8.2特殊的平行四边形（第1课时矩形）同步培优讲义（4知识点+15题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（新教材苏科版）

8.2特殊的平行四边形（第1课时 矩形）同步培优讲义 （4知识点+15题型+过关检测） 目录 【知识点1 矩形的定义】 1 【知识点2 矩形的性质（重点+难点）】 2 【知识点3 矩形的判定定理（重点）】 2 【知识点4 平行线间的距离（关联知识点）】 2 【题型1 矩形性质理解】 3 【题型2 利用矩形的性质求角度】 3 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 4 【题型4 根据矩形的性质求面积】 5 【题型5 利用矩形的性质证明】 6 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 7 【题型7 矩形与折叠问题】 8 【题型8 矩形的判定定理理解】 9 【题型9 证明四边形是矩形】 10 【题型10 添一条件使四边形是矩形】 11 【题型11 根据矩形的性质与判定求角度】 12 【题型12 根据矩形的性质与判定求线段长】 13 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】 14 【题型14 求平行线间的距离】 15 【题型15 利用平行线间距离解决问题】 15 1. 理解矩形的定义，明确矩形与平行四边形的关系（矩形是特殊的平行四边形），能准确识别矩形。 2. 掌握矩形的性质（边、角、对角线的特殊性质），理解矩形与平行四边形性质的区别与联系，能熟练运用矩形性质解决角度、线段、面积等相关计算问题。 3. 掌握矩形的判定定理，能根据已知条件（平行四边形+特殊条件、一般四边形+矩形条件）判断四边形是否为矩形，明确判定的核心条件。 03 知识•梳理 【知识点1 矩形的定义】 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 关键提醒：① 矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质，同时拥有自身的特殊性质；② 定义既是性质，也是判定方法： · 性质：矩形是平行四边形，且有一个角是直角； · 判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形（需同时满足“平行四边形”和“一个角是直角”两个条件）。 【知识点2 矩形的性质】 1. 继承平行四边形的性质 矩形的两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分。 即：在矩形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC；∠A=∠C，∠B=∠D；对角线AC、BD相交于点O，则AO=OC，BO=OD。 2. 矩形的特殊性质（区别于平行四边形） · 角的特殊性质：矩形的四个角都是直角。（即：∠A=∠B=∠C=∠D=90°） · 对角线的特殊性质：矩形的对角线相等。（即：AC=BD） 3. 矩形的其他性质 · 矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，有2条对称轴（过对边中点的直线）； · 矩形的对角线相等且互相平分，因此对角线把矩形分成4个等腰三角形（AO=BO=CO=DO）； · 矩形的面积公式：面积=长×宽（或：面积=底×高，与平行四边形面积公式一致，因矩形的高就是其中一条边长）。 【知识点3 矩形的判定定理】 1. 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形（最基础的判定方法）； 2. 角的判定：有三个角是直角的四边形是矩形（推导：三个角是直角，则第四个角也是直角，两组对角分别相等，可判定为平行四边形，再结合一个直角，即为矩形）； 3. 对角线的判定：对角线相等的平行四边形是矩形（核心：先判定是平行四边形，再看对角线是否相等）； 4. 补充判定：对角线相等且互相平分的四边形是矩形（推导：对角线互相平分→平行四边形，对角线相等→矩形）。 关键提醒：判定矩形时，若已知是平行四边形，只需补充“一个角是直角”或“对角线相等”；若已知是一般四边形，需补充“三个角是直角”或“对角线相等且互相平分”，避免遗漏条件。 【知识点4 平行线间的距离】 1. 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。 2. 核心性质 · 两条平行线间的距离处处相等； · 矩形的两条对边是平行的，因此矩形的一条边的长度，就是它的一组对边之间的距离（如：矩形ABCD中，AB与CD平行，AD的长度就是AB与CD之间的距离）。 04 题型•汇总 【题型1 矩形性质理解】 解题关键：明确矩形是特殊的平行四边形，区分矩形的“一般性质”（继承平行四边形）和“特殊性质”（四个角是直角、对角线相等），判断选项是否符合矩形性质。 【典例1】．矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 跟随训练1-1．下列说法中，错误的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．正方形的对角线互相垂直平分 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 跟随训练1-3．下列图形中，对角线互相垂直且相等的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【题型2 利用矩形的性质求角度】 解题关键：利用矩形“四个角都是直角”“对角线相等且互相平分”的性质，结合三角形内角和、等腰三角形性质，求未知角度。 【典例2】．如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若，则 ． 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 解题关键：利用矩形“对边相等”“对角线相等且互相平分”的性质，结合勾股定理、等腰三角形、等边三角形性质，求线段长度。 【典例3】．如图，在长方形中，，，P是上一个动点，于E，于，则的值为（   ） A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6 跟随训练3-1．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D．5 跟随训练3-2．如图，在长方形中，点是边的中点，点在边上，，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【题型4 根据矩形的性质求面积】 解题关键：掌握矩形面积公式（面积=长×宽），先利用矩形性质求出长和宽，再代入公式计算；若已知对角线和一条边长，可通过勾股定理求另一条边长。 【典例4】．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 跟随训练4-1．如图，一面长方形墙壁因年久失修，墙上只残留5块形状大小一样的长方形瓷砖（空白部分），其中，，则图中阴影部分的面积为 ． 跟随训练4-2．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积 【题型5 利用矩形的性质证明】 解题关键：利用矩形的性质（四个角是直角、对边相等、对角线相等且互相平分），结合全等三角形、等式性质等，证明线段相等、角相等、线段平行等。 【典例5】．如图，在矩形中，延长至点，使得，连接交于点．求证：点是的中点． 跟随训练5-1．如图，四边形是矩形，点E是上一点，连接． (1)尺规作图：在左侧作，使得，射线交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，证明四边形是平行四边形． 证明：四边形是矩形， ，①________，，， 在和中： ， ③________， ， 即④________， 又 四边形是平行四边形． 跟随训练5-2．如图，，，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积； (3)如图，延长交于点，点为直线左侧一点，且，，连接．求证：． 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 解题关键：结合矩形的性质（对边平行且相等、四个角是直角），根据已知顶点坐标，确定矩形的边长和方向，进而求出未知顶点的坐标。 【典例6】．已知矩形中，，矩形的周长为12，取的中点为坐标原点，与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 跟随训练6-1．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 跟随训练6-2．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 【题型7 矩形与折叠问题】 解题关键：利用折叠的对称性（对应边相等、对应角相等），结合矩形的性质，将折叠后的线段、角转化为矩形中的已知条件，再结合勾股定理求解。 【典例7】．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 跟随训练7-1．如图，矩形纸片按折痕折叠，点和点重合．