第1章 专题1 等腰三角形中的分类讨论思想-（教师用书）【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练（北师大版·新教材）

[答案 P4] 与角度有关的分类讨论　　 1. (绍兴中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连接AP，则∠BAP的度数是15°或75°． 1题图 2．等腰三角形的一个外角等于110°，求此三角形的各内角的度数． 解：∵等腰三角形的一个外角等于110°， ∴与这个外角相邻的内角是180°－110°＝70°. ①当70°的角是顶角时， 底角是×(180°－70°)＝55°. 此时该等腰三角形的三个内角分别是55°，55°，70°； ②当70°的角是底角时， 顶角是180°－70°×2＝40°. 此时该等腰三角形的三个内角分别是70°，70°，40°. 综上所述，此三角形的三个内角分别是55°，55°，70°或70°，70°，40°. 与点的位置有关的分类讨论　　 3．在平面直角坐标系xOy中，点A(4，3)，点B(3，0)，点C(5，3)，点E在x轴上．当CE＝AB时，点E的坐标为(4，0)或(6，0)． 4．(山东青岛期末)在平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，C(0，－4)，AB＝AC，∠BAC＝90°，则点B的坐标为(6，－2)或(－2，2)． 与中线有关的分类讨论　　 5．等腰三角形的周长是25 cm，一腰上的中线将周长分成差为5 cm的两部分，则此三角形的底边长为5_cm或_cm． 6．等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两部分，求该三角形三边的长． 解：在△ABC中，AB＝AC，BD是中线． 设AB＝x，BC＝y. 当AB＋AD＝12时，则解得 ∴三角形三边的长分别为8，8，11； 当AB＋AD＝15时，则解得 ∴三角形三边的长分别为10，10，7. 经检验，两种情况均符合三角形的三边关系定理， 因此这个三角形三边的长分别为8，8，11或10，10，7. 与高有关的分类讨论　　 7．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形底角的度数为15°或75°． 8．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，求这个等腰三角形的底角的度数． 解：分两种情况讨论： ①若顶角A<90°，如答图①. ∵BD⊥AC，∴∠A＋∠ABD＝90°. ∵∠ABD＝36°，∴∠A＝90°－36°＝54°. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝×(180°－54°)＝63°； 8题答图①　　8题答图② ②若顶角A>90°，如答图②. 同(1)可得∠DAB＝90°－36°＝54°， ∴∠BAC＝180°－54°＝126°. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝×(180°－126°)＝27°. 综上所述，这个等腰三角形的底角的度数为63°或27°. 与等腰三角形个数有关的分类讨论　　 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为边画等腰三角形BCP，使点P在△ABC的边上，则符合条件的点P有(C) 9题图 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D为AC边上任意一点(不与点A，C重合)，当△BCD为等腰三角形时，求∠ABD的度数． 10题图 解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠C＝70°. 当CD＝CB时，∠CBD＝∠CDB＝55°， ∴∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝15°； 当BD＝BC时，∠BDC＝∠BCD＝70°， ∴∠DBC＝40°， ∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝30°. 综上所述，∠ABD的度数为15°或30°. 学科网（北京）股份有限公司 $