第1章 2 第1课时 等腰三角形的性质和等边三角形的性质-（教师用书）【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练（北师大版·新教材）

2 等腰三角形 第1课时　等腰三角形的性质和等边三角形的性质　 [答案 P2] 等腰三角形的性质定理　　 1．等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是(C) A．55° B．70° C．55°或70° D．30°或70° 2．(辽宁本溪期末)已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为50°或80°． 3．(滨州中考)如图，在△ABC中，D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC，∠BAD＝44°，则∠C的度数为34°． 3题图 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝CD．求证：∠ABD＝∠ACD． 4题图 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB． ∵BD＝CD，∴∠CBD＝∠BCD， ∴∠ABC－∠CBD＝∠ACB－∠BCD， 即∠ABD＝∠ACD． 等腰三角形的“三线合一”　　 5．(福建中考)如图，AD是等腰△ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD＝(B) 5题图 A．10 B．5 C．4 D．3 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，有以下结论： (1)△ABD≌△ACD； (2)D为边BC的中点； (3)∠B＝∠C； (4)AD是△ABC的一条角平分线． 其中，正确的有(D) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6题图 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为2． 7题图 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是边BC上的中线，E是边AB上的一点，且BD＝BE，求∠ADE的度数． 8题图 解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴∠B＝∠C＝40°. ∵BD＝BE， ∴∠BDE＝∠BED＝70°. ∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 又∵AD是边BC上的中线， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADE＝∠ADB－∠BDE＝20°. 等边三角形的性质定理　　 9．下面关于等边三角形的说法中，不正确的是(D) A．等边三角形的三条边都相等 B．等边三角形的三个内角都等于60° C．等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 D．等腰三角形具有等边三角形的性质 10．如图，在等边△ABC中，E是边AC上一点，AD为BC边上的中线，AD，BE相交于点F，若∠AEB＝100°，则∠AFB的度数为130°． 10题图 11．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到点E，使CE＝CD，连接DE，求∠BDE的度数． 11题图 解：∵△ABC是等边三角形，BD是中线， ∴∠ACB＝60°，BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°. ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠E＝∠ACB＝30°， ∴∠BDE＝∠BDC＋∠CDE＝90°＋30°＝120°. 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ABC的周长为32 cm，△ABD的周长为24 cm，则AD的长为(B) A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm 12题图 13．(吉林长春期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，BC＝BD，∠A＝2∠ABD，则∠A度数为(B) 13题图 A．30° B．45° C．36° D．40° 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，△DEF为等边三角形，则∠α，∠β，∠γ之间的关系为(B) 14题图 A．2∠β＝∠α＋∠γ B．2∠α＝∠β＋∠γ C．2∠β＝∠α－∠γ D．2∠α＝∠β－∠γ 15．如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于(A) A．15° B．20° C．25° D．30° 15题图 16．(娄底中考)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE＋PF＝1． 16题图 17．(广东佛山期中)如图，在等边三角形ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接BE，CD，BE与CD交于点O，BD＝AE. (1)求证：BE＝CD； (2)求∠EOC的度数． 17题图 (1)证明：在△ABE和△BCD中， ∴△ABE≌△BCD(SAS)， ∴BE＝CD． (2)解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°. ∵△ABE≌△BCD，∴∠ABE＝∠BCD， ∴∠EOC＝∠BCD＋∠CBE＝∠ABE＋∠CBE＝∠ABC＝60°. 18．△ABC是等腰三角形，AB＝AC．设∠BAC＝α. (1)如图①，点D在线段AB上，若∠ACD＋∠BAC＝45°.求∠DCB的度数(用含α的代数式表示)； (2)如图②，已知AB＝AC＝BD．若∠ABD＋∠BAC＝180°，过点B作BH⊥AD于点H.求证：BH＝BC． 18题图① 18题图② (1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝α， ∴∠ACB＝∠B＝(180°－α)＝90°－α. ∵∠ACD＋∠BAC＝45°，∴∠ACD＝45°－α， ∴∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－α－(45°－α)＝45°＋. 18题答图 (2)证明：如答图，延长DB交AC于点F， 过点A作AE⊥BC于点E. ∵∠ABD＋∠BAC＝180°， ∠ABD＋∠ABF＝180°， ∴∠BAC＝∠ABF＝α. ∵AB＝BD，∴∠D＝∠DAB． 易证∠D＋∠DAB＝∠ABF， ∴∠D＝∠DAB＝∠ABF＝α. ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴∠BAE＝∠BAC＝α，BE＝BC， ∴∠DAB＝∠BAE. 又∵BH⊥AD，AE⊥BC，∴△ABH≌△ABE， ∴BH＝BE，∴BH＝BC． 学科网（北京）股份有限公司 $