8.1平行四边形同步培优讲义（3知识点+11题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（新教材苏科版）

8.1平行四边形同步培优讲义 （3知识点+11题型+过关检测） 目录 【知识点1：平行四边形的定义】 1 【知识点2：平行四边形的性质】 1 【知识点3：平行四边形的判定方法】 2 【题型1 数图形中平行四边形的个数】 3 【题型2 利用平行四边形的性质求解】 5 【题型3 利用平行四边形的性质证明】 7 【题型4 平行四边形性质的其他应用】 11 【题型5 证明四边形是平行四边形】 16 【题型6 判断能否构成平行四边形】 18 【题型7 添加一个条件成为平行四边形】 20 【题型8 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 23 【题型9 全等三角形拼平行四边形问题】 26 【题型10 利用平行四边形的判定与性质求解】 28 【题型11 平行四边形性质和判定的应用】 32 1. 理解平行四边形的定义，能准确识别平行四边形，明确平行四边形的表示方法。 2. 掌握平行四边形的性质（边、角、对角线的性质），能熟练运用性质解决线段相等、角相等的计算和证明问题。 3. 掌握平行四边形的判定方法（定义法、边的判定、角的判定、对角线的判定），能根据已知条件判断四边形是否为平行四边形。 03 知识•梳理 【知识点1：平行四边形的定义】 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，用符号“▱”表示，如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 关键提醒：定义既是性质，也是判定方法——① 性质：平行四边形的两组对边分别平行；② 判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 【知识点2：平行四边形的性质】 1. 边的性质 平行四边形的两组对边分别平行且相等。即：在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC。 2. 角的性质 平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补。即：在▱ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°（同理可推其他邻角互补）。 3. 对角线的性质 平行四边形的对角线互相平分。即：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则AO=OC，BO=OD。 4. 其他性质 · 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点； · 平行四边形的对边平行，因此会产生同位角、内错角相等，同旁内角互补的衍生性质。 【知识点3：平行四边形的判定方法】 1. 定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（最基础的判定方法）； 2. 边的判定：① 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；② 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3. 角的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 4. 对角线的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 关键提醒：判定时需注意“一组对边平行且相等”的条件（平行+相等，缺一不可），避免与“一组对边平行、另一组对边相等”混淆（后者不一定是平行四边形，如等腰梯形）。 易错点提醒 · 混淆平行四边形的性质与判定：性质是“已知平行四边形，推边、角、对角线的关系”；判定是“已知边、角、对角线的关系，推四边形是平行四边形”； · 运用“一组对边平行且相等”判定时，忽略“平行”或“相等”一个条件； · 数平行四边形个数时，漏数由多个小平行四边形组成的大平行四边形； · 求与已知三点组成平行四边形的点的个数时，漏算一种情况（通常有3个）； · 证明四边形是平行四边形时，思路不清晰，未结合已知条件选择合适的判定方法。 04 题型•汇总 【题型1 数图形中平行四边形的个数】 解题关键：按“从小到大”的顺序数，先数单个小平行四边形，再数由2个、3个……小平行四边形组成的大平行四边形，避免漏数、重复数；可借助“横边线段数×竖边线段数”（适用于规则网格状平行四边形）。 【典例1】．如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的定义，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：图中的平行四边形为：，，，，，，，，，共个， 故选：A． 跟随训练1-1．如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是 个． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的判定，先理解各点把线段四等分，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵线段相交于点，且图上各点把线段四等分， ∴ ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， 故答案为：4 跟随训练1-2．如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 根据平行四边形的判定与性质分析判断即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵在中，分别是各边中点， ∴， ∴图中的平行四边形共有：，，，，，，，，共9个平行四边形， 故选：B． 【题型2 利用平行四边形的性质求解】 解题关键：紧扣平行四边形的边、角、对角线性质，结合已知条件，求线段长度、角度大小、周长等，注意邻角互补、对角线互相平分的应用。 【典例2】．如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而求出，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 跟随训练2-1．如图，在中，点是中点，连接并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连接，若的面积为2，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中线，三角形全等的判定和性质，以及三角形的面积； 根据题意证明，从而得到，，再根据，，即可求得四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，点是中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 跟随训练2-2．如图，将平行四边形的边延长，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形两组对角分别相等可得，再根据邻补角互补可得的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：A． 【题型3 利用平行四边形的性质证明】 解题关键：利用平行四边形的对边平行、对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，结合全等三角形、等式性质等，证明线段相等、角相等、线段平行等。 【典例3】．如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，，则；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，面积转化知识点，掌握平行四边形对角线互相平分和全等三角形面积相等的性质是解题的关键． 