8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 （教学课件） 数学人教A版必修第二册

第8章 立体几何初步 8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 人教A版· 必修第二册· 学习目标 1.借助长方体模型，直观认识空间中点与直线、点与平面的位置关系，能准确描述并举例说明。 2.理解空间中直线与直线的三种位置关系（相交、平行、异面），重点掌握异面直线的定义与判定方法。 3.掌握空间中直线与平面、平面与平面的位置关系，能熟练运用图形语言和符号语言表示各类位置关系。 4.通过观察、探究、推理等活动，提升空间想象能力和逻辑推理素养，体会立体几何的研究方法。 目录 CATALOG 01. 空间中直线与直线的位置关系 03.题型强化训练 02.直线与平面、平面与平面的位置关系 04.小结及随堂练习 01 空间中直线与直线的位置关系 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 导入新知1：“家具组装中的空间奥秘” 生活中平板家具组装场景里，衣柜、书桌的木板、金属杆，对应着立体几何中的平面和直线。组装衣柜时，背板与侧板的贴合情况、竖杆与横杆的连接差异、固定螺丝与底板平面的摆放方式，都藏着空间中点、直线、平面的位置关系。 1. 衣柜的背板和侧板所在的平面，它们的公共部分是什么形状？两者的位置关系有什么特点？ 2. 衣柜的竖杆和横杆，有的能稳稳连接在一起，有的却完全不相交，它们的位置关系有什么不同？ 3. 用来固定衣柜的长螺丝所在的直线，和衣柜的底板所在平面，可能有几种摆放方式？ 导入新知2：“校园路线规划大挑战” 从教学楼教室前往操场篮球场的路线中，蕴含着丰富的“线”和“面”相关的空间知识。教室地面与操场地面、林荫道路灯杆、教室窗户伸出的拖把杆，各自对应着平面与平面、直线与直线、直线与平面的位置关系。 1. 教室的地面和操场的地面，它们是完全分开还是有连接部分？若两个地面无限延伸，会有公共点吗？ 2. 林荫道两旁的路灯杆所在的直线没有交点，这和我们数学里说的“平行”是一回事吗？ 3. 从教室窗户伸出的拖把杆，它所在的直线与教学楼的墙面所在平面，可能存在几种不同的位置关系？ 复习旧知 基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 基本事实2： 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这 个平面内． 基本事实2用符号表示为 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ⇒ l⊂α． 基本事实3： 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 一条过该点的公共直线． 基本事实3用符号表示为 P∈α，且P∈β ⇒ α∩β=l，且P∈l． 复习旧知 基本事实1和2的三个推论： 推论一 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论二 经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论三 经过两条平行直线，有且只有一个平面． 复习旧知 文字语言 符号语言 图形语言 1 2 3 前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系： 复习旧知 文字语言 符号语言 图形语言 4 5 6 7 学习新知 前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如点在平面内，直线在平面内，两个平面相交，等等．空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？ 长方体是我们熟悉的空间几何图形，下面我们借助长方体进一步研究空间中点、直线、平面之间的位置关系． 学习新知 【观察】 我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面．12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面．观察如图8.4-11所示的长方体，你有发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？ A B C D 图8.4-11 学习新知 观察你所在的教室，你能找到上述位置关系的一些实例吗？ 你能再举出一些表示这些位置关系的其他实例吗？ 空间中点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外． 空间中点平面的位置关系也有两种： 点在平面内和点在平面外． 下面我们研究空间中直线、平面之间的位置关系． A B C D 图8.4-11 学习新知 1．空间中直线与直线的位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（skew lines）． A B C D 图8.4-11 学习新知 于是，空间两条直线的位置关系有三种∶ 平行直线 共面直线 异面直线 相交直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 在同一平面内，没有公共点 在同一平面内，有且只有一个公共点 (1) (2) (3) 学习新知 这样，空间中两条直线平行和我们学过的平面上两条直线平行的意义是一致的，即首先这两条直线在同一平面内，其次是它们不相交． 如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图8.4-12 所示， a b b a 图8.4-12 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求异面直线所成的角 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 02 直线与平面、平面与平面的位置关系 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 学习新知 2．空间中直线与平面的位置关系 在图8.4-11中 直线AB与平面ABCD有无数个公共点， 直线AA'与平面ABCD只有一个公共点， 直线A'B'与平面ABCD只没有公共点． A B C D 图8.4-11 于是，空间两条直线的位置关系有三种∶ 直线在平面内 直线与平面有无数个公共点 直线在平面外 直线与平面相交 直线与平面有且只有一个公共点 直线与平面平行 直线与平面没有公共点 学习新知 一般在作图时， 直线a在平面α内，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内; 直线a在平面α外，应把直线a或它的一部分画在表示平面α的平行四边形外. (直线在平面内) (直线与平面平行) (直线与平面相交) 学习新知 3．空间中平面与平面的位置关系 在图8.4-11中， 平面ABCD与平面A'B'C'D'没有公共点； 平面ABCD与平面BCC'B'有一条公共直线BC． A B C D 图8.4-11 我们可以看出，两平面的位置关系有且只有以下两种： 两平面有一条公共直线 两平面相交 两平面没有公共点 两平面平行 画两个互相平行的平面时，要注意使表示 平面的两个平行四边形的对应边平行 学习新知 【探究】 A B C D 图8.4-15 与其他同学交流一下你的结果 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面关系有关命题的判断 学习新知 例1： 如图8.4-16，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系． 【分析】 【解析】 根据图形，先判断直线、平面之间的位置关系， 然后用符号表示出来． A B l (1) a a b l (2) P 学习新知 【答案】 C D A B 【知识点】判断图形中的线面关系、判断图形中的面面关系 【分析】根据空间中点线面的几何表示即可逐一求解. 学习新知 直线与平面位置关系的解题思路 解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征,利用其定义作出判断,要有画图意识,并借助空间想象能力进行细致的分析. 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 充要条件的证明、线面关系有关命题的判断 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 学习新知 例2： 【解析】 A B a 图8.4-17 学习新知 例2 告诉我们一种判断异面直线的方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线． 学习新知 【变式】 a，b是异面直线，P为空间中不在a，b上的一点，下列命题正确的个数为（ ） ①过点P总可以作一条直线和a，b都垂直； ②过点P总可以作一条直线和a，b都相交； ③过点Р总可以作一个平面和a，b都平行； ④过点Р总可以作一条直线与a，b之一垂直与另一条平行； ⑤过点Р总可以作一个平面与a，b之一垂直与另一条平行． A．0 B．1 C．2 D．3 学习新知 学习新知 (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法； (2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点. 直线与平面位置关系的判断 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 03 题型强化训练 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 能力提升 【练习1】 题型一 直线与直线位置关系的判断 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各面的12条对角线中， 与正方体的对角线A1C垂直的共有 条． 【详解】如图所示BD⊥平面ACC1A1∴BD⊥A1C，又∵BD∥B1D1 ∴B1D1⊥A1C，AD1⊥平面AD1C1B∴A1C⊥AD1，AD1∥BC1 ∴BC1⊥A1C又∵AB1⊥平面A1BCD1，AB1⊥A1C， AB1∥DC1，DC1⊥A1C. 符合题意的直线有BD、B1D1、AD1、BC1、AB1、DC1， 共6条． 故答案为6． 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 能力提升 题型一 直线与直线位置关系的判断 【感悟提升】 通性通法 1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍 (1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线； (2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系． 能力提升 【练习2】 题型二 空间直线与平面位置关系的判断 能力提升 【详解】 能力提升 题型二 空间直线与平面位置关系的判断 【感悟提升】 直线与平面位置关系的判断方法 1.空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行; 2.在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏; 能力提升 题型二 空间直线与平面位置关系的判断 【感悟提升】 直线与平面位置关系的判断方法 3.空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，我们可以借助模型(如正方体、长方体等)，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．也是解决这类问题的有效方法； 4.要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点． 能力提升 【练习3】 题型三 平面与平面位置关系的判断 能力提升 题型三 平面与平面位置关系的判断 【感悟提升】 平面与平面位置关系的判断方法 1.平面与平面的位置关系有两种：平行和相交．相交的判断主要是以基本事实3为依据找出一个交点，平面与平面平行的主要特点是没有公共点． 2.牢牢抓住其特征和定义，把文字语言或符号语言转化，结合空间想象全方位、多角度思考，特别是特殊情况，要学会举反例否定． 3.判定两个平面平行，可根据定义判定两个平面没有公共点，也可以排除两个平面相交，从而判定两平面平行． 通性通法 1．平面与平面的位置关系的判断方法 (1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点； (2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点． 2．常见的平面和平面平行的模型 (1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行； (2)长方体的六个面中，三组相对面平行. 04 小结及随堂练习 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 课堂总结1 1．知识清单： (1)两直线的位置关系． (2)直线与平面的位置关系． (3)平面与平面的位置关系． 2．方法归纳：举反例、特例． 3．常见误区：异面直线的判断． 课堂总结1 直线在平面内 直线在平面外 直线与平面平行 直线与平面相交 直线与平面有无数个公共点 直线与平面有且只有一个公共点 直线与平面没有公共点 共面直线 异面直线 平行直线 相交直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 在同一平面内，没有公共点 在同一平面内，有且只有一个公共点 两平面平行 两平面没有公共点 两平面相交 两平面有一条公共直线 课堂总结2 作业 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 教材第 131 页练习第 2,4 题 练习（第131页） D 两直线平行与异面时都没有公共点 D A B C D A B C D 3．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． 也可能直线在平面内 × × × √ 习题8.4（第131页） a b A c A B C D l C B a 3．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． √ × × c b a A B C A C B D a b l 2 a b c 平行或在这个平面内 a a b b 5．正方体各面所在平面将空间分成几部分？ 解析：正方体各面所在平面分空间为27部分． 6．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面吗？请说说你的理由． 两条平行直线确定唯一的平面，第三条直线有两个点在此平面内，则第三条直线也在这个平面内，所以这三条直线共面． a b A B c 7.如图,三条直线两两平行且不共面,每两条直线确定一个平面,一共可以确定几个平面?如果三条直线相交于一点,它们最多可以确定几个平面? 三条直线两两平行且不共面，一共可以确定三个平面；如果三条直线相交于一点，则最多可以确定三个平面． (第7题) (第8题) 9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？ 还原正方体如图，直线EF和直线HG异面，直线AB和直线HG异面，直线AB和直线CD异面． A C B D G H E F A F(B) D H E G(C) 10．在本节，我们学习了平面，了解了它的基本特征以及一些利用点、直线、平面等组成立体图的基本元素刻画这些特征的方法．类似地，直线有什么基本特征？如何刻画直线的这些基本特征？ 直线是直的，是无限延伸的，没有粗细． 人教A版· 必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 1. 在直三棱柱 中，侧棱长为3，底面是边长为4的正三角形，则异面直线 与 所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【详解】如图，取中点分别为，连接. 则，从而为异面直线与所成角或所成角补角. 由题目数据，可得.取中点为， 连接，则.从而，又异面直线夹角范围为. 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D    2. 已知三个不同的平面 ， ， 和三条不同的直线 ， ， ，下列命题中为假命题的是（   ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ， ， ，则 D．若 ， ，则 【详解】因为，，所以，A正确； 若，，则或，B不正确； 因为，，，所以，因为，，， 根据线面平行的性质定理，所以，又，所以，C正确； 因为，，所以，D正确. 故选：B 3. 已知两条不重合的直线 与两个不重合的平面 ，则下列说法不正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【详解】A选项，若，的位置关系不确定，可能， 还可能，或相交但不垂直，A选项错误； B选项，若，垂直于同一条直线的两平面平行，即，B选项正确； C选项，根据线面垂直的性质可知，，C选项正确； D选项，若，根据线面平行的判定可知，，D选项正确. 