专题02 等腰三角形（15个高频易错考点训练共45题）-2025-2026学年北师大版八年级数学下册满分培优讲练测

开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学下册同步满分培优讲练测》。本书专为北师大版八年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年八年级数学下册同步满分培优讲练测 专题02 等腰三角形 （15个高频易错考点训练共45题） 目录 考点一等边对等角 3 考点二三线合一 4 考点三等边三角形的性质 5 考点四根据等角对等边证明等腰三角形 6 考点五根据等角对等边证明边相等 7 考点六根据等角对等边求边长 8 考点七等腰三角形的性质和判定 9 考点八格点图中画等腰三角形 10 考点九找出图中的等腰三角形 11 考点十直线上与已知两点组成等腰三角形的点 12 考点十一求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 13 考点十二反证法证明中的假设 15 考点十三用反证法证明命题 15 考点十四等边三角形的判定和性质 16 考点十五含30度角的直角三角形 17 考点一等边对等角 1．如果等腰三角形的一个角为，那么等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 2．如图是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形表示帐篷，线段表示绳索，点在的延长线上，且点都在的延长线上．若，，，则 ． 3．如图，在△中，，是边，上的点，与交于点，已知，． (1)证明：； (2)若，，求证：． 考点二三线合一 4．如图，在中，，是边上的中线，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，CD平分，过点B作，垂足为点D，连接AD，若，则的面积为 ． 6．如图，在中，，，过点作于点，延长至点，使得． (1)若，试判断的形状，并说明理由； (2)求证：． 考点三等边三角形的性质 7．如图，是等边三角形，是的平分线，延长到，使，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 8．如图，等边边长为为上一点，．动点由出发以的速度沿边向点运动，同时动点由点出发以的速度沿边向点运动．若存在某一时刻使得与全等，则 ． 9．如图，是等边三角形、是的中线，交的延长线于点E，，则和是否相等？为什么？ 考点四根据等角对等边证明等腰三角形 10．将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D．无法确定 11．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，3小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为 海里． 12．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． 考点五根据等角对等边证明边相等 13．如图，在中，分别平分与，且，，的周长为10，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 14．如图，沿对角线折叠长方形，点的对应点为，与相交于点，，，则的长为 ． 15．如图所示，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点F，过F作，交于D交于E，延长至M，试说明之间的数量关系． 考点六根据等角对等边求边长 16．如图，在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为 ． 18．如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 考点七等腰三角形的性质和判定 19．如图，中，，点D，E分别在，上，F是的中点．若，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 20．如图，正五边形中，点分别是边的中点，则 ． 21．如图，点在线段上，，，，平分交于点． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长． 考点八格点图中画等腰三角形 22．如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点，使得是等腰三角形，且为其中一腰．这样的点有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 23．如图是的网格，每个小正方形的边长为1，A、B、C、D是小正方形的顶点，则的值为 ． 24．图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上． 考点九找出图中的等腰三角形 25．如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 26．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 27．有两个三角形，它们的三个角分别为：①；②．怎样把它们分别分成两个等腰三角形？画出图形试试看． 考点十直线上与已知两点组成等腰三角形的点 28．平面直角坐标系中，已知点和，若动点在轴上运动，则使为等腰三角形的点有（   ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 29．如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题： (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有 个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有 个． 30．如图，在中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，求的度数． 考点十一求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 31．如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 32．在直角坐标系中，为坐标原点，已知，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有 个． 33．如图，已知中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，M，N是边上的两个动点，其中点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2cm/s，点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s． (1)出发2s后，求MN的长， (2)当点M在边BC上运动时，出发几秒钟，是等腰三角形？ (3)当点M在边CA上运动时，求能使成为等腰三角形的t的值． 考点十二反证法证明中的假设 34．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中每一个内角都小于 C．三角形中有一个内角大于 D．三角形中每一个内角都大于 35．用反证法证明命题“如果，那么”的第一步应假设 ． 36．用反证法证明：将自然数1，2，3，…，21这21个数任意地放在一个圆周上，一定有相邻的3个数，它们的和不小于33． 