第1章 专题4 构造等腰三角形的常用方法-（配套课件）【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练（北师大版·新教材）

勤为径图书 导基础 练能力 验成果 立足教材 巩固新知 夯实基础 击破重难 强化应用 提升能力 查缺补漏 拓展训练 从容备考 基础性 综合性 应用性 创新性 一书多册 互为补充 学习更高效 勤为径图书 数 学 北师版 八年级下册 第一章 三角形的证明及其应用 专题4　构造等腰三角形的常用方法 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 利用平行线构造等腰三角形　　 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，在AC上取点E，在AB的延长线上取点D，使BD＝EC，连接DE交BC于点F.求证：DF＝EF. 1题图 证明：如答图，过点E作EG∥AB，交BC于 点G，则∠CGE＝∠ABC，∠GEF＝∠D， ∠DBF＝∠EGF. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C， ∴∠C＝∠EGC，∴CE＝EG. ∵CE＝BD，∴BD＝GE. 1题答图 在△DBF和△EGF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DBF＝∠EGF，,DB＝EG，,∠D＝∠GEF，)) ∴△DBF≌△EGF(ASA)， ∴DF＝EF. 角平分线＋垂线→等腰三角形　　 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于点E.求证：BE＝ eq \f(1,2)(AC－AB). 2题图 证明：延长BE交AC于点F，如答图． ∵BF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEF. ∵AD平分∠BAC， 2题答图 ∴∠BAE＝∠FAE. 在△ABE和△AFE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEB＝∠AEF，,AE＝AE，,∠BAE＝∠FAE，)) ∴△ABE≌△AFE(ASA)， ∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF. ∵∠C＋∠CBF＝∠AFB＝∠ABF， ∠ABF＋∠CBF＝∠ABC＝3∠C， ∴∠C＋2∠CBF＝3∠C， ∴∠CBF＝∠C，∴BF＝CF， ∴BE＝ eq \f(1,2)BF＝ eq \f(1,2)CF. ∵CF＝AC－AF＝AC－AB， ∴BE＝ eq \f(1,2)(AC－AB). 利用截长补短法构造等腰三角形　　 3．如图，∠BAD＝120°，BD＝DC，AB＋AD＝AC．求证：AC平分∠BAD． 3题图 证明：如答图，延长BA到点E，使AE＝AD， 连接DE. ∵AB＋AD＝AC， ∴BE＝AB＋AE＝AB＋AD＝AC． ∵∠BAD＝120°，∴∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， 3题答图 ∴DE＝AD，∠E＝60°. 又∵BD＝DC， ∴△BDE≌△CDA， ∴∠CAD＝∠E＝60°， ∴∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°， ∴AC平分∠BAD． 4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C．求证：AB＋BD＝AC． 4题图 证明：在边AC上截取AP＝AB，连接PD． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠PAD． 在△ABD和△APD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AP，,∠BAD＝∠PAD，,AD＝AD，)) ∴△ABD≌△APD(SAS)， ∴∠APD＝∠B，∴PD＝BD． ∵∠B＝2∠C，∠APD＝∠PDC＋∠C， ∴∠PDC＝∠C，∴PD＝PC，∴BD＝PC， ∴AB＋BD＝AP＋PC＝AC． $