逐个分析三个结论：①通过列举全等三角形的对数判断是否为4对；②利用平行四边形对角线互相平分和三角形三边关系求出的范围；③通过全等三角形的面积相等，将四边形的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴对角线互相平分，即 ∵ ∴ 在和中， ∴ 同理可证 此外，还有 ，，， ∴图中共有6对全等三角形，结论①错误； ∵四边形是平行四边形 ∴ 在中，根据三角形三边关系： ∵ ∴，结论②正确 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，结论③正确 综上所述，正确的结论是②和③． 故选：C． 跟随训练3-1．如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质证明即可； （2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴． 跟随训练3-2．如图，在平行四边形中，是对角线，． (1)请用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，分别交于点O，点E（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； (2)在（1）的条件下，连接，求证， 证明：平分， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ∴ ① ，， ，，， ∴ ②， 在和中，， ， ∴ ④， ． 【答案】(1)画图见详解 (2)；；； 【分析】本题主要考查作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作法解答即可； （2）先证明，得出，，再证明，最后根据证明，根据全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）证明：平分 ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ①， ，， ，，， ②， 在和中，， ， ④， ． 故答案为：；；；． 【题型4 平行四边形性质的其他应用】 解题关键：结合平行四边形的性质，解决折叠、平移、距离计算等问题，核心是利用“对边平行且相等”“对角相等”的特征，转化已知条件。 【典例4】．如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，可证明，即可得到结论； （2）根据题意得到，，，求出，得到，，得到． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，，， 为中点， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得； ， ， 由（1）知， ， ， ，， ∴． 跟随训练4-1．下图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知点A，B，P在格点上．请解答下列问题． (1)在图1中找点Q，使A，B，P，Q四点构成一个平行四边形（要求点Q在格点上，画出一种情况即可）． (2)如图2，以点P为坐标原点建立直角坐标系．若，则点A关于P的对称点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，关于原点对称的点的特征， 对于（1），以为一边，作，交格点于点，则四边形是平行四边形，以为对角线，作，则四边形是平行四边形； 对于（2），先确定点A关于原点对称的点，再根据坐标特征得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，四边形，是平行四边形； （2）解：如图，点A关于点P对称的点是点，其坐标是． 故答案为：． 跟随训练4-2．如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是 秒． 【答案】或 【分析】本题考查平行四边形性质、全等三角形判定及等边三角形判定与性质，解题关键是分类讨论与的位置关系，利用全等三角形建立含t的方程。 当时，可证，从而，解得；当不平行时，证明，可得是等边三角形，四边形是平行四边形，即有，解得． 【详解】解：当时，如图： 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， 由得：， ； 当不平行时，如图： ， 四边形是等腰梯形， ，， 是的垂直平分线， ，， ， ，， 在中，， ， 是等边三角形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得， 综上所述，为或． 【题型5 证明四边形是平行四边形】 解题关键：结合已知条件，选择合适的判定方法（优先选最简便的，如定义法、一组对边平行且相等），证明时需明确判定条件的完整性，避免遗漏。 【典例5】．如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的中点以及等量代换得出，然后根据平行四边形的判定定理进行证明即可； （2）根据等边三角形和平行四边形的性质得出相等的边，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，四边形是平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 跟随训练5-1．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)求点，的坐标； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)、 (2)8 【分析】本题考查了平移、平行四边形的判定、平行四边形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平移的性质解题即可； （2）根据平行四边形的面积计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，，； （2）解：由（1）知，，， 且， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 跟随训练5-2．如图，已知是等边三角形，为边上一点，连接．将绕点旋转，使点落在上的点处，点落在上方的点处，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、图形旋转的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理和等边三角形的性质是解题的关键． 先利用等边三角形的性质得到 及相关角度，再结合旋转性质得到 ，从而推出 ；接着证明 为等边三角形，得到 ，进而推出 ；最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成证明． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵将绕点旋转得到， ∴． ∴，是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【题型6 判断能否构成平行四边形】 解题关键：根据平行四边形的判定条件，判断给出的边、角、对角线条件是否能满足任意一种判定方法，若满足则能构成，否则不能。 【典例6】．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答． 【详解】解：A、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C、，，四边形为平行四边形，故本项符合题意； D、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； 故选：C． 跟随训练6-1．在四边形中，已知，若再从下列条件：①；②；③；④中任意选取一个来判定四边形是平行四边形，则能断定四边形是平行四边形的选法共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定、平行线的判定与性质分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：如图所示， ①∵， ∴ ∵， ∴ ∴不能得到四边形是平行四边形； ②由，，不能得到四边形是平行四边形； ③∵ ∴， ∴不能得到四边形是平行四边形； ④∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形． 综上所述，能断定四边形是平行四边形的选法共有1种． 故选：A． 跟随训练6-2．如图，下面能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、∵，，不能得出四边形是平行四边形，错误； B、∵，，邻角相等，∴不能得出四边形是平行四边形，错误； C、∵，，∴四边形是平行四边形，正确； D、∵，，不能得出四边形是平行四边形，错误． 故选：C． 【题型7 添加一个条件成为平行四边形】 解题关键：结合已知条件，补充一个条件，使四边形满足平行四边形的任意一种判定方法，注意条件的简洁性和合理性（答案不唯一，优先选最简便的）。 【典例7】．如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，，不可得出四边形是平行四边形，故符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 跟随训练7-1．如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误； B、∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形．故B正确． C、由无法判定为平行四边形，故C错误； D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误； 故选：B． 跟随训练7-2．如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：添加的条件是（答案不唯一）． 理由如下：，， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型8 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 解题关键：以已知三点为顶点，分三种情况讨论：以其中两条线段为平行四边形的对角线，分别确定第三个顶点的位置，通常有3个符合条件的点。 【典例8】．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 跟随训练8-1．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向左平移个单位后的； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的： (3)若点在第三象限，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】（）根据平移的性质画图即可； （）根据旋转的性质画图即可； （）根据平行四边形的判定解答即可； 本题考查了平移作图，旋转作图，平行四边形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图，当点的坐标是时，点在第三象限，可知且，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：． 跟随训练8-2．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①和为对角线时，②和为对角线时，③和为对角线时，设点的坐标为，利用平行四边形两对角线互相平分结合中点公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 分三种情况：①和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ②和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ③和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是． 故选：D． 【题型9 全等三角形拼平行四边形问题】 解题关键：利用“两个全等三角形，将相等的边重合，可拼成一个平行四边形”的特征，判断拼接方式、平行四边形的个数及边长、周长等。 【典例9】．用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 跟随训练9-1．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 跟随训练9-2．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【答案】D 【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量． 【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；    两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；    故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键． 【题型10 利用平行四边形的判定与性质求解】 解题关键：先通过判定方法证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质求解线段长度、角度等，实现“判定→性质”的转化。 【典例10】．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定． 由平行四边形的性质推出，，， 由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，推出，证明，可得 ，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作交射线于点F， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 跟随训练10-1．如图，在平行四边形中，点在的延长线上，请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图（1），过点作射线把平行四边形分成面积相等的两部分； (2)如图（2）， 若，过点作的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质与全等三角形的判定及性质，熟练掌握平行四边形对角线互相平分的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键。 （1）连接、，交于，作射线交于，交于点，则射线即为所求； （2）连接、，交于，连接交于，作直线交于点，连接，则线段即为所求。 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴（）， ∴， ∴， ∴，即过点作射线把平行四边形分成面积相等的两部分； （2）解：如图，线段即为所求。 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是的中线． 跟随训练10-2．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【题型11 平行四边形性质和判定的应用】 解题关键：综合运用平行四边形的性质与判定，解决较复杂的几何问题（如多四边形结合、折叠与平行四边形结合），核心是灵活转化“判定”与“性质”，结合全等、等腰等知识求解。 【典例11】．如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是 ． 【答案】①② 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．连接，证明．同理可证，则；即可判断①正确；证明四边形是平行四边形．则，即可判断②；若四边形的面积是的2倍．则，证明三点共线，即，但没法证明，即可判断③． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴． 同理可证，， ∴， 故①正确； 连接， ∵， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴； 故②正确； 若四边形的面积是的2倍．则， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，的边上的高为， ∵， ∴， 即点和点到的距离相等， ∴， ∵， ∴三点共线，即， 但没法证明， 故③错误， 故答案为：①②． 跟随训练11-1．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 跟随训练11-2．