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 跟随训练7-2．如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． (1)若点恰好落在上，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【题型8 矩形的判定定理理解】 解题关键：明确矩形的4种判定方法，判断选项中的条件是否满足任意一种判定方法，注意“平行四边形”这个前提条件，规避易错点。 【典例8】．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 跟随训练8-1．要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角 跟随训练8-2．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时点从点出发向点运动，运动到点即停止．点的速度都是，连接，设点运动的时间为． (1)当四边形是矩形时，为___________； (2)当四边形是菱形时，为___________． (3)当为何值时，是以为一条腰的等腰三角形？ 【题型9 证明四边形是矩形】 解题关键：结合已知条件，选择合适的判定方法（优先选最简便的），若已知是平行四边形，补充“一个角是直角”或“对角线相等”；若已知是一般四边形，补充“三个角是直角”或“对角线相等且互相平分”。 【典例9】．如图，在中，对角线、相交于点，是等腰三角形，当满足什么条件时？四边形为正方形，并说明理由． 跟随训练9-1．如图，在直角坐标系中，O是原点，四边形的顶点C的坐标为，顶点B在点C右侧，且，． (1)求的度数． (2)求点A的坐标． 跟随训练9-2．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，E是边的中点，过点E作于点F，于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则的长为______． 【题型10 添一条件使四边形是矩形】 解题关键：结合已知条件，补充一个条件，使四边形满足矩形的任意一种判定方法，注意条件的简洁性和合理性（答案不唯一，优先选最简便的）。 【典例10】．要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 跟随训练10-1．在《特殊平行四边形》回顾与思考课上，李芳整理的本章知识结构图如图，同桌张丽在①②③④处添加了条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．①处可填 B．②处可填 C．③处可填 D．④处可填 跟随训练10-2．如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【题型11 根据矩形的性质与判定求角度】 解题关键：先通过判定方法证明四边形是矩形，再利用矩形的性质（四个角是直角、对角线相等且互相平分），结合三角形内角和、等腰三角形性质，求未知角度。 【典例11】．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练11-1．如图，将线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段，A，B的对应点分别是点C，D，依次连接，，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B．对于任意，四边形都是矩形 C． D．当时，四边形是正方形 跟随训练11-2．如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【题型12 根据矩形的性质与判定求线段长】 解题关键：先判定四边形是矩形，再利用矩形的性质（对边相等、对角线相等且互相平分），结合勾股定理、等腰三角形性质，求线段长度。 【典例12】．如图，在平行四边形中，对角线交于点．若，，（   ） A．4 B． C． D．8 跟随训练12-1．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，试管倾斜角，实验时，导气管紧贴水槽，延长，交的延长线于点，且，（点C，D，N，F在同一条直线上）．经测量得，，，则铁架杆与水槽之间的水平距离为（   ） A． B． C． D． 跟随训练12-2．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：若为的中点，则四边形是正方形；若为上任意一点，则；点在运动过程中，的值为定值；点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（    ） A． B． C． D． 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】 解题关键：先判定四边形是矩形，再利用矩形的性质求出长和宽，代入面积公式（面积=长×宽）计算，若已知对角线，可通过勾股定理求边长。 【典例13】．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 跟随训练13-1．如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 跟随训练13-2．如图，是正方形内一点，四边形与也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则长为（   ）    A． B． C．6 D．8 【题型14 求平行线间的距离】 解题关键：利用“平行线间的距离处处相等”的性质，结合矩形的性质（矩形的一条边是其一组对边之间的距离），或利用点到直线的距离公式，求解平行线间的距离。 【典例14】．如图，已知，下列线段的长中，是，之间的距离的是（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 跟随训练14-1．如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 跟随训练14-2．已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是，那么直线a与c的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【题型15 利用平行线间距离解决问题】 解题关键：利用“平行线间的距离处处相等”，将矩形的边长与平行线间的距离关联，结合矩形面积公式、勾股定理等，解决实际问题。 【典例15】．如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练15-1．如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 跟随训练15-2．将一个有角的三角板的直角顶点C放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另一边沿上，测得，则三角板的最大边的长为（   ） A． B． C． D． 05 过关•检测 1．如图，为等腰三角形．如果把它沿底边翻折后，得到，那么四边形为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上都不对 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 4．将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点为的中点，，，则下列说法错误的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是矩形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是菱形 6．如图，在四边形中，，，，，点E，F分别是的中点，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D．8 7．如图，在菱形中，对角线，交于点O，，现以点O为旋转中心，将所在的直线绕点O逆时针旋转一定的角度，旋转之后的直线与边，所在的直线分别交于点E，F，连接、，要使四边形是矩形，这个旋转角的度数最小是（   ） A． B． C． D． 8．图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”，图6－1为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米，，则点C到水平线l的距离为（   ） A．4分米 B．分米 C．分米 D．分米 9．在矩形中，点E是的中点，连接，，点F是上一点，且平分交于点G，平分，则 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是 ． 11．如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片沿折叠，使点C与点A重合，求折痕 ． 12．如图，在平行四边形中，，，将绕点A逆时针旋转角α（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ． 13．如图所示的网格是正方形网格，则 点、、、、是网格线交点．请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出解决该题关键思路的连线（虚线表示）． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的点A和点C分别落在x轴的正半轴和y轴负半轴上，，直线l：经过点C，将直线l向上平移m个单位，若直线可将矩形的面积平分，则m的值为 ． 15．如图，四边形是菱形，是边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作边上的高； (2)在图2中，作边上的高． 16．已知，中，是边的中线． 阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题． 如图1，延长到点E，使，连接，则有以下两个常见结论：①； ②．利用这两个结论解决下列问题． (1)如图1，若，直接写出的取值范围为：__________； (2)如图2，在中，．求证：． (3)如图3，点G在的上方，点F在的延长线上，连接，若．求证：． 17．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 18．如图，矩形中，点E，F分别在，上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求的长． 19．如图①，在四边形中，，点E是上一点，连接交于点G，延长交的延长线于点F． (1)若，求证：； (2)如图②，在（1）的条件下，连接，求证：； (3)如图③，四边形关于直线的对称图形为四边形，延长交于点P．若，求四边形的面积． 20．【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在中,为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对应点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对应点为点H．连接，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形？如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2特殊的平行四边形（第1课时 矩形）同步培优讲义 （4知识点+15题型+过关检测） 目录 【知识点1 矩形的定义】 1 【知识点2 矩形的性质（重点+难点）】 1 【知识点3 矩形的判定定理（重点）】 2 【知识点4 平行线间的距离（关联知识点）】 2 【题型1 矩形性质理解】 2 【题型2 利用矩形的性质求角度】 4 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 6 【题型4 根据矩形的性质求面积】 8 【题型5 利用矩形的性质证明】 11 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 16 【题型7 矩形与折叠问题】 20 【题型8 矩形的判定定理理解】 23 【题型9 证明四边形是矩形】 26 【题型10 添一条件使四边形是矩形】 30 【题型11 根据矩形的性质与判定求角度】 32 【题型12 根据矩形的性质与判定求线段长】 35 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】 39 【题型14 求平行线间的距离】 43 【题型15 利用平行线间距离解决问题】 44 1. 理解矩形的定义，明确矩形与平行四边形的关系（矩形是特殊的平行四边形），能准确识别矩形。 2. 掌握矩形的性质（边、角、对角线的特殊性质），理解矩形与平行四边形性质的区别与联系，能熟练运用矩形性质解决角度、线段、面积等相关计算问题。 3. 掌握矩形的判定定理，能根据已知条件（平行四边形+特殊条件、一般四边形+矩形条件）判断四边形是否为矩形，明确判定的核心条件。 03 知识•梳理 【知识点1 矩形的定义】 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 关键提醒：① 矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质，同时拥有自身的特殊性质；② 定义既是性质，也是判定方法： · 性质：矩形是平行四边形，且有一个角是直角； · 判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形（需同时满足“平行四边形”和“一个角是直角”两个条件）。 【知识点2 矩形的性质】 1. 继承平行四边形的性质 矩形的两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分。 即：在矩形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC；∠A=∠C，∠B=∠D；对角线AC、BD相交于点O，则AO=OC，BO=OD。 2. 矩形的特殊性质（区别于平行四边形） · 角的特殊性质：矩形的四个角都是直角。（即：∠A=∠B=∠C=∠D=90°） · 对角线的特殊性质：矩形的对角线相等。（即：AC=BD） 3. 矩形的其他性质 · 矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，有2条对称轴（过对边中点的直线）； · 矩形的对角线相等且互相平分，因此对角线把矩形分成4个等腰三角形（AO=BO=CO=DO）； · 矩形的面积公式：面积=长×宽（或：面积=底×高，与平行四边形面积公式一致，因矩形的高就是其中一条边长）。 【知识点3 矩形的判定定理】 1. 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形（最基础的判定方法）； 2. 角的判定：有三个角是直角的四边形是矩形（推导：三个角是直角，则第四个角也是直角，两组对角分别相等，可判定为平行四边形，再结合一个直角，即为矩形）； 3. 对角线的判定：对角线相等的平行四边形是矩形（核心：先判定是平行四边形，再看对角线是否相等）； 4. 补充判定：对角线相等且互相平分的四边形是矩形（推导：对角线互相平分→平行四边形，对角线相等→矩形）。 关键提醒：判定矩形时，若已知是平行四边形，只需补充“一个角是直角”或“对角线相等”；若已知是一般四边形，需补充“三个角是直角”或“对角线相等且互相平分”，避免遗漏条件。 【知识点4 平行线间的距离】 1. 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。 2. 核心性质 · 两条平行线间的距离处处相等； · 矩形的两条对边是平行的，因此矩形的一条边的长度，就是它的一组对边之间的距离（如：矩形ABCD中，AB与CD平行，AD的长度就是AB与CD之间的距离）。 04 题型•汇总 【题型1 矩形性质理解】 解题关键：明确矩形是特殊的平行四边形，区分矩形的“一般性质”（继承平行四边形）和“特殊性质”（四个角是直角、对角线相等），判断选项是否符合矩形性质。 【典例1】．矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了矩形与平行四边形的性质，根据两者共有的性质和矩形特有的性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边相等，平行四边形的对边相等， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边平行，平行四边形的对边平行， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的所有性质外，还具有四个角均为直角（即四个角相等）的性质， ∴矩形具有而平行四边形不具有，符合题意； 故选：． 跟随训练1-1．下列说法中，错误的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．正方形的对角线互相垂直平分 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查特殊四边形的性质和判定，根据矩形的性质，正方形，菱形和平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，原说法正确，不符合题意； B、正方形的对角线互相垂直平分，原说法正确，不符合题意； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 跟随训练1-3．下列图形中，对角线互相垂直且相等的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形和正方形的对角线性质，需根据各图形对角线的特征判断是否同时满足垂直且相等即可． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直或相等，故此选项不符合题意； B、矩形的对角线相等但不垂直，故此选项不符合题意； C、菱形的对角线垂直但不相等，故此选项不符合题意； D、正方形的对角线互相垂直且相等，故此选项符合题意． 故选：D． 【题型2 利用矩形的性质求角度】 解题关键：利用矩形“四个角都是直角”“对角线相等且互相平分”的性质，结合三角形内角和、等腰三角形性质，求未知角度。 【典例2】．