第02讲 二次根式的性质（第1课时）（寒假预习讲义）八年级数学新教材浙教版

第02讲 二次根式的性质（第1课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：二次根式的性质()2=a(a≥0) 1.()2的性质 ()2=a(a≥0)。 即：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 2.应用 (1)正用：()2=3,()2=m2+1; (2)逆用：若a≥0,则a=()2,如2=()2,=()2。 逆用可用于在实数范围内分解因式，如： a2-2=a2-()2=(a+)(a-)。 注意：利用性质()2=a(a≥0)时，一定要有前提a≥0。如果a<0,那么上述等式就不成立，如：()2≠-4。因为在实数范围内无意义。 知识点2：二次根式的性质=|a| 1.的性质 根据算术平方根的意义，无论a是正数、0或负数，a2的算术平方根都可以记作。当a≥0时，；当a＜0时，。综上所述： 即：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 2.()2与的区别与联系 名称 ()2 区别 意义不同 表示非负实数a的算术平方根的平方 表示实数a的平方的算术平方根 取值范围不同 a≥0 a为任意实数 运算顺序不同 对非负数a先求算术平方根再平方 对实数a先平方再求算术平方根 运算结果不同 ()2=a(a≥0) 作用不同 ()2=a(a≥0)正向运用可化简二次根式，逆向运算可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式。 正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆向运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内。 联系 （1）()2和都要进行平方与求算术平方根运算； （2）结果均为非负数； （3）当a≥0时，()2和=a。 【题型1 二次根式的性质()2=a(a≥0)】 例1．化简： （1） （2） （3） （4） 变式1．；； 【题型2 二次根式的性质=|a|】 例2．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）计算： 例3．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）归纳与探究： （1）计算：_____，_____，，_____； （2）猜想：对于任意实数，一定等于吗？利用（1）中的计算，你发现的值等于多少呢？ （3）应用：已知实数，在数轴上的位置如图所示，计算： 变式1．（25-26八年级上·北京顺义·月考）已知，化简 ． 变式2．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）先阅读，后解答： (1)由根式的性质计算下列式子得：．由上述计算，请写出_____．（为任意实数）． (2)利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果： ①_____； ②化简：_____． (3)应用：请根据（1）中结论化简（x为任意实数）． 【题型3 结合二个性质进行化简并计算】 例4．计算： 例5．化简： 变式1．计算： 变式1．对于， （1）若2026≤a≤2027，化简这个式子。 （2）当a是什么取值范围时，原式的值与a的取值无关，并求出原式的值。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简的结果为（   ） A． B． C．7 D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果为（   ） A． B．3 C．9 D． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河南南阳·月考）化简的结果是 ． 6．（25-26七年级上·山东东营·月考）已知，则的算术平方根是 ． 7．（25-26八年级上·上海·月考）已知，化简： ． 8．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若，化简 ． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3) (4) 10．（25-26八年级上·陕西西安·月考）通过计算下列各式的值探究问题： (1)①___________；； ②___________， 探究：对于任意负有理数___________． 综上，对于任意有理数___________． (2)应用（）所得的结论解决问题：有理数在数轴上对应的点的位置如图所示． 化简：． 11．（25-26九年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 请阅读下面的材料，并完成相应的任务． 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为 从而达到化去一层根号的目的． 例如化简且， (1)填上适当的数： ▲ （在▲处填空） (2)化简： 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 二次根式的性质（第1课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：二次根式的性质()2=a(a≥0) 1.()2的性质 ()2=a(a≥0)。 即：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 2.应用 (1)正用：()2=3,()2=m2+1; (2)逆用：若a≥0,则a=()2,如2=()2,=()2。 逆用可用于在实数范围内分解因式，如： a2-2=a2-()2=(a+)(a-)。 注意：利用性质()2=a(a≥0)时，一定要有前提a≥0。如果a<0,那么上述等式就不成立，如：()2≠-4。因为在实数范围内无意义。 知识点2：二次根式的性质=|a| 1.的性质 根据算术平方根的意义，无论a是正数、0或负数，a2的算术平方根都可以记作。当a≥0时，；当a＜0时，。综上所述： 即：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 2.()2与的区别与联系 名称 ()2 区别 意义不同 表示非负实数a的算术平方根的平方 表示实数a的平方的算术平方根 取值范围不同 a≥0 a为任意实数 运算顺序不同 对非负数a先求算术平方根再平方 对实数a先平方再求算术平方根 运算结果不同 ()2=a(a≥0) 作用不同 ()2=a(a≥0)正向运用可化简二次根式，逆向运算可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式。 