在中，把线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接交于点E，连接．    (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若，F是的中点，连接并延长至点G，使得，连接、，求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）证明是等边三角形，得到，用勾股定理计算即可； （2）作交的延长线于点，再证明四边形是平行四边形，得到，借助等量代换和勾股定理解答． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ， 由于绕点C顺时针旋转得到线段， ，， ． （2）如图所示，作交的延长线于点， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是的中点，， 四边形是平行四边形， ， ，， 把线段绕点C顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ，    【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线成为解题的关键． 05 过关•检测 1．在中，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可知，，，，，，即可得出结论． 【详解】解：如图，四边形是平行四边形， ，，，，， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 2．如图，在平行四边形中，以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，与边交于点H，最后以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点M．若，，则点A，M之间的距离为（    ） A．9 B．6 C．10 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了作图基本作图，菱形的判定与性质，勾股定理，证明四边形是菱形是解题的关键． 连接、，设交于点，根据题意证明四边形是菱形，从而得出的长，再根据勾股定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、，设交于点， 由题意可知，是的角平分线， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 以为圆心，长为半径画弧，交于点， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形， 又∵， 四边形是菱形， ，，， ， ， ． 故选：A． 3．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，连接．下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等角对等边，掌握知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质，角平分线的性质，等角对等边，逐项分析求解即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 在平行四边形中，无法判断出． 故选D． 4．如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】先证明是等腰直角三角形，即可判断①，利用平行四边形对角相等、直角三角形两个锐角互余以及同角或等角的余角相等即可判断②，证明，即可判断④和③，利用平行四边形对边相等进一步可以判断⑤． 【详解】解：∵中，，于， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，故①正确； ∵于，于， ∴， ∴， ∵在中， ∴，故②正确； ∵，，， ∴，故④错误； ∴， ∵在中，， ∴，故③正确； ∵，故⑤正确； 故选：B ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是发现全等三角形． 5．如图，的对角线交点在原点，若，则点的坐标是（    ）； A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，关于原点对称的点的坐标特征；由平行四边形是中心对称图形即可求解． 【详解】解：在中，A、C关于原点成中心对称， ∵， ∴． 故选：A． 6．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，图形的周长，熟练掌握性质是解题的关键．根据平行四边形的性质，得，结合折叠的性质，得，继而证明，根据图形的周长定义计算即可． 【详解】解：， ， ， 根据折叠的性质，得， ， ， 又的周长是， 故的周长是， 的周长为12， ， 故的周长是6， 故选：B． 7．综合实践课上，小颖画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图1~图3是作图过程，在此作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（   ） （1）作的垂直平分线交于点； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，尺规作图—作垂线、作线段，由作图可得，，结合平行四边形的判定定理即可得出四边形为平行四边形，即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴可直接判定四边形是平行四边形的条件是对角线互相平分， 故选：A． 8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线、交于点O，过点O的直线分别与边交于点E，F，若点E的坐标为，则点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．连接，证明，推导出，得到点和点关于点成中心对称，根据坐标特征即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵平行四边形的对角线、交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点和点关于点成中心对称， ∵点E的坐标为， ∴点F的坐标为， 故选：D． 9．如图，在中，平分，，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，角平分线的有关计算，根据等角对等边证明边相等，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据平行四边形的性质，得出，，再利用平行线的性质证明，结合角平分线的意义得出，从而可得出，再利用线段差求得即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 又平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 10．如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接，，．若，，，则的面积为 ． 【答案】56 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 先通过证明，即可得到，进而得到，通过勾股定理求出线段的长度，然后通过线段的和差关系求出线段的长度，进而可求出的面积，即可求出平行四边形的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，． 在与中， ， ，即． ， ， ． ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 11．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，若恰为等边三角形，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握这些性质并能综合运用，推导出线段之间的等量关系是解题的关键． 