线的位置关系可得答案． 【详解】解：由图知，点P在直线l外， 故答案为：点P在直线l外． 13．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是 （直接填写序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了直线的基本特征，点与直线的关系，熟记直线的基本知识是解题的关键． 根据直线的基本特征及点与直线的关系进行判断即可． 【详解】解：①点A在直线外，正确； ②直线m和n相交于点C，正确； ③点B既在直线l上又在直线n上，原描述错误． 综上所述，其中正确的是①②． 故答案为：①②． 题型三、两点之间的线段与直线 14．（24-25六年级下·山东淄博·期中）将一条木条固定在墙上，至少需要在木条上钉两个钉子．这样做的数学依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．连接两点之间的线段的长度是两点间的距离 【答案】A 【分析】本题考查几何公理的实际应用，根据几何基本公理，经过两点有且只有一条直线，因此钉两个钉子可固定木条的位置，使其无法绕这两个点转动或移动，选项B、C涉及最短距离，与固定木条无关；选项D是距离的定义，亦不适用，由此可解． 【详解】解：将木条固定在墙上需要至少两个钉子，是因为两点确定一条直线． 故选A． 15．（2025·吉林长春·二模）一株长白山野山参如图①所示．如图②，小明用剪刀将图①中的一片参叶沿直线将其剪掉一部分，发现剩下参叶的周长比原参叶的周长小，则能正确解释这一现象的数学原理是（　　） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，根据两点之间，线段最短即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据两点之间，线段最短可知，剩下参叶的周长比原参叶的周长小， 故选：D． 16．（24-25七年级上·湖北随州·期末）下列生活中的做法与其运用的数学原理对应正确的是（   ） （1）如图①，工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直（两点确定一条直线） （2）如图②，把弯曲的公路改直，就能缩短路程（两点之间线段最短） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线的性质，线段公理等知识；将实际问题数学化是解决问题的关键可根据公理“两点确定一条直线”；线段的性质即可判断，即可求解． 【详解】解：工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直（两点确定一条直线），符合题意； 把弯曲的公路改直，就能缩短路程（垂线段最短），做法与其运用的数学原理是两点之间线段最短，符合题意； 故选：C． 17．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开和最短路径问题，掌握求解的方法是关键； 根据圆柱的侧面展开图是长方形结合两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线应该是： ， 故选：B． 18．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图是某公园跑道的部分平面图，从处到处的直线距离为，而实际沿跑道走约为，从数学知识角度考虑合理的是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．平行线间的距离相等 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点之间，线段最短，熟知两点之间，线段最短是解题的关键． 【详解】解：从处到处的直线距离为，而实际沿跑道走约为，从数学知识角度考虑合理的是两点之间线段最短， 故选：B． 19．（2025·河北沧州·一模）图2是图1的侧面展开图．一只昆虫沿着圆柱的侧面，从点沿最短的路线爬到点，则昆虫爬行的路线是图2中的（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】此题主要考查圆柱的特征，灵活运用“两点之间线段最短”，是解答本题的关键．要求小昆虫爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：从A点沿最短的距离爬到B点，则昆虫爬行的路线是图2中的②位置． 故选：B． 20．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）将一根木条固定到墙上，使其不能转动，至少需要2根钉子其依据是： ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质：两点确定一条直线，熟记两点确定一条直线是解题关键． 【详解】解：将一根木条固定到墙上，使其不能转动，至少需要2根钉子其依据是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 21．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线，木工师傅这样做的道理是： ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的关键．根据直线的性质，即可解答． 【详解】解：墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．木工师傅这样做的道理是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 题型四、线段的和与差 22．（24-25七年级下·北京·期末）已知为直线上四个点， 且， 点为线段的中点， 则线段的长为（     ） A．1 B．7 C．7或1 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查线段和差，线段中点的计算，根据点的不同位置分类讨论，结合线段中点的性质求解． 【详解】解：∵点是的中点，且， ∴， 当点在的右侧，即排列顺序为，且， ∴； 当点在与之间，即排列顺序为， ∴， ∴线段的长为或， 故选：C． 23．（24-25七年级上·重庆秀山·期末）三点在同一直线上，线段，，那么、两点的距离是(   ) A． B． C．或 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．分点C在的延长线上和点C在线段的延长线上两种情况，根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：①如图，当点C在的延长线上时， ∵，， ∴、两点的距离是； ②如图，当点C在线段的延长线上时， ∵，， ∴、两点的距离是； 综上所述：、两点的距离是：或， 故选：C． 24．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，C是线段的中点，D为线段上一点，下列等式（1）；（2）；（3），（4）．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，熟练掌握线段的和差关系是解题的关键． 根据线段的和差关系逐句判断即可． 【详解】解：∵是线段的中点， ， （1），故（1）正确； （2）不能证明，故（2）错误； （3），故（3）正确； （4），故（4）正确， ∴正确的有 3 个． 故选：C． 25．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D 的左侧）．将，分别沿C，D 两点翻折（翻折处长度不计），A，B 两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差，分两种情况：当点E在点F左侧时，当点E在点F右侧时，分别画出图形，即可求解． 【详解】解：当点E在点F左侧时，如图， 由于翻折，则，， 由图知，，即， ∴， ∴； 当点E在点F右侧时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 26．（24-25七年级下·北京·期末）已知点C为线段上一动点，点D，E分别是线段和的中点． (1)如图，若线段 ，求线段的长； (2)若线段的长为，则线段的长为 （用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质． （1）利用线段的和差表示出相关的线段，再利用线段中点的性质求解即可； （2）假设线段的长为，线段的长为，则线段的长为，利用线段中点的性质即可表示出线段的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点D，E分别是线段和的中点， ∴， ； （2）解：假设线段的长为，线段的长为，则线段的长为， ∵点D，E分别是线段和的中点， ∴， ， 故答案为：． 27．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，A，B，C三点在同一直线上，点D在的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定D点的位置； (2)若，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2)18 【分析】本题考查尺规作图—作线段，线段的和与差，找准线段之间的和差关系，是解题的关键： （1）以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点即可； （2）根据比例关系求出的长，进而得到的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 28．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，已知线段a、b． (1)请用尺规按要求作图，作线段，使；（保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，若点C为上的任意一点，点D为的中点，点E为的中点，请补全图形，并求的长； (3)若（2）条件中“点E为的中点”改为“点E为的中点”，直接写出与、的数量关系和理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了线段和的尺规作图，线段中点的定义； （1）作一条以A为端点的射线，以A为圆心，的长为半径画弧，连续截取两次，再按同样的作法顺次截取线段，即可求解； （2）由线段的中点可得，，再由即可求解； （3）由线段的中点可得，，再由即可求解； 掌握线段的作法，根据题意用线段的和差表示线段，能利用线段中点的定义进行线段的等量转换是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求作的线段； （2）解：如图   为的中点， ， 为的中点， ， ， ∴． （3）如图所示， ∵点E为的中点 ∴， 为的中点， ， ∴． 题型一、与线段中点有关的问题 29．（24-25九年级下·安徽池州·期中）如图，点C，O在线段上，，O是的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据题意可求出，，据此根据线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 30．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，，C为的中点，点D在线段上，且，则的长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．根据线段中点的定义、线段的和差即可求解． 【详解】解：∵C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 31．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，线段的长度分别是； (1)用直尺和圆规在射线上作线段，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若点是线段的中点，且，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了尺规作图，线段中点的定义等知识，解题的关键是： （1）作的延长线，在延长线上截取即可； （2）根据线段中点的定义求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解∶如图，线段即为所求， ； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵D是线段的中点， ∴， ∴， 32．（24-25七年级下·广东梅州·开学考试）按下列要求完成回图和计算： (1)已知线段a和b，求作线段，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)已知线段，点C为上的一个动点，点D、E分别是和的中点． 若：①点C恰好是中点，则___________， ②，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①6；② 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，线段的和差计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据线段的尺规作图方法作图即可； （2）①由线段中点的定义得到的长，进而得到的长即可得到答案；②先求出的长，再由线段中点的定义得到的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解；①∵，点C恰好是中点， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 点D、E分别是和的中点， ∴， ∴． 33．（24-25七年级上·北京·期中）点O为数轴的原点，点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为5，线段的长为线段长的1.2倍．点C在数轴上，点C表示的数为x,M为线段的中点． (1)点B表示的数为 ； (2)若线段的长为4.5，则线段的长为 ； (3)若线段的长为x，求线段的长（用含x的式子表示）． 【答案】(1) (2)2或16 (3)线段的长为：或或 【分析】本题考查了列代数式、数轴，解决本题的关键是用数轴表示两点之间的距离． （1）首先根据的长求出的长，即可得出的长，然后根据点的位置，即可得出点{B}表示的数； （2）需分两种情况进行求解：点C在原点的左侧和右侧，求出和的长，即可得出的长； （3）需分4两种情况进行求解：点在点右侧点，在线段上，当点C在线段上，当点在点的左侧时，求出和的长，即可得出的长． 【详解】（1）解：∵点表示的数为5，线段的长为线段长的1.2倍， ， ， 点B表示的数为， 故答案为-1； （2）∵， ∴（点在原点右侧） 或（点在原点左侧） ∵为线段的中点 ∴或 ∴（点C在原点右侧） 或（点在原点左侧） ∴线段的长为2或16． 故答案为2或16； （3）当， 点在点右侧， ∴ ∴； 点在线段上， ∴ ∴； 当点C在线段上时，， ∴， ； 当点在点的左侧时， ， ∴， ∴； 答：线段的长为：或或． 34．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）追本溯源：题（1）来自课本中的尝试·思考，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）在直线上顺次取三点，使得，．如果是线段的中点，那么线段和的长度分别是多少？ 方法应用 （2）①已知是线段上一点，，，是的中点，则___________； ②如图，是线段上一点，是的中点，是的中点，，求的长． 【答案】（1），；（2）2；（3） 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差． （1）根据线段的和差得出，再求出，即可得解； （2）①先求出线段的长，再根据线段中点计算即可得解； ②由线段的中点可得，再由线段的和差计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴； （2）①∵，， ∴， ∵是的中点， ∴； 故答案为：2； ②∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型二、画直线、射线、线段 35．（24-25六年级下·山东淄博·期中）下列关于画图的语言叙述正确的是（   ） A．