第1章 5 第2课时 三角形三条内角平分线-（教师用书）【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练（北师大版·新教材）

第2课时　三角形三条内角平分线 [答案 P9] 三角形三条内角平分线的性质　　 1．在三角形中，到三条边距离相等的点是(A) A．三条内角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 2．已知△ABC，两个完全一样的三角板按如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在(A) A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的中线上 D．AB边的中线上 2题图 3．如图，在△ABC中，∠A＝70°，点O到AB，BC，AC的距离相等，连接BO，CO，则∠BOC＝125°. 3题图 4．(广东湛江期中)如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P.求证：BP为∠MBN的平分线． 4题图 证明：过点P作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥AC交AC于点E，PF⊥BC交BC延长线于点F. ∵AP是△ABC的外角平分线，PD⊥BA，PE⊥AC， ∴PD＝PE. ∵CP是△ABC的外角平分线，PE⊥AC，PF⊥BC， ∴PE＝PF，∴PD＝PF. 又∵PD⊥BA，PF⊥BC，∴BP为∠MBN的平分线． 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE是△ABC的两条角平分线，连接DE. (1)求证：点E到DA，DC的距离相等； (2)求∠DEB的度数． 5题图 (1)证明：如答图，过点E作EH⊥AB交 BA的延长线于点H，EF⊥BC于点F， EG⊥AD于点G. ∵AD平分∠BAC，∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝∠CAD＝60°. ∵∠CAH＝180°－120°＝60°，∴AE平分∠HAD，∴EH＝EG. ∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，∴EH＝EF， ∴EF＝EG，∴点E到DA，DC的距离相等． 5题答图 (2)解：由(1)知DE平分∠ADC， ∠BAD＝60°， ∴∠EDC＝∠CDA， ∴∠CDA＝∠DEB＋∠ABC， ∴∠DEB＝(∠CDA－∠ABC)＝∠BAD＝30°. 三角形角平分线的应用　　 6.甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，则正确的作图是(C) 6题图 问题：如图，某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，现要在道路边AB上建一个休息点M，使它到边AC，BC的距离相等，在图中确定休息点M的位置． 7．如图，某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中修建一座小亭供人们小憩，且使小亭到三条公路的距离相等，试确定小亭的位置． 7题图 7题答图 解：如答图，分别作三角形绿地两个内角的平分线，交点P即为小亭的位置． 8．如图，AD是△ABC的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧交AB于点M，交BC于点N；分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧交于点P；作射线BP交AD于点E.若∠ABC＝45°，AB⊥AC，DE＝1，则CD的长为(B) 8题图 A． B．＋1 C． D．－1 9．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4.若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为(C) 9题图 A．8.5 B．15 C．17 D．34 10．已知△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝2∶3∶4． 11．如图，O是△ABC的角平分线AO和BO的交点，AB＝15，BC＝14， 11题图 AC＝13，OD⊥BC，OD＝4，求△ABC的面积． 解：如答图，连接OC，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F. ∵O是△ABC的角平分线AO和BO的交点，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC， ∴OD＝OE＝OF. 11题答图 ∵OD＝4，∴OE＝OF＝4. ∵AB＝15，BC＝14，AC＝13， ∴S△ABC＝×15×4＋×14×4＋×13×4＝84. 12．如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F. (1)求证：△BEO是等腰三角形； (2)若AB＝5，AC＝4，求△AEF的周长； (3)如图②，过点O作OG⊥BC于点G，连接OA，当∠BAC＝60°，求∠OAB的度数． 12题图①　　　　　　　12题图② (1)证明：∵BO平分∠ABC，∴∠OBC＝∠OBE. ∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC， ∴∠EOB＝∠OBE，∴△BEO是等腰三角形． (2)解：∵∠EOB＝∠OBE，∴BE＝OE.同理，CF＝OF， ∴△AEF的周长＝AE＋OE＋AF＋OF＝AE＋BE＋AF＋CF＝AB＋AC＝5＋4＝9. 12题答图 (3)解：如答图，过点O作OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N. ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， OG⊥BC， ∴OM＝OG，ON＝OG，∴OM＝ON. ∵OM⊥AB，ON⊥AC， ∴AO平分∠BAC， ∴∠OAB＝∠BAC＝×60°＝30°. 　与角平分线有关的面积问题 【结论1】如图①，在△ABC中，AD是它的角平分线，则S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC． 图①　　　　　　　　图② 【结论2】如图②，当点E在△ABC角平分线AD上的任意位置(不与点A重合)时，都有S△ABE∶S△ACE＝AB∶AC． 【例】如图，O是到△ABC的三条边距离相等的点，连接OA，OB，OC．若AB＝6 cm，BC＝7 cm，AC＝5 cm，△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3＝6∶7∶5． 【变式训练】 1．如图，△ABC的角平分线AD交BC于点D，BD∶DC＝2∶1.若AC＝3 cm，则AB＝6_cm． 1题图 2．如图，AE是∠BAC的平分线，BD是△ABC的中线，AE，BD相交于点E，EF⊥AB于点F.若AB＝14，AC＝12，S△BDC＝20，则EF的长为2． 2题图 学科网（北京）股份有限公司 $