先利用平行四边形的性质得到对边相等，再根据折叠性质和等边三角形的性质，推导出的边长，进而求出的长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵为等边三角形， ∴，． ∵， ∴． 由折叠性质可知，， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质、中心对称的性质，根据平行四边形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（两个点的横坐标与纵坐标互为相反数）可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且对角线交于原点O， ∴点与点关于原点成中心对称， ， ． 故答案为：4． 13．如图，在四边形中，，，，M是上一点，且．点E从点A出发以的速度向点D运动；点F从点B出发，以的速度向点C运动．当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或， 故答案为：或． 14．如图，中，点，分别是，上一点，连接，，连接交于点，连接分别交，于点，，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，则阴影部分四边形 的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，关键是知识点的灵活应用；利用平行四边形的性质可得，进而求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， 即：， 故答案为：． 15．如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直线平行的判定与性质，平行四边形的判定，掌握相关定理与性质是解题的关键． （1）由，得到，接着证明即可得到； （2）根据题意可得，即，再证明，得到，进而根据对边平行且相等的四边形为平行四边形即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， 所以四边形为平行四边形． 16．【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)3，12 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，证得，进而得到； （2）根据题意易得，进而得到，由（1）知，则，同理可得，再利用解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形 、 在和中 ； （2）解：、 由（1）知 同理可得 故答案为：3；12． 17．如图1，在中，，点D是边上一点，过点D作，交于点E． (1)将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，连接，．求证：； (2)将绕点A逆时针旋转至如图3所示的位置，此时，过点C作，交的延长线于点F，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定，理解题意并证明三角形全等是解决本题的关键． （1）根据题意可得，由旋转的性质可得，用证，则； （2）由全等可得，进而根据角的转换可得，进而可得，进而可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴，，， ∴， ∴， 根据旋转可得，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 18．我们知道：平行四边形的面积（底边）（这条底边上的高）．如图，四边形都是平行四边形，，，设它的面积为． (1)如图①，点为上任意一点，则的面积，的面积与的面积的数量关系是 ． (2)如图②，设、交于点，则为、的中点，试探究的面积与的面积之和与平行四边形的面积的数量关系． (3)如图③，点为平行四边形内任意一点时，记的面积为，的面积为，平行四边形的面积为，猜想得、的和与的数量关系式为 ． (4)如图④，已知点为平行四边形内任意一点，的面积为，的面积为，求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形及三角形的面积公式是解答此题的关键． （1）设中边上的高为，边上的高为，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可； （2）根据为、的中点，故可得出； （3）设中边上的高为，中边上的高为，中边上的高为，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可； （4）根据即可得出结论． 【详解】（1）解：设中边上的高为，边上的高为， ， ，， ，， 故答案为：，； （2）为、的中点， ； （3）设中边上的高为，中边上高为，中边上的高为， ， ， ， 即， 故答案为：； （4），，， ， 即． 19．问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在中，，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明； (1)独立思考：请解答老师提出的问题； (2)实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； (3)问题解决：智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A′，使于点H，连接，交CD于点N，若此的面积为20，边长AB=5，BC=，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积． 【答案】(1)，见解析； (2)，证明见解析； (3)图中阴影部分的面积为． 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，翻折变换，平行线分线段成比例定理，解直角三角形．解题核心是利用平行四边形对边平行且相等的特性，结合折叠的“全等性”转化线段与角度关系，再通过勾股定理、三角函数等工具计算线段长度与面积． （1） 要确定 与 的数量关系，可通过构造辅助线，结合平行四边形对边平行且相等、直角三角形斜边中线性质来推导； （2） 判断 与 的数量关系，需利用折叠性质（对应边、角相等），结合平行四边形对边平行且相等，证明相关四边形为平行四边形或三角形为等腰三角形； （3） 求阴影部分面积，先由平行四边形面积公式求高，再通过勾股定理、三角函数、折叠性质确定各线段长度，进而计算三角形面积差得到阴影面积． 【详解】（1）（1）解：． 证明：如图中，过点作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）（2）解：． 证明：如图中，连接， ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）（3）如图中，过点作于，过点作于． ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， 设则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1平行四边形同步培优讲义 （3知识点+11题型+过关检测） 目录 【知识点1：平行四边形的定义】 1 【知识点2：平行四边形的性质】 1 【知识点3：平行四边形的判定方法】 2 【题型1 数图形中平行四边形的个数】 3 【题型2 利用平行四边形的性质求解】 3 【题型3 利用平行四边形的性质证明】 4 【题型4 平行四边形性质的其他应用】 5 【题型5 证明四边形是平行四边形】 7 【题型6 判断能否构成平行四边形】 8 【题型7 添加一个条件成为平行四边形】 8 【题型8 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 9 【题型9 全等三角形拼平行四边形问题】 10 【题型10 利用平行四边形的判定与性质求解】 11 【题型11 平行四边形性质和判定的应用】 12 1. 理解平行四边形的定义，能准确识别平行四边形，明确平行四边形的表示方法。 2. 掌握平行四边形的性质（边、角、对角线的性质），能熟练运用性质解决线段相等、角相等的计算和证明问题。 3. 掌握平行四边形的判定方法（定义法、边的判定、角的判定、对角线的判定），能根据已知条件判断四边形是否为平行四边形。 03 知识•梳理 【知识点1：平行四边形的定义】 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，用符号“▱”表示，如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 关键提醒：定义既是性质，也是判定方法——① 性质：平行四边形的两组对边分别平行；② 判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 【知识点2：平行四边形的性质】 1. 边的性质 平行四边形的两组对边分别平行且相等。即：在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC。 2. 角的性质 平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补。即：在▱ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°（同理可推其他邻角互补）。 3. 对角线的性质 平行四边形的对角线互相平分。即：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则AO=OC，BO=OD。 4. 其他性质 · 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点； · 平行四边形的对边平行，因此会产生同位角、内错角相等，同旁内角互补的衍生性质。 【知识点3：平行四边形的判定方法】 1. 定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（最基础的判定方法）； 2. 边的判定：① 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；② 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3. 角的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 4. 对角线的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 关键提醒：判定时需注意“一组对边平行且相等”的条件（平行+相等，缺一不可），避免与“一组对边平行、另一组对边相等”混淆（后者不一定是平行四边形，如等腰梯形）。 易错点提醒 · 混淆平行四边形的性质与判定：性质是“已知平行四边形，推边、角、对角线的关系”；判定是“已知边、角、对角线的关系，推四边形是平行四边形”； · 运用“一组对边平行且相等”判定时，忽略“平行”或“相等”一个条件； · 数平行四边形个数时，漏数由多个小平行四边形组成的大平行四边形； · 求与已知三点组成平行四边形的点的个数时，漏算一种情况（通常有3个）； · 证明四边形是平行四边形时，思路不清晰，未结合已知条件选择合适的判定方法。 04 题型•汇总 【题型1 数图形中平行四边形的个数】 解题关键：按“从小到大”的顺序数，先数单个小平行四边形，再数由2个、3个……小平行四边形组成的大平行四边形，避免漏数、重复数；可借助“横边线段数×竖边线段数”（适用于规则网格状平行四边形）。 【典例1】．如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 跟随训练1-1．如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是 个． 跟随训练1-2．如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 【题型2 利用平行四边形的性质求解】 解题关键：紧扣平行四边形的边、角、对角线性质，结合已知条件，求线段长度、角度大小、周长等，注意邻角互补、对角线互相平分的应用。 【典例2】．如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．如图，在中，点是中点，连接并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连接，若的面积为2，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 跟随训练2-2．如图，将平行四边形的边延长，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用平行四边形的性质证明】 解题关键：利用平行四边形的对边平行、对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，结合全等三角形、等式性质等，证明线段相等、角相等、线段平行等。 【典例3】．如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，，则；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 跟随训练3-1．如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 跟随训练3-2．如图，在平行四边形中，是对角线，． (1)请用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，分别交于点O，点E（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； (2)在（1）的条件下，连接，求证， 证明：平分， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ∴ ① ，， ，，， ∴ ②， 在和中，， ， ∴ ④， ． 【题型4 平行四边形性质的其他应用】 解题关键：结合平行四边形的性质，解决折叠、平移、距离计算等问题，核心是利用“对边平行且相等”“对角相等”的特征，转化已知条件。 【典例4】．如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证； (2)求的面积． 跟随训练4-1．下图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知点A，B，P在格点上．请解答下列问题． (1)在图1中找点Q，使A，B，P，Q四点构成一个平行四边形（要求点Q在格点上，画出一种情况即可）． (2)如图2，以点P为坐标原点建立直角坐标系．若，则点A关于P的对称点的坐标是 ． 跟随训练4-2．如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是 秒． 【题型5 证明四边形是平行四边形】 解题关键：结合已知条件，选择合适的判定方法（优先选最简便的，如定义法、一组对边平行且相等），证明时需明确判定条件的完整性，避免遗漏。 【典例5】．如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 跟随训练5-1．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)求点，的坐标； (2)求四边形的面积． 跟随训练5-2．如图，已知是等边三角形，为边上一点，连接．将绕点旋转，使点落在上的点处，点落在上方的点处，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【题型6 判断能否构成平行四边形】 解题关键：根据平行四边形的判定条件，判断给出的边、角、对角线条件是否能满足任意一种判定方法，若满足则能构成，否则不能。 【典例6】．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 跟随训练6-1．在四边形中，已知，若再从下列条件：①；②；③；④中任意选取一个来判定四边形是平行四边形，则能断定四边形是平行四边形的选法共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 跟随训练6-2．如图，下面能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型7 添加一个条件成为平行四边形】 解题关键：结合已知条件，补充一个条件，使四边形满足平行四边形的任意一种判定方法，注意条件的简洁性和合理性（答案不唯一，优先选最简便的）。 【典例7】．如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练7-1．如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 跟随训练7-2．如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【题型8 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 解题关键：以已知三点为顶点，分三种情况讨论：以其中两条线段为平行四边形的对角线，分别确定第三个顶点的位置，通常有3个符合条件的点。 【典例8】．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 跟随训练8-1．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向左平移个单位后的； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的： (3)若点在第三象限，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 跟随训练8-2．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【题型9 全等三角形拼平行四边形问题】 解题关键：利用“两个全等三角形，将相等的边重合，可拼成一个平行四边形”的特征，判断拼接方式、平行四边形的个数及边长、周长等。 【典例9】．用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 跟随训练9-1．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 跟随训练9-2．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【题型10 利用平行四边形的判定与性质求解】 解题关键：先通过判定方法证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质求解线段长度、角度等，实现“判定→性质”的转化。 【典例10】．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 跟随训练10-1．如图，在平行四边形中，点在的延长线上，请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图（1），过点作射线把平行四边形分成面积相等的两部分； (2)如图（2）， 若，过点作的中线． 跟随训练10-2．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【题型11 平行四边形性质和判定的应用】 解题关键：综合运用平行四边形的性质与判定，解决较复杂的几何问题（如多四边形结合、折叠与平行四边形结合），核心是灵活转化“判定”与“性质”，结合全等、等腰等知识求解。 【典例11】．如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是 ． 跟随训练11-1．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 跟随训练11-2．在中，把线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接交于点E，连接．    (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若，F是的中点，连接并延长至点G，使得，连接、，求证：； 05 过关•检测 1．在中，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，与边交于点H，最后以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点M．若，，则点A，M之间的距离为（    ） A．9 B．6 C．10 D．7 3．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，连接．下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．如图，的对角线交点在原点，若，则点的坐标是（    ）； A． B． C． D． 6．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 7．综合实践课上，小颖画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图1~图3是作图过程，在此作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（   ） （1）作的垂直平分线交于点； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等 8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线、交于点O，过点O的直线分别与边交于点E，F，若点E的坐标为，则点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，平分，，，则的长是 ． 10．如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接，，．若，，，则的面积为 ． 11．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，若恰为等边三角形，则的长度是 ． 12．如图，的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为 ． 13．如图，在四边形中，，，，M是上一点，且．点E从点A出发以的速度向点D运动；点F从点B出发，以的速度向点C运动．当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 ． 14．如图，中，点，分别是，上一点，连接，，连接交于点，连接分别交，于点，，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，则阴影部分四边形 的面积为 ． 15．如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 16．【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 17．如图1，在中，，点D是边上一点，过点D作，交于点E． (1)将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，连接，．求证：； (2)将绕点A逆时针旋转至如图3所示的位置，此时，过点C作，交的延长线于点F，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由． 18．我们知道：平行四边形的面积（底边）（这条底边上的高）．如图，四边形都是平行四边形，，，设它的面积为． (1)如图①，点为上任意一点，则的面积，的面积与的面积的数量关系是 ． (2)如图②，设、交于点，则为、的中点，试探究的面积与的面积之和与平行四边形的面积的数量关系． (3)如图③，点为平行四边形内任意一点时，记的面积为，的面积为，平行四边形的面积为，猜想得、的和与的数量关系式为 ． (4)如图④，已知点为平行四边形内任意一点，的面积为，的面积为，求的面积． 19．问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在中，，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明； (1)独立思考：请解答老师提出的问题； (2)实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； (3)问题解决：智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A′，使于点H，连接，交CD于点N，若此的面积为20，边长AB=5，BC=，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $