8.5.3 平面与平面平行(第1课时)平面与平面平行的判定（教学课件）数学人教A版必修第二册

第8章 立体几何初步 8.5.3 平面与平面平行 第1课时 平面与平面平行的判定 人教A版· 必修第二册· 学习目标 1.从定义和基本事实出发，借助长方体模型和实物观察，直观感知空间中平面与平面的平行关系，能识别生活中的面面平行现象。 2.理解平面与平面平行的判定定理的推导过程，掌握定理的文字语言、符号语言和图形语言，明确定理成立的三个关键条件。 3.能运用平面与平面平行的判定定理解决正方体、四棱锥等几何体中的线面平行、面面平行证明问题，掌握面面平行证明的基本步骤。 4.体会“线面平行转化为面面平行” “空间问题转化为平面问题”的数学思想，提升逻辑推理和空间想象核心素养。 目录 CATALOG 01.平面与平面平行的判定定理 03.题型强化训练 02.平面与平面平行的判定定理的应用 04.小结及随堂练习 01 平面与平面平行 的判定定理 8.5.3 平面与平面平行(第1课时)平面与平面平行的判定 导入新知1：衣柜安装中的“平行密码” 装修师傅安装定制衣柜时，需确保衣柜背板与墙面平行（避免衣柜倾斜、衣物摆放不稳）。师傅先在背板左上角画了一条垂直于地面的线段AB，测量出AB两端到墙面的距离均为15cm；接着在背板右上角画了另一条垂直于地面的线段CD，测量出CD两端到墙面的距离也均为15cm，随后便确定背板与墙面平行。 1. 只测量一条线段（如AB）到墙面的距离相等，能确定背板与墙面平行吗？（可结合门扇转动的例子：门扇上的竖边到门框距离不变，但门扇与门框始终相交） 2. 若在背板上画两条互相平行的线段（如AB和CD平行），且两条线段到墙面距离都相等，能确定背板与墙面平行吗？（可演示：将课本倾斜，课本上两条平行的边到桌面距离相等，但课本与桌面不平行） 3.师傅测量的两条线段（AB和CD）位置上有什么特点？（相交）为什么这样测量就能确定两个平面平行？ 导入新知2：书架层板的“水平玄机” 学校图书馆要更换新的书架，工人师傅需要安装多层水平层板（层板需与地面平行，否则书籍易滑落）。师傅手里有一根长度为1米的水平尺（可测量直线是否水平）和一把卷尺，先后进行了三次操作： 操作1，用水平尺测量层板上的一条长边，发现长边水平（即长边与地面平行），却无法确定层板与地面平行（演示：将层板一端垫高，长边仍可保持水平，但层板与地面倾斜）； 操作2，又测量了层板上与长边平行的一条短边，发现短边也水平，依旧不能确定层板与地面平行（演示：将课本的两条对边紧贴直尺，直尺水平但课本可倾斜，说明两条平行线不能保证平面平行）； 操作3，师傅测量了层板上两条相交的边（一条长边和一条短边），发现两条边都水平，随即确定层板安装合格。这一图书馆书架安装场景，藏着平面与平面平行的核心判定规律，本节课将结合这一情境，探究平面与平面平行的相关知识及判定方法。 1.为什么前两种测量方式不能确定层板与地面平行，而第三种可以？ 2.要判断两个平面（层板与地面）平行，需要满足什么条件？ 3.结合之前学过的线面平行知识，你能猜想面面平行的判定方法吗？ 复习旧知 直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号语言： 直线与平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行． 符号语言： 复习旧知 应用线面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤： （1）利用性质定理在面内找平行线; （2）证明直线与直线平行； 常用方法：三角形的中位线定理，平行四边形的平行关系、 成比例线段、线线平行的传递性． （3）说明两线与平面的位置关系（一条在面内，一条不在面内）； （4）得出结论. 学习新知 我们首先讨论平面与平面平行的判定问题． 类似于直线与平面平行的判定，我们自然想到要把平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行的问题．根据平面与平面平行的定义，可以发现，因为两个平行平面没有公共点，所以应该平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点．也就是说，如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行．因为这个定义给出了两个平面平行的充要条件，所以可以想到，如果一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行． 如何判定一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢？有没有更简便的方法？ 学习新知 【探究】 根据基本事实的推论 2，3，过两条平行直线或两条相交直线，有且只有一个平面.由此可以想到，如果一个平面内有两条平行或相交的直线都与另一个平面平行，是否就能使这两个平面平行? 我们可以借助以下两个实例进行观察. 如图 8.5-11（1），a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗?如图 8.5-11（2），c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗? 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 面面关系有关命题的判断、判断面面平行 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 面面关系有关命题的判断、判断面面平行 学习新知 A B C D E 图8.5-12 F 学习新知 A B C D 图8.5-13 学习新知 两条相交直线和两条平行直线都可以确定一个平面．为什么可以利用两条相交直线判定两个平面平行，而不能利用两条平行直线呢？你能从向量的角度解释吗？ 