第1章 2 第2课时 等腰三角形的判定与反证法-（教师用书）【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练（北师大版·新教材）

第2课时　等腰三角形的判定与反证法 [答案 P3] 等腰三角形的判定　　 1．如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是(C) A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD C．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD D．AD⊥BC，BD＝CD 1题图 2．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数为(B) 2题图 A．4 B．3 C．2 D．1 3．(济宁中考)一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是(C) A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里 4．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D．若△ABC的周长为20，CD＝6，则AC的长为8． 4题图 5．如图，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD交于点E.求证：△EAB是等腰三角形． 5题图 证明：在△ADB和△BCA中， ∴△ADB≌△BCA(SSS)， ∴∠DBA＝∠CAB，∴AE＝BE， ∴△EAB是等腰三角形． 6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥CB，F是BD的中点． (1)求证：△BDE是等腰三角形； (2)若∠ABC＝50°，求∠DEF的度数． 6题图 (1)证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC． ∵DE∥CB，∴∠EDB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠EDB，∴EB＝ED， ∴△BDE是等腰三角形． (2)解：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝50°， ∴∠ABD＝∠ABC＝25°. ∵EB＝ED，F是BD的中点， ∴∠BEF＝∠DEF，∠EFB＝90°， ∴∠DEF＝∠BEF＝90°－∠ABD＝65°. 反证法　　 7．用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”时，应先假设这个三角形中(A) A．至少有两个内角是直角 B．没有一个内角是直角 C．至少有一个内角是直角 D．每一个内角都不是直角 8．(陕西西安期中)用反证法证明“在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”时，应假设(C) A．∠A≤∠B B．∠A<∠B C．a≤b D．a<b 9．(山西晋中期末)已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°.下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾； ②因此假设不成立，所以∠B<90°； ③假设在△ABC中，∠B≥90°； ④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是③④①②．(请填写序号) 10．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是(C) 10题图 A．6 B．7 C．8 D．9 11．(吉林四平期末)如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝7，BC＝4，则BD的长为． 11题图 12．如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F. (1)求证：∠ABF＝∠BCD； (2)判断△BCF的形状，并说明理由． 12题图 (1)证明：如答图，过点C作CG⊥AB于点G， ∴∠DCG＋∠CDG＝90°. ∵CB＝CD， ∴∠BCG＝∠DCG＝∠BCD． 12题答图 ∵BF⊥CD于点E， ∴∠ABF＋∠CDG＝90°， ∴∠ABF＝∠DCG＝∠BCD． (2)解：△BCF是等腰三角形．理由如下： ∵∠A＝45°，CG⊥AB， ∴∠ACG＝45°. ∵∠ACB＝∠ACG＋∠BCG，∠BFC＝∠A＋∠ABF， ∴∠ACB＝45°＋∠BCG，∠BFC＝45°＋∠ABF. ∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF，∴∠BCF＝∠BFC， ∴BC＝BF，∴△BCF是等腰三角形． 　角平分线、平行线、等腰三角形知二推一 【模型展示】 常见的“角平分线＋平行线→等腰三角形”模型有以下两种： 图①　　　　　　　　　图② (1)如图①，BC平分∠ABD，AC∥BD，则AB＝AC． (2)如图②，AE∥BC，AE平分∠DAC，则△ABC是等腰三角形． 【例】如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F.已知EF＝6，BE＝4，则CF的长为2． 【变式训练】 (淄博中考)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E. (1)求证：BE＝DE； (2)若∠A＝80°，∠C＝40°，则∠BDE＝30°． 变式题图 (1)证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD， ∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE. 学科网（北京）股份有限公司 $