专题05 利用等腰三角形的三线合一作辅助线的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05利用等腰三角形的三线合一作辅助线的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线求解 类型二、等腰三角形中底边有中点时，连中线证明 类型三、等腰三角形中底边无中，点时，作高求解 类型四、等腰三角形中底边无中点时，作高证明 压轴专练 典例详解 类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线求解 方法总结 1.得三线合一：等腰三角形底边中线也是底边高线和顶角平分线。 2. 构直角三角：连接中线可构造出直角三角形，为应用勾股定理、三角函数创造条件。 解题技巧 1.明确目标：若求线段长或角度，先利用“三线合一”得出垂直和角平分，再在直角三角形中求解。 2.设元列方程：常在得出的直角三角形中，设未知线段长为x,利用勾股定理建立方程求解 例1.(25-26八年级上福建莆田期中)如图，在ABC中，AB=AC,D是BC的中点，∠B=70°，则 ∠CAD的大小为」 A B D 【答案】20°/20度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三线合一性质是解题的关键， 1/51 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 根据等腰三角形的性质得∠CAD=∠BAD,∠B=∠C=70°，再根据三角形内角和定理，计算即可. 【详解】解：：AB=AC,D是BC的中点，LB=70°， ∠CAD=LBAD,∠B=LC=70°， ∠CAD=∠BAD=180°-∠B-∠C=20, 2 故答案为：20°. 【变式1-1】(25-26八年级下·全国·周测)如图，在ABC中，点D在边BC上，BD=AD=AC,E为CD 的中点，若∠CAE=16°，则∠B的度数为 D EC 【答案】37° 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质的综合运用，解题的关键是掌握：等腰三 角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 先利用三线合一得到∠AEC=90°，进而求出∠ADC=∠C=74°，最后用等腰三角形的外角的性质即可得出 结论 【详解】解：：AD=AC,点E是CD中点， AE⊥CD, .∠AEC=90°， :∠CAE=16°，∠C=90°-∠CAE=74°， AD=AC, ∠ADC=LC=74°， AD=BD, ∠B=∠DAB,∠ADC=2∠B=74°， ∠B=37°， 故答案为：37° 【变式1-2】如图，在ABC中，AB=AC,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F. 2/51 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B D (I)求证：DE=DF; (2)若∠BDE=55°，求∠BAC的度数： 【答案】(1)见解析 (2110度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线合 一”“，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关键 (1)连接AD,根据“三线合一”得出AD平分∠BAC,再根据角平分线的性质定理，即可求证： (2)先根据直角三角形两个锐角互余得出∠B=35°，再根据“等边对等角”得出∠C=∠B=35°，最后根据 三角形的内角和定理，即可求解。 【详解】(1)证明：连接AD, :AB=AC,D是BC的中点， B ·AD平分∠BAC, :DE⊥AB,DF⊥AC, :DE DF (2)解：：DE⊥AB, LBED=90°， LBDE=55°， ∠B=35°， .AB=AC, ∠C=LB=35°， :.∠BAC=110°. 【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为AB边的中点，点E、F分别在射线CA 、BC上，且∠EDF=90°，连接EF. 3/51 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (I)如图1，当点E、F分别在边CA和BC上时，连接CD, ①证明：△AED≌△CFD. ②直接写出SEFc,SAEFD和S。ABc的关系是：- (2)探究：如图2，当点E、F分别在边CA、BC的延长线上时，SAEFD,SC和S。Ac的关系是：- (3)应用：若AC=6,AE=2,利用上面探究得到的结论，求△EFD的面积. 【答案】1①见解析；②)Sc=Sm+S.c b片8.+5ac=Sam (3)5或17 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定及其性质及三角 形的面积等，根据图形构造全等三角形求解即可。 (1)①连接CD,即可证明△AED≌△CFD;②根据△AED≌△CFD,看图即可得出结论； (2)连接CD,即同(1)可证明△AED≌△CFD,根据△AED≌△CFD看图即可得出结论； (3)根据(1)，(2)中的结论，代入求解即可。 【详解】(1)证明：①如图，连接CD B 在Rt△ABC中，AC=BC,D为AB边的中点， .CD⊥AB,LA=∠B=45°， ∠A=LACD=45°， ·△ADC是等腰直角三角形， 4/51 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AD=CD, ∴∠DCF=∠A=45°， :∠EDF=90°， ∴∠EDC+∠CDF=90, :∠ADE+∠EDC=90°， .∠ADE=LCDF, 在ADE和CDF中， ∠A=∠DCF AD=CD ∠ADE=∠CDF △AED≌CFD(ASA). ②：△AED≌△CFD, “.SAAED=SACFD' 根据图中所示， S.ADC =S.EFD+S.EFC :D为AB边的中点， 1 .S..pe=.ue (2)解：如图，连接CD E 在Rt△ABC中，AC=BC,D为AB边的中点， CD⊥AB,∠CAD=LB=45°， ∠CAD=∠ACD=45°， ·△ADC是等腰直角三角形， 5/51 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AD=CD, ∴.∠ACD=∠BCD=45°， 180°-∠ACD=180°-∠BCD, 即∠EAD=LFDC, :∠EDF=90°， .∠ADF+∠EDA=90, :∠ADF+LFDC=90°， .ZEDA=ZFDC, 在ADE和CDF中， ∠EAD=∠FCD AD=CD, ∠EDA=∠FDC ∴.△AED≌CFD(ASA). :△AED≌△CFD, SAAED =SACFD 根据图中所示， S.ACD+S.EFC=S.EFD :D为AB边的中点， .S,oc,e 2 .u+5.-S.o :2 (3)如(1)中结论， :AC=6,AE=2, S做=)4C=x6=18, 1 2 2 5.c-CF.CE-AE-(AC-AE)-x2x(6-2)-4. .wc=S.m+S.me 2 SBm=)Sc-Sc=)x18-4=5. 2 2 ②如(2)中结论， 6/51 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AC=6,AE=2, 40=x6=18 2 r-cE-4E(4c+A-2x46+2=8 1 S.EFC= :S.mnc*S.I=Sp 1 1 S.E-.c+S.= 18+8=17 类型二、等腰三角形中底边有中点时，连中线证明 方法总结 1.利用三线合一：等腰三角形底边中线的性质（中线、高线、角平分线合一），可直接得出垂直或角等。 2.构造全等三角形：连接中线后，可构造出两个全等的直角三角形，为证明线段或角相等提供条件。 解题技巧 1.标注已知：在图形上标出等腰、中点等已知条件，直观发现中线带来的垂直和边角关系。 2.聚焦全等：利用“三线合一”得垂直和边等，再结合公共边，用HL或SAS证明全等三角形。 例2.如图，已知ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分 别交AB、CA的延长线于点E、F.求证：AE=CF; 【答案】见详解 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，中线的性质，掌握以上知 识是解题的关键。 先证明EPB≌FPA(ASA),得AF=BE,再由已知条件即可求证； 【详解】证明：如图，连接AP, 7/51 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=AC,∠BAC=90°，点P是BC中点， B E AP L BC.AP=BC=PB. ∴.∠APB=90°，∠BAP=∠ABP=45°， :∠EBP=180°-∠ABP=180°-45°=135°， ∠FAP=∠FAB+∠BAP=90°+45°=135°， ∠EBP=∠FAP, :∠EPF=90°， ∴.∠EPB+∠BPF=∠BPF+∠FPA, ∠EPB=∠FPA, 在△EPB和FPA中： ∠EBP=∠FAP AP=BP ∠EPB=∠FPA EPB≌FPA(ASA), .AF=BE, AB=AC, :AC+AF AB BE, 即CF=AE. 【变式2-1】(25-26八年级上吉林松原期末)如图，在ABC中，∠A=120°，AB=AC=4,D是BC的 中点.动点P、Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点B、终点C,连接PQ、DP和 DQ.设点P的运动时间为(s· D (1)求证：DPQ是等腰三角形； 8/51 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)若△BDP是等腰三角形，直接写出∠APD的大小. 【答案】()见解析 (2)105°或60° 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，外角性质，全等三角形的判定与性质， 正确掌握相关性质内容是解题的关键. (1)先结合等边对等角得∠B=∠C,再由线段的中点得BD=CD,即可证明△BPD≌△CQD(SAS),故 PD=OD,即可作答 (2)先得出∠ADB=90°，结合△BDP是等腰三角形，进行分类讨论，运用三角形外角性质以及等边对等 角进行计算，即可作答 【详解】(1)解：：AB=AC=4, LB=∠C :D是BC的中点. .BD=CD 动点P、Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点B、终点C. .AP=A0, 则AB-AP=AC-AQ, 即BP=CQ, △BPD≌aCQD(SAS), :PD=OD, :DPQ是等腰三角形： (2)解：连接AD, :AB=AC=4,D是BC的中点. AD⊥BC, 即∠ADB=90°， D .∠A=120°，AB=AC=4, 9/51 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·∠B=∠C=180°-120 =30°， 2 依题意，当BP=BD时， 则∠BPD=∠BDP=180°-30 =759 2 .∠APD=180°-∠BPD=180°-75°=105°； 依题意，当BP=PD时， 则∠BDP=∠B=30 .LAPD=LBDP+LB=60°； 依题意，当BD=PD时， 则∠BPD=∠B=30° .LBDP=180°-30°-30°=120°>90°（舍去： 综上：△BDP是等腰三角形，则∠APD=105°或60° 【变式2-2】如图，在ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A作EF∥BC,且AE=AF,求证： (1)DE =DF; (2)BG=CH 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)连接AD,利用等腰三角形"三线合一"的性质得AD⊥BC,再利用平行线的性质得 ∠DAF=∠ADB=90°，从而说明AD垂直平分EF,则有DE=DF; (2)利用等角的余角相等∠EDB=∠FDC,再利用ASA证明aBDG≌△CDH,从而证明结论. 【详解】1)证明：连接AD, E AB=AC,点D为BC的中点， 10/51命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05利用等腰三角形的三线合一作辅助线的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线求解 类型二、等腰三角形中底边有中点时，连中线证明 类型三、等腰三角形中底边无中点时，作高求解 类型四、等腰三角形中底边无中点时，作高证明 压轴专练 典例详解 类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线求解 方法总结 1.得三线合一：等腰三角形底边中线也是底边高线和顶角平分线。 2.构直角三角：连接中线可构造出直角三角形，为应用勾股定理、三角函数创造条件。 解题技巧 1.明确目标：若求线段长或角度，先利用“三线合一”得出垂直和角平分，再在直角三角形中求解。 2.设元列方程：常在得出的直角三角形中，设未知线段长为x,利用勾股定理建立方程求解。 例1.(25-26八年级上福建莆田期中)如图，在ABC中，AB=AC,D是BC的中点，∠B=70°，则 ∠CAD的大小为」 A B D 【变式1-1】(25-26八年级下·全国·周测)如图，在ABC中，点D在边BC上，BD=AD=AC,E为CD 的中点.若∠CAE=16°，则∠B的度数为 1/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B DE C 【变式1-2】如图，在ABC中，AB=AC,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F. y D (1)求证：DE=DF; (2)若∠BDE=55°，求∠BAC的度数 【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为AB边的中点，点E、F分别在射线CA、 BC上，且∠EDF=90°，连接EF 图1 图2 (1)如图1，当点E、F分别在边CA和BC上时，连接CD, ①证明：△AED≌△CFD. ②直接写出SEc,SAEFD和S。ABc的关系是：- (2)探究：如图2，当点E、F分别在边CA、BC的延长线上时，SAEFD,SC和S。4BC的关系是：一 (3)应用：若AC=6,AE=2,利用上面探究得到的结论，求△EFD的面积. 类型二、等腰三角形中底边有中点时，连中线证明 方法总结 1.利用三线合一：等腰三角形底边中线的性质（中线、高线、角平分线合一），可直接得出垂直或角等。 2.构造全等三角形：连接中线后，可构造出两个全等的直角三角形，为证明线段或角相等提供条件。 2/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解题技巧 1. 标注已知：在图形上标出等腰、中点等已知条件，直观发现中线带来的垂直和边角关系。 2.聚焦全等：利用“三线合一”得垂直和边等，再结合公共边，用L或SAS证明全等三角形。 例2.如图，己知ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分 别交AB、CA的延长线于点E、F,求证：AE=CF; 【变式2-1】(25-26八年级上·吉林松原期末)如图，在ABC中，∠A=120°，AB=AC=4,D是BC的 中点.动点P、Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点B、终点C,连接P四、DP和 DQ.设点P的运动时间为(s), P C (I)求证：DPQ是等腰三角形： (②)若△BDP是等腰三角形，直接写出∠APD的大小. 【变式2-2】如图，在ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A作EF∥BC,且AE=AF,求证： (1)DE=DF; (2)BG =CH 【变式2-3】(25-26八年级上·全国期末)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,点P是斜边AB的 中点，点D,E分别在边AC,BC上，连接PD,PE.若PD⊥PE. 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 (I)求证：PD=PE; (2)若点D,E分别在边AC,CB的延长线上，如图2，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？并加以证 明 类型三、等腰三角形中底边无中点时，作高求解 方法总结 1.作高构直角：向底边作高，利用等腰三角形“三线合一”性质，得高线也是底边中线和顶角平分线。 2.化斜为直：将等腰三角形分解为两个全等的直角三角形，便于运用勾股定理、三角函数求解。 解题技巧 1.利用中点：高线将底边等分，可将底边边长设为2x,用x表示相关线段。 2.设元列方程：在其中一个直角三角形中，设未知线段为x,利用勾股定理建立方程求解。 例3.（25-26八年级上·山西忻州月考)如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=AD,AC⊥CD, 若CD=1,则AC的长为 【变式3-1】(25-26八年级上·湖北咸宁.期中)如图，在等腰ABC中，AB=AC,D为BC延长线上一点， CE⊥AC,垂足为C,且CE=AC,连接BE,若BC=I6,则△BCE的面积为」 D B C 【变式3-2】(25-26八年级上·陕西西安期末)如图，在ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,AD∥BC ,连接CD. 4/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (I)求证：△ACD等腰三角形； (2)若BC=16,AD=10,求ABC的面积. 【变式3-3】在ABC中，点D,E是边BC上的两点. C B E D 图1 图2 备用图 (I)如图1，若AB=AC,AD=AE,求证：BD=CE; (2)如图2，若∠BAC=90°，BA=BD,设∠B=x°，∠CAD=y°. ①猜想y与x的数量关系，并说明理由； ②在①的条件下，CA=CE,请直接写出∠DAE的度数。 类型四、等腰三角形中底边无中点时，作高证明 方法总结 1.作高得全等：向底边作高，根据等腰三角形“三线合一”，高线也是底边中线，可得到两个全等直角三 角形。 2.利用全等证明：利用HL或SAS证明两直角三角形全等，从而得到对应边、角相等。 解题技巧 1.先定垂直和中点：作高后，首先明确出现垂直关系和底边被平分，这是证明的关键起点。 2.全等证角或边：若需证角等或边等，优先考虑利用已得的两个全等直角三角形进行证明。 例4.(25-26八年级上·云南曲靖期末)如图，在ABC中，LACB=90°，AC=BC,过点A作AE⊥CE于 点E,延长EC至点F,使得BF=BC. C (1)若∠EAC=60°，试判断BCF的形状，并说明理由； 5/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求证：CF=2AE. 【变式4-1】已知在ABC中，AB=AC,且∠BAC=,作等腰△ACD,使得AC=CD. A B 图1 图2 备用图 (1)如图1，若∠ACD与∠BAC互余，则∠DAB= ;(用含a的代数式表示) 2如图2，若LACD与∠BAC互补，过点C作CH1AD于点H,求证：CH=)BC: (3)若ABC与△ACD的面积相等，请直接写出LACD的度数.（用含a的式子表示） 【变式4-2】在ABC中，AB=AC,过点C作射线CB,使∠ACB'=∠ACB(点B与点B在直线AC的异 侧)点D是射线CB上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+LACD=90°. IB' B B 图1 图2 (1)如图1，当点E与点C重合时，AD与CB的位置关系是_，若BC=a,则CD的长为-；（用含a的式子 表示) (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE. ①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段BE,CD,DE之间的数量关系，并证明. 【变式4-3】(25-26八年级上·江西吉安·期末)提出问题 (1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=BC,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F.求证： △ADF≌△CBE; 问题探究 (2)如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC,P是边AB上的一点，连接BD,CP.若DP=DA, ∠ABD=∠CPB,AP=6,PB=5,PC=10,求出PD的长： 拓展延伸 6/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC,G是BC的中点，P是AG上的一点，连接CP,DP.若 DP=DA,∠DPC=∠B,AP=4,AD=6,AB=9.求PG的长 A G B 图1 图2 图3 压轴专练 一、单选题 1.如图，ABC中，AB=AC,D是BC中点，下列结论中不正确的是() D A.∠B=∠C B.AD平分∠BAC C.AD⊥BC D.AB=2BD 2.如图，己知ABC的面积为12，BP平分∠ABC,且AP⊥BP于点P,则△BPC的面积是() A P A.10 B.8 C.6 D.4 3.如图，在等腰ABC中，AB=AC,∠B=50°，点D为边BC的中点，点E在边AB上，∠AED=69°.若 点P是等腰ABC的腰AC上的一点，当△EDP为等腰三角形时，则∠EDP的度数是() 7/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.69 B.100° C.142° D.100°或142 4.如图，在ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足，则下列结论：(1) BD=DC;(2)∠BAD=∠CAD;(3)AD⊥BC;(4)DE=DF,其中正确的个数有() A B D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 5.如图，在ABC中，AB=AC,AD是边BC上的中线.若∠BAC=108°，则∠BAD的度数为 D 6.如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，作BE⊥AD,交AD的延长线于点E.己知 AC=CD,AE=9,那么AD=一· B 7.如图，在Rt△ABC中，AB=BC,AC=2,把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中 点上（两直角边DE,DF分别与BC,AB相交），则三角板DEF与ABC重叠部分的面积是一· 8/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.如图，在ABC中，AD是BC边上的高，过点A作AE∥BC,并且使AE=AC,F是AC上一点，连 接EF,使EF=AB,EF交AB,AD于G,H两点，若5CD=2BD,则匹-_ E G B D 三、解答题 9.如图，在ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE的中点， BE=AC. E DC (1)求证：AD⊥BC; (2)若∠BAC=72°，则∠CAD的度数为 IO.如图，点D、E在ABC的BC边上，AB=AC,AD=AE, B E (1)求证：BD=CE; (2)若BD=AD,∠B=∠DAE,求∠BAC的度数. 11.如图.已知ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上一点.连结CD,过点D作DE⊥CD,交BC于 点E,且有AC=AD=CE.求证： 9/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)ZACD=ZCED (2)CD=2DE. 12.(25-26八年级上·云南曲靖期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D为BC的中点， DE⊥AB于点E. (1)求∠BAD的度数； (2)求证：AB=4AE; (3)若AB=8,求BDE的周长. 13.已知OP平分∠MON,如图1所示，点B在射线OP上，过点B作BA⊥OM于点A,在射线ON上取一 点C,使得BC=B0. M M B D☑ -N 0 E 图1 图2 (1)若线段0A=3cm,求线段0C的长； (2)如图2，点D是线段OA上一点，作∠DBE,使得LDBE=∠ABO,LDBE的另一边交ON于点E,连接 DE. ①∠OBC=2LDBE是否成立，请说明理由； ②请判断三条线段CE,OD,DE的数量关系，并说明理由. 14.(25-26八年级上江苏扬州月考)如图，ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，△ABD为等腰三角 形，AD=AB=BC,点E为DB延长线上一点，且∠BAD=2LCAE. 10/11