精品解析：江苏南通市海安市2025-2026学年八年级上学期2月期末数学试题

八年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符． 4．答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 近年来我国芯片技术突飞猛进，某品牌手机自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为米，将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 5. 多项式有一个因式是，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 一个等腰三角形的两条边长分别3和6，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 12 B. 13 C. 15 D. 12或15 7. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点．则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，______，求提速前列车的平均速度．设列车提速前的平均速度是，则可得方程为，根据此情境，题中“____”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ） A. 提速后比提速前多行驶 B. 提速后比提速前少行驶 C. 提速后比提速前多行驶 D. 提速后比提速前少行驶 9. 如图，在等边中，D是线段上一点，以D为圆心，的长为半径画弧交的延长线于E，若，，则的周长是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 10. 若实数a、b满足，则最小值为（ ） A. 0 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，第16题每空2分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 12. 分解因式：______． 13. 已知，则分式的值为______． 14. 如图，点在外且满足，的角平分线交的延长线于点，若，则的度数是______． 15. 如图，，以O为圆心，4为半径画弧，分别交射线，于C，D两点，再分别以C，D为圆心，3为半径画弧，两弧在内部相交于点E，连接，，则四边形的面积为______． 16. 如图，在中，，与的角平分线交于点，连接，则______，若，，，则______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）先化简，再求值：，其中； （2）解分式方程：． 19. 如图，各顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）的面积是______； （3）x轴上有一点P，使最小，此时的最小值为______． 20. 下面是小明“作等腰三角形底边上中线”的尺规作图过程． 已知：如图，在中，． 求作：等腰三角形边上的中线． 作法： 分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； 作直线交于点； 所以就是所求作的等腰三角形边上的中线． 根据小明的尺规作图过程，解决下面的问题： （1）使用没有刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）证明：是的中点． 21. 如图，在中，，垂足为点D，，，． （1）求证； （2）若平分交于点P，求的长． 22. 如图，在中，，，D是的中点，分别过点A、D作直线，直线、之间的距离为7，过点B作于点M，延长交于点N． （1）求的值； （2）若，求的长． 23. 两个工程队共同参与一项筑路工程，已知甲队工作效率是乙队工作效率的2倍，甲队先单独施工30天，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，总工程全部完成． （1）求乙队单独完成筑路工程需要多少天？ （2）若先将甲、乙两队工作效率均提高，再共同完成这项筑路工程，能否在30天内完成该项工作？并说明理由． 24. 已知关于x的代数式，代数式（a、b为常数）． （1）A是一个关于x完全平方式，则a的值为______； （2）若，求的值； （3）若，对于任意实数x，都有，求的取值范围． 25. 综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题： 如图，，，，，垂足分别为，，，，长为______； 【变式思考】 （2）如图，，，，于，，，求的长； 【拓展运用】 （3）如图，在中，，是高．若，求长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符． 4．答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 近年来我国芯片技术突飞猛进，某品牌手机自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为米，将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 详解】解： 故选：D 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 5. 多项式有一个因式是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用因式的性质，若是多项式的因式，则当时，该多项式的值为，代入计算即可求出的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵多项式有一个因式是， ∴当时，， 将代入得：， 即， ∴， 故选：． 6. 一个等腰三角形的两条边长分别3和6，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 12 B. 13 C. 15 D. 12或15 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义，分两种情况：①腰长为3，底边长为6；②腰长为6，底边长为3，然后结合三角形的三边关系验证是否都成立，最终求出满足题意的三角形的周长． 【详解】解：一个等腰三角形的两条边长分别3和6， 由等腰三角形的性质，分两种情况讨论：①腰长为3，底边长为6；②腰长为6，底边长为3， 当腰长为3，底边长为6时， 由于，结合三角形三边关系可知此情况的3条边长无法构成三角形，故该三角形不存在； 当腰长为6，底边长为3时，3条边长可以构成三角形，故该等腰三角形的周长是； 综上所述，该等腰三角形的周长是， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义及三角形三边关系判定已知三边是否构成三角形，熟练把握等边三角形有两条边相等进行分类讨论是解决问题的关键． 7. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点．则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，连接，由垂直平分线的性质可得，先通过勾股定理求得，设，则，再根据勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：． 8. 某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，______，求提速前列车的平均速度．设列车提速前的平均速度是，则可得方程为，根据此情境，题中“____”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ） A. 提速后比提速前多行驶 B. 提速后比提速前少行驶 C. 提速后比提速前多行驶 D. 提速后比提速前少行驶 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设提速前平均速度为，则提速后速度为，根据时间等于路程除以速度，结合方程两边的式子可得答案． 【详解】解：设提速前平均速度为，则提速后速度为， 方程左边表示提速前行驶所用的时间，方程右边表示提速后行驶所用的时间， ∵方程表示两者时间相同 ∴说明相同时间内，提速后比提速前多行驶 ∴补充条件为选项A， 故选：A． 9. 如图，在等边中，D是线段上一点，以D为圆心，的长为半径画弧交的延长线于E，若，，则的周长是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边对等角和三角形内角和定理，延长到点F，使得，连接，证明，，则可证明，得到，进而可证明是等边三角形，得到，据此根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，延长到点F，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长， 故选：A． 10. 若实数a、b满足，则的最小值为（ ） A. 0 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先对已知等式移项凑因式分解形式，得到变量约束条件，再分别代入目标式，结合平方的非负性找到最小值，确定最终答案． 【详解】解：∵， ∴，因式分解得， ∴或． 情况1：当时，， ∵， ∴ 表达式的最小值为； 情况2：当时，， ∵， ∴， 表达式的最小值为． 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，第16题每空2分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 已知，则分式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知等式得到a与b的数量关系，再通过代入消元将分式转化为只含单一字母的式子，最后依据分式的基本性质约分求值． 【详解】解：∵ ∴，且（若，则，与矛盾） 将代入，得 故答案为：． 14. 如图，点在外且满足，的角平分线交的延长线于点，若，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质，等边对等角，三角形内角和定理，角平分线定义，设，根据三角形外角性质可得，再由等边对等角得，则通过三角形内角和定理求得，所以，再通过角平分线定义可得，最后由角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，，以O为圆心，4为半径画弧，分别交射线，于C，D两点，再分别以C，D为圆心，3为半径画弧，两弧在内部相交于点E，连接，，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，勾股定理，可证明垂直平分，得到，，证明是等边三角形，得到，则，利用勾股定理求出的长，再根据可得答案． 【详解】解：如图所示，连接交于点T， 由作图方法可知，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，与的角平分线交于点，连接，则______，若，，，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等角对等边，三角形内角和定理等知识，由题意可得平分，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求出度数；过作，交延长线于点，设点到三边的距离为，则，通过等角对等边，勾股定理求得，，然后通过等面积法即可求出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵与的角平分线交于点， ∴点到三边的距离相等， ∴平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过作，交延长线于点，则， 设点到三边的距离为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式乘法法则计算第一项，化简第二项的二次根式，再根据零指数幂的定义计算第三项，最后合并同类二次根式并计算常数项． （2）分别利用完全平方公式和平方差公式展开多项式，去括号后合并同类项得到最终结果． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. （1）先化简，再求值：，其中； （2）解分式方程：． 【答案】（1）化简为，值为； （2） 【解析】 【分析】（1）先计算括号内的分式减法(通分后利用完全平方公式因式分解)，再对括号外的分式进行因式分解，将除法转化为乘法后约分得到最简式，最后代入的值并分母有理化； （2）先确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母化为整式方程，解整式方程后，检验所得解是否使原方程分母不为零． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式． （2）解：方程两边同时乘以最简公分母，得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：，即， 系数化为1得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 19. 如图，各顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）的面积是______； （3）x轴上有一点P，使最小，此时的最小值为______． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称的性质，两点间的距离公式，熟知轴对称的相关知识是解题的关键． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）利用割补法求解即可； （3）作点C关于x轴的对称点D，连接，可证明当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，利用两点间的距离公式求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：由题意得，； 【小问3详解】 解：如图所示，作点C关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长， 由（1）可知，， ∴， ∴的最小值为． 20. 下面是小明“作等腰三角形底边上的中线”的尺规作图过程． 已知：如图，在中，． 求作：等腰三角形边上的中线． 作法： 分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； 作直线交于点； 所以就是所求作的等腰三角形边上的中线． 根据小明的尺规作图过程，解决下面的问题： （1）使用没有刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）证明：是的中点． 【答案】（1）作图见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作线段的垂直平分线，垂直平分线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意作法即可求解； （）连接，，通过垂直平分线的判定即可求证． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 证明：如图，连接，， 由作图可知，， ∴在垂直平分线上， ∵， ∴在垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴是的中点． 21. 如图，在中，，垂足为点D，，，． （1）求证； （2）若平分交于点P，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，证明是解题的关键． （1）利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，再证明，据此可证明结论； （2）过点P作于点E，由角平分线的性质得到，根据列式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形，； 【小问2详解】 解：如图所示，过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，，D是的中点，分别过点A、D作直线，直线、之间的距离为7，过点B作于点M，延长交于点N． （1）求的值； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，完全平方公式，证明是解题的关键． （1）根据题意可得，，则可利用证明，得到，再由线段的和差关系可得答案； （2）利用完全平方公式得到，则可求出，结合勾股定理可得答案． 【小问1详解】 解：∵，，直线、之间的距离为7， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）． 23. 两个工程队共同参与一项筑路工程，已知甲队工作效率是乙队工作效率的2倍，甲队先单独施工30天，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，总工程全部完成． （1）求乙队单独完成筑路工程需要多少天？ （2）若先将甲、乙两队工作效率均提高，再共同完成这项筑路工程，能否在30天内完成该项工作？并说明理由． 【答案】（1）105天 （2）能在30天内完成该项工作 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设乙队单独完成筑路工程需要天，则甲队单独完成筑路工程需要x天，把工作总量看成单位“1”，根据甲、乙的工作总量之和为1建立方程求解即可； （2）设需要m天完成该项工作，把工作总量看成单位“1”，根据甲、乙的工作总量之和为1建立方程求出m的值，再与30比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：设乙队单独完成筑路工程需要天，则甲队单独完成筑路工程需要x天， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：乙队单独完成筑路工程需要105天； 【小问2详解】 解：能在30天内完成该项工作，理由如下： 设需要m天完成该项工作， 由题意得，， 解得， ∵， ∴能在30天内完成该项工作． 24. 已知关于x的代数式，代数式（a、b为常数）． （1）A是一个关于x的完全平方式，则a的值为______； （2）若，求的值； （3）若，对于任意实数x，都有，求的取值范围． 【答案】（1）0 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方式的特点可得，据此可得答案； （2）根据可推出，解方程求出a、b的值即可得到答案； （3）可求出，由对于任意实数x，都有，得到，据此求出b的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵是一个完全平方式， ∴两平方项为，一次项为， ∴根据完全平方式的结构特征，有， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵代数式，代数式，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵代数式，代数式， ∴ ， ∵对于任意实数x，都有， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 25. 综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题： 如图，，，，，垂足分别为，，，，的长为______； 【变式思考】 （2）如图，，，，于，，，求的长； 【拓展运用】 （3）如图，在中，，是高．若，求长的最小值． 【答案】（）；（）；（）长的最小值为． 【解析】 【分析】（）利用同角的余角相等证明，再利用“”证明，根据全等三角形的性质即可求解； （）过点作于点，证明，得出，然后通过勾股定理得出答案； （）过点作，使，过点作于点，连接，，证明，得出，证出，则可得出答案． 【详解】解：（）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； （）过点作，使，过点作于点，连接，，则， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，同角的余角相等，直角三角形的性质，两点之间线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $