第1章 2 第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质-（教师用书）【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练（北师大版·新教材）

第3课时　等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 [答案 P4] 等边三角形的判定　　 1．下列关于等边三角形的描述，错误的是(C) A．三边相等的三角形是等边三角形 B．三个角相等的三角形是等边三角形 C．有一个角是60°的三角形是等边三角形 D．有两个角是60°的三角形是等边三角形 2.如图①，衣架杆OA＝OB＝18 cm.若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，则此时A，B两点之间的距离是18cm. 2题图①　　　　　2题图② 3．如图，A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B． 3题图 (1)求证：CD＝CE； (2)求∠AEC的度数． (1)证明：如答图，连接DE. ∵A，B分别为CD，CE的中点， AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B， ∴△ECA≌△EDA，△DBC≌△DBE， 3题答图 ∴CE＝DE，CD＝DE， ∴CD＝DE＝CE. (2)解：∵CD＝DE＝CE， ∴△CDE为等边三角形， ∴∠C＝60°，∴∠AEC＝90°－∠C＝30°. 含30°角的直角三角形的性质　 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，则(A) A．AB＝2AC　　　　B．AC＝2AB C．AB＝AC　　　　 D．AB＝3AC 5．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3 m处折断，树顶B恰好碰到地面．经测量，∠ABC＝30°，则树高为(B) 5题图 A．6 m B．9 m C．10 m D．12 m 6．如图，在△ABC中∠A∶∠B∶∠BCA＝1∶2∶3，CD⊥AB于点D，AB＝12，则DB等于(A) A．3 B．4 C．6 D．9 6题图 7．(福建龙岩期中)等腰三角形的底角是15°，腰长为10，则其腰上的高为(C) A．8 B．7 C．5 D．4 8．中国图象图形大会是涵盖图象图形各专业领域的学术盛会．在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中一个等腰三角形模型的示意图如图所示，它的顶角为120°，腰长为12 m，则腰上的高是6_m． 8题图 9．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数； (2)若CD＝4，求DF的长． 9题图 解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°. ∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°. ∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°， ∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDC＝30°. (2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°， ∴△EDC是等边三角形，∴ED＝CD＝4. ∵∠DEF＝90°，∠F＝30°， ∴DF＝2DE＝8. 10．如图，E是等边三角形ABC的边AC上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是(B) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．无法确定 10题图 11．(新疆中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8.若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为6或12． 11题图 12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于点D，F是BC的垂直平分线与AC的交点，连接BF交AD于点E. (1)求证：△AEF是等边三角形； (2)若BD＝2，求CD的长． 12题图 (1)证明：∵F是BC的垂直平分线 与AC的交点， ∴FB＝FC，∴∠FBC＝∠C＝30°， ∴∠AFE＝∠FBC＋∠C＝60°. ∵AD⊥BC于点D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝90°－∠C＝60°，∴∠EAF＝∠AFE＝60°， ∴△AEF是等边三角形． (2)解：∵BD＝2，∠BAD＝90°－60°＝30°， ∴AB＝2BD＝4. ∵∠C＝30°，∴BC＝2AB＝8， ∴CD＝BC－BD＝8－2＝6. 13．如图，轮船从A港出发，以28海里/时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上． (1)求轮船在B处时与灯塔M的距离； (2)轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处．此时轮船与灯塔M的距离是多少？灯塔M在轮船的什么方向上？ 13题图 解：(1)根据题意，得∠CBM＝60°，∠BAM＝30°. 因为∠CBM＝∠BAM＋∠BMA， 所以∠BMA＝30°，所以∠BMA＝∠BAM， 所以AB＝BM. 因为AB＝28×0.5＝14，所以BM＝14. 答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里． (2)连接CM.因为BC＝28×0.5＝14，BM＝BC，且∠CBM＝60°， 所以△BMC是等边三角形， 所以CM＝BC，∠BCM＝60°，所以CM＝14. 答：轮船与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向上． 　巧用特殊角构造含30°角的直角三角形 1．(陕西西安期中)如图，在边长为10的等边三角形ABC中，点M在边AB的延长线上，点N在边AC上，且MN＝MC．若AM＝16，则CN的长为(B) 1题图 A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，DE＝2，则BC的长为12． 2题图 3．如图，在四边形ABCD中，AD＝8，BC＝2，∠B＝90°，∠A＝30°，∠ADC＝120°，则CD的长为4． 3题图 学科网（北京）股份有限公司 $