考点十三用反证法证明命题 37．下面算式中，每个汉字代表0，1，2，…，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 38．关于三角形的内角，有下列说法：①至少有两个锐角，②最多有一个直角，③必有一个角大于，④至少有一个角不小于．其中不正确的说法是 （填序号）． 39．用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 考点十四等边三角形的判定和性质 40．如图，过等边的顶点A，B，C依次作，，的垂线，，，三条垂线围成，若，则的周长为（   ） A．18 B．27 C．30 D．36 41．如图，在中，，，点D、E分别在、上，且，将沿所在的直线折叠得到（点F在四边形内），连接，则的长为 ． 42．如图，在中，．在的延长线上取点，作等腰，使，且．在线段上取点，使，连接． (1)如图①，若，，，求的长； (2)如图②，若，，求的度数． 考点十五含30度角的直角三角形 43．湖边一根芦苇被风吹断，折断处距水面，此时芦苇折断部分与水面成角，则芦苇顶部原来距水面的长度为（   ） A． B． C． D． 44．如图，中，，平分，平分，，过点P作，分别交、AB于M、N， 设， 则周长是 ． 45．如图，是等边三角形，是的高，延长至，使，连接，过点作于点． (1)求证：； (2)若的周长为12，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学下册同步满分培优讲练测》。本书专为北师大版八年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年八年级数学下册同步满分培优讲练测 专题02 等腰三角形 （15个高频易错考点训练共45题） 目录 考点一等边对等角 3 考点二三线合一 5 考点三等边三角形的性质 8 考点四根据等角对等边证明等腰三角形 10 考点五根据等角对等边证明边相等 12 考点六根据等角对等边求边长 15 考点七等腰三角形的性质和判定 17 考点八格点图中画等腰三角形 21 考点九找出图中的等腰三角形 24 考点十直线上与已知两点组成等腰三角形的点 26 考点十一求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 30 考点十二反证法证明中的假设 33 考点十三用反证法证明命题 34 考点十四等边三角形的判定和性质 37 考点十五含30度角的直角三角形 40 考点一等边对等角 1．如果等腰三角形的一个角为，那么等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，等腰三角形的定义，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 等腰三角形的一个角可能是顶角或底角，需分情况讨论底角的度数． 【解答】解：根据三角形内角和为， ①若为顶角，则底角为； ②若为底角，则底角为． ∴底角为或， 故选：C． 2．如图是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形表示帐篷，线段表示绳索，点在的延长线上，且点都在的延长线上．若，，，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和外角的性质，熟练掌握“等边对等角”和“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 由题意先求出和的值，再根据等腰三角形的性质和外角的性质即可求出的度数． 【解答】解：点在的延长线上，， ． ， ． ， ． 故答案为20． 3．如图，在△中，，是边，上的点，与交于点，已知，． (1)证明：； (2)若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）证明△△，得，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得，再求出，然后由三角形内角和定理得，即可得出结论． 【解答】（1）证明：在△和△中， ， △△， ， ， ； （2）证明：在△中，，， ， ， ， ， ． 考点二三线合一 4．如图，在中，，是边上的中线，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的中线、等边对等角、三角形的内角和定理，熟练使用等边对等角是解题的关键． 首先根据，得到的度数，再根据，得到的度数，最后结合等腰三角形的中线垂直求解的度数即可． 【解答】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图，在中，，CD平分，过点B作，垂足为点D，连接AD，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的应用，三角形面积的计算，延长交于点E，可以算出，的长度，从而利用面积比得到的面积，而的面积又是面积的一半，从而求解． 【解答】解：延长交于点E， ∵在中， ∴， ∵平分，且， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，在中，，，过点作于点，延长至点，使得． (1)若，试判断的形状，并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)是等边三角形，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据垂线的定义得到，即，再根据得到，结合即可证明是等边三角形； （2）过点作，垂足为，则，证明，得到，根据等腰三角形三线合一得到，即． 【解答】（1）解：是等边三角形，理由如下： ， ， ， ， 又， ， 又， 是等边三角形； （2）证明：过点作，垂足为，则 又 在与中 ． 又， 是的中点 ． 考点三等边三角形的性质 7．如图，是等边三角形，是的平分线，延长到，使，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，掌握三线合一的定义是解题关键． 由等边三角形可得，，即，进而可求出的长． 【解答】解：是等边三角形，， ， 是的平分线， ， ， ， ， 故选：C． 8．如图，等边边长为为上一点，．动点由出发以的速度沿边向点运动，同时动点由点出发以的速度沿边向点运动．若存在某一时刻使得与全等，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 设运动时间为，用含有t的式子将表示出来，再根据题意，分为和两种情况，根据全等三角形的性质，即可求解． 【解答】解：设运动时间为，则，，， 如图当时， 可得，， ，， ； 当时， 可得，， ， ， ； 综上所述，为或． 故答案为：或． 9．如图，是等边三角形、是的中线，交的延长线于点E，，则和是否相等？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质及三角形外角的性质，根据等边三角形的性质得到，再利用三线合一得到，由，得，再利用外角的性质得到，进而即可得出答案． 【解答】解：． 理由如下： ∵是等边三角形， ∴． ∵是的中线， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 考点四根据等角对等边证明等腰三角形 10．将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查30度角所对的直角边等于斜边一半，等角对等边，根据直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的判定求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 故选：C． 