平面内的两条相交直线代表两个不共线向量，而平面内的任意向量都可以以它们为基底进行线性表示，从而平面内的两条相交直线可以“代表”这个平面上的任意一条直线；而两条平行直线所表示的向量是共线的，它们不能作为平面内的任意向量的基底，用它们不能“代表”这个平面上的任意一条直线． 学习新知 平面与平面平行的判定定理： 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. a b α β P 图形语言： 符号语言： 定理告诉我们，可以由直线与平面平行判断平面与平面平行．即将平面与平面的平行关系转化为直线与平面的平行关系. 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断面面平行、线面平行的性质 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面关系有关命题的判断 学习新知 在实际生活中，工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的，你能说明这么做的道理吗？ 【问题】 学习新知 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断面面平行、线面平行的性质 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断线面平行、判断面面平行 02 平面与平面平行的判定定理的应用 8.5.3 平面与平面平行(第1课时)平面与平面平行的判定 学习新知 例4： 【证明】 A B C D D1 C1 A1 B1 图8.5-16 学习新知 例4： 【证明】 学习新知 【变式】 【详解】 学习新知 【变式】 【详解】 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断线面平行、判断面面平行 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 证明面面平行、证明线面平行 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 瞬时变化率的概念及辨析 学习新知 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α 图形语言 平面与平面平行的判定定理 方法技巧 03 题型强化训练 8.5.3 平面与平面平行(第1课时) 平面与平面平行的判定 能力提升 【练习1】 题型一 平面与平面平行的判定 能力提升 能力提升 题型一 平面与平面平行的判定 平面与平面平行的判定方法 (1)定义法：两个平面没有公共点； (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面； (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β； (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 能力提升 【练习2】 题型二 平面与平面平行关系的综合问题 在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上， 且PE∶ED=2∶1，M为PE的中点，在棱PC上是否存在一点F， 使平面BFM∥平面AEC ? 证明你的结论. 能力提升 能力提升 题型二 平面与平面平行关系的综合问题 空间中各种平行关系相互转化示意图 04 小结及随堂练习 8.5.3 平面与平面平行(第1课时) 平面与平面平行的判定 课堂总结1 1．知识清单： (1)平面与平面平行的判定定理． (2)证明的两个平面平行的基本思路． (3)证明的两个平面平行的一般步骤． (4)证明的书写三个条件“内”、“交”、“平行”， 缺一不可． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：平面与平面平行的条件不充分． 课堂总结2 作业 8.5.3 平面与平面平行(第1课时) 平面与平面平行的判定 教材第 142~143 页练习第 3 , 4 题 练习（第142页） 1．判断下列命题是否正确．若正确，则说明理由；若错误，则举出反例． (1)错误 (2)显然正确； A B C D A1 B1 C1 D1 (3)错误 练习（第142页） 1．判断下列命题是否正确．若正确，则说明理由；若错误，则举出反例． (4)正确 a (5)正确 D A错误 a B错误 C错误 a b A B C D D1 C1 A1 M N F E B1 a b c (第4题) 人教A版· 必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 下列说法正确的是（    ） A．一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 【详解】一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，A错误； 一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，B错误； 一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，C错误； 一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，根据面面平行的判断定理可知，这两个平面平行，D正确. 故选：D. 设 ， 为两个不同的平面，则“ ”是“ 内有无数条直线与 平行”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】易知当“”时，一定满足“内有无数条直线与平行”， 因此充分性成立； 若“内有无数条直线与平行”，此时可能相交， 有无数条直线与两平面的交线平行，即必要性不成立； 所以“”是“内有无数条直线与平行”成立的充分不必要条件. 故选：A 3. 设 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 B．若 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 C．若 ， ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 D．若 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 【详解】若，则或异面，故A错误； 若，由线面平行性质定理可知，故B正确； 若，当时，可以相交，故C错误； 若，当时，可以相交，故D错误. 故选：B. 4. 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列描述中正确的是（   ） A．若 ,则 B．若 ,则 C．若 ,则 D．若 ,则 【详解】对于A：若，，则与平行或相交或异面，故A错误； 对于B：若，，则或与相交，故B错误； 对于C：，，则或与异面，故C错误； 对于D：若，，，由面面平行的性质可知，故D正确． 故选：D． 5. 已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ， ，则 【详解】若，，则直线，可能相交、平行或异面，故选项A错误； 若，，则或，故选项B错误； 若，，，则由面面平行的性质定理可知，故选项C正确； 如图所示，平面，平面，平面，平面，但平面与平面相交，故选项D错误. 故选：C. 6. 设 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，下列说法中错误的为（   ） ①若 ， ， ，则     ②若 ， ，则 ③若 ， ，则      ④若 ， ， ，则 A．① B．② C．③ D．④ 【详解】对①：若，，则，因为，所以，所以①正确； 对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确； 对③：由，可得可能平行，可能异面，③错误； 对④，若，，则，又，所以，④正确． 故选：C． 7. 已知 为两条不同直线， 为三个不同平面，则下列说法正确的是（    ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 【详解】对于选项A：若，所以可能平行也可能异面，所以A错误； 对于选项B：若，所以可能与平面平行，也可能在平面内，所以B错误； 对于选项C：若，那么，也可能平面相交，所以C错误； 对于选项D：根据平行平面的传递性，若，则.所以D正确. 故选：D. （1） 如图，连接 ， ∵ 分别是 的中点， ∴ EMBED Equation.DSMT4 .又∵ 平面 ， 平面 ， ∴直线 平面 . 如图，在正方体 中， 是 的中点， 分别是 的中点， 求证：(1) 平面 ； (2)平面 平面 . （2）连接SD，∵ 分别是 的中点， ∴ .又∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ，由(1)知， 平面 ， 且 平面 ， 平面 ， ， ∴平面 ∥平面 . 如图，在正方体 中， 是 的中点， 分别是 的中点， 求证：(1) 平面 ； (2)平面 平面 . 8. 设 是两个不同平面， 是直线且 ，则 “ ” 是 “ ” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】若 ，且 ，根据两个平面平行的性质， 则必有 （必要性成立）； 若 且 ， 与 可能平行也可能相交（充分性不成立）； 所以 “” 是 “” 的必要不充分条件. 故选：B. 在棱长为2的正方体 中，棱 ， 的中点分别为 ， ， 且点 在侧面 内，若 平面 ，则点 的轨迹长度为（   ） A． B．2 C． D． 【详解】取的中点，连接， 因为，所以是平行四边形，所以平面，不在平面内， 所以平面，同理可得平面，平面，所以平面平面， 则当点在线段上时，平面， 所以点的轨迹长度为.   故选：C. 10. 正方体 的棱长为4，点M在棱 上，平面ACM把正方体 分成两个几何体，其中一个几何体的体积为14，则平面ACM截正方体 所得的截面周长为（   ） A． B． C． D．15 【详解】设平面与棱交于点，则，几何体是三棱台， 由题意知该三棱台体积为14．设， 则，解得，平面截正方体所得的截面为等腰梯形， ，，，所以截面的周长为. 故选：A． 设 为两个平面，则下列条件可以推出 的是（    ） A． 平行于同一条直线 B． 内有无数条直线与 平行 C． 内有两条相交直线与 平行 D． 内有三个不共线的点到 的距离相等 【详解】利用正方体模型（其中用一个平行上下底面的截面平分正方体体积） 构建反例，如图，直线 和正方体的左侧面和下底面平行，显然左侧面和下底面不平行（这里直线 是上底面和右侧面的交线），故A不对； 不难找到无数条左侧面里的线，让其平行下底面，故B不对； 很容易在左侧面上棱找到两个点，下棱找到一个点，这三个点到截面的距离相等，但截面和左侧面不平行，故D不对； C选项根据面面平行判定定理可知其正确. 故选：C. 【详解】当F是棱PC的中点时，平面BFM ∥平面AEC. 因为M是PE的中点，所以FM ∥CE.因为FM⊄平面AEC，CE⊂平面AEC， 所以FM ∥平面AEC.由EM= PE=ED，得E为MD的中点， 连接BM，BD，如图所示，设BD∩AC=O， 则O为BD的中点.连接OE，则BM ∥OE. 因为BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，所以BM ∥平面AEC. 因为FM⊂平面BFM，BM⊂平面BFM，且FM∩BM=M， 所以平面BFM ∥平面AEC. $