7.3.1 同底数幂的除法 导学案 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“同底数幂的除法（第1课时）”，通过回顾同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等旧知搭建学习支架，引导学生明确正整数指数幂除法的意义及与已有知识的联系，为后续学习零指数幂、整式除法奠定基础。 此资料以“观察—猜想—验证—归纳”为主线推导法则，培养学生推理意识与抽象能力，练习设计注重区分不同幂的运算并结合实际问题，助力提升运算能力与应用意识，帮助学生形成严谨思维和规范运算习惯。

《7.3同底数幂的除法（第1课时）》导学案 【教学内容分析】 同学们，我们已经先后学习了同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方运算，掌握了“同底数幂相乘，底数不变、指数相加” “幂的乘方，底数不变、指数相乘” “积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”的核心法则，例如aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ、(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ、(ab)ⁿ = aⁿbⁿ（m、n为正整数）。这些知识为我们本节课学习同底数幂的除法奠定了坚实基础。 本节课我们将重点学习同底数幂的除法运算（第1课时），聚焦正整数指数幂的除法，它是幂运算体系的重要组成部分，也是后续学习零指数幂、负整数指数幂以及整式除法的关键前提。我们将通过具体实例，经历“观察—猜想—验证—归纳”的过程，推导同底数幂除法的运算法则，理解法则的本质是“同底数幂相除，底数不变、指数相减”，能熟练运用法则进行简单运算，培养严谨的推理能力和规范的运算习惯。 通过本节课的学习，我们将完善幂运算的知识体系，能准确区分同底数幂的除法与同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，避免常见运算错误，体会“转化”的数学思想，将同底数幂的除法转化为我们熟悉的乘方运算，为后续更复杂的代数运算做好铺垫。 【学习目标】 1. 能回忆同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则，准确理解同底数幂除法的意义，明确同底数幂除法的形式（底数相同，指数为正整数，且被除数的指数大于除数的指数）。 1. 能通过具体的运算实例，猜想同底数幂除法的运算法则，通过推理验证法则的正确性，理解“同底数幂相除，底数不变，指数相减”的本质。 1. 能熟练运用同底数幂的除法法则进行正整数指数幂的运算，能规范书写运算过程，准确判断运算的正确性，能区分同底数幂的除法与其他幂的运算。 【学习重点】 1. 理解同底数幂除法法则的推导过程，牢记法则核心（同底数幂相除，底数不变，指数相减）。 1. 能熟练运用同底数幂除法法则进行简单运算，掌握运算规范，正确处理符号问题。 1. 能准确区分同底数幂的除法与同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，明确四种运算的不同法则。 【学习难点】 1. 理解同底数幂除法法则的推导逻辑，明确“指数相减”的意义是“相同因数的个数相减”，且需满足被除数指数大于除数指数。 1. 正确处理底数为负数、字母的同底数幂除法运算，避免符号错误和法则混淆。 1. 能灵活运用同底数幂的除法与其他幂的运算法则进行简单混合运算，杜绝运算顺序和法则使用错误。 【课前预习·自主探索】 1. 回忆已学幂的运算，填空： （1）5⁷ × 5³ = ________；（2）(2⁴)³ = ________； （3）(−3a)² = ________；（4）a⁶ × a⁴ = ________。 1. 理解同底数幂除法的意义，填空： （1）5⁷ ÷ 5³ 表示________，它可以转化为乘法运算（逆用同底数幂乘法）：________； （2）a⁸ ÷ a⁵ 表示________（a≠0），它可以转化为乘法运算（逆用同底数幂乘法）：________； （3）aᵐ ÷ aⁿ 表示________（a≠0，m、n为正整数，且m>n）。 1. 尝试计算下列同底数幂的除法，观察结果的底数和指数与原式的关系： （1）5⁷ ÷ 5³ = (5×5×5×5×5×5×5) ÷ (5×5×5) = 5⁷⁻³ = ________； （2）a⁸ ÷ a⁵ = ________；（a≠0） （3）(−2)⁶ ÷ (−2)² = ________；（−2≠0） 1. 猜想：对于任意正整数m、n（m>n），且a≠0，aᵐ ÷ aⁿ = ________，你的猜想依据是________。 【课堂探究·合作交流】 探究一：同底数幂除法法则的推导与验证 1. 小组合作，根据同底数幂除法的意义和逆用同底数幂乘法法则，计算下列各式，验证你课前的猜想： （1）6⁸ ÷ 6⁴ （2）(−1)⁷ ÷ (−1)³ （3）b⁹ ÷ b⁵（b≠0） 计算过程： （1）________________________________________________________________________ （2）________________________________________________________________________ （3）________________________________________________________________________ 1. 结合计算结果，小组讨论： （1）同底数幂相除，底数是否发生变化？________________ （2）指数的变化规律是什么？需要注意什么前提条件？________________ 1. 归纳总结：同底数幂的除法法则 文字语言：同底数幂相除，底数不变，指数相减； 符号语言：aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ（a≠0，m、n为正整数，且m>n） 注意：法则适用的条件是底数不为0、指数为正整数，且被除数的指数大于除数的指数；运算时要注意底数的符号，负数的乘方符号由指数奇偶性决定，同底数幂相除时，底数符号需保持一致（题目中已满足“同底数”，无需额外判断符号一致性）。 探究二：同底数幂除法法则的简单应用 1. 小组合作，运用法则计算下列各式，注意书写规范，区分同底数幂的除法与其他幂的运算： （1）10⁹ ÷ 10⁵ （2）(−5)⁸ ÷ (−5)⁴ （3）x⁷ ÷ x³（x≠0） （4）(a³)⁵ ÷ a⁶（a≠0） 计算过程及结果： （1）________________________________________________________________________ （2）________________________________________________________________________ （3）________________________________________________________________________ （4）________________________________________________________________________ 1. 讨论：计算时容易出现哪些错误？如何避免？ 示例错误1：a⁸ ÷ a⁵ = a⁸×⁵ = a⁴⁰（错误原因：________________；正确计算：________________） 示例错误2：(−3)⁶ ÷ (−3)² = −3⁶⁻² = −3⁴ = −81（错误原因：________________ ，正确应为________________） 【课堂练习·巩固提升】 1. 判断下列计算是否正确，对的打“√”，错的打“×”并改正： （1）7⁹ ÷ 7⁴ = 7⁵ （ ） 改正：________________ （2）(−2)⁷ ÷ (−2)³ = −2⁴ = −16 （ ） 改正：________________ （3）x⁶ ÷ x² = x³ （ ） 改正：________________ （4）(b⁴)³ ÷ b⁵ = b¹² ÷ b⁵ = b⁷ （ ） 改正：________________ 1. 填空： （1）10⁸ ÷ 10³ = ________ （2）(−4)⁹ ÷ (−4)⁵ = ________ （3）m⁷ ÷ m⁴ = ________（m≠0） （4）(a²)⁶ ÷ a⁸ = ________（a≠0） 1. 计算下列各式： （1）8⁶ ÷ 8³ （2）(−6)⁸ ÷ (−6)⁵ （3）y⁹ ÷ y⁵ × y²（y≠0） （4） [(x−y)⁵]² ÷ (x−y)⁷（x≠y） （5）(−k)⁷ ÷ (−k)³ ÷ (−k)²（k≠0） 1. 解决问题： 已知一个长方形的面积为 8×10⁷ cm²，它的长为 2×10⁴ cm，求这个长方形的宽，用科学记数法表示计算结果。 【参考答案】 【课前预习·自主探索】 1. （1）5¹⁰；（2）2¹²；（3）9a²；（4）a¹⁰ 1. （1）7个5相乘的积除以3个5相乘的积，找一个数，使它与5³相乘等于5⁷；（2）8个a相乘的积除以5个a相乘的积，找一个数，使它与a⁵相乘等于a⁸；（3）m个a相乘的积除以n个a相乘的积 1. （1）5⁴；（2）a³；（3）(−2)⁴ 1. aᵐ⁻ⁿ；逆用同底数幂乘法法则，aᵐ ÷ aⁿ 表示求一个数，使它与aⁿ相乘等于aᵐ，根据同底数幂乘法“底数不变、指数相加”，可知这个数的底数为a，指数为m−n，即aᵐ⁻ⁿ 【课堂探究·合作交流】 探究一： 1. （1）6⁸ ÷ 6⁴ = (6×6×6×6×6×6×6×6) ÷ (6×6×6×6) = 6⁸⁻⁴ = 6⁴ = 1296； （2）(−1)⁷ ÷ (−1)³ = [(−1)×(−1)×(−1)×(−1)×(−1)×(−1)×(−1)] ÷ [(−1)×(−1)×(−1)] = (−1)⁷⁻³ = (−1)⁴ = 1； （3）b⁹ ÷ b⁵ = (b×b×b×b×b×b×b×b×b) ÷ (b×b×b×b×b) = b⁹⁻⁵ = b⁴（b≠0）； 1. （1）没有变化；（2）指数相减；前提条件是底数不为0、m和n为正整数，且m>n； 1. 文字语言：同底数幂相除，底数不变，指数相减；法则适用的条件是底数不为0、指数为正整数，且被除数的指数大于除数的指数，运算时需注意底数的符号，负数的乘方符号由指数奇偶性决定。 探究二： 1. （1）10⁹ ÷ 10⁵ = 10⁹⁻⁵ = 10⁴； （2）(−5)⁸ ÷ (−5)⁴ = (−5)⁸⁻⁴ = (−5)⁴ = 5⁴ = 625； （3）x⁷ ÷ x³ = x⁷⁻³ = x⁴（x≠0）； （4）(a³)⁵ ÷ a⁶ = a¹⁵ ÷ a⁶ = a¹⁵⁻⁶ = a⁹（a≠0）； 1. 示例错误原因1：混淆同底数幂除法与幂的乘方，牢记“同底数幂相除指数相减，幂的乘方指数相乘”； 示例错误2：负数同底数幂相除的符号判断错误，底数符号保持不变，指数相减后根据指数奇偶性判断结果符号；错误原 【课堂练习·巩固提升】 1. （1）√；（2）×，改正：(−2)⁷ ÷ (−2)³ = (−2)⁴ = 16；（3）×，改正：x⁶ ÷ x² = x⁴；（4）√； 1. （1）10⁵；（2）(−4)⁴（或 4⁴）；（3）m³；（4）a⁴； 1. （1）8⁶ ÷ 8³ = 8³ = 512；（2）(−6)⁸ ÷ (−6)⁵ = (−6)³ = −216；（3）y⁹ ÷ y⁵ × y² = y⁴ × y² = y⁶（y≠0）；（4）[(x−y)⁵]² ÷ (x−y)⁷ = (x−y)¹⁰ ÷ (x−y)⁷ = (x−y)³（x≠y）；（5）(−k)⁷ ÷ (−k)³ ÷ (−k)² = (−k)⁴ ÷ (−k)² = (−k)² = k²（k≠0）； 1. 解：根据面积公式S=长×宽，可得宽=面积÷长，将数据代入得：宽 = (8×10⁷) ÷ (2×10⁴) = (8÷2) × (10⁷ ÷ 10⁴) = 4×10³（cm），答：这个长方形的宽是4×10³ cm。 学科网（北京）股份有限公司 $