11．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，3小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为 海里． 【答案】90 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，准确分析是解题的关键． 根据已知条件求得，，即可得到，即可得解． 【解答】由题可得：海里， 点在灯塔P的南偏东方向处，点位于灯塔P的北偏东处， ，， 是等腰三角形， 海里； 故答案是． 12．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、等边对等角、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，由等边对等角可得，进而得到，由等角对等边可得即可证明结论． 【解答】（1）证明：在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 考点五根据等角对等边证明边相等 13．如图，在中，分别平分与，且，，的周长为10，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线的定义及平行线的性质可得，即得，同理得到，进而由得到，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， 故选：D． 14．如图，沿对角线折叠长方形，点的对应点为，与相交于点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查长方形的性质，折叠的性质以及含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用这些性质找出线段之间的关系． 先根据长方形的性质和折叠的性质得到相等的角，从而得出，再在含角的直角三角形中求出的长度，进而得到，最后根据求解即可． 【解答】四边形是长方形， ，， ， 由折叠可知， ，则， 在中， ， ， 又， ， 故答案为：． 15．如图所示，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点F，过F作，交于D交于E，延长至M，试说明之间的数量关系． 【答案】 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，同理可得，根据，可得． 【解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴． 考点六根据等角对等边求边长 16．如图，在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识点．先根据直角三角形两锐角互余得到，再由外角结合等腰三角形的判定得到，最后由含角的直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 17．如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，再利用等角对等边得到，，最后利用线段的和差即可求解． 【解答】解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：5． 18．如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据角平分线的定义得，结合平行线的性质可证，然后根据等腰三角形的判定方法即可得解； （2）利用等腰三角形的性质求得，再利用等腰直角三角形的判定和性质即可求解． 【解答】（1）证明：平分， ， 又， ， ， 为等腰三角形； （2）解：如图， 为等腰三角形，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 则的长为4． 考点七等腰三角形的性质和判定 19．如图，中，，点D，E分别在，上，F是的中点．若，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质，添加辅助线是解题的关键．先连接，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得，再利用等角的余角相等，证明，从而得，即可解答． 【解答】解：如图，连接， ∵，F是的中点， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 20．如图，正五边形中，点分别是边的中点，则 ． 【答案】/36度 【分析】先由正五边形的性质得到，，再由中点定义得到，判定是等腰三角形，即可得到，再由梯形中位线得到，进而由平行线的性质得到即可确定答案． 【解答】解：在正五边形中，，， 点分别是边的中点， ， 则， 在等腰中，，则， 连接，如图所示： 点分别是边的中点， ， ， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形中求角度，涉及正多边形性质、中点定义、等腰三角形的判定与性质、梯形中位线的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 21．如图，点在线段上，，，，平分交于点． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键． （1）证明，即可证明结论； （2）根据三角形外角的性质，得到，进而得到，再根据角平分线的定义和三线合一的性质，得到，，再结合30度角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【解答】（1）证明：， ， ， ． ； （2）解：，， ． ． 平分， ． 由（1）得． ， ． ． ， ． 考点八格点图中画等腰三角形 22．如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点，使得是等腰三角形，且为其中一腰．这样的点有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解． 首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从，去分析求解即可求得答案． 【解答】解：如图， ， ①若，则符合要求的有：共2个点； ②若，则符合要求的有：共3个点； 这样的C点有5个． 故选：C． 23．如图是的网格，每个小正方形的边长为1，A、B、C、D是小正方形的顶点，则的值为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了格点作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理与网格．取格点，得到，利用勾股定理及其逆定理求得是等腰直角三角形，据此即可求解． 【解答】解：取格点，连接，，如图， 由网格的性质，知， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 24．图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）关于等腰三角形的一点画出图形即可； （2）作一个直角边分别为的直角三角形即可； （3）作一个腰为的等腰直角三角形即可． 【解答】（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2）如图2中，即为所求；理由如下： ∵，, ∴, 即是直角三角形，且， ∴． （3）如图3中，即为所求（答案不唯一）． 考点九找出图中的等腰三角形 25．