如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据矩形的性质证得，根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 跟随训练2-1．在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的定义，关键是矩形性质的应用；根据矩形的性质可得，结合，可得的度数，又根据角平分线的定义可得的度数，则可求． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B ． 跟随训练2-2．如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图——作垂线及矩形的性质，正确得出是的垂直平分线是解题关键．由作图可知，，是的垂直平分线，根据矩形的性质得出，，，即可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知，，是的垂直平分线， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴． 故答案为： 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 解题关键：利用矩形“对边相等”“对角线相等且互相平分”的性质，结合勾股定理、等腰三角形、等边三角形性质，求线段长度。 【典例3】．如图，在长方形中，，，P是上一个动点，于E，于，则的值为（   ） A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．设的交点为O，根据勾股定理，得到，继而得到，，根据，解答即可． 【详解】解：设的交点为O， ∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 跟随训练3-1．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，解题的关键是利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合勾股定理求出对角线长度，进而得到线段的长． 先在中，由勾股定理求出对角线的长度；再根据矩形对角线互相平分的性质，得到，从而计算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． 在中，， ∴． 故选：B． 跟随训练3-2．如图，在长方形中，点是边的中点，点在边上，，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，三角形面积公式，列代数式，用代数式表示边长和面积是解题关键． 设，，，用代数式依次表示矩形、、、、的面积，然后求出与的关系． 【详解】解：设，，，则， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【题型4 根据矩形的性质求面积】 解题关键：掌握矩形面积公式（面积=长×宽），先利用矩形性质求出长和宽，再代入公式计算；若已知对角线和一条边长，可通过勾股定理求另一条边长。 【典例4】．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又 ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：6． 跟随训练4-1．如图，一面长方形墙壁因年久失修，墙上只残留5块形状大小一样的长方形瓷砖（空白部分），其中，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】47 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设每块长方形瓷砖的长为x，宽为y，根据图形可得1个长加上3个宽等于13，一个长加上一个宽等于9，据此建立方程组求解，再求得每块长方形瓷砖的面积后即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：设每块长方形瓷砖的长为x，宽为y， 由题意得：， 解得：， ∴图中每块长方形瓷砖的面积为， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：47． 跟随训练4-2．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，结合，得到，可证出结论． （2）根据矩形性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出即可． 【详解】（1）证明：∵是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． 【题型5 利用矩形的性质证明】 解题关键：利用矩形的性质（四个角是直角、对边相等、对角线相等且互相平分），结合全等三角形、等式性质等，证明线段相等、角相等、线段平行等。 【典例5】．如图，在矩形中，延长至点，使得，连接交于点．求证：点是的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，根据矩形的性质得出，结合已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ，即点是的中点． 跟随训练5-1．如图，四边形是矩形，点E是上一点，连接． (1)尺规作图：在左侧作，使得，射线交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，证明四边形是平行四边形． 证明：四边形是矩形， ，①________，，， 在和中： ， ③________， ， 即④________， 又 四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④． 【分析】本题考查基本作图—作角，矩形性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定： （1）根据作角的方法，作图即可； （2）根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定方法作答即可． 【详解】（1）解：如图，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点G、H， 以点D为圆心，同样长为半径画弧，交于点I， 以I为圆心，长为半径画弧，交前弧于点J， 作射线，交于点F， 线段即为所求． （2）证明：四边形是矩形， ，，，， 在和中， ， ， ， ， 即， 又 四边形是平行四边形． 故答案为：①；②；③；④． 跟随训练5-2．如图，，，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积； (3)如图，延长交于点，点为直线左侧一点，且，，连接．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（）根据余角性质即可求证； （）过点作的延长线于点，可证四边形是矩形，得到，进而得到，再证明，得到，，即得到，进而根据三角形的面积公式计算即可求解； （）分别过点和点作、的垂线，两垂线相交于点，可证四边形是正方形，得到，再证明，得到，证明，得到，，进而证明，得到，即可求证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴； （2）解：如图，过点作的延长线于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）证明：如图，分别过点和点作、的垂线，两垂线相交于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（）知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了余角性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 解题关键：结合矩形的性质（对边平行且相等、四个角是直角），根据已知顶点坐标，确定矩形的边长和方向，进而求出未知顶点的坐标。 【典例6】．已知矩形中，，矩形的周长为12，取的中点为坐标原点，与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，坐标与图形；根据题意求得点，根据旋转的性质可得分别对应，进而可得点的坐标． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形中，，矩形的周长为12， ∴， ∴，， ∵的中点为坐标原点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点逆时针旋转后与点重合， 将绕着点逆时针旋转得到， 又∵， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 跟随训练6-1．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 跟随训练6-2．