画直线 B．画射线 C．延长线段到点C D．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段、直线的定义知识点，掌握相关定义成为解题的关键． 根据基本作图的方法、逐项分析即可解答． 【详解】解：A、直线没有长度，故 A 选项错误，不符合题意； B、射线没有长度，故 B 选项错误，不符合题意； C、延长线段到点C，说法正确，符合题意； D、三点有可能在一条直线上，可画出一条直线，也可能不在一条直线上，此时可画出三条直线，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 36．（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是 【答案】线段a 【分析】本题考查两点确定一条直线，掌握两点确定一条直线是解题关键．根据经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断． 【详解】解：如图， ∴线段a与挡板另一侧的线段在同一直线上， 故答案为：线段a． 37．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知线段、、，画一条线段，使（请写出作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查画与已知线段相等的线段，关键是根据题意得到所画线段跟已知线段的关系． 先作射线，再在射线上依次截取，，再截取，则线段即为所作． 【详解】解：如图：先作射线，再在射线上依次截取，，再截取，则线段即为所作． 38．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，在同一平面内有三个点A，B，C，请按下列要求作图： (1)画线段，画射线； (2)作线段，使点C为线段的中点（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）连接即可作线段；连接并延长即可作射线； （2）以为圆心，为半径画弧与射线另一个交点即为点． 【详解】（1）解：如图，线段，画射线即为所求： （2）解：如图，线段即为所求． 39．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知四点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作直线与射线交于点． (2)如图2，作线段与射线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画直线，射线和线段，熟知直线，射线和线段的画图方法是解题的关键． （1）根据直线和射线的画图方法画图即可； （2）根据线段和射线的画图方法画图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 40．（21-22七年级上·吉林四平·期末）已知，，，四点（如图）： (1)画线段，射线，直线； (2)连，与直线交于点； (3)连接，并延长线段与射线交于点； (4)连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的特征，准确掌握直线、线段、射线的特征是解题的关键． （1）根据直线，射线，线段的特征可作图求解； （2）根据题意连，与直线交于点； （3）根据题意连接，并延长线段与射线交于点； （4）根据题意连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点． 【详解】（1）解：如图，线段，射线，直线即为所求； （2）解：如图， （3）解：如图， （4）解：如图， 41．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）下面是过直线外一点，作已知直线的平行线，请使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹），并完成证明． 已知：如图，直线及直线外一点． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点； ②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点； ③作直线，所以直线就是所求作的直线． 证明： ， ， ∴（   ）（填推理的依据） 【答案】图形见解析，，，三角形的中位线平行于第三边 【分析】本题主要考查了复杂作图，数量掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据三角形的中位线平行于第三边进行证明即可． 【详解】证明：如图： ，， ∴（三角形的中位线平行于第三边）． 故答案为：，，三角形的中位线平行于第三边． 题型三、直线相交的交点个数问题 42．（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了探究规律，两条直线相交，最多有个交点，三条直线两两相交，最多有个交点，四条直线两两相交，最多有个交点，据此可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 43．（2025七年级下·全国·专题练习）平面内有四条直线，两两相交，交点最多有m个，最少有n个，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了直线的交点问题，代数式求值，掌握直线相交于一点时交点最少为1个，任意n条直线两两相交时交点最多为个是关键．由题意可得四条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出m，n的值，从而得出答案． 【详解】解：根据题意可得：四条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即； 任意两直线相交都产生一个交点时，交点最多， ∴此时交点为：，即； 则． 故答案为7． 44．（24-25七年级上·广西玉林·期末）如图，点A，B，C，D在同一平面内，按要求完成作图及作答： (1)在图1中，画直线，画射线，并连接； (2)在（1）的条件下，在图1中，在射线上画一点E，使得最小，此画图的依据是_______； (3)在图2中，平面已经被分成了_______个不同的区域，过点D再画一条直线，则此时平面最多有_______个不同的区域． 【答案】(1)见详解； (2)见详解，两点间线段最短； (3)7，11． 【分析】本题主要考查了作直线，射线，及线段的基本性质，掌握直线、射线、线段的概念和线段的性质是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）连接交于点，点即为所求作，依据：两点间线段最短，据此即可求解； （3）根据题意画出图形即可得平面内最多不同的区域． 【详解】（1）解：直线，射线，线段，如图所示， ； （2）解：如图，点即为所求作； 此画图的依据是两点间线段最短； 故答案为：两点间线段最短； （3）解：如图，平面已经被分成了7个不同的区域，过点再画一条直线，则此时平面最多有11个不同的区域． 故答案为：7，11． 45．（23-24七年级上·江苏南通·期末）【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 【答案】（1）10；（2）29；（3）没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛 【分析】本题主要考查了直线交点问题、图形规律探究等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键 （1）根据题干分析n条直线，最多有个交点，直接代入即可得解； （2）代入公式求出交点最多个数，当8条直线交于同一点时，个数最少； （3）根据单循环赛制的特点，以及各班级已赛场次的信息，逐步推理出班级之间的比赛关系，进而求出未与七6班比赛的班级以及剩余比赛场数． 【详解】解：（1）5条直线相交，最多有个交点， 故答案为：10； （2）根据题意，最多有个交点，此时， 当8条直线交于同一点时，交点最少，此时， 所以； （3）分析各班级比赛场次信息： 单循环赛制意味着每个班级都要和其余5个班级各赛一场，所以每个班级最多比赛5场， ①七1班赛了5场，这表明七1班与七2、七3、七4、七5、七6班都进行了比赛； ②七5班只赛了1场，由于七1班与所有班级都比赛过，所以七5班这一场比赛就是和七1班进行的，七5班没有和其他班级比赛； ③确定七2班比赛对象：七2班比赛了4场，因为七5班只和七1班比赛，所以七2班除了和七5班没比赛，与七1、七3、七4、七6班都比赛了； ④确定七4班比赛对象：七4班赛了2场，根据前面的推理，七4班的两场比赛是和七1、七2班进行的； ⑤确定七3班比赛对象：七3班比赛了3场，已知七1、七2班与七3班比赛，七5班没和七3班比赛，所以七3班的三场比赛是和七1、七2、七6班进行的（与七4班没有比赛）；通过以上分析可知，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班． 已比赛的场数为： ①七1班与七2、七3、七4、七5、七6班比赛5场； ②七2班与七4、七3、七6班比赛3场（与七1已算在七1班场次中）； ③七3班与七6班比赛1场（与七1、七2重复场次已算）； ④七4班与七1、七2班赛比2场；（全部为重复场次，已算过） ⑤七5班与七1班赛1场；（全部为重复场次，已算过） ⑥七6班与七1、七2、七3班赛3场（全部为重复场次，已算过），总共已赛9场； 6个班级进行单循环比赛，总场数为场，所以还剩下的比赛场数为场； 综上，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛． 题型四、最短路径问题 46．（24-25七年级上·天津宁河·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列要求画图． (1)画直线； (2)作射线； (3)画线段； (4)连接，并延长至点E，使；（保留作图痕迹） (5)在四边形内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离的和最小． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 (4)画图见解析 (5)画图见解析 【分析】本题主要考查了直线，射线和线段的定义和作图．熟练地掌握直线，射线和线段的定义，并正确的根据定义作图是解题的关键． （1）根据直线的概念作图即可； （2）根据射线的概念作图即可； （3）根据线段的概念作图即可； （4）以点D为圆心、为半径，画弧交延长线于点E； （5）根据两点之间线段最短，连接、，交点即为所求点O． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，射线即为所求； （3）解：如图所示，线段即为所取； （4）解：如图所示，线段DE即为所求； （5）解：如图所示，点O即为所求． ； 47．（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图，平面内有，，，四点，利用直尺，按照下面的要求完成作图． (1)连接； (2)作直线； (3)作射线； (4)作出点，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查的知识点是作图，直线、射线、线段的定义、两点之间线段最短，解题关键是熟练掌握相关知识点． （1）根据线段的定义画出图形； （2）根据直线的定义画出图形； （3）根据射线的定义画出图形； （4）连接、交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： （3）解：射线即为所求： （4）解：如图，点即为所求： 48．（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，已知直线和直线外三点、、，根据下列语句画出相应的图形． (1)画线段，画直线； (2)在直线上确定点，使得的值最小，理由是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，两点之间，线段最短 【分析】本题考查了作图——直线，线段以及两点之间，线段最短，解题关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据线段和直线的定义作图即可； （2）连接交直线于点，由两点之间，线段最短可知，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段，直线即为所求作； （2）解：连接交直线于点，点即为所求， 理由是：两点之间，线段最短． 49．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图． (1)画直线； (2)画射线交直线于点E； (3)在直线上找一点F，使得最小，并说明理由； (4)在图中找一个点，使该点到点A，B，C，D的距离之和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，直线、射线、线段． （1）根据直线定义即可画直线； （2）根据射线定义即可画射线交直线于点E； （3）根据根据两点之间线段最短求解； （4）点即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，射线，点E即为所求； （3）连接与相交于点，根据两点之间线段最短，可得此时的最小值为； （4）如图，点F即为所求，利用同（3）． 题型五、与线段n等分点有关的计算 50．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，线段，点C在线段AB上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，n等分点的定义，数形结合是解题的关键．由三等分点的定义得，，然后由两点间的距离求解即可． 【详解】解：∵P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点， ∴，， ∴． 故选C． 51．（23-24六年级下·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的中点有关的计算，先根据线段中点定义求得，再分和两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的三等分点， 若，如图，则；    若，如图，则，    综上，的长为或， 故选：D． 52．（2023·河北沧州·模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(    ) A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对 【答案】A 【分析】根据作图的方法以及线段的中点，三等分点的定义，即可求解． 【详解】解：①“延长线段到，使”，则点是线段中点，故嘉嘉说法正确； ②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”，如图，如果线段，那么线段或，故淇淇说法错误． 故选：A．           【点睛】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，画线段，分类讨论是解题的关键 53．（24-25七年级上·浙江温州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，熟练掌握六等分点的含义是解题的关键； 根据与分别是的六等分点处，得出，然后结合几何根据线段和和与差求出即可． 【详解】解：∵洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 54．（24-25七年级上·广西河池·期末）已知线段，，点，的位置如图所示． (1)作射线，请用圆规在射线上依次截取，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作图形中，若，为的中点，在图形中标出点，的位置，再求出当，时，线段的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）按照要求作出射线，线段、即可； （2）由已知条件可得，，由线段等分点的定义可得，由为的中点可得，由线段的和差关系可得，然后根据即可求出线段的长． 【详解】（1）解：如图，射线，线段、即为所求作； （2）解：在图形中标出点，的位置如图所示， ，， ，， ， 为的中点， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了画出直线、射线、线段，作线段（尺规作图），线段等分点的有关计算，线段中点的有关计算，线段的和与差等知识点，熟练掌握尺规作图的基本方法和技巧以及线段的相关计算是解题的关键． 55．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，有公共端点的两条线段、组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】12或28 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义，理解“折中点”的定义是正确解答的关键．分两种情况，分别画出图形，根据线段中点的定义以及“折中点”的定义进行计算即可． 【详解】解：如图1， 点为线段的中点，， ，， 点是折线的“折中点”，， ，即， 解得：； 如图， 点为线段的中点，， ， 点是折线的“折中点”，， ，即， 解得：； 故答案为：12或28． 56．（2025·江西新余·一模）已知点在上（四点不重合），过五点中的任意两点可画一条直线，这样的直线至少可画（   ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】B 【分析】本题考查了直线的定义，理解直线的定义是解题的关键． 根据两点确定一条直线，作图分析即可求解． 【详解】解：根据题意，点在上（四点不重合），当过，过的直线经过点时，直线数量最少，作图如下， ∴至少可画6条， 故选：B． 57．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，甲、乙均从处去往处．甲选择图中的路线①，即依次途径，，，最终到达；乙选择图中的路线②，即途径，最终到达．图中的，，，，，均在格点上，且从一处到下一处均按直线行走，则两条路线中较长的是（    ） A．① B．② C．一样长 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短， 连接，再利用两点之间线段最短即可求解， 【详解】解：连接 有图可知： 在中， 即， 在中，， 即， ， 则路线①的距离路线②的距离， 故选：A． 58．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的跳动规律以及中点距离的计算，通过观察每次跳动后点与原点的距离变化，可以发现一个规律，即每次跳动后点与的距离是前一次距离的一半，利用这个规律，可以计算出经过次跳动后点与中点的距离，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上两点的距离为， ∴点表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ， 表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点表示的数为， ∵点表示的数为，表示的数为， 的中点表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为： ， 故选：B． 59．（24-25七年级上·重庆·期中）已知点C在直线上，，点D为线段的中点，若，则线段 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差计算，解题的关键是结合题意画出图形，应充分运用分类讨论和数形结合的思想方法． 根据题意分当点C在点B的右侧时和当点C在点B的左侧时两种情况进行讨论，并结合题意画出图形，根据线段之间的和差关系进行求解即可． 【详解】解：当点C在点B的右侧时，如图1， ∵， ∴，即， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， 解得， ∴， 当点C在点B的左侧时，如图2， ∵， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， 解得， 综上所述，长为或． 故答案为：或． 60．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，已知B，C在线段上． (1)如图1，图中共有______条线段； (2)若． ①比较线段的长短：_____（填“”“”或“”） ②如图2，若是的中点，是的中点，则线段的长度为______． 【答案】(1)6 (2)①；②12 【分析】本题主要考查了线段数量、线段的长度计算和线段中点的性质，解题关键是熟练掌握线段的和、差、倍、分及计算方法． （1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据线段的和差关系即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长度． 【详解】（1）解：以为端点的线段有、、共3条； 以为端点的线段有、共2条； 以为端点的线段为，有1条， 故共有线段的条数为：， 故答案为：6； （2）解：①若，则， 即． 故答案为：； ②解：，分别为，中点 ，， ，， ， ． 61．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    62．（21-22七年级上·河南周口·期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了次取线段中点实验：如图，该线段．第次，取的中点；第次，取的中点；第次，取的中点，第次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数 线段的长 第次 第次 第次 第次 第次 ________ ________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以． 两式相加，得． 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：________，________，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是________． 【答案】(1)， (2) (3)，， 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，找出规律是解答本题的关键． （1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案； （2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：因为， 所以， 两式相加，得， 所以； （3）解：，，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是， 故答案为：，，． 63．（24-25七年级下·北京·期中）探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． (2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． (3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了直线与直线间交点规律题，观察出相邻两个图形的交点个数的差为连续整数是解题的关键． （1）根据题意结合图形即可解答； （2）利用题中方法代入数据计算即可； （3）把9条公路看作是9条直线，先求出9条直线两两相交时的交点的个数，再根据差是10进行分析，即可得解． 【详解】（1）解：平面内有3条直线，则最多有个交点，即； 平面内有4条直线，则最多有个交点，即； ； 若平面内有条直线，则最多有个交点，即； （2）解：平面内有10条直线，且在某一方向上有5条是互相平行时， 其交点的个数最多为（个）， 其中表示10条直线两两相交时的最多交点个数，表示5条直线相互平行时减少的交点个数； （3）解：把9条公路看作是9条直线，则9条公路两两相交时交点的个数为：， ， 则可以看作，在某一方向上有5条直线两两互相平行，其余4条直线不平行，如图： 64．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）阅读感悟： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，C，D是线段上的两点，，，，M为的中点，点N在线段上，且，请你补全图形，并求线段的长度． 以下是小欣的解答过程： 解：补全图形如图所示． 因为，M为的中点，， 所以________，， 所以________________． 小颖说：“我觉得这个题应该有两种情况，小欣只考虑了点N在点D的左侧，事实上，点N还可以在点D的右侧．” 完成以下问题： (1)请将小欣的解答过程补充完整． (2)根据小颖的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求此时线段的长度． 【答案】(1)2；2；4 (2)见解析，12 【分析】本题主要考查了线段两点间的距离，线段的和差倍分关系；解题关键是正确识别图形，理解线段与线段之间的和差倍分关系． （1）先根据条件求出，和，最后根据求出答案即可； （2）根据小颖的想法，点N还可以在点D的右侧，画出图形，然后根据条件求出，和，最后根据求出答案即可． 【详解】（1）解：小欣的解答过程如下： ，， ， 为的中点，， ． ， 故答案为：2：2；4. （2）解：画图如下：     ，， ， 为的中点，， ． ． 65．（24-25七年级上·全国·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)； (2)；；． 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 首先根据、分别是、的中点，可得、，从而可得； 由，分别是，的中点，可得，根据可得； 根据、，可知、，所以可得，故从而可得:； 由，，知，，即得，从而可得： 【详解】（1）解：因为，， ， 点、分别是、的中点， ，， ； 故答案为：； （2）因为、分别是、的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ，， ，， ， ， ； ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 66．（21-22七年级上·江苏盐城·阶段练习）【新知理解】 如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”． (1)线段的中点       这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）； (2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝       cm； (3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点． 【答案】(1)是 (2)6或4或8c (3)t为3或或或或或6 【分析】（1）若点M是线段AB的中点时，则AB＝2AM＝2BM，由此即可得到答案； （2）分①当N为中点时，CN＝＝6cm；②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝＝4cm；③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝＝8cm． （3）分P为A、Q的和谐点，Q为A、P的和谐点，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：若点M是线段AB的中点时，满足AB＝2AM＝2BM， ∴线段的中点是这条线段的“和谐点”， 故答案为：是； （2）解：①当N为中点时，CN＝＝6cm； ②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝＝4cm； ③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝＝8cm． 故答案为：6cm或4cm或8cm； （3）解：∵AB＝15cm， ∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5）， 由题意可知，A不可能为P、Q的和谐点，此情况排除； ①P为A、Q的和谐点，有三种情况： 1）P为中点，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t）， 解得t＝； 2）P为AQ的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t）， 解得t＝3； 3）P为AQ的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t）， 解得t＝； ②Q为A、P的和谐点，有三种情况： 1）Q为中点，AP＝AQ，即15﹣2t＝t， 解得t＝6； 2）Q为AP的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即15﹣2t＝t， 解得t＝； 3）Q为AP的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即15﹣2t＝t， 解得t＝． 综上所述，t为3或或或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点． 【点睛】本题主要考查了与线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解． 试卷第2页，共54页 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 线段、射线、直线 题型一、直线、射线、线段的区别与联系 1．（24-25六年级下·山东烟台·期中）下列语句中正确的是（   ） A．延长直线 B．延长线段到点C，使线段与线段相等 C．延长射线 D．反向延长射线到点B，使射线与射线相等 2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．射线与射线是同一条射线 B．联结两点的线段叫做两点之间的距离 C．两点之间，直线最短 D．线段与线段是同一条线段 E． 3．（24-25六年级下·山东威海·期末）已知线段，现有一点P满足，有下列说法：①点P在线段上；②点P在直线上；③点P在直线外．正确的说法是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．（24-25七年级下·全国·假期作业）对于直线，线段，射线，在下列各图中能相交的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．射线和射线不是同一条射线 C．点在线段上 D．点是直线的一个端点 6．（24-25六年级下·山东济宁·阶段练习）下列有关线段或者直线的表示方法，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，下列给出的直线，射线，线段中能相交的是（   ） A．a与b B．c与d C．b与d D．a与c 8．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是(   ) A．如图1，直线，相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长射线 D．如图4，点在直线上 题型二、点与直线的位置关系 9．（2025·河北廊坊·一模）如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 10．（24-25七年级上·重庆渝中·期末）如图，直线与直线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点在直线外 B．点在直线上 C．点在线段的反向延长线上 D．直线与线段相交于点 11．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下列几何图形与相应语言描述不相符的有（   ） A．如图1，直线、相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长线段 D．如图4，直线不经过点 12．（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系： ． 13．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是 （直接填写序号）． 题型三、两点之间的线段与直线 14．（24-25六年级下·山东淄博·期中）将一条木条固定在墙上，至少需要在木条上钉两个钉子．这样做的数学依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．连接两点之间的线段的长度是两点间的距离 15．（2025·吉林长春·二模）一株长白山野山参如图①所示．如图②，小明用剪刀将图①中的一片参叶沿直线将其剪掉一部分，发现剩下参叶的周长比原参叶的周长小，则能正确解释这一现象的数学原理是（　　） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 16．（24-25七年级上·湖北随州·期末）下列生活中的做法与其运用的数学原理对应正确的是（   ） （1）如图①，工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直（两点确定一条直线） （2）如图②，把弯曲的公路改直，就能缩短路程（两点之间线段最短） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 17．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图是某公园跑道的部分平面图，从处到处的直线距离为，而实际沿跑道走约为，从数学知识角度考虑合理的是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．平行线间的距离相等 D．两点确定一条直线 19．（2025·河北沧州·一模）图2是图1的侧面展开图．一只昆虫沿着圆柱的侧面，从点沿最短的路线爬到点，则昆虫爬行的路线是图2中的（   ） A．① B．② C．③ D．④ 20．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）将一根木条固定到墙上，使其不能转动，至少需要2根钉子其依据是： ． 21．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线，木工师傅这样做的道理是： ． 题型四、线段的和与差 22．（24-25七年级下·北京·期末）已知为直线上四个点， 且， 点为线段的中点， 则线段的长为（     ） A．1 B．7 C．7或1 D．不能确定 23．（24-25七年级上·重庆秀山·期末）三点在同一直线上，线段，，那么、两点的距离是(   ) A． B． C．或 D．以上答案都不对 24．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，C是线段的中点，D为线段上一点，下列等式（1）；（2）；（3），（4）．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D 的左侧）．将，分别沿C，D 两点翻折（翻折处长度不计），A，B 两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，的长为 ． 26．（24-25七年级下·北京·期末）已知点C为线段上一动点，点D，E分别是线段和的中点． (1)如图，若线段 ，求线段的长； (2)若线段的长为，则线段的长为 （用含的代数式表示）． 27．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，A，B，C三点在同一直线上，点D在的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定D点的位置； (2)若，求的长． 28．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，已知线段a、b． (1)请用尺规按要求作图，作线段，使；（保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，若点C为上的任意一点，点D为的中点，点E为的中点，请补全图形，并求的长； (3)若（2）条件中“点E为的中点”改为“点E为的中点”，直接写出与、的数量关系和理由． 题型一、与线段中点有关的问题 29．（24-25九年级下·安徽池州·期中）如图，点C，O在线段上，，O是的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，，C为的中点，点D在线段上，且，则的长为 ． 31．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，线段的长度分别是； (1)用直尺和圆规在射线上作线段，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若点是线段的中点，且，求线段的长． 32．（24-25七年级下·广东梅州·开学考试）按下列要求完成回图和计算： (1)已知线段a和b，求作线段，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)已知线段，点C为上的一个动点，点D、E分别是和的中点． 若：①点C恰好是中点，则___________， ②，求的长． 33．（24-25七年级上·北京·期中）点O为数轴的原点，点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为5，线段的长为线段长的1.2倍．点C在数轴上，点C表示的数为x,M为线段的中点． (1)点B表示的数为 ； (2)若线段的长为4.5，则线段的长为 ； (3)若线段的长为x，求线段的长（用含x的式子表示）． 34．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）追本溯源：题（1）来自课本中的尝试·思考，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）在直线上顺次取三点，使得，．如果是线段的中点，那么线段和的长度分别是多少？ 方法应用 （2）①已知是线段上一点，，，是的中点，则___________； ②如图，是线段上一点，是的中点，是的中点，，求的长． 题型二、画直线、射线、线段 35．（24-25六年级下·山东淄博·期中）下列关于画图的语言叙述正确的是（   ） A．画直线 B．画射线 C．延长线段到点C D．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线 36．（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是 37．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知线段、、，画一条线段，使（请写出作法） 38．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，在同一平面内有三个点A，B，C，请按下列要求作图： (1)画线段，画射线； (2)作线段，使点C为线段的中点（不写作法，保留作图痕迹）． 39．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知四点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作直线与射线交于点． (2)如图2，作线段与射线交于点． 40．（21-22七年级上·吉林四平·期末）已知，，，四点（如图）： (1)画线段，射线，直线； (2)连，与直线交于点； (3)连接，并延长线段与射线交于点； (4)连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点． 41．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）下面是过直线外一点，作已知直线的平行线，请使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹），并完成证明． 已知：如图，直线及直线外一点． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点； ②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点； ③作直线，所以直线就是所求作的直线． 证明： ， ， ∴（   ）（填推理的依据） 题型三、直线相交的交点个数问题 42．（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 43．（2025七年级下·全国·专题练习）平面内有四条直线，两两相交，交点最多有m个，最少有n个，则 ． 44．（24-25七年级上·广西玉林·期末）如图，点A，B，C，D在同一平面内，按要求完成作图及作答： (1)在图1中，画直线，画射线，并连接； (2)在（1）的条件下，在图1中，在射线上画一点E，使得最小，此画图的依据是_______； (3)在图2中，平面已经被分成了_______个不同的区域，过点D再画一条直线，则此时平面最多有_______个不同的区域． 45．（23-24七年级上·江苏南通·期末）【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 题型四、最短路径问题 46．（24-25七年级上·天津宁河·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列要求画图． (1)画直线； (2)作射线； (3)画线段； (4)连接，并延长至点E，使；（保留作图痕迹） (5)在四边形内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离的和最小． 47．（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图，平面内有，，，四点，利用直尺，按照下面的要求完成作图． (1)连接； (2)作直线； (3)作射线； (4)作出点，使的值最小． 48．（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，已知直线和直线外三点、、，根据下列语句画出相应的图形． (1)画线段，画直线； (2)在直线上确定点，使得的值最小，理由是______． 49．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图． (1)画直线； (2)画射线交直线于点E； (3)在直线上找一点F，使得最小，并说明理由； (4)在图中找一个点，使该点到点A，B，C，D的距离之和最小． 题型五、与线段n等分点有关的计算 50．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，线段，点C在线段AB上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 51．（23-24六年级下·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 52．（2023·河北沧州·模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(    ) A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对 53．（24-25七年级上·浙江温州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 54．（24-25七年级上·广西河池·期末）已知线段，，点，的位置如图所示． (1)作射线，请用圆规在射线上依次截取，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作图形中，若，为的中点，在图形中标出点，的位置，再求出当，时，线段的长． 55．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，有公共端点的两条线段、组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长为 ． 56．（2025·江西新余·一模）已知点在上（四点不重合），过五点中的任意两点可画一条直线，这样的直线至少可画（   ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 57．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，甲、乙均从处去往处．甲选择图中的路线①，即依次途径，，，最终到达；乙选择图中的路线②，即途径，最终到达．图中的，，，，，均在格点上，且从一处到下一处均按直线行走，则两条路线中较长的是（    ） A．① B．② C．一样长 D．无法确定 58．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 59．（24-25七年级上·重庆·期中）已知点C在直线上，，点D为线段的中点，若，则线段 ． 60．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，已知B，C在线段上． (1)如图1，图中共有______条线段； (2)若． ①比较线段的长短：_____（填“”“”或“”） ②如图2，若是的中点，是的中点，则线段的长度为______． 61．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由．             62．（21-22七年级上·河南周口·期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了次取线段中点实验：如图，该线段．第次，取的中点；第次，取的中点；第次，取的中点，第次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数 线段的长 第次 第次 第次 第次 第次 ________ ________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以． 两式相加，得． 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：________，________，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是________． 63．（24-25七年级下·北京·期中）探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． (2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． (3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行． 64．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）阅读感悟： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，C，D是线段上的两点，，，，M为的中点，点N在线段上，且，请你补全图形，并求线段的长度． 以下是小欣的解答过程： 解：补全图形如图所示． 因为，M为的中点，， 所以________，， 所以________________． 小颖说：“我觉得这个题应该有两种情况，小欣只考虑了点N在点D的左侧，事实上，点N还可以在点D的右侧．” 完成以下问题： (1)请将小欣的解答过程补充完整． (2)根据小颖的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求此时线段的长度． 65．（24-25七年级上·全国·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 66．（21-22七年级上·江苏盐城·阶段练习）【新知理解】 如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”． (1)线段的中点       这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）； (2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝       cm； (3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点． 试卷第2页，共54页 18 / 18 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