正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆向运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内。 联系 （1）()2和都要进行平方与求算术平方根运算； （2）结果均为非负数； （3）当a≥0时，()2和=a。 【题型1 二次根式的性质()2=a(a≥0)】 例1．化简： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）7 （2）﹣2.25 （3） （4）8 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 变式1．；； 【答案】20 π－1 【详解】； 【题型2 二次根式的性质=|a|】 例2．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）计算： 【答案】 【详解】解： ． 例3．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）归纳与探究： （1）计算：_____，_____，，_____； （2）猜想：对于任意实数，一定等于吗？利用（1）中的计算，你发现的值等于多少呢？ （3）应用：已知实数，在数轴上的位置如图所示，计算： 【答案】（1）3，5，，；（2）对于任意实数a，不一定等于a，；（3） 【详解】解：（1），，，． 故答案为：3，5，，； （2）由（1）各式计算结果可以发现：对于任意实数a，不一定等于a，； （3）由数轴得，， ∴， ∴ ． 变式1．（25-26八年级上·北京顺义·月考）已知，化简 ． 【答案】 【详解】解： ， ，， 因此，， 原式， 故答案为：． 变式2．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）先阅读，后解答： (1)由根式的性质计算下列式子得：．由上述计算，请写出_____．（为任意实数）． (2)利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果： ①_____； ②化简：_____． (3)应用：请根据（1）中结论化简（x为任意实数）． 【答案】(1)或 (2)， (3) 【详解】（1）解： ； （2）解：①， ②， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （3）解：∵， ①当时，， ∴原式； ②当时，， ∴原式； ③当时，， ∴原式， ∴综上， 【题型3 结合二个性质进行化简并计算】 例4．计算： 【答案】0 【详解】 =6－5－3＋2=0 例5．化简： 【答案】﹣1 【详解】∵2026－x≥0， ∴x≤2026， ∴x－2027＜0 ∴ =2026－x－（2027－x） =2026－x－2027＋x =﹣1 变式1．计算： 【答案】﹣5 【详解】 变式1．对于， （1）若2026≤a≤2027，化简这个式子。 （2）当a是什么取值范围时，原式的值与a的取值无关，并求出原式的值。 【答案】当2026＜a＜2027时，a－2026＞0，且a－2027＜0， 原式= 【详解】当a≥2027时，a－2026＞0，且a－2027＞0， 原式=. 所以当当a≥2027时，原式的值与a无关，原式始终等于。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简的结果为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴结果为7． 故选：C． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果为（   ） A． B．3 C．9 D． 【答案】B 【详解】解：∵先计算根号内的式子：， ∴原式． ∵算术平方根的结果是非负的， ∴． 故选：B． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， ， ∴ 原式． 故选：C． 4．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由数轴可知，b＞0， 且，， ∴ ． 故选：A． 5．（25-26八年级上·河南南阳·月考）化简的结果是 ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·山东东营·月考）已知，则的算术平方根是 ． 【答案】 【详解】解：由二次根式的定义，得且， 解得， ， ， 8的算术平方根是， 故答案为： ． 7．（25-26八年级上·上海·月考）已知，化简： ． 【答案】 【详解】因为，所以，，， 因此，原式． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若，化简 ． 【答案】 【详解】解：原式， ， ，， 原式 ． 故答案为：． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)0.3 (4) 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：原式． （4）解：原式． 10．（25-26八年级上·陕西西安·月考）通过计算下列各式的值探究问题： (1)①___________；； ②___________， 探究：对于任意负有理数___________． 综上，对于任意有理数___________． (2)应用（）所得的结论解决问题：有理数在数轴上对应的点的位置如图所示． 化简：． 【答案】(1)① ② (2) 【详解】（1）解：依题意①； 故答案为：； 探究：对于任意负有理数，； 综上，对于任意有理数，， 故答案为：； （2）观察数轴可知：，，， ． 11．（25-26九年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 请阅读下面的材料，并完成相应的任务． 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为 从而达到化去一层根号的目的． 例如化简且， (1)填上适当的数： ▲ （在▲处填空） (2)化简： 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解： ， 故答案为：，，； （2）解： ． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $