1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义+1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 第一章 三角函数 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义 1 利用单位圆定义正弦函数、余弦函数 图1-4.1-1 如图1-4.1-1,给定任意角 ,作单位圆,角 的终边与单位圆的交点 为,点的纵坐标、横坐标都是唯一确定的.把点 的纵坐 标叫作角 的正弦值;把点的横坐标叫作角 的余弦值. 于是，在弧度意义下，对于,称 为任意角 的正弦函数， 为任意角 的余弦函数. 6 知识剖析 （1）对任意一个给定的角 ,它只有唯一的一条终边，从而终边与单位圆 只有唯一的交点，所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的. （2）终边相同的角与单位圆的交点相同，所以终边相同的角的正弦函数值、余 弦函数值相等,即对任意, , , . （3）根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到 . （这也是后面将学的同角三角函数的基本关系式之一） . . 7 2 用角的终边上的点的坐标表示正弦函数、余弦函数 设角 终边上除原点外的一点,则,,其中 . 8 3 特殊角的正弦函数值、余弦函数值 0 0 1 1 0 0 0 - 0 1 教材链接 该表格回答了教材第16页【思考交流】. 9 典例详解 例1-1 [教材改编P15例2] 在单位圆中， . （1）画出角 ; 图1-4.1-2 【解析】如图1-4.1-2,以原点为角的顶点,以 轴的非负半轴为始 边,逆时针旋转,与单位圆交于点,过点作轴的垂线交 轴于 点 . 于是 即为所作的角. 10 （2）求角 的正弦函数值和余弦函数值. 【解析】在中，， ， 则， . 11 例1-2 在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为角的始边，如果角 ， 的终边分 别与单位圆交于点，和，那么 等于( ) B A. B. C. D. 【解析】,,所以 . 例1-3 ［教材改编P16 T6］ 若角 的终边经过点,则 _ ____. 【解析】由题意可知，,,为坐标原点,所以 .（三角函数值只与角 的终边所在的位置有关，与点 在终边上的位置无关） . . 12 例1-4 若点在函数的图象上，则 的值为( ) D A.0 B. C. D. 【解析】由题意可知,解得,所以 . 13 知识点2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 设任意角 的终边与单位圆交于点,当自变量 变化时，点 的横坐标、 纵坐标也在变化.因此，根据正弦函数 和余弦函数 的定义，不难 看出它们具有以下基本性质.#1 14 函数 定义域 值域 最值 当时, ; 当时, 当时， ; 当 时， 周期性 是周期函数，周期为且，最小正周期为 单调性 在区间[- , 上单 调递增； 在区间 , 上单 调递减 在区间 上 单调递增； 在区间 上 单调递减 15 典例详解 例2-5 [教材改编P19 T3] 求下列函数的定义域： （1） ； 【解析】由于函数的定义域是，因此，函数的定义域也是 . （2） . 【解析】函数 有意义， 则，即 , ， 故函数的定义域为 , }. 16 例2-6 [教材改编P19 例4] 函数,, 的最大值和最小值分别是( ) C A.1， B.1， C.， D.1， 【解析】函数在区间上单调递增，（【解惑】, 是函数在一个周期内完整的单调递增区间）故最大值是 ，最小值 是 . . . 17 知识点3 正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号 根据正弦函数、余弦函数的定义和各象限内点的横、纵坐标的符号可以得到正 弦函数值、余弦函数值在每个象限的符号,如图1-4.1-3所示. 图1-4.1-3 （ 一全正、二正弦、三全负、四余弦.） 18 典例详解 例3-7 [教材改编P26 T3] 确定下列各三角函数值的符号： （1） ; 【解析】因为 是第三象限角， 所以 . （2） . 【解析】因为是第四象限角，所以 . （【方法】准确判断角的终边位置，从而判断该角正弦、余弦函数值的符号） 19 题型解析 03 题型1 求正弦、余弦函数值 1 已知角求正弦、余弦函数值 例8 [教材改编P15 例2] 在平面直角坐标系的单位圆中, . （1）画出角 ; 21 图1-4.1-4 【解析】因为,所以角 的终边与角 的终边 相同. 以原点为角的顶点,以轴非负半轴为角的始边,逆时针旋转 ,与 单位圆交于点,则角 如图 1-4.1-4所示. 22 （2）求出角 的终边与单位圆的交点坐标; 【解析】由（1）知，点在第二象限,且在角的终边上，所以点的坐标为 . （3）求出角 的正弦函数值、余弦函数值. 【解析】由（2）及正、余弦函数的定义可得, . 23 2 已知角的终边上的点求正弦、余弦函数值 例9 ［教材改编P16 T2］ 已知角 的终边上一点,则____, ____. 【解析】因为点在角 的终边上， 所以,,则单位圆的半径 为坐标原点 , 则, . 24 ［教材改编P26 T8］ 已知角 的终边经过点 ，且 ，则实数 的取值范围是________. 给什么得 什么 已知点，且 ，由正、余弦函数在各象限符 号可知点 在第二或第四象限. 求什么想 什么 求实数的取值范围，想到要建立关于 的不等关系. 差什么找 什么 由点在第二、第四象限，得，解得 ，故 的取值范围为 . 易错警示 如果变式中的条件为 ，那么要注意“等号”（轴线角）的情 况，所以掌握三角函数的定义是解决该问题的关键. 25 例10 [教材改编P27 T6] 已知第二象限角 的终边上有两点, ，且 ，则 ( ) D A. B. C.5 D.7 【解析】由点 是终边上一点， 得, ， 因为，所以，即 . 由点 是终边上一点， 得, ， 因为，所以，即 . 所以 . 26 3 已知角的终边在某一直线上，求正弦、余弦函数值 例11 [教材改编P27 T5] (2025·广西钦州市第四中学期中)已知角 的终边落在直线 上，求 , 的值. 27 【解析】 由解得或从而 或 直线，即 经过第二、第四象限.（【易错点】角的终边 是一条射线，而非直线，因此需分两种情况讨论，不要漏解） 在第二象限取直线上的一点 ， 则为坐标原点 ， . . 28 所以, ; 在第四象限取直线上的一点，则 ，所以 , . 综上，,或， . 求正弦、余弦函数值的类型及解法 （1）若已知角 终边上一点 是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，则 , . （2）若已知角 ，只需确定角 的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点坐标， 即可求出 , . （3）若已知角 终边上一点 不是以坐标原点为圆心的单位圆上 的点，先求，则， . （4）若角 终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论. 30 【学会了吗丨变式题】 1.(2025·广东省广州市期中)已知角 的终边经过点,且，则 等 于( ) C A. B. C. D.4 【解析】由,得, . 31 2.已知角 的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边在直线 上，则 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】由于直线经过第一、三象限，故角 的终边在第一或第三象限. ①若角 的终边在第一象限，在角 的终边上任意取一点 ，则由任意角的三角 函数的定义，可得，，故 ； ②若角 的终边在第三象限，在角 的终边上任意取一点 ，则由任意角的 三角函数的定义，可得， ，故 . 综上，所求的值为 . 32 题型2 正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号 1 判断正弦函数值、余弦函数值的符号 例12 判断下列各式的符号： （1） ； 【解析】因为 ， 所以 是第一象限角，则 . 又 ， 所以 是第二象限角，则 . 所以 . 33 （2） . 【解析】因为 8【易错点】注意8是弧度制下的角，而非 ,即 是第二象限角, 则,,所以 . . . 34 35 判断 , 符号的方法 已知角 的大小判断 ， 的符号的步骤： （1）把 化为或 ； （2）根据（1）确定角 的终边所在的象限； （3）根据角 的终边所在的象限确定 ， 的符号. 36 2 利用三角函数值的符号求值 例13 [多选题] 设角 的终边不在坐标轴上,则 的值可以为 ( ) ABD A. B.0 C.1 D.2 37 【解析】当 是第一象限角时, , 均为正值, ; 当 是第二象限角时, 为正值, 为负值, ; 当 是第三象限角时, , 均为负值, ; 当 是第四象限角时, 为负值, 为正值, . 综上可知,的值可以为 ,0,2. 38 3 由三角函数值的符号判断角的终边所在象限 例14 若，且，试确定角 的终边所在的象限. 思路点拨 由条件,分别求得角 的范围，然后同时满足即可. 【解析】, , . 当为偶数时，令,则 ; 当为奇数时，令,则 . 为第一或第三象限角. 又，所以角 的终边在第三象限. 39 判断角的终边所在象限的相关结论 （1）若正弦函数值为正，则角的终边在第一或第二象限或 轴非负半轴上;若正弦函 数值为负，则角的终边在第三或第四象限或 轴非正半轴上. （2）若余弦函数值为正，则角的终边在第一或第四象限或 轴非负半轴上;若余弦函 数值为负，则角的终边在第二或第三象限或 轴非正半轴上. 40 【学会了吗丨变式题】 3.若，且，则角 的终边在( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】由，且可得， ， 又, 角 是第四象限角. 41 题型3 利用单位圆确定角的范围 母题 致经典·母题探究 例15 [教材改编P27 T2] 在单位圆上画出适合下列条件的角 的终边的范围，并由 此写出角 的集合： （1） ; 图1-4.1-5 【解析】如图1-4.1-5所示，作直线交单位圆于点, ，作射 线,，则阴影部分（包括边界）为满足的角 的 终边的范围. 故满足条件的角 的集合为 ｝. 【勿遗漏】在写角 的终边对应的角时，不要忘记加上, . . 42 （2） . 【解析】如图1-4.1-6所示，作直线交单位圆于点,，作射线, ,则阴影 部分（包括边界）为满足的角 的终边的范围. 图1-4.1-6 故满足条件的角 的集合为, ｝. 43 思路点拨 利用单位圆解三角不等式，作出满足,的角 的终 边，然后根据已知条件确定所求角 的终边的范围. 44 子题 利用单位圆求解关于角 的不等式组： 45 图1-4.1-7 【解析】如图1-4.1-7所示，在单位圆中作直线交单位圆于 , 两点，作射线,，则劣弧与, 形成的扇形区域 （包括边界）为满足的角 的终边的范围； 作直线交单位圆于,两点，作射线,，则劣弧 与 ,形成的扇形区域（包括边界）为满足的角 的 终边的范围. 两个扇形区域相重合的部分为满足不等式组的角 的终边的范围，即图中阴影部分. 故不等式组的解为, }. 46 利用单位圆解三角不等式的方法 1.求解形如<m></m>,<m></m>的不等式的具体方法为： （1）如图1-4.1-8，画出单位圆; （2）在<m></m>轴上截取<m></m>,过点<m></m>作<m></m>轴的垂线，交单位圆于<m></m>,<m></m>两点,作射线 <m></m>,<m></m>; （3）写出以射线<m></m>与<m></m>为终边的角; （4）图1-4.1-8中阴影部分（包括边界）为满足不等式<m></m>的角<m></m> 的终边的范围， 空白部分（包括边界）为满足不等式<m></m>的角<m></m> 的终边的范围. 47 图1-4.1-8 图1-4.1-9 2.求解形如, 1 的不等式的具体方法为： （1）如图1-4.1-9,画出单位圆; （2）在轴上截取,过点作轴的垂线，交单位圆于， 两点，作射 线, ; （3）写出以射线与 为终边的角; （4）图1-4.1-9中阴影部分（包括边界）为满足不等式的角 的终边的范围， 空白部分（包括边界）为满足不等式的角 的终边的范围. 49 【学会了吗丨变式题】 4.利用单位圆求解满足的角 的集合. 50 图D 1-4.1-1 【答案】如图D 1-4.1-1所示，在单位圆中作直线 交单位 圆于,两点，作射线,，则优弧与， 之间的扇 形区域（不包括边界）为满足的角 的终边的范围； 作直线交单位圆于,两点，作射线,，则劣弧 与 ,之间的扇形区域（不包括边界）为满足的角 的 终边的范围. 两个扇形区域相重合的部分为满足不等式组的角 的终边的范围，即图中阴影部分. 故满足不等式组的角的取值集合为 , }. 51 题型4 正、余弦函数的基本性质的应用 例16（1）若,,求 的取值范围. 【解析】因为,所以,由此解得 ， （结合 的值域求解） 故的取值范围是 . 52 （2）[教材改编P19 T1] 求下列函数的单调区间： ①,, ; 【解析】函数在区间[-,上单调递增，在区间, 上单调递减. ②, . 【解析】函数在区间和 ,上单调递增，在区间, 上单调递减. 53 （3）[教材改编P20 T4] 求下列函数的值域： ①,, ; 【解析】函数在区间[-,上单调递增，在区间, 上单调递减. 又,, , 故函数的值域为[-, . 54 ②, . 【解析】函数在区间,上单调递减，在区间 , 上单调递增， 又,, , 故函数的值域为 . 所以函数的值域为 . 55 名师点评 求解函数的值域时要注意函数的定义域，并注意定义域区间端点的取值. 56 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 本节知识是后续学习的基础，高考主要考查对正弦函数、余弦函数的基本性质的应 用.考查题型主要为选择题,试题难度简单或中等. 核心素养：逻辑推理（正弦函数值和余弦函数值的符号的判断）. 57 考向 正弦函数、余弦函数的基本性质 例17 (2025·上海)函数在 上的值域为______. 【解析】由，得 . 58 例18 (全国Ⅱ卷)若 为第四象限角，则( ) D A. B. C. D. 给什么 得什么 由 为第四象限角，可得- . 求什么 想什么 求 的正弦值、余弦值符号，需要确定 的终边所在的象限. 差什么 找什么 由 的范围可得，所以 的终边在第三、 四象限或轴非正半轴上，因此， 的正负无法确定. 59 高考新题型专练 1.[多选题] (2025·四川省德阳成都外国语学校月考)下列三角函数值符号为负的有 ( ) BD A. B. C. D. 【解析】对于A,因为 角是第一象限角,所以 ,选项A不满足题意; 对于B,因为 角是第二象限角,所以 ,选项B满足题意; 对于C,因为，所以角是第二象限角，所以 ,选项 C不满足题意； 对于D,因为,所以选项D满足题意.故选 . 60 2.[多选题] (2025·浙江省台州市期末)若,,则 可以是 ( ) AC A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】因为, ， 所以,,故 是第一象限角， 由,,得, ， 当为偶数时，令,则, 是第一象限角， 当为奇数时，令,则, 是第三 象限角.故选 . 61 知识测评 04 建议时间：25分钟 1.若点在角的终边上，且为坐标原点,则点 的坐标为( ) D A. B. C. D. 【解析】设,则,,则 . 63 2.三个实数 ， ， 的大小关系是( ) C A. B. C. D. 【解析】因为 是第二象限的角，所以， ， 又，所以 .故选C． 3.已知角终边上一点的坐标为，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】角终边上一点的坐标为，即 ， 则 为第四象限角，从而 . 64 4.[多选题]下列选项中，三角函数值符号为负的是( ) AD A. B. C. D. 【解析】， （特殊角的三角函数），故A符合题意，B不符合 题意； 因为 ，是第二象限角，所以， ，故C不符合题意，D符 合题意.故选 ． . . 65 5.[多选题]下列说法正确的有( ) AD A.的定义域为 B. 的最小值为1 C.的单调递减区间为 D.函数是周期为 的周期函数 【解析】由正弦函数的定义域可知A正确； 当时，取得最小值 ，故B错误； 的单调递减区间为 ，故C错误； 因为=[令, 的周 期为 ,即，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为 , 故D正确. . . . . 66 6.函数 的定义域为__________________________. [- , 图D 1-4.1-1 【解析】要使函数式有意义，则需，解得 . 如图D 1-4.1-1所示,作与轴平行的直线,交单位圆于, 两点， 作射线,.由图及可知，满足条件的角 的范围为[- , . 故所求函数的定义域为[- , . 67 7.(2025·广东省八校联盟期末)已知角 的终边在函数 的图象上，求 ， 的值． 【答案】 角 的终边在函数 的图象上， 在角 的终边上任意取一点，则 ， 可得， ． 68 高考模拟 05 建议时间：25分钟 8.(2025·江苏省南京师范大学附属中学期末)已知角 的始边与 轴非负半轴重合，终 边过点，且，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】角 的始边与轴非负半轴重合，终边过点 ， 则 ， 由，得，解得 . 70 9.(2025·山东省诸城第一中学月考)设 是第一象限的角，且，则 的 终边所在的象限是( ) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 是第一象限角，， , 则,, 是第一或第三象限角. 又， , 故 的终边所在的象限是第一象限. 71 10.(2025·河南省许昌市期末)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重 合，终边上一点，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意可得 ，，则 ，所以 ，所以,整理可得 ， 解得或（舍去），所以.所以 . 72 11.[多选题]已知角 的终边经过点 ，则下列结论正确的 是( ) AC A. B. C. D. 【解析】 角 的终边经过点 ， ， ， ，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D不正确. 故选 ． 73 12.函数,, 的单调递增区间是______，最大值是____. , 【解析】结合单位圆可知在[-,上单调递增，在, 上单调递减，所以函 数,,的单调递增区间是,，单调递减区间是 . 又, ， 所以最大值为 . 74 13.利用单位圆求解满足的角 的取值范围. 75 图D 1-4.1-2 【答案】如图D 1-4.1-2所示，在单位圆中作直线 交单位圆 于,两点，作射线,，则优弧与， 形成的扇形区 域（包括边界）为满足的角 的终边的范围；作直线 交单位圆于,两点，作射线,，则优弧与, 之间的扇形区域（不包括边界）为满足的角 的终边 的范围. 两个扇形区域相重合的部分为满足不等式的角 的终边的范围，即图中阴影部分. 故角 的取值范围为 或 , }. 14.已知 为锐角，求证： （1） ; 【答案】设单位圆与轴，轴的正半轴分别交于,两点，角 的终边与以坐标原 点为圆心的单位圆交于点 . 77 图D 1-4.1-3 如图D 1-4.1-3，连接,,,过点作， , ， 分别为垂足. , , , , 又,四边形在扇形 内， ，即 , . 又,即, . 78 （2） . 【答案】在图D 1-4.1-3中，,,, . 图D 1-4.1-3 函数在 上单调递减， , , . , . 79 谢谢观看 北师大数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 80 $