故选：A 4. 已知 为三条不同的直线， 为三个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 【详解】A选项，当时，不成立，故A错误； B选项，当时，可以符合，而不符合，故B错误； C选项，设，；在内过上一点P作直线， 则，故；再作直线，则，故； 由于与相交于，，故C正确； D选项，当时，不成立，故D错误； 故选：C. 5.已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面 ，于是可得到（   ） A．若 ，则 . B．若a，b是一对异面直线，且 ，则 . C．若 ，则 . D．若 ，则 . 【详解】对于A，若，则直线a，b的关系可以平行，相交或异面，A不正确； 对于B，在空间中取一点，不在平面内，过作直线，因为是异面直线， 所以是相交直线，设它们所确定的平面为，由可得； 同理；又, ，所以；同理可得，故，B正确； 对于C， ，若，此时与不垂直，C不正确； 对于D，，则也可能与平行，D不正确. 故选：B A． B．    C． D． （1） ， ： ； （2） ， 且 ： ； （3） ， ： ； （4） ， ， ， ： ． 把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上． 6.设l，m为两条不同直线， 为三个不同平面，则下列命题正确的是（   ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【详解】对于A，与可能相交（如墙角的三个平面），故A错误； 对于B，应推出，故B错误； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，若，则或， 又因为，则，故D正确.   故选：D 7. 已知a，b是两条不同的直线，且 平面 ，则“ ”是“ 平面 ”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【详解】因为平面，，所以平面， 所以“”是“平面”的充分条件； 由于平面，平面，所以， 所以综上，“”是“平面”的充要条件. 故选：C. 8. 设 为两条不同直线， 为三个不同平面，则下列命题正确的是（   ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 且 ，则 【详解】对于A，与可能相交（如墙角的三个平面）； 对于B，因为，所以在内存在直线使得，由得，故； 对于C，应推出； 对于D，由且，由面面垂直的判定定理， 若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直， 这里缺少这个条件，所以不能得出，故D错误； 故选：B． 【详解】对①：由于 是异面直线，将其平移到过点 的直线 ，则 相交 于点 ，所以 确定平面 ，而过点 有且只有一条直线 与 垂直，则①正确； 对②：当点Р与直线 所确定的平面与 平行时，不满足，则②错误； 对③：当点Р与直线 所确定的平面与 平行时，不满足，则③错误； 对④：异面直线 所成角不是 时，过 点不可以作一条直线与 之一垂直与 另一条平行，则④错误； 对⑤：异面直线 所成角不是 时，过 点不可以作一个平面与 之一垂直与 另一条平行，则⑤错误； 故选：B 9. 已知平面 ，直线 ，下列命题为真的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【详解】对于A，若，则或与相交或，故A错误， 对于B，若，由面面平行与面面垂直的性质得，故B正确， 对于C，若，则或相交或异面，故C错误， 对于D，若，则或相交，故D错误. 故选：B 已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，且 ，则“ ”是“ ”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】如图，，若， 则与相交或异面，不一定垂直； 若，则不一定成立.   所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 判定两条直线是异面直线的方法 (1)定义法：由定义判断两条直线不可能在同一平面内． (2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线， 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线． 用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)． 下列命题正确的是 　 A．若直线 ，则 平行于经过 的任何平面 B．若直线 和平面 满足 ，则 与 内任何直线平行 C．若直线 ， 和平面 满足 ， ，则 D．若直线 ， 和平面 满足 ， ， ，则 对于 ，如果 ， 是两条直线，且 ，那么 平行于经过 ，但不经过 的任何平面，故 错误； 对于 ，如果直线 和平面 满足 ，那么 与 内的直线有两种位置关系，平行或异面，故 错误； 对于 ，如果直线 ， 和平面 满足 ， ，那么 与 的位置关系有平行、相交或异面，故 错误； 对于 ，如果直线 ， 和平面 满足 ， ， ，那么 ，故 正确． 故选： ． 【详解】对于A选项，n⊂α，m∥n，则m∥α或m⊂α，故A错误； 对于B选项，n⊂α，m⊥n，则m⊥α或m⊂α或m∥α或 ， 相交，故B错误； 对于C选项，α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，故C错误； 对于D选项，m⊥β，m⊂α，则必有α⊥β，故D正确， 故选：D． 已知互不重合的直线m，n，互不重合的平面α，β， 下列命题正确的是（　　） A．若n⊂α，m∥n，则m∥α B．若n⊂α，m⊥n，则m⊥α C．若α∥β，m∥α，则m∥β D．若m⊥β，m⊂α，则α⊥β $