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题． （1）直接根据点B和D的坐标可得结论； （2）先得，，证明四边形是平行四边形，则，列方程可解答； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据梯形的面积公式列方程可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： ①当时，点N在边上，四边形是梯形， ∵， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴； ②当时，点N在的延长线上， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴， 综上，点M的坐标为或． 【题型7 矩形与折叠问题】 解题关键：利用折叠的对称性（对应边相等、对应角相等），结合矩形的性质，将折叠后的线段、角转化为矩形中的已知条件，再结合勾股定理求解。 【典例7】．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据折叠的性质得出，从而可得，再利用勾股定理列出关于的方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 在中， ∴ 解得：， 故选：B． 跟随训练7-1．如图，矩形纸片按折痕折叠，点和点重合．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握矩形与折叠的性质． 由折叠可得，设，则，在中，利用勾股定理列方程可求得，，再利用等面积法即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴，， 如图，过点作于点， ∵， ∴，即点到的距离为． 故选：C． 跟随训练7-2．如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． (1)若点恰好落在上，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠问题： （1）先根据勾股定理得出，由折叠得： ，根据折叠的性质得出，，，设，则 ，，在 中，由勾股定理得：，求解即可得出答案； （2）先求出，，由折叠得： ，，根据，得出在上，得出四边形是正方形，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解： 如下图， 在矩形中， ，，， ， 由折叠得： ， ，，， ，， 设，则 ，， 在 中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）是直角三角形，理由如下： ，， ，， 由折叠得： ，， ， 在上，如图所示， 四边形是正方形， ， 是直角三角形． 【题型8 矩形的判定定理理解】 解题关键：明确矩形的4种判定方法，判断选项中的条件是否满足任意一种判定方法，注意“平行四边形”这个前提条件，规避易错点。 【典例8】．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，符合题意； D、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； 故选：C． 跟随训练8-1．要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟记矩形的判定定理，并会灵活运用． 根据矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：选项A：对角线互相平分得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故A错误，不符合题意； 选项B：两组对边分别相等得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故B错误，不符合题意； 选项C：对角线是否互相垂直不能判定四边形为矩形，故C错误，不符合题意； 选项D：根据四边形内角和定理，三个角是直角，则另一个角也是直角，即四个角均为直角，可判定四边形为矩形，故D正确，符合题意； 故选D． 跟随训练8-2．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时点从点出发向点运动，运动到点即停止．点的速度都是，连接，设点运动的时间为． (1)当四边形是矩形时，为___________； (2)当四边形是菱形时，为___________． (3)当为何值时，是以为一条腰的等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．通过矩形，菱形，等腰三角形的判定和性质列方程求解是解题的关键． （1）通过列方程求解； （2）通过列方程求解； （3）分两种情况讨论：或求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 四边形是矩形，， ， ， 解得，， 故答案为：4； （2）， ， 当四边形为菱形时，， ， 解得，， 故答案为：3； （3）当时，四边形为菱形， 由（2）知，； 当时，过点作于， 则， ， ， ， ， 综上所述，当为或时，是以为一条腰的等腰三角形． 【题型9 证明四边形是矩形】 解题关键：结合已知条件，选择合适的判定方法（优先选最简便的），若已知是平行四边形，补充“一个角是直角”或“对角线相等”；若已知是一般四边形，补充“三个角是直角”或“对角线相等且互相平分”。 【典例9】．如图，在中，对角线、相交于点，是等腰三角形，当满足什么条件时？四边形为正方形，并说明理由． 【答案】当中时（答案不唯一），四边形为正方形，见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定，根据平行四边形的性质可知，根据对角线相等的平行四边形是矩形可证四边形是矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可知，当时，四边形是正方形． 【详解】解：当中时，四边形为正方形， 理由如下： 四边形为平行四边形， ，， 是等腰三角形， ，， 四边形为矩形， 又， 矩形为正方形． 跟随训练9-1．如图，在直角坐标系中，O是原点，四边形的顶点C的坐标为，顶点B在点C右侧，且，． (1)求的度数． (2)求点A的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键． （1）过点C作x轴的垂线，垂足为M，结合点C坐标得出，据此求出的度数即可； （2）过点B作的垂线，垂足为N，分别求出及的长，据此得出点B的坐标即可． 【详解】（1）解：过点C作轴于点M， ∵点C坐标为， ∴． 又∵轴， ∴； （2）解：过点B作于点N， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∴， ∴点A的坐标为． 跟随训练9-2．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，E是边的中点，过点E作于点F，于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据菱形的性质，得，再根据“三个角是直角的四边形是矩形”即可求证； （2）根据菱形的性质，可得，，再根据勾股定理，可求，最后依据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”和矩形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形，对角线，相交于点O，   ，即， ，， ，， ， 四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，， E是边的中点， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【题型10 添一条件使四边形是矩形】 解题关键：结合已知条件，补充一个条件，使四边形满足矩形的任意一种判定方法，注意条件的简洁性和合理性（答案不唯一，优先选最简便的）。 【典例10】．要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定定理，核心要点是牢记“对角线相等的平行四边形是矩形”“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”这两个判定定理． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， ∵若，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得平行四边形是矩形； 而选项B中、选项C中、选项D中均是平行四边形本身具有的性质，无法通过这些条件判定其为矩形． 故选：A． 跟随训练10-1．在《特殊平行四边形》回顾与思考课上，李芳整理的本章知识结构图如图，同桌张丽在①②③④处添加了条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．①处可填 B．②处可填 C．③处可填 D．④处可填 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的判定关系，根据这些特殊平行四边形的判定定理，逐一分析每个选项所添加的条件是否能使图形按箭头方向进行正确的转化． 【详解】解：A项：一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴①处可填是正确的，故该选项不符合题意； B项：有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴②处可填是正确的，故该选项不符合题意； C项：有一个角是直角的菱形是正方形， ∴无法判定两角是否为直角，故该选项符合题意； D项：一组邻边相等的矩形是正方形， ∴④处可填是正确的，故该选项不符合题意， 故选：C． 跟随训练10-2．如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定定理，首先明确平行四边形、菱形、正方形的判定关系：平行四边形中，对角线互相垂直的是菱形；菱形要成为正方形，需满足有一个内角为直角或对角线相等．本题先由得出是菱形，再分析各选项能否让菱形变为正方形． 【详解】四边形是平行四边形，且， 是菱形． 若，菱形的对角线相等．根据“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故A不符合“不能使”的要求． 若，菱形的一个内角为直角．根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故B不符合“不能使”的要求． 若，是菱形的边，是对角线．仅“边与对角线相等”无法推出菱形有直角或对角线相等，因此不能保证菱形是正方形，故C符合“不能使”的要求． 若，因菱形对角线互相平分（，），则，，即．结合“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故D不符合“不能使”的要求． 故选C 【题型11 根据矩形的性质与判定求角度】 解题关键：先通过判定方法证明四边形是矩形，再利用矩形的性质（四个角是直角、对角线相等且互相平分），结合三角形内角和、等腰三角形性质，求未知角度。 【典例11】．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 跟随训练11-1．如图，将线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段，A，B的对应点分别是点C，D，依次连接，，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B．对于任意，四边形都是矩形 C． D．当时，四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，再结合矩形的判定和性质，正方形的判定进行分析判断，即可解题． 【详解】解：线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段， ， 四边形是矩形，且当时，四边形是正方形， ， 当旋转角度不确定时，不能推出， 故A、B、D结论正确，不符合题意，C结论不一定正确，符合题意； 故选：C． 跟随训练11-2．如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 【题型12 根据矩形的性质与判定求线段长】 解题关键：先判定四边形是矩形，再利用矩形的性质（对边相等、对角线相等且互相平分），结合勾股定理、等腰三角形性质，求线段长度。 【典例12】．如图，在平行四边形中，对角线交于点．若，，（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 根据条件得出平行四边形为矩形，得出，然后根据含角的直角三角形的性质和勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 跟随训练12-1．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，试管倾斜角，实验时，导气管紧贴水槽，延长，交的延长线于点，且，（点C，D，N，F在同一条直线上）．经测量得，，，则铁架杆与水槽之间的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．过点B作于点H，设与交于点K，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明四边形为矩形，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：过点B作于点H，设与交于点K，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可得：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 跟随训练12-2．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：若为的中点，则四边形是正方形；若为上任意一点，则；点在运动过程中，的值为定值；点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定正确；连接，由四边形是矩形，得，再证明，得，则，即可判定正确；证明，，从而得，即可判定正确；根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小， ，求得，即得线段的最小值为，即可判定正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，故正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即的值为定值，故正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小,在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为，故正确； ∴正确的有， 故选：． 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】 解题关键：先判定四边形是矩形，再利用矩形的性质求出长和宽，代入面积公式（面积=长×宽）计算，若已知对角线，可通过勾股定理求边长。 【典例13】．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 跟随训练13-1．如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，过点作于点H，由四边形是矩形，可得四边形是矩形，则， ，，再根据 平分和平分线得到，则，即可由，得到，根据中点得到，则，即可得到矩形的边长，最后根据矩形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点 F 为 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积是， 故选：A． 跟随训练13-2．如图，是正方形内一点，四边形与也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则长为（   ）    A． B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】先证四边形是矩形，可得，由三角形的面积公式可得，即可求解．本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，求出是解题的关键． 【详解】解：∵四边形，四边形与也都是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵阴影部分的面积是10， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【题型14 求平行线间的距离】 解题关键：利用“平行线间的距离处处相等”的性质，结合矩形的性质（矩形的一条边是其一组对边之间的距离），或利用点到直线的距离公式，求解平行线间的距离。 【典例14】．如图，已知，下列线段的长中，是，之间的距离的是（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】C 【分析】根据平行线间距离的定义，即两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，来判断哪个选项符合． 【详解】解：平行线间的距离是指两条平行线的垂线段的长度． 线段垂直于直线和，因此的长度就是，之间的距离． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线间距离的定义，解题关键是理解平行线间距离的定义，准确识别出两条平行线的垂线段． 跟随训练14-1．如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键． 首先利用平行线之间三角形面积相等，得到的面积，再根据面积公式求解点C到的距离即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：A． 跟随训练14-2．已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是，那么直线a与c的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间的距离，注意需分两种情况讨论求解是解题的关键．分（1）直线a在直线b、c外，（2）直线a在直线b、c之间两种情况，画出图形（1）（2），根据图形进行计算即可． 【详解】解：有两种情况：如图 （1）直线a与c的距离是3厘米厘米厘米； （2）直线a与c的距离是5厘米厘米厘米． 故选：C． 【题型15 利用平行线间距离解决问题】 解题关键：利用“平行线间的距离处处相等”，将矩形的边长与平行线间的距离关联，结合矩形面积公式、勾股定理等，解决实际问题。 【典例15】．如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴设和之间的距离为h， ∴，，， ∴． 故选：D． 跟随训练15-1．如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短．连接，过点作于,利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：连接，过点作于． 面积为，， ， ， 垂直平分线段， ， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， 的最小值为． 故选：C． 跟随训练15-2．将一个有角的三角板的直角顶点C放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另一边沿上，测得，则三角板的最大边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，平行线之间距离处处相等，30度角的直角三角形，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得，，，根据30度角所对的直角边是斜边的一半得，以及运用勾股定理列式计算，得，即可作答． 【详解】解：过点作于点T，如图所示： 依题意，，， ∴，， ∴， ∵将一个有角的三角板的直角顶点C放在一张宽为的纸带边沿上， ∴ ∴ 故选：C 05 过关•检测 1．如图，为等腰三角形．如果把它沿底边翻折后，得到，那么四边形为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上都不对 【答案】B 【分析】此题主要考查了菱形的判定，以及等腰三角形的性质，关键是掌握四边相等的四边形是菱形． 根据等腰三角形的性质可得，再根据折叠可得，，进而得到，根据四边相等的四边形是菱形可得到答案． 【详解】解：∵等腰沿底边翻折得到， ，， ， ， ∴四边形为菱形． 故选：B． 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合求出和的度数；再根据得到，在直角三角形中求出的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵ ∴． 在 中，， ∴ 为等腰三角形． ∵ ∴． ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是利用矩形对角线的性质得到等腰三角形，再结合直角三角形的两个锐角互余求出角度． 3．如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质，得到轴，轴，进而得到点坐标，求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，轴，轴， ∵点B的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∴， ∴矩形的面积是； 故选B． 4．将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故选：A． 5．如图，在中，点为的中点，，，则下列说法错误的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是矩形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是菱形 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形性质，菱形判定，矩形判定，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点为的中点， ∴，即， ∴四边形是矩形，故选项A正确； 当时，则， ∴， 若四边形是矩形，则， ∴（不满足三角形内角和定理），故选项B错误； 当时， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故选项C正确； ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故选项D正确． 故选：B． 6．如图，在四边形中，，，，，点E，F分别是的中点，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】连接，先证四边形，是平行四边形，再证四边形是矩形，根据直角三角形斜边中线的性质得出，结合，可得是等边三角形，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理计算出，再证，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，F是的中点， ， 又， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形． 平行四边形中，， 四边形是矩形， ， 又 E是的中点， ， ， ，是等边三角形， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ，F是的中点， ， ， ， ，， ， 又，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，涉及知识点较多，难度一般，能够综合应用上述知识是解题的关键． 7．如图，在菱形中，对角线，交于点O，，现以点O为旋转中心，将所在的直线绕点O逆时针旋转一定的角度，旋转之后的直线与边，所在的直线分别交于点E，F，连接、，要使四边形是矩形，这个旋转角的度数最小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了矩形的性质、菱形的性质以及旋转的性质．由菱形的对角线互相垂直知，由矩形的两条对角线互相平分且相等的性质、等边对等角推知，则，再由求解即可． 【详解】解：如图，∵四边形是菱形， ∴，即， ∵四边形是矩形， ， ∴， 即， ， ， 即把所在的直线绕点逆时针旋转最小的角是． 故选：C． 8．图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”，图6－1为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米，，则点C到水平线l的距离为（   ） A．4分米 B．分米 C．分米 D．分米 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，对顶角的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 过点C作于点M，交于点N，证明四边形是矩形，利用勾股定理，含角的直角三角形的性质，解答即可． 【详解】解：过点C作于点M，交于点N， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分米， ∴分米，分米， ∵分米， ∴分米， ∴分米， 故选D． 9．在矩形中，点E是的中点，连接，，点F是上一点，且平分交于点G，平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 延长，相交于点，根据矩形的性质和，易证，得，则，根据角平分线，可得，，再利用，易证，得，，从而，得是等腰三角形，进而得，根据角之间的关系求出的度数，最后利用三角形内角和计算即可求解． 【详解】解：如图，延长，相交于点， 矩形， ，，， 点E是的中点， ， ()， ，则， 平分， ， ， ，则 平分， 在和中， ， ， ， ， ，即是等腰三角形， ， ， ， ， ． 故答案为：. 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，坐标与图形，轴对称图形．根据矩形性质：点A和点C关于原点对称，得点C的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴点A和点C关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 11．如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片沿折叠，使点C与点A重合，求折痕 ． 【答案】 【分析】先过点F作于M．利用勾股定理可求出，再利用翻折变换的知识，可得到，，再利用平行线可得，故有．求出，再次使用勾股定理可求出的长． 【详解】解：由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴，为等腰三角形； 过点F作于， 由折叠可知：， 设， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：． 12．如图，在平行四边形中，，，将绕点A逆时针旋转角α（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ． 【答案】或 【分析】连接，取的中点，连接，证明是等边三角形，得到，，然后得到，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，    ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，      当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形，    综上所述，旋转角的度数为或或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 13．如图所示的网格是正方形网格，则 点、、、、是网格线交点．请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出解决该题关键思路的连线（虚线表示）． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质与判定，取格点H、G，连接，设交于O，可证明四边形是矩形，则，，可证明四边形是平行四边形，得到，则，据此可证明，再证明是等腰直角三角形即可得到答案． 【详解】解：如图所示，取格点H、G，连接，设交于O， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的点A和点C分别落在x轴的正半轴和y轴负半轴上，，直线l：经过点C，将直线l向上平移m个单位，若直线可将矩形的面积平分，则m的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，矩形的性质，根据题意求出点A和点C的坐标，进而求出的中点的坐标，由平移方式可得平移后的直线解析式，根据矩形的性质可得平移后的直线一定经过的中点，据此求解即可． 【详解】解：∵，且点A在x轴的正半轴上， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴的中点坐标为， ∵将直线l向上平移m个单位， ∴平移后的直线解析式为， ∵四边形是矩形， ∴点是矩形的中心， ∵平移后的直线平分矩形的面积， ∴平移后的直线一定经过点， ∴， ∴， 故答案为：10． 15．如图，四边形是菱形，是边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作边上的高； (2)在图2中，作边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）连接交于点K，作线段，并延长交于点F，即可； （2）连接，交于点M，作线段，并延长交于点G，即可． 【详解】（1）解：如图，高即为所求； 理由：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴，即是边上的高； （2）解：如图，高即为所求． 理由：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，即是边上的高． 16．已知，中，是边的中线． 阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题． 如图1，延长到点E，使，连接，则有以下两个常见结论：①； ②．利用这两个结论解决下列问题． (1)如图1，若，直接写出的取值范围为：__________； (2)如图2，在中，．求证：． (3)如图3，点G在的上方，点F在的延长线上，连接，若．求证：． 【答案】(1)1，5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质． （1）先证明，推出，，根据三角形的三边关系得到，进而推出； （2）延长至点F，使，连接，可得，推出，求出，同理，得到四边形是矩形，即可证得； （3）连接，延长至点E，使，则，，由此得到，,再证明，得到，推出，由，得到，求出即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）延长至点F，使，连接， 可得， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3）如图，连接，延长至点E，使， 则，． ∴，, ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2.4 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形， （1）由平行四边形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形，又， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积， ∴， ∴． 18．如图，矩形中，点E，F分别在，上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由矩形性质可知，，因为，可证，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明； （2）过点作，垂足为，则，可证四边形是矩形，则，，再利用勾股定理即可求出长． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：过点作，垂足为， ，， ， ， 四边形是矩形，， ， 四边形是矩形， ，， ， ∵， ． 19．如图①，在四边形中，，点E是上一点，连接交于点G，延长交的延长线于点F． (1)若，求证：； (2)如图②，在（1）的条件下，连接，求证：； (3)如图③，四边形关于直线的对称图形为四边形，延长交于点P．若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可解答； （2）过点作交于，证明，得到，再证明，得到，即可解答； （3）由勾股定理可得的值，可得，证明，再证明为等边三角形，可得，最后根据梯形面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：∵ ∴四边形为矩形， 则， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过点作交于，如图2所示： 则， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（1）得四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ∵四边形与四边形关于直线对称， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ∴梯形的面积为： ， 故答案为：． 【点睛】本题为四边形综合题，考查了矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握上述性质，作出正确的辅助线是解题的关键． 20．【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在中,为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对应点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对应点为点H．连接，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形？如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 【答案】【探究发现】：菱形；【探究证明】：见解析；【探究提升】能成为轴对称图形，的值为或 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、图形的折叠性质、等边三角形的判定与性质以及轴对称图形的性质，解题的关键是利用折叠性质得到线段相等，结合平行四边形和菱形的判定定理推导图形关系，再根据轴对称图形的特征分情况讨论求解比例． [探究发现]由折叠得，，结合，证得四边形四边相等，判定其为菱形； [探究证明]由折叠及证四边形为菱形，得，结合平行四边形及、为中点的条件，推出且，从而证得四边形是平行四边形； [探究提升]根据平行四边形为轴对称图形时是矩形或菱形，分两种情况：当为矩形时，构造直角三角形，利用含角的直角三角形性质计算与的长度，得比例为；当为菱形时，构造平行四边形和等边三角形，计算得比例为． 【详解】解：由翻折得． ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【探究证明】由翻折得． ∵， ∴． ∴四边形是菱形． ∴． ∵E为边的中点，M为边的中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． 【探究提升】四边形能成为轴对称图形，的值为或． 理由：∵四边形是平行四边形，且四边形为轴对称图形， ∴四边形是矩形或菱形．当四边形是矩形时，过G作于K，过E作于T，连接，如图①． 易知四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则， ∴， ∵E为的中点， ∴．． ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴易知． ∵， ∴． ∴． 当四边形是菱形时，延长交于W，如图②． 设，则 y． ∵四边形是菱形， ∴y． ∵， ∴四边形是平行四边形，． ∴y． ∴． ∴是等边三角形． ∴y． ∴y， ∴． 综上所述，四边形为轴对称图形时，的值为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $