第1章 专题2 “三线合一”巧解题-（教师用书）【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练（北师大版·新教材）

[答案 P5] 直接利用“三线合一”解决问题　　 1．如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AC与BD相交于点E，F是BC的中点．求证：EF⊥BC． 1题图 证明：在△ABE和△DCE中， ∴△ABE≌△DCE(AAS)，∴BE＝CE. ∵F是BC的中点，∴EF⊥BC． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，F是BC的中点，AF＝8，D是AB的中点，DE⊥AC于点E. (1)求BF的长； (2)求DE的长． 2题图 解：(1)∵AB＝AC＝10，F是BC的中点，∴AF⊥BC． 根据勾股定理，得BF＝＝6. (2)连接CD． ∵BF＝6，F是BC的中点，∴BC＝12， ∴S△ABC＝BC·AF＝48. ∵D是AB的中点，∴S△ACD＝S△ABC＝24. ∵AC＝10，∴S△ACD＝AC·DE＝5DE， ∴5DE＝24，解得DE＝. 利用“三线合一”作辅助线解决问题　　 方法1　遇等腰三角形常作底边上的高 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AC上任意一点，延长BA到点D，使得AE＝AD，连接DE.求证：DE⊥BC． 3题图 证明：过点A作AM⊥BC于点M. ∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠BAM. ∵AD＝AE，∴∠D＝∠AED， ∴∠BAC＝∠D＋∠AED＝2∠D， ∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠D， ∴∠BAM＝∠D，∴DE∥AM. ∵AM⊥BC，∴DE⊥BC． 方法2　遇等腰三角形中底边中点时，常作底边上的中线 4．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，O为AB的中点，OE，OF分别交AC，BC于点E，F，且OE⊥OF.求证：OE＝OF. 4题图 证明：连接OC．∵AC＝BC，∠ACB＝90°，O为AB的中点， ∴∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，OC＝OB，∠COB＝90°. 又∵∠EOF＝90°， ∴∠EOC＋∠COF＝∠COF＋∠FOB＝90°， ∴∠EOC＝∠FOB． 在△EOC和△FOB中， ∴△EOC≌△FOB(ASA)，∴OE＝OF. 学科网（北京）股份有限公司 $