如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键； 在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 【解答】解：当车长为底时， ， 是等腰三角形是； 当车长为腰时， ，，，， ，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 26．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【解答】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 27．有两个三角形，它们的三个角分别为：①；②．怎样把它们分别分成两个等腰三角形？画出图形试试看． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是依据等腰三角形角的特点，尝试在较大角中分割出与已有角相等的角，从而构造等腰三角形．根据等腰三角形两底角相等的性质，通过在大角中作出合适角度，构造出两个等腰三角形． 【解答】解：①如图， ，， ∴，都是等腰三角形． ②如图， ，， ∴，是等腰三角形． 考点十直线上与已知两点组成等腰三角形的点 28．平面直角坐标系中，已知点和，若动点在轴上运动，则使为等腰三角形的点有（   ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定，关键是分类讨论不同情况； 由三边两两相等需分三种情况讨论，又点在轴上，设坐标为，计算满足条件的值，并排除与点重合的情况． 【解答】解：设点 ∵ ， ， ， ， 当时， ， 解得：（舍）， ∴； 当时， ， ， ∴； 当时， ， 解得：， ∴ ； 综上，共4个． 故选：B 29．如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题： (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有 个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有 个． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． （1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可； （2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可． 【解答】（1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下： 当时，是等边三角形， 当时，； 故答案为：． 30．如图，在中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，求的度数． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，先画出图形，分三种情形分别求解即可． 【解答】解：， ， 点D在射线上，分以下三种情况讨论：如图， ①当时，则， ； ②当时，则； ③当时，则， ， ． 综上所述，的度数为或或． 考点十一求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 31．如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分可能为底，可能是腰进行分析． 【解答】解：使是等腰三角形， 当当底时，则作的垂直平分线，交的有两点，即有两个三角形． 当让当腰时，则以点A为圆心，为半径画圆交有三点，所以有三个． 当以点B为圆心，为半径画圆，交有三点，所以有三个． 所以共8个． 故选：D． 32．在直角坐标系中，为坐标原点，已知，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，能正确进行分类求出所有的情况是解题的关键．有三种情况：当时，以为圆心，以为半径画圆，看与轴交点个数；当时，以为圆心，以为半径画圆，看与轴交点个数；当时，作的中垂线，看中垂线与轴的交点个数，从而得到答案． 【解答】解：如图，有三种情况 当时，以为圆心，以为半径的圆与轴交点有1个； 当时，以为圆心，以为半径的圆与轴交点有2个； 当时，作的中垂线，中垂线与轴的交点有1个． 故答案为：4． 33．如图，已知中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，M，N是边上的两个动点，其中点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2cm/s，点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s． (1)出发2s后，求MN的长， (2)当点M在边BC上运动时，出发几秒钟，是等腰三角形？ (3)当点M在边CA上运动时，求能使成为等腰三角形的t的值． 【答案】(1)cm (2)s (3)6.6或6或5.5 【分析】（1）由题意求得BM和BN，由勾股定理可求出答案； （2）用t可分别表示出BM和BN，根据等腰三角形的性质可得到BM＝BN，可得到关于t的方程，可求得t； （3）求出BM，分三种情况可求出答案． 【解答】（1）解：(1)当t=2时，， ， ， 在中,由勾股定理可得 (cm)， 即MN的长为cm； （2）解：由题意可知：， 又， ， 当为等腰三角形时，则有， 即， 解得：， ∴出发后是等腰三角形； （3）解：在中,由勾股定理可求得： ， 当点M在AC上运动时， ， ∵为等腰三角形， ∴有和三种情况 ①当时，如图 过B作则CE=CM=2t-6， 在中,可求得BE=， 在中,由勾股定理可得， 即， 解得t=6.6或t=-0.6(舍去)； ②当CM=BC=12时,则4t-12=12， 解得； ③当CM=BM时,则∠C=∠MBC， ， ， ， ， 即4t-12=10， 解得； 综上可知,当t的值为6.6或6或5.5时,为等腰三角形． 【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．解题关键是用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． 考点十二反证法证明中的假设 34．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中每一个内角都小于 C．三角形中有一个内角大于 D．三角形中每一个内角都大于 【答案】D 【分析】本题考查了反证法． 反证法需假设结论的反面成立，原结论“至少有一个内角不大于”的反面是“每一个内角都大于”． 【解答】解：∵原命题为“至少有一个内角不大于”， ∴其反面为“所有内角都大于”， 即应假设“三角形中每一个内角都大于”． 故选：D． 35．用反证法证明命题“如果，那么”的第一步应假设 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法是解题的关键．根据反证法得到第一步假设即可得到答案． 【解答】解：“如果，那么”的第一步应假设， 故答案为：． 36．用反证法证明：将自然数1，2，3，…，21这21个数任意地放在一个圆周上，一定有相邻的3个数，它们的和不小于33． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了反证法证明的方法，同学们应学会证明的思路，从结论的反面出发，通过推理论证得出与已知或定理的矛盾，从而得出假设不成立，原命题正确，这是运用反证法证明必须遵循的步骤． 首先假设所有相邻的三个数，它们的和都小于，则它们的和小于等于，由个数的和的最值比较，得出矛盾，从而得出假设不成立，原命题正确． 