1.1 周期变化 +1.2 任意角 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦三角函数基础，涵盖周期函数、任意角（正角、负角、零角）、象限角与轴线角等核心知识点。课堂通过锯齿波函数、塔钟拨快等生活实例导入，构建“周期变化—周期函数—角的推广—象限角”的知识支架，衔接前后内容。 其亮点在于以“数学眼光观察、数学思维推理、数学语言表达”为核心，通过锯齿波函数周期判断、终边对称角求解等典例，结合解题通法（如分角象限的不等式法与几何法），培养学生抽象能力与逻辑推理。学生能深化概念理解，教师可利用多样化例题提升教学效率，助力核心素养落地。

§1 周期变化 §2 任意角 第一章 三角函数 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 周期函数 概念 一般地，对于函数,，如果存在一个非零常数 ，使得对任意 的，都有且满足，那么函数 称作 周期函数. 周期 非零常数 称作这个函数的周期. 最小正 周期 如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最 小正数就称作函数 的最小正周期. 说明 若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期.#1.1 6 特别提醒 1.周期函数的定义是对定义域中的每一个值来说的．如果只有个别的 值 满足,那么是不能称为 的周期的. 2.从来看，自变量 本身所加的非零常数才是周期，如 ,不是 的周期，应将原式写成 ,即是 的周期. 3.周期函数的周期不是唯一的，如果是函数的周期，那么 也一定是它的周期. 4.不是所有周期函数都有最小正周期，如:函数 是周期函数，但无最小 正周期. 5.函数的周期性是函数在定义域上的整体性质.若一个函数为周期函数，则只需 研究它在一个周期范围内的性质，就可以知道它的整体性质．#1.2.4 7 典例详解 例1-1 新定义 锯齿波函数 ［教材改编P2例2］ (2025·河南省驻马店市新蔡县第一 高级中学开学考试改编)函数是物理中常见的锯齿波函数，其中 表示不 大于 的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如 此反复.讨论函数 是否为周期函数，如果是，请指出它的周期. 【解析】表示不大于 的最大整数（【知识回顾】这是取整函数）， 则 ， 所以, , 则函数 是以3为周期的函数. . . 8 例1-2 [教材改编P4 T3]（(2025·河北省保定市期末）设函数 是以2为最小 正周期的周期函数，且当时，，则 ___. 0 【解析】函数的周期为2，故 . 9 知识点2 任意角 1 角的概念的推广 如图1-1-1,平面内一条射线绕着它的端点 按箭头所示方向旋转到终止位置 ,形成角 .（在不引起歧义的情况下,“角 ”或“ ”可以简写为）其中点 是角 的顶点,射线是角 的始边,射线是角 的终边.（【归纳】角的三要素：顶 点，始边，终边） 图1-1-1 . . . . . . . . 10 2 正角、负角、零角 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角叫作正角. 负角 按顺时针方向旋转形成的角叫作负角. 零角 如果一条射线没有作任何旋转，我们称 它形成了一个零角.这样，零角的始边与 终边重合，如果 是零角，那么 . 11 特别提醒 （1）正角、负角的引入是从正数、负数类比而来的.它们是用来表示具有 相反意义的旋转量的，正角、负角的规定出于习惯，就像正数、负数的规定一样. （2）高中阶段所说的角实际上是初中所学角的概念“由一点出发的两条射线组 成的图形叫作角”的推广.对于角的形成过程，既要知道旋转量又要知道旋转方向. （3）角的概念推广后，角度的范围不再限于 （本书中，角 在 范围内是指 ）.#1.3 . . 12 典例详解 例2-3 新情境 塔钟 塔钟是一种大型钟表，通常安装在学校的钟楼或塔楼顶部，常 用于报时.有一天因停电导致塔钟慢了10分钟，需要将塔钟拨快到准确时间，分针在 旋转过程中与起始位置所形成的角为( ) D A. B. C. D. 【解析】分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又周角为 ，所以有 ,即分针在旋转过程中与起始位置所形成的角是 . （【总结】正常情况下，钟表的时针或分针都是顺时针旋转的，因此在旋转时与起 始位置所形成的角总是负角） 13 例2-4 [教材改编P5 图1-5与图1-6]图1-1-2中旋转到，， 时所成的角分 别为______，_______，_____. 图1-1-2 【解析】图1-1-2（1）中旋转到所成的角是一个正角， .图1-1-2（2） 中旋转到，所成的角分别是一个负角和一个正角， , . 14 知识点3 象限角与轴线角及其表示 1 象限角与轴线角 为了方便研究问题，本节及以后经常将角放在一个平面直角坐标系中，角的顶 点在坐标原点，始边在 轴的非负半轴.以角的终边（除端点外）在平面直角坐标系 的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边 在坐标轴（【易错点】象限角只能反映角的终边所在的象限，不能反映角的大小， 不能说第二象限角比第一象限角大）上，这个角就不属于任何象限，就说这个角是 轴线角． . . 15 2 终边相同的角 如果一个角的终边沿逆时针或顺时针方向旋转 的整数倍，那么所得新角的 终边与原角的终边重合（相同）. 一般地，给定一个角 ，（任意角）所有与角 终边相同的角，连同角 在内， 可构成一个集合 ，，（不能漏）即任何一个与角 终 边相同的角，都可以表示成角 与周角的整数倍的和. 特别提醒 当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相 等；终边相同的角有无数个，它们相差 的整数倍；终边不同则表示的角一定不同. . . . . 16 3 象限角与轴线角的集合表示 （1）象限角的集合表示 17 （2）轴线角的集合表示（【教材深挖】教材第8页【习题 】A组第4题） 角的终边位置 集合表示 角的终边在 轴非负半轴上 ， } 角的终边在 轴非正半轴上 ， } 角的终边在 轴上 ， } 角的终边在 轴非负半轴上 ， } 角的终边在 轴非正半轴上 ， } 角的终边在 轴上 ， } 角的终边在坐标轴上 ， } 18 知识剖析 1.象限角与轴线角的集合表示形式不唯一，如第四象限角还可以表示为 ,},终边在 轴非正半轴上的角的集合还可以表 示为 , }. 2.在用集合表示两个象限的角时，应注意排除轴线角.如终边在第一、二象限的 角用集合表示为 或 , } 19 发散讨论 在上述轴线角的集合表示中， , , 要如何理解？能 否进行推广？ 可以理解为每旋转 ， ， ，角的终边就到了所求轴线的位置.比如， 终边在坐标轴上：以 为起始，每旋转 ，终边都在坐标轴上，故角的集合 可写成 ,，即 , }. 此表示可以进行推广.比如，终边在直线 上的角的集合：先确定一个角如 ，由于角的终边旋转 后还在直线 上，故所求集合可写成 ， }. 20 学思用·典例详解 例3-5 [教材改编P7例3] （1）(2025·江西省修水县第一中学期中)下列角中与 角的终边相同的是( ) B A. B. C. D. 【解析】与 角的终边相同的角的集合为 ， }.取 ，得 ，故与 角的终边相同的角是 .（其他三个选项中的角 代入后，求得的 均不是整数） 21 （2）(2025·江西省新余市期末)与 角的终边相同的角用集合可表示为( ) C A.} B. } C.} D. } 【解析】 ,故与 角的终边相同的角用集合可表示 为 }. 22 例3-6 [多选题](2025·广东省惠州市第一中学期末)已知第一象限角， 锐角 ，小于 的角，那么，， 的关系是( ) BC A. B. C. D. 【解析】第一象限角 ，， 锐角 ,小于 的角}={锐角、零角和负角（,, 的关系 为,），对比各选项可知，, 正确． 23 教材深挖 锐角、 的角、小于 的角、第一象限角四者的区别 此处是对教材第7页【练习】第1题的深挖. （1）锐角、 的角、小于 的角及第一象限角的范围如下表所示： 角 集合表示 锐角 的角 小于 的角 第一象限角 , } 24 图1-1-3 （2）锐角、 的角、小于 的角及第一象限角的关系用 图表示，如图1-1-3所示. 25 例3-7 （1）[教材改编P6例1] 角的终边在( ) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 ， 角与 角的终边相同，故 角的 终边在第一象限． 26 （2）[教材改编P7例2]下列角中，终边在 轴非负半轴上的是( ) B A. B. C. D. 【解析】终边在轴非负半轴上的角的集合为 , ， 当时， ， 当时， ， 当时， . 结合选项可知B正确. 27 释疑惑 重难拓展 知识点4 角的终边的对称与垂直问题 【教材深挖】教材第7页【思考交流】的深挖. 角 与 终边的位置关系 , 的关系 与 的终边关于 轴对称 , 与 的终边关于 轴对称 , 与 的终边关于原点对称 , 与 的终边在一条直线上 , 与 的终边互相垂直 , 与 的终边关于直线 对称 , 与 的终边关于直线 对称 , 28 典例详解 例4-8 若角 ， ，，，则角 与 的 终边的位置关系是( ) D A.重合 B.关于原点对称 C.关于轴对称 D.关于 轴对称 【解析】 角 的终边和 角的终边相同，角 的终边与 角的终边相 同， ， 角 与 的终边关于 轴对称. ，角 与 的终边关于 轴对称. （【秒解】画出 和 的角，直观看出两角关于 轴对称） 29 题型解析 03 题型1 函数的周期性及其应用 1 周期函数的判断 例9 已知函数是定义在上的奇函数，且满足 ，则函数 的周期为___. 8 31 【解析】由函数是定义在 上的奇函数， 得且 . 由，得 ，则 ， 于是函数 的最小正周期为8. 32 2 利用周期求函数解析式及函数值 例10 (2025·山东省淄博第一中学月考)定义在上的函数为奇函数，且 为偶函数，当时，，则 ( ) A A. B.0 C.1 D.2 【解析】因为函数为奇函数，且 为偶函数， 所以（,则 ） ， 所以 的周期为4， 所以 . . . 33 例11 (2025·北京一零一中开学考试)设是定义在 上的周期为2的偶函数，已知 时，，则时，的解析式为 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由是定义在上的周期为2的偶函数知，当时， ， 时，，此时 ； 当时，， ， 此时 ， 所以 综上可得，时， . 34 函数周期性的判断及应用的思路 1.函数周期的判断要依据定义，看是否存在一个非零常数 ，在定义域中使 成立. 2.利用周期求函数值或解析式的关键是将自变量加（或减）周期的整数倍，转化到 已知区间上，代入解析式求解即可. 35 【学会了吗丨变式题】 1.(2025·江西省南昌聚仁高级中学月考)已知函数对任意的 ，都有 ，若的图象关于点对称，且 ，则 ( ) B A.0 B. C.3 D.4 【解析】由于的图象关于点对称，故的图象关于点 对称，即为奇函数，又 ，则 ，即16为 的周期， 将代入，得 ，（【方法】赋值 法的运用） 故 . 36 2.(2025·山东省泰安市期中)设是定义在上的奇函数，且对任意实数 ，恒有 ，当时 . （1）求证： 是周期函数； 【答案】 ， ， 是周期函数，且其周期为4． 37 （2）当时，求 的解析式. 【答案】令，则， ，又 是定义在上的奇函数，即 ， 当时， . 当时， ， ， 由于的周期是4， ， 当时， ． 38 题型2 终边相同的角的应用 1 在指定范围内求终边相同的角 例12 ［教材改编P7例3］写出与 角终边相同的角的集合，并求出该集合中适合 不等式 的角 . 39 【解析】与 角终边相同的角的集合为 , }. 当 ，即 时, 解得 . 又,所以或 . 当时， ;当时， . 综上所述，适合不等式 的角 为 ， . 40 在指定条件下，求与角 终边相同的角时，可先将这样的角表示为 的形式，然后用赋值法或解不等式（组）确定 的值，从而求出 满足条件的角. 41 2 求终边在某条直线上的角的集合 例13 ［教材改编P7 T1（8）&P8习题1-2 B组T1］终边在直线 上的角可用 集合表示为____________________________. ,} 42 【解析】 终边在射线 上的角的集合 , }; 终边在射线上的角的集合 , }. 于是，终边在直线上的角的集合 , , , , , }. 在 范围内，当终边在射线上时，对应的角为 ； 旋转 后，终边在射线上；再旋转 ，终边又在射线 上. 故终边在直线上的角的集合为 , }. 举一反三 POINT 如果终边在直线 上呢？同学们可以自己思考一下. 43 名师点评 注意 ，}和 ， }这两个集合需要合并成 ， }.整数集可以按照奇数 、偶数 分为两个集合，而按照奇数、偶数分成的两个集合 也可以合并为整数集. 44 终边在某条直（射）线上的角的表示形式 1.若所求角 的终边在某条射线上，则角的集合的形式为 ， }. 2.若所求角 的终边在某条直线上，则角的集合的形式为 ， }.特别地，终边在直线上的角的集合为 , }； 终边在直线上的角的集合为 , }. 45 【学会了吗丨变式题】 3.设集合 , , ｝,集合 ,｝,则集合与集合 的关系是_______. 【解析】图D 1-1-1（1）中的射线（包括坐标轴上的射线）表示集合 中的各角的 终边.图D 1-1-1（2）中的射线（包括坐标轴上的射线）表示集合 中的各角的终边. 比较图D 1-1-1（1）（2），得 . 图D 1-1-1 46 3 区域角的表示 区域角的求解方法 1.区间角、区域角的定义 介于两个角之间的角的集合称作区间角，如 .终边介于某两角终边 之间（两类角的区别之处.）的角的集合称作区域角，显然区域角包括无数个区间角.#1.2.1 . . . . . . 47 2.区域角的写法 （1）若角的终边在一个扇形区域内，写区域角时，首先依逆时针方向由小到大写出 一个区间角，再在它的两端分别加上“ ”，右端末尾注明“ ”即可； （2）若角的终边在两个对称的扇形区域内，写区域角时，可以先写出终边在每条直 线上的角的集合，进而得到区域角的范围. 注意:在书写集合时，若边界线是实线，则对应的不等式包含等号，若边界线是虚线， 则对应的不等式不包含等号.#1.3.3 48 图1-1-4 例14 ［教材改编P8习题1-2 B组T2］如图1-1-4所示，写出 终边在阴影区域Ⅰ,Ⅱ（不包括边界）的角的集合. 49 【解析】 第一步:根据图形写出终边在每个区域内的角的集合. 在 范围内，终边在阴影区域Ⅰ,Ⅱ（不包括边界）的角 应分别满足 ， . 所以终边落在阴影区域Ⅰ，Ⅱ（不包括边界）中的角的集合分别为 ， , , }. 第二步:对写出的两个集合求并集，并化简. 满足题意的角的集合为 , , , , , ｝. 50 终边在第一、三象限内的边界线上的一个角为 ，则终边在该边界线上的 角可写为 , （【关键点】找出终边落在区域边界上的角）;终边在 第二、四象限内的边界线上的一个角为 ，则终边在该边界线上的角可写为 ， . 故所求角的集合为 , }. . . 51 4 终边对称角的表示 例15 若角 的终边与 角的终边关于直线对称，且 , 则角 _____________. 或 图1-1-5 【解析】如图1-1-5所示，设 角的终边为射线，射线 关于 直线对称的射线为射线，则以射线 为终边的一个角 为，所以以射线 为终边的角的集合为 ,},又 ，故由 ,,得或.故角 的值 为 或 . 52 题型3 象限角的判定 1 判定给定角是第几象限角 例16 [教材改编P8 练习T2]在 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并 判断它们是第几象限角： （1） ； 【解析】因为 , 所以在 范围内与 角终边相同的角是 角，所以 是第三 象限角. 53 （2） ； 【解析】因为 , 所以在 范围内与 角终边相同的角是 角，所以 是第四象限角. （3） . 【解析】因为 , 所以在 范围内与角终边相同的角是角，所以 是第 二象限角. 54 55 例17 ［教材改编P8 T5］已知 是第三象限角，则 是( ) D A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】由 是第三象限角可得， , , 所以， ， 即 ， , 所以 为第四象限角. （【另解】利用特殊值验证,如取 ，则 ， 显然该角是第四象限角） 56 给定一个角判断它是第几象限角的思路 判断角 是第几象限角的常用方法是将 写成, 在 范 围内的形式，观察角 的终边所在的象限即可. 57 2 判定倍角、分角是第几象限角 例18 ［教材改编P8习题1-2 B组T3］若角 是第二象限角，试确定角 , 分别是 第几象限角. 58 【解析】 是第二象限角， . （1）, 是第三象限角或第四象 限角或终边在 轴非正半轴上的角.（切勿遗漏） （2） ,当 时， ,此时， 是第一象限角； 当时，,此时， 是第 二象限角； 当时，,此时， 是第 四象限角. 综上所述， 是第一象限角或第二象限角或第四象限角. . . 59 图1-1-6 将平面直角坐标系中的每一个象限进行三等分，从 轴非负半轴起，按逆时针方向把各等分区域依次循环标上号 码1，2，3，4，如图1-1-6所示． 是第二象限角， 图中标有数字2的区域（不包括边界） 即 的终边所在的区域， 故 是第一象限角或第二象限角或第四象限角． 60 （【教材深挖】此处是对教材第8页【习题 】B组第3题同类题的通法的深挖与 探究） 确定角 所在象限的两种基本方法——不等式法、几何法 一、不等式法 由角 所在象限，确定角 所在象限的步骤： （1）由角 的范围（用表示），求出角 的范围； （2）通过对进行分类讨论，判断角 所在象限. 61 二、几何法 （1）画出区域：将坐标系每个象限等分，得到 个区域. 图1-1-7 （2）标号：自 轴正方向起，按逆时针方向把每 个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ（如图1-1-7所示）. （3）确定区域：找出与角 所在象限标号一致 的区域，即为所求. 说明：当,时，角 的终边在四个象 限都有分布，一般不讨论研究. 62 【学会了吗丨变式题】 4.设 是第一象限角，则 是第________象限角.397 一或三 【解析】 （特殊值法） 取 ，则 ,为第一象限角；再取 ，则 ,为第三象限角. （分类讨论法） 由于 是第一象限角，即 ，所以.分别令 为偶数和奇数，可知角 的终边在第一象限或第三象限. 63 图D 1-1-2 （等分象限法） 将各个象限二等分，如图D 1-1-2所示， 从 轴的非负半轴起，按逆时针方向依次在各等分区域循环标上1， 2，3，4. 因为 是第一象限角，则角 的终边所在的区域就是标号为1的区 域（不包括边界），从而可知角 的终边在第一象限或第三象限. 64 知识测评 04 建议时间：25分钟 1.(2025·江苏省南京市励志高级中学月考)已知 是锐角，那么 是( ) C A.第一象限角 B.第二象限角 C.小于 的正角 D.第一象限角或第二象限角 【解析】若 是锐角，则 ，则 ，则 是小于 的 正角. 66 2.(2025·江西省南昌中学期中)下列与 终边相同的角是( ) C A. B. C. D. 【解析】与 角终边相同的角为 , , 令 ,解得 不是整数，A错误； 令 ,解得 不是整数，B错误； 令 ,解得 ，C正确； 令 ,解得 不是整数，D错误； 67 3.若 是第四象限角，则 是( ) D A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】 是第四象限角， 是第一象限角（【解惑】 与 关于 轴对 称），则由任意角的定义知， 是第四象限角． . . 68 4.在平面直角坐标系中，下列结论正确的是( ) C A.小于 的角一定是锐角 B.第二象限的角一定是钝角 C.始边相同且相等的角的终边一定重合 D.始边相同且终边重合的角一定相等 【解析】对于A，小于 的正角是锐角，故A错误. 对于B，第二象限角强调终边落在第二象限，例如 的终边落在第二象限， 但不是钝角，故B错误． 对于C，始边相同且相等的角的终边一定重合，故C正确. 对于D， 与 角的始边相同且终边重合，但两角不相等，故D错误． 69 5.如果角 与 角的终边相同，角 与 角的终边相同，那么 与 之间的 关系是( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意，得, , , .结合选项可知选D. 70 6.集合 ,}中角 的终边所在的区域 （阴影部分）是( ) C A. B. C. D. 【解析】当时， ; 当时， , 故C中图象符合. 71 7.(2025·江西省丰城市第九中学段考)将时钟拨快 ，则时针转过的角为_______， 分针转过的角为______. 【解析】将时钟拨快，时针转过的角为 ，分针转过的角为 . 72 8.已知角 的终边在直线 上． （1）写出角 的集合 ； 【答案】在 范围内终边在直线上的角有两个： ， ． 因此，终边在直线上的角的集合 ， ， ， ， ， ． 73 （2）写出集合中适合不等式 的元素． 【答案】由 ，即 ， ，解 得，，所以， ，0，1． 则当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， . 所以集合中适合不等式 的元素为 , , , . 74 高考模拟 05 建议时间：25分钟 9.是定义在上的奇函数，,当 时， ,则 ( ) D A.0 B.1 C.2 D. 【解析】，所以函数是周期为4的函数，又 是 定义在上的奇函数，所以 . 76 10.(2025·广东省肇庆市碧海湾学校月考)若集合 , , ,, , },则下列关系中正确的是 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意知，集合表示终边在轴的非负半轴上的角，集合表示终边在 轴 上的角，集合表示终边在坐标轴上的角，故 . 77 11.设角 的终边为射线，射线与关于轴对称，射线与 关于直线 对称，则以 为终边的角的集合是( ) C A. ,｝ B. , ｝ C. ,｝ D. , ｝ 【解析】依题意知，射线所对应的角 满足 , ①, 射线所对应的角 满足, ②， 得 ,即 , . 78 12.［多选题］(2025·陕西省渭南市大荔县大荔中学质检)如果角 的终边在第三象限， 则 的终边可能在( ) ACD A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 79 【解析】 为第三象限角， ， ， ， . 当时，,此时， 的终边在第 一象限； 当时，，此时, 的终 边在第三象限； 当时，，此时， 的 终边在第四象限. 综上， 的终边可能在第一象限、第三象限、第四象限. 80 图D 1-1-1 将平面直角坐标系中的每一个象限进行三等分，从 轴非负半轴 起，按逆时针方向把各等分区域依次循环标上号码1，2，3，4， 如图D1-1-1所示． 是第三象限角， 图中标有数字3的区域（不包括边界）,即 的终边所在的区域，故 是第一象限角或第三象限角或第四象 限角． 81 13.已知角 与 的顶点均在原点，始边均在 轴的非负半轴上，终边相同， 且 ，则 ______. 【解析】 角 与 的顶点均在原点，始边均在 轴的非负半轴上，终边相同， ，， ， 即 ，， ， 即 ，， , 又 ，则 . 82 14.已知 是第一象限角， 是第二象限角，试确定角 的终边所在的位置. 【答案】由已知得 ①, ②. ,得 . . 当时， ， 角的终边在第一象限或第二象限或 轴的非负半轴上； 当时， , 角 的终边在第三象限或第四象限或 轴的非正半轴上. 综上，角的终边可能在第一、二、三、四象限或 轴上. 83 图1-1-1 15.(2025·江苏省通州高级中学月考)如图1-1-1，一只红蚂蚁与一 只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点 按逆时针方向匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过 角，黑蚂蚁 每秒爬过 角（其中 ），如果两只蚂蚁都在 第14秒回到点，并且在第2秒时均位于第二象限，求 ， 的 值． 84 【答案】根据题意可知 ， 均为 的整数倍， 故可设 ，， ， ， 则 ，, ， ， 由 ，知 ， 又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限， ，即 ， , ， , . ，，又， ， ，, , . 85 谢谢观看 北师大数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 86 $