【解答】证明：假设所有相邻的3个数，它们的和都小于33，即它们的和小于等于32， 将所有21组相邻的3个数相加，总和不大于。由于每个数在求和过程中均被计算3次，故这21个数的和不大于． 所以假设不成立，则命题得证． 考点十三用反证法证明命题 37．下面算式中，每个汉字代表0，1，2，…，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了用反证法证明命题的正确性，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法． 【解答】解：假设：“好”，则“客”，因为积的末尾是“客”，故“好”或9．若“好”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾； 假设：“好”，则“居”，因为不同的汉字代表不同的数字，引出矛盾．故“好”．显然“好”； 假设：“好”，因为积是五位数，则“客”，因为积的末尾是“客”，故只有“客”，从而“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾； 假设：“好”，因为积是五位数，不同的汉字代表不同的数字，则“客“，但若“客”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾； 假设：“客”，因为积的末尾是“客”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾． 故只有“好”． 故选：C． 38．关于三角形的内角，有下列说法：①至少有两个锐角，②最多有一个直角，③必有一个角大于，④至少有一个角不小于．其中不正确的说法是 （填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反证法，举反例，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．根据反证法，可证明①②④正确，通过举反例，可证明③错误． 【解答】解：①若三角形的三个内角至多只有一个锐角，则三个内角中至少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以①正确； ②若三角形的三个内角最少有2个直角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以②正确； ③因为三角形的三个内角可以都等于，所以③错误； ④若三角形的三个内角都小于，那么三个内角的和就小于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以④正确． 故答案为：③． 39．用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 【答案】见解析 【分析】假设不大于，即或，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质分别证明假设不成立，由此得出原命题成立． 本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法的证明步骤是解题的关键． 【解答】解：如图，已知：在中，．求证：． 证明：假设不大于，即或． 当时，，这与已知条件相矛盾； 当时，如图，在边上截取， 则， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， 即， 这与已知条件相矛盾； 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ∴， 即在三角形中，大角对大边． 考点十四等边三角形的判定和性质 40．如图，过等边的顶点A，B，C依次作，，的垂线，，，三条垂线围成，若，则的周长为（   ） A．18 B．27 C．30 D．36 【答案】B 【解答】解：， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 同理：， 是等边三角形， 在中，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质． 41．如图，在中，，，点D、E分别在、上，且，将沿所在的直线折叠得到（点F在四边形内），连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，根据等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质进行计算求解．作于点，首先根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形，判定是边长为2的等边三角形，从而根据翻折的性质得到△也是边长为2的等边三角形，从而在中，求得，，，然后根据，求得，最后根据勾股定理得到的长． 【解答】解：如图，作于点， ，， 是边长为2的等边三角形， 将沿所在直线折叠得到， 也是边长为2的等边三角形， ，， 中，， ，， 又， ， 中，， 故答案为：． 42．如图，在中，．在的延长线上取点，作等腰，使，且．在线段上取点，使，连接． (1)如图①，若，，，求的长； (2)如图②，若，，求的度数． 【答案】(1)的长为4； (2)． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质． （1）证明和都是等边三角形，求得，，利用直角三角形的性质求解即可； （2）证明，求得，，利用三角形的外角性质求解即可． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∵，等腰， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的长为4； （2）解：∵和都是顶角相等的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点十五含30度角的直角三角形 43．湖边一根芦苇被风吹断，折断处距水面，此时芦苇折断部分与水面成角，则芦苇顶部原来距水面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了所对的直角边为斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据所对的直角边为斜边的一半即可求解． 【解答】解：∵折断处距水面，此时芦苇折断部分与水面成角， ∴折断处距芦苇顶部距离为， ∴芦苇顶部原来距水面的长度为， 故选：B． 44．如图，中，，平分，平分，，过点P作，分别交、AB于M、N， 设， 则周长是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等，由角平分线的定义及平行线的性质可得，，即得，再根据直角三角形的性质可得，进而根据的周长即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【解答】解：平分，平分， ， ∵， ， ∴，， ， 平分， ， ， ， 的周长 ， 故答案为：． 45．如图，是等边三角形，是的高，延长至，使，连接，过点作于点． (1)求证：； (2)若的周长为12，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，，由等边对等角可得，结合三角形外角的定义及性质得出，即可得证； （2）由含角的直角三角形的性质结合等边三角形的性质得出根据三角形周长等于，可得，再根据等腰三角形三线合一可得，由含角的直角三角形的性质可得． 【解答】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $