（总集篇）第二单元圆柱和圆锥·总集篇·八种综合性问题【八大考点】-2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」（原卷版+解析版）苏教版

多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 10】数学创作社 2026年1月26日晚 第1页共52页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春】 第二单元圆柱和圆锥•总集篇八种综合性问题【八大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 第二单元圆柱和圆锥·总集篇·八种综合性问题 知专题内容 本专题介绍圆柱圆锥中的八种综合性问题，包括圆柱与圆锥的切拼问题、圆柱 与圆锥的旋转构成问题、圆柱与圆锥的关系问题、圆柱与圆锥的两种关系变化 问题、圆柱与圆锥的等积变形问题、排水法求不规则物体的体积问题、含圆柱 圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积问题、圆柱圆锥中的注水运动问 题等内容。 @评价体系 基础：★：迁移：★★：综合：★★★；多维度：★★★★：重难点：★★★★★ 旦讲解建议 “总集篇”是对热点、重点、难点内容的阶段性总结，适用于系统复习和综合 训练，考点内容丰富，考查难度较大，考题形式多样，建议根据学生实际掌握 情况和总体水平，选择性进行讲解。 回考点数量 八大考点 第二篇章 考点导航篇 原【考点一】问题一：圆柱与圆锥中的切拼问题… .4 原【考点二】问题二：圆柱与圆锥中的旋转构成问题… .13 月【考点三】问题三：圆柱与圆锥的关系问题23 冥【考点四】问题四：圆柱与圆锥中的两种变化关系问题… .33 只【考点五】问题五：圆柱与圆锥中的等积变形问题… .35 冥【考点六】问题六：排水法求不规则物体的体积… ..40 第2页共52页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 只【考点七】问题七：求含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积43 只【考点八】问题八：圆柱圆锥中的注水运动问题… 46 第3页共52页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 原【考点一】问题一：圆柱与圆锥中的切拼问题 方法点拨 立体图形的切拼问题是小学数学中典型且颇具难度的问题。这类问题在 分析与思考过程中带有一定抽象性，需要具备基本的空间想象能力，因此部 分同学在学习掌握时会感到吃力。建议同学们在理解时尝试绘制示意图，解 题时留意切拼后的变化规律，下面是圆柱圆锥中典型的几种切拼问题变化思 路： 1.圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际 上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即 底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2.圆柱中横切引起的表面积变化。 横切引起的表面积变化，即沿着底面或平行于底面的方向将圆柱切一刀， 此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，如果将圆柱截成几个小 圆柱，增加的表面积为2(n一1)个底面的面积(n为截成的小圆柱的个数)， 与之相反，多个底面相同的小圆柱拼成一个大圆柱，减少的表面积为2（一 1)个底面的面积(n为小圆柱的个数)。 3.圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切引起的表面积变化，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个 面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4.圆锥中竖切引起的切面积变化。 如图所示，将圆锥沿着高垂直切成两个完全相同的半圆锥，截面是等腰 三角形，且等腰三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，所以增加的 两个截面的面积=圆锥的底面直径×圆锥的高。 第4页共52页 命学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 5.圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成 个近似的长方体，此时拼成的长方体会比圆柱多2个面积大小为r的长方形。 目考察形式 填空、选择、应用 蜀动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题1】圆柱中高的增减变化引起的表面积变化 一根高8分米的圆柱木料，如果把它的高截短3分米，表面积就减少18.84平方分米，这根圆 木体积是多少立方分米？ 【答案】25.12立方分米 【分析】根据题意可知：如果把圆柱的高截短3分米，表面积就减少18.84平方分米，表面积 减少的是高为3分米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：S=ch,用侧面积除以3求出 底面周长，进而求得底面半径，再根据圆柱的体积公式：V=πr2h,把数据代入公式解答。 【详解】18.84÷3=6.28（分米） 6.28÷3.14÷2 =2÷2 =1(分米) 3.14×1×1×8 =3.14×8 =25.12(立方分米) 答：这根圆木体积是25.12立方分米。 【点晴】此题主要考查圆柱的侧面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 肥【对应练习】 一个圆柱体（如图），如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少942平方厘米。这个圆柱 体积原来是多少立方厘米？ 第5页共52页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 12厘米 【答案】1177.5立方厘米 【分析】表面积减少的侧面积，减少的侧面积·截短的高=圆柱底面周长，底面周长÷π2=底 面半径，再根据圆柱体积=底面积×高，求出原来体积即可。 【详解】94.2÷3=31.4（厘米） 31.4÷3.14÷2=5(厘米) 3.14×52×(12+3) =3.14×25×15 =1177.5(立方厘米) 答：这个圆柱体积原来是1177.5立方厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱侧面积和体积公式。 吕【典型例题2】圆柱中横切引起的表面积变化 把一根长10米的木料锯成一样长的两段，结果表面积增加了6.28平方米，这根木料原来的体 积是多少立方米？ 【答案】31.4立方米 【分析】根据题意，这个木料长是10米；锯成两段，增加的面积等于两个底面积的和；用增 加的面积2，求出圆柱的底面积：再根据圆柱的体积公式：体积=底面积×高，代入数据，即 可解答。 【详解】(6.28÷2)×10 =3.14×10 =31.4(立方米) 答：这根木料原来的体积是31.4立方米。 【点睛】解答本题的关键明确增加的面积和原来圆柱底面的关系：再结合圆柱的体积公式，进 第6页共52页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 行解答。 肥【对应练习】 一根长12分米，横截面直径是4厘米的圆柱形木棍，将它平均截成三段，然后全部涂上颜色， 涂色部分的面积是多少？ 【答案】1582.56平方厘米 【分析】 如图所示，把这根圆柱形木棍平均截成 增加4个截面的面积 三段后，表面积比原来增加4个截面的面积，S园#=πh+2π2，涂色部分的面积=原来圆柱的 表面积+增加部分的面积，据此解答。 【详解】12分米=120厘米 (3-1)×2 =2×2 =4（个) 3.14×（4÷2)2 =3.14×4 =12.56(平方厘米) 3.14×4×120+12.56×2+12.56×4 =12.56×120+12.56×2+12.56×4 =12.56×(120+2+4) =12.56×126 =1582.56(平方厘米) 答：涂色部分的面积是1582.56平方厘米。 【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，表示出增加部分的面积并掌握圆柱的表面积计算公式 是解答题目的关键。 吕【典型例题3】圆柱中竖切引起的表面积变化 如图，一根圆柱形木料高8分米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时表面积比原来 增加了0.96平方米（π取3.14）。这根圆柱形木料的体积是多少立方分米？ 第7页共52页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 已- 【答案】226.08立方分米 【分析】观察题意可知，圆柱形木料沿底面直径垂直切开，平均分成两部分，表面积增加了2 个长方形，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径；先把0.96平方米化为96平方分米， 然后用96÷2即可求出一个长方形的面积，然后再除以8即可求出底面直径，进而求出底面半 径，最后根据圆柱的体积公式：V=πh,代入数据解答即可。 【详解】0.96平方米=96平方分米 底面直径：96÷2÷8=6（分米） 半径：6÷2=3（分米） 3.14×32×8 =3.14×9×8 =226.08(立方分米) 答：这根圆柱形木料的体积是226.08立方分米。 【点晴】本题主要考查了立体图形的切割以及圆柱的体积公式的灵活应用。 肥【对应练习】 如图，一根圆柱形木料高1米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时表面积比原来增 加了1.8平方米（π取3.14）。 二-0 (1)这根木料原来的表面积是多少平方米？ (2)这根圆柱形木料的体积是多少立方米？ 【答案】(1)4.0977平方米：(2)0.63585立方米 【分析】(1)沿底面直径垂直切开，平均分成两部分，表面积比圆柱多了2个长方形的面积 已知表面积比原来增加了1.8平方米，用1.8÷2即可求出一个长方形的面积，又已知长方形的 长相当于圆柱的高，宽相当于底面直径，用1.8÷2÷1即可求出底面直径：根据圆柱的表面积： 第8页共52页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 S=2π2+πdh求解这根木料原来的表面积即可。 (2)根据圆柱的体积：V=πh求解这根圆柱形木料的体积。 【详解】(1)这根木料的底面直径为：1.8÷2÷1=0.9（米） 底面半径：0.9÷2=0.45（米） 这根木料原来的表面积为： 2×3.14×0.452+3.14×0.9×1 =2×3.14×0.2025+3.14×0.9×1 =1.2717+2.826 =4.0977(平方米) 答：这根木料原来的表面积是4.0977平方米。 (2)3.14×0.452×1 =3.14×0.2025×1 =0.63585(立方米) 答：这根圆柱形木料的体积是0.63585立方米。 【点睛】本题考查了圆柱的表面积公式和体积公式的灵活应用，关键是明确多了哪两个面的面 积。 吕【典型例题4】圆锥中竖切引起的切面积变化 将一个圆锥形糕点沿着高切成两块，表面积比原来增加了42平方厘米，测得圆锥形糕点的高 是7厘米，原来这个圆锥形糕点的体积是多少立方厘米？ 【答案】65.94立方厘米 【分析】把圆锥沿着高切成两块截面是两个等腰三角形，切开之后的表面积比原来增加了两个 三角形的面积，先求出一个三角形的面积，再利用“底=三角形的面积×2÷高”求出三角形的底 边，即圆锥的底面直径，最后利用7-写h~求出圆锥的体积，据此解答。 【详解】底面直径：42÷2×2÷7 =21×2÷7 =42÷7 第9页共52页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =6(厘米) 底面半径：6÷2=3（厘米） 体积：3143x7 (3.14×7)×(写×32) =21.98×3 =65.94(立方厘米) 答：原来这个圆锥形糕点的体积是65.94立方厘米。 【点睛】根据增加部分的面积求出圆锥的底面半径，并掌握圆锥的体积计算公式是解答题目的 关键。 即【对应练习】 一个圆锥的底面半径是3分米。从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积比原来的 圆锥表面积增加了24平方分米。这个圆锥的体积是多少立方分米？ 3分米 【答案】37.68立方分米 【分析】通过观察图形可知，把这个圆锥纵向切开，表面积增加的是两个切面的面积，每个切 面的底等于圆锥的底面直径，每个切面的高等于圆锥的高，根据三角形的面积公式：S=÷2, 那么h=2Sa,据此求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式：V=}h,把数据代入公式解 答。 【详解】24÷2=12（平方分米） 12×2÷(3×2) =24÷6 =4(分米) 3314×32x4 1 =3×3.14×9×4 第10页共52页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2026年1月26日晚 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第二单元圆柱和圆锥·总集篇·八种综合性问题【八大考点】 专题名称 第二单元圆柱和圆锥·总集篇·八种综合性问题 专题内容 本专题介绍圆柱圆锥中的八种综合性问题，包括圆柱与圆锥的切拼问题、圆柱与圆锥的旋转构成问题、圆柱与圆锥的关系问题、圆柱与圆锥的两种关系变化问题、圆柱与圆锥的等积变形问题、排水法求不规则物体的体积问题、含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积问题、圆柱圆锥中的注水运动问题等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 “总集篇”是对热点、重点、难点内容的阶段性总结，适用于系统复习和综合训练，考点内容丰富，考查难度较大，考题形式多样，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性进行讲解。 考点数量 八大考点 【考点一】问题一：圆柱与圆锥中的切拼问题 4 【考点二】问题二：圆柱与圆锥中的旋转构成问题 8 【考点三】问题三：圆柱与圆锥的关系问题 12 【考点四】问题四：圆柱与圆锥中的两种变化关系问题 16 【考点五】问题五：圆柱与圆锥中的等积变形问题 17 【考点六】问题六：排水法求不规则物体的体积 20 【考点七】问题七：求含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积 22 【考点八】问题八：圆柱圆锥中的注水运动问题 24 【考点一】问题一：圆柱与圆锥中的切拼问题 方法点拨 立体图形的切拼问题是小学数学中典型且颇具难度的问题。这类问题在分析与思考过程中带有一定抽象性，需要具备基本的空间想象能力，因此部分同学在学习掌握时会感到吃力。建议同学们在理解时尝试绘制示意图，解题时留意切拼后的变化规律，下面是圆柱圆锥中典型的几种切拼问题变化思路： 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切引起的表面积变化，即沿着底面或平行于底面的方向将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，如果将圆柱截成几个小圆柱，增加的表面积为2（n－1）个底面的面积（n为截成的小圆柱的个数），与之相反，多个底面相同的小圆柱拼成一个大圆柱，减少的表面积为2（n－1）个底面的面积（n为小圆柱的个数）。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切引起的表面积变化，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 圆锥中竖切引起的切面积变化。 如图所示，将圆锥沿着高垂直切成两个完全相同的半圆锥，截面是等腰三角形，且等腰三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，所以增加的两个截面的面积=圆锥的底面直径×圆锥的高。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时拼成的长方体会比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题1】圆柱中高的增减变化引起的表面积变化 一根高8分米的圆柱木料，如果把它的高截短3分米，表面积就减少18.84平方分米，这根圆木体积是多少立方分米？ 【对应练习】 一个圆柱体（如图），如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94.2平方厘米。这个圆柱体积原来是多少立方厘米？ 【典型例题2】圆柱中横切引起的表面积变化 把一根长10米的木料锯成一样长的两段，结果表面积增加了6.28平方米，这根木料原来的体积是多少立方米？ 【对应练习】 一根长12分米，横截面直径是4厘米的圆柱形木棍，将它平均截成三段，然后全部涂上颜色，涂色部分的面积是多少？ 【典型例题3】圆柱中竖切引起的表面积变化 如图，一根圆柱形木料高8分米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时表面积比原来增加了0.96平方米（π取3.14）。这根圆柱形木料的体积是多少立方分米？ 【对应练习】 如图，一根圆柱形木料高1米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时表面积比原来增加了1.8平方米（π取3.14）。 （1）这根木料原来的表面积是多少平方米？ （2）这根圆柱形木料的体积是多少立方米？ 【典型例题4】圆锥中竖切引起的切面积变化 将一个圆锥形糕点沿着高切成两块，表面积比原来增加了42平方厘米，测得圆锥形糕点的高是7厘米，原来这个圆锥形糕点的体积是多少立方厘米？ 【对应练习】 一个圆锥的底面半径是3分米。从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积比原来的圆锥表面积增加了24平方分米。这个圆锥的体积是多少立方分米？ 【典型例题5】圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化 把一个高为6厘米的圆柱体切割成若干等分，拼成一个近似的长方体。长方体的表面积比圆柱的表面积增加了48平方厘米，如下图，请求出原来圆柱体的表面积和体积。 【对应练习】 将一个高是12厘米的圆柱体如图那样切拼，切拼后的立体图形的表面积比圆柱体大120平方厘米。求圆柱体的体积。（π取3.14） 【考点二】问题二：圆柱与圆锥中的旋转构成问题 方法点拨 圆柱与圆锥的旋转构成问题，作为平面图形向立体图形空间转化的核心课题，具有显著的抽象性，要求学习者掌握基础的空间想象能力，以便在几何学习中准确理解旋转过程及其三维形态的形成机制。 1. 圆柱的旋转构成法，即长方形在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，分别以长方形的长和宽为轴旋转一周得到两个圆柱，为轴的边就是圆柱的高（h），与轴相邻的边就是圆柱的底面半径（r）。其中以较短的一条边为轴旋转一周得到的圆柱的体积较大。 2. 圆锥的旋转构成法，是以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周得到一个圆锥，旋转轴所在的直角边就是圆锥的高（h），而另一条直角边就是圆锥的底面半径（r），斜边就是顶点到底面圆周上任意一点的连线。如图所示： 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题1】圆柱的旋转构成方法 画出如图图形绕BD边旋转后的图形，并求出的它的表面积和体积（单位：厘米）。 【对应练习】 如图中的长方形绕它的长或宽旋转一周，可分别得到立标图形A和B。 （1）算一算立体图形A、B的体积。 （2）立体图形A和B的体积之比与原长方形有何关系？（请用数学式子或文字加以说明） 【典型例题2】圆锥的旋转构成法 请你在下图中，选取直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周，所形成的立体图形的体积是多少？ 【对应练习】 如图三角形ABC是一个直角三角形，分别以三条边所在的直线为轴旋转得到三个不同的立体形体，这三个立体图形的体积分别是多少立方厘米？ 【典型例题3】圆柱与圆锥的联动（混合型图形） 小明、小花两人分别以直角梯形的上底、下底和高所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周，得到了甲、乙、丙三个立体图形。小明说：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后甲、乙、丙三个立体图形的体积也相等。小花说：我不同意你的看法，我认为三个立体图形的体积不相等。 你同意谁的说法？甲、乙、丙三个立体图形的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 【对应练习】 请根据下图信息回答问题。 （1）直角梯形ABCD，如果以AB为轴进行旋转，所形成的立体图形是图（     ）；如果以DC为轴进行旋转，所形成的立体图形是图（     ）。 （2）选择其中一个立体图形计算它的体积。 【典型例题4】判断最大体积 下面3张纸的面积都是36平方分米，将这些纸分别按下图所示的方式卷成圆柱，接口处忽略不计。 （1）几号纸卷成的圆柱体积最大？（请写出主要解答过程） （2）通过上面的解答，你有什么发现？ 【对应练习】 将一个直角边分别为8厘米、6厘米的直角三角形，以一条直角边为轴旋转，怎样旋转得到的圆锥的体积最大？（得数保留两位小数） 【考点三】问题三：圆柱与圆锥的关系问题 方法点拨 圆柱与圆锥的关系问题由于涉及的基础知识变量多、题型变化丰富，且涉及比例与倍数关系，常常作为填空题、选择题中的难题出现，解决起来颇具难度。关键在于精准把握二者的基本关系及其变化规律，再结合具体题型灵活应对。 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的，圆锥与圆柱的体积之比是1∶3。 2. 圆柱和圆锥的体积相等时，如果底面积相等，那么圆锥的高是圆柱高的3倍，圆柱的高是圆锥高的。 3. 圆柱和圆锥的体积相等时，如果高相等，那么圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，圆柱的底面积是圆锥底面积的。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题1】基础关系 1．一个圆柱的底面直径是4分米，高5分米，它的体积是( )立方分米，与它等底等高圆锥的体积是( )立方分米。 2．一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆锥的底面半径是圆柱的3倍，那么圆柱与圆锥的体积比是( )。 3．一个高为6厘米的圆锥，体积是75.36立方厘米，与它体积相等，底面积也相等的圆柱，高是( )厘米。 【对应练习】 1．如果圆柱的体积是48dm3，则与它等底等高的圆锥体积是( )dm3。 2．如图，先将甲容器注满水，再将水倒入乙容器，这时乙容器中的水高( )cm。 3．一个圆柱和一个圆锥的体积比是3∶4，底面半径的比为2∶3，圆柱与圆锥的高之比是( )。 【典型例题2】基本问题 1．等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是。圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 2．一个圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多，圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 【对应练习】 1．把一个圆柱削成最大的圆锥后，圆锥体积比圆柱体积少24π立方分米。如果圆锥的底面半径是3分米，圆柱的高是( )分米。 2．小悦同学用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积比圆锥的体积大( )立方厘米。 【典型例题3】稍复杂的问题其一 一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的底面直径和高都是14厘米，其中有一些水，正放时水面离容器顶部11厘米，倒放时水面离容器顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（） 【对应练习】 用底面半径和高分别是6厘米、12厘米的空心圆锥和空心圆柱各一个，组成竖放的容器如图。在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还填了部分圆柱，圆柱部分的细砂高2厘米。若将这个容器上面封住并倒立，细沙的高度是多少厘米？ 【典型例题4】稍复杂的问题其二 实验课上，有一个圆锥体容器和一个等底等高的圆柱体容器，李老师拿来一瓶溶液先把它倒入圆锥体容器中，倒满后剩下的又全部倒入圆柱体容器中，刚好倒了这个圆柱体容器的。此时，圆锥体容器中溶液比圆柱体中少140毫升。李老师拿来的这瓶溶液一共有多少毫升？ 【对应练习】 圆柱形容器与一个圆锥形容器等底等高，圆柱形容器内原有8升水，将圆锥形容器盛满水再全部倒入圆柱形容器，容器内的水面上升到处，则圆柱形容器的容积是多少？ 【典型例题5】稍复杂的问题其三 如下图，瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入锥形杯子中，能倒满几杯？ （1）三位同学的方法，你认为正确的在□打√。 （2）你最喜欢（     ）的解答方法，请用你喜欢的解答方法解决下面的问题。 乐乐说：“如果一个圆锥和圆柱的体积和底面积都相等，那么圆锥的高是圆柱的高的3倍”乐乐的说法对吗？为什么？ 【对应练习】 把瓶中的果汁倒入这个圆锥形玻璃杯，最多可以倒满多少杯？（容器壁厚忽略不计） 【考点四】问题四：圆柱与圆锥中的两种变化关系问题 方法点拨 圆柱与圆锥中主要有两种变化关系问题，其一是比例变化关系，其二是倍数变化关系。 一、比例变化关系。 1. 圆柱与比。 （1）当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比： 高之比就是体积之比。 （2）当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比： 底面积之比就是体积之比。 （3）已知底面积之比和高之比，求体积之比： 分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 2. 圆锥与比。 （1）当圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。 （2）当圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。 （3）当圆锥和圆柱如果底面积和高均相等，那么圆锥和圆柱的体积之比是1∶3。 二、倍数变化关系。 圆柱圆锥的体积随着底面积和高的扩大与缩小而变化，其规律与积的变化规律相似，即： 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】比例关系变化 1. 已知两个圆柱的底面积相等，高的比是1∶2，体积比是( )。 2. 填空。 （1）两个圆锥的底面积相等，高比是1∶2，体积比( )。 （2）两个圆锥的高相等，底面积比是2∶3，体积比是( )。 （3）两个圆锥高的比是3∶4，半径比是1∶3，则体积比是多少? 【对应练习】 1. 两个圆柱的高相等，半径比是1∶2，则体积比是多少? 2. 已知两个圆锥的底面半径比是2∶3，高的比是2∶3，则两个圆锥的体积比是多少？ 【典型例题2】倍数关系变化 1. 一个圆锥的高扩大3倍，底面积不变，则体积( )。 2. 一个圆柱的高扩大3倍，底面半径不变，体积扩大( )倍；如果圆柱的高不变，半径扩大3倍，体积扩大( )倍。 【对应练习】 1. 一个圆锥的底面半径扩大2倍，高也扩大2倍，圆锥的体积扩大到原来的( )倍。 2. 一个圆柱的高扩大2倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大( )倍；如果圆柱的高不变，底面半径扩大4倍，则圆柱的体积扩大( )倍。 【考点五】问题五：圆柱与圆锥中的等积变形问题 方法点拨 圆柱、圆锥与长方体、正方体的等积变形问题是较常考察的题型之一，总体来说，难度不大，关键是是抓住“体积不变”，先求出物体的体积，然后根据问题对应图形的体积公式进行解答；也可以根据“变形前的体积=变形后的体积”列方程解答。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题1】基础型问题 将一个长方体铁坯（如下图）锻造成一个底面直径为4厘米的圆柱，圆柱的长是多少？ 【对应练习】 1．一个圆锥形沙堆，底面积是，高是1.2m。用这堆沙在10m宽的公路上铺成1.5cm厚的路面，能铺多少米？ 2．一个装满水的长方体容器，从里面量得长是5cm，宽是4cm，高是3cm。将水全部倒入一个高为6cm的圆锥形容器内，刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 【典型例题2】进阶型问题 如下图，圆柱形容器甲的底面半径是5cm，容器内部是空的；长方体容器乙中的水深6.28cm。现将容器乙中的水全部倒入容器甲中，这时水深多少厘米？ 【对应练习】 沙漏是古人用的一种计时仪器。如图这个沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入下面的长方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在长方形木盒中会平铺大约多少厘米高的沙子？ 【典型例题3】拓展型问题 为了测量一个空瓶子的容积，学习小组进行了合作研究并记录信息如下。 ①测量出整个瓶子的高度是25cm；②测量出瓶子的圆柱部分的内直径是6cm； ③给瓶子注入一些水，把瓶子正放时，测出水的高度是5cm； ④把瓶盖拧紧，瓶子倒置放平，测量出无水部分圆柱的高度是15cm。 （1）选择信息（    ）可以求出这个瓶子的容积。（填序号） （2）根据选出的信息，求出瓶子的容积。 【对应练习】 小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 【考点六】问题六：排水法求不规则物体的体积 方法点拨 排水法是一种常用于测量不规则物体的体积的方法，不规则物体的形状复杂，无法通过常规几何公式直接计算体积，而排水法利用阿基米德原理，通过物体排开的水的体积来等价于物体的体积，提供了一种间接测量的手段。 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题1】问题一 如图所示，一个底面直径为20厘米的装有一些水的圆柱的玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米、高20厘米的圆锥形状的铅锤，当取出铅锤后，杯里的水下降几厘米？ 【对应练习1】 有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着一些石子，石子的体积为π立方厘米，在容器内到满水后，再把石子全部拿出来，求此时容器内水面的高度． 【典型例题2】问题二 在一个装了水的圆柱形容器中（如下图），放入一个体积为580cm³的圆锥形铁块，将会溢出多少毫升水？   【对应练习】 有一个底面半径为8cm的圆柱形玻璃容器，水深6cm。把一块底面半径是6cm、高是10cm的圆锥形铁块放入水中，水会溢出45mL，那么这个玻璃容器有多高？（得数保留整数） 【考点七】问题七：求含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积 方法点拨 求解包含圆柱和圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积，是小升初的必考问题，其难点主要在于图形的复杂性，如不规则形状导致的表面积分困难、隐藏表面的计算、以及各部分体积的集成问题，这要求解题者具备较强的空间想象能力和几何分解技能，解题关键在于将组合图形分解为基本几何体，分别计算每个部分的表面积和体积，然后求和，同时注意处理接口部分以避免重复或遗漏，并熟练应用圆柱和圆锥的相关公式，如圆柱的侧面积公式和圆锥的体积公式，以确保计算的准确性。 1. 求不规则圆柱体的表面积，注意分析图形是由哪几个面组合而成的，然后分别计算这几个面的面积，最后将所计算的面相加。 2. 不规则或组合立体图形的体积是图形计算和实际应用中的常考题型，其中组合立体图形的体积等于各部分规则立体图形的体积之和。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 图形计算。 （1）计算下面图形的表面积和体积。　　　 （2）计算下面图形的体积。 【对应练习】 1. 计算下面图形的表面积和体积。 半圆柱的底面直径是10 cm 2. 求下图的表面积和体积。 3. 计算下图（按45°斜切）的体积（单位：厘米）。 【考点八】问题八：圆柱圆锥中的注水运动问题 方法点拨 注水运动类问题通常以数学实验的形式出现，重点考查学生对圆柱体体积计算在实际情境中的综合运用能力。这类题目往往配以水位高度随时间变化的关系图，要求学生从图像中提取关键信息，如注水速率、容器的几何尺寸、不同阶段的注水变化等，并将其与实际注水过程的不同阶段——例如初始注水、水位超过某个临界高度、容器形状变化节点等——建立对应关系。 审题时，学生需准确理解图形中各线段的斜率、转折点以及时间与水位数值的实际意义，能否将图像信息转化为注水动作的物理过程，是解这类题的核心难点，也直接考验学生的数学建模能力、逻辑推理能力和图形分析能力。 由于其较强的应用性和综合性，这类题目频繁出现在小升初数学分层考试、部分民办初中独立招生考试以及一些能力拓展类测评中，往往作为区分学生数学思维层次的重要题型。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 下图是一个圆柱与一个圆锥合在一起做成的水箱，开始时是空的。然后往里以180升/时的速度注水。（取3） （1）如果水箱的厚度忽略不计，这个水箱的容积是多少？ （2）多长时间可以把水箱注满？ （3）下面哪幅图能表示随着时间变化，水面高度的变化过程？ 【对应练习】 1. A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一个水龙头单独向A注水，一分钟可注满。现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求 （1）2分钟容器A中的水有多高？ （2）3分钟时容器A中的水有多高？ 2．在“小小科学家”嘉年华活动中，有一项连通杯注水实验。请根据实验所得数据，解决下面问题。 材料：①连通杯容器：由一根口径4厘米的玻璃导管和两个圆柱形量杯连接而成（如图）。       ②若干水、铁块。 过程： ①匀速向A杯注水。（当A杯水面与导管底部持平时，水流向B杯） ②7秒后停止注水。（水流经导管的时间忽略不计） ③再向A杯放入一个铁块（完全浸没）。 观察记录： （1）共注水（     ）毫升。 （2）铁块的体积是多少立方厘米？ （3）如果将铁块捞出，哪个杯中的水面会下降？下降几厘米？ 3．一个容器，由三个大小不同的圆柱连接而成，从容器上方以均匀的速度向容器内注水，水面高度和注水时间的关系如图。 （1）量得C圆柱底面直径为6分米，高为5分米，则进水速度为每分钟多少升？（结果可用含有的式子表示） （2）B圆柱底面直径为8分米，它的高是多少分米？ （3）图中水面高度的值是多少？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 10】数学创作社 2026年1月26日晚 第1页共27页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春】 第二单元圆柱和圆锥•总集篇八种综合性问题【八大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 第二单元圆柱和圆锥·总集篇·八种综合性问题 知专题内容 本专题介绍圆柱圆锥中的八种综合性问题，包括圆柱与圆锥的切拼问题、圆柱 与圆锥的旋转构成问题、圆柱与圆锥的关系问题、圆柱与圆锥的两种关系变化 问题、圆柱与圆锥的等积变形问题、排水法求不规则物体的体积问题、含圆柱 圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积问题、圆柱圆锥中的注水运动问 题等内容。 @评价体系 基础：★：迁移：★★：综合：★★★；多维度：★★★★：重难点：★★★★★ 旦讲解建议 “总集篇”是对热点、重点、难点内容的阶段性总结，适用于系统复习和综合 训练，考点内容丰富，考查难度较大，考题形式多样，建议根据学生实际掌握 情况和总体水平，选择性进行讲解。 回考点数量 八大考点 第二篇章 考点导航篇 原【考点一】问题一：圆柱与圆锥中的切拼问题… .4 原【考点二】问题二：圆柱与圆锥中的旋转构成问题.… .8 月【考点三】问题三：圆柱与圆锥的关系问题12 冥【考点四】问题四：圆柱与圆锥中的两种变化关系问题… ….16 只【考点五】问题五：圆柱与圆锥中的等积变形问题… ….17 冥【考点六】问题六：排水法求不规则物体的体积… .20 第2页共27页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 只【考点七】问题七：求含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积………22 只【考点八】问题八：圆柱圆锥中的注水运动问题… …24 第3页共27页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 原【考点一】问题一：圆柱与圆锥中的切拼问题 方法点拨 立体图形的切拼问题是小学数学中典型且颇具难度的问题。这类问题在 分析与思考过程中带有一定抽象性，需要具备基本的空间想象能力，因此部 分同学在学习掌握时会感到吃力。建议同学们在理解时尝试绘制示意图，解 题时留意切拼后的变化规律，下面是圆柱圆锥中典型的几种切拼问题变化思 路： 1.圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际 上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即 底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2.圆柱中横切引起的表面积变化。 横切引起的表面积变化，即沿着底面或平行于底面的方向将圆柱切一刀， 此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，如果将圆柱截成几个小 圆柱，增加的表面积为2(n一1)个底面的面积(n为截成的小圆柱的个数)， 与之相反，多个底面相同的小圆柱拼成一个大圆柱，减少的表面积为2（一 1)个底面的面积(n为小圆柱的个数)。 3.圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切引起的表面积变化，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个 面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4.圆锥中竖切引起的切面积变化。 如图所示，将圆锥沿着高垂直切成两个完全相同的半圆锥，截面是等腰 三角形，且等腰三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，所以增加的 两个截面的面积=圆锥的底面直径×圆锥的高。 第4页共27页 函学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 5.圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成 个近似的长方体，此时拼成的长方体会比圆柱多2个面积大小为r的长方形。 目考察形式 填空、选择、应用 蜀动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题1】圆柱中高的增减变化引起的表面积变化 一根高8分米的圆柱木料，如果把它的高截短3分米，表面积就减少18.84平方分米，这根圆 木体积是多少立方分米？ 肥【对应练习】 一个圆柱体（如图），如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94.2平方厘米。这个圆柱 体积原来是多少立方厘米？ 12厘米 吕【典型例题2】圆柱中横切引起的表面积变化 把一根长10米的木料锯成一样长的两段，结果表面积增加了6.28平方米，这根木料原来的体 积是多少立方米？ 第5页共27页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 即【对应练习】 一根长12分米，横截面直径是4厘米的圆柱形木棍，将它平均截成三段，然后全部涂上颜色， 涂色部分的面积是多少？ 吕【典型例题3】圆柱中竖切引起的表面积变化 如图，一根圆柱形木料高8分米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时表面积比原来 增加了0.96平方米（π取3.14）。这根圆柱形木料的体积是多少立方分米？ -70 肥【对应练习】 如图，一根圆柱形木料高1米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时表面积比原来增 加了1.8平方米（π取3.14）。 -0 (1)这根木料原来的表面积是多少平方米？ (2)这根圆柱形木料的体积是多少立方米？ 第6页共27页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 吕【典型例题4】圆锥中竖切引起的切面积变化 将一个圆锥形糕点沿着高切成两块，表面积比原来增加了42平方厘米，测得圆锥形糕点的高 是7厘米，原来这个圆锥形糕点的体积是多少立方厘米？ 即《对应练习】 一个圆锥的底面半径是3分米。从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积比原来的 圆锥表面积增加了24平方分米。这个圆锥的体积是多少立方分米？ 3分米 吕【典型例题5】圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化 把一个高为6厘米的圆柱体切割成若干等分，拼成一个近似的长方体。长方体的表面积比圆柱 的表面积增加了48平方厘米，如下图，请求出原来圆柱体的表面积和体积。 第7页共27页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 将一个高是12厘米的圆柱体如图那样切拼，切拼后的立体图形的表面积比圆柱体大120平方 厘米。求圆柱体的体积。（π取3.14） 只【考点二】问题二：圆柱与圆锥中的旋转构成问题 兵方法点拨 圆柱与圆锥的旋转构成问题，作为平面图形向立体图形空间转化的核心 课题，具有显著的抽象性，要求学习者掌握基础的空间想象能力，以便在几 何学习中准确理解旋转过程及其三维形态的形成机制。 1.圆柱的旋转构成法，即长方形在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转 所得到的圆柱是不一样的，分别以长方形的长和宽为轴旋转一周得到两个圆 柱，为轴的边就是圆柱的高(h),与轴相邻的边就是圆柱的底面半径(r)。 其中以较短的一条边为轴旋转一周得到的圆柱的体积较大。 2.圆锥的旋转构成法，是以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋 转一周得到一个圆锥，旋转轴所在的直角边就是圆锥的高(h)，而另一条直 角边就是圆锥的底面半径()，斜边就是顶点到底面圆周上任意一点的连线。 如图所示： 斜边 半径 以较长（短）的直角边所在的直线为轴旋 转而成的圆锥的底面积较小（大）。 目考察形式 填空、选择、应用 蜀动态评价 ★★★★★ 第8页共27页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 吕【典型例惠1】圆柱的旋转构成方法 画出如图图形绕BD边旋转后的图形，并求出的它的表面积和体积（单位：厘米）。 3cm A 18 5cm 肥【对应练习】 如图中的长方形绕它的长或宽旋转一周，可分别得到立标图形A和B。 2cm 3cm (1)算一算立体图形A、B的体积。 (2)立体图形A和B的体积之比与原长方形有何关系？（请用数学式子或文字加以说明） 吕【典型例题2】圆锥的旋转构成法 请你在下图中，选取直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周，所形成的立体图形的体积是 多少？ 4cm 5cm 3cm 第9页共27页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 如图三角形ABC是一个直角三角形，分别以三条边所在的直线为轴旋转得到三个不同的立体 形体，这三个立体图形的体积分别是多少立方厘米？ A 40厘米 50厘米 30厘米 吕【典型例惠3】圆柱与圆锥的联动（混合型图形） 小明、小花两人分别以直角梯形的上底、下底和高所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周，得 到了甲、乙、丙三个立体图形。小明说：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后甲、 乙、丙三个立体图形的体积也相等。小花说：我不同意你的看法，我认为三个立体图形的体积 不相等。 你同意谁的说法？甲、乙、丙三个立体图形的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 6cm 3cm 3cm 6cm 3cm 3cm 3cm 3cm 丙 6cm 第10页共27页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2026年1月26日晚 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第二单元圆柱和圆锥·总集篇·八种综合性问题【八大考点】 专题名称 第二单元圆柱和圆锥·总集篇·八种综合性问题 专题内容 本专题介绍圆柱圆锥中的八种综合性问题，包括圆柱与圆锥的切拼问题、圆柱与圆锥的旋转构成问题、圆柱与圆锥的关系问题、圆柱与圆锥的两种关系变化问题、圆柱与圆锥的等积变形问题、排水法求不规则物体的体积问题、含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积问题、圆柱圆锥中的注水运动问题等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 “总集篇”是对热点、重点、难点内容的阶段性总结，适用于系统复习和综合训练，考点内容丰富，考查难度较大，考题形式多样，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性进行讲解。 考点数量 八大考点 【考点一】问题一：圆柱与圆锥中的切拼问题 4 【考点二】问题二：圆柱与圆锥中的旋转构成问题 13 【考点三】问题三：圆柱与圆锥的关系问题 23 【考点四】问题四：圆柱与圆锥中的两种变化关系问题 33 【考点五】问题五：圆柱与圆锥中的等积变形问题 35 【考点六】问题六：排水法求不规则物体的体积 40 【考点七】问题七：求含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积 43 【考点八】问题八：圆柱圆锥中的注水运动问题 46 【考点一】问题一：圆柱与圆锥中的切拼问题 方法点拨 立体图形的切拼问题是小学数学中典型且颇具难度的问题。这类问题在分析与思考过程中带有一定抽象性，需要具备基本的空间想象能力，因此部分同学在学习掌握时会感到吃力。建议同学们在理解时尝试绘制示意图，解题时留意切拼后的变化规律，下面是圆柱圆锥中典型的几种切拼问题变化思路： 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切引起的表面积变化，即沿着底面或平行于底面的方向将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，如果将圆柱截成几个小圆柱，增加的表面积为2（n－1）个底面的面积（n为截成的小圆柱的个数），与之相反，多个底面相同的小圆柱拼成一个大圆柱，减少的表面积为2（n－1）个底面的面积（n为小圆柱的个数）。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切引起的表面积变化，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 圆锥中竖切引起的切面积变化。 如图所示，将圆锥沿着高垂直切成两个完全相同的半圆锥，截面是等腰三角形，且等腰三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，所以增加的两个截面的面积=圆锥的底面直径×圆锥的高。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时拼成的长方体会比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题1】圆柱中高的增减变化引起的表面积变化 一根高8分米的圆柱木料，如果把它的高截短3分米，表面积就减少18.84平方分米，这根圆木体积是多少立方分米？ 【答案】25.12立方分米 【分析】根据题意可知：如果把圆柱的高截短3分米，表面积就减少18.84平方分米，表面积减少的是高为3分米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝ch，用侧面积除以3求出底面周长，进而求得底面半径，再根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】18.84÷3＝6.28（分米） 6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（分米） 3.14×1×1×8 ＝3.14×8 ＝25.12（立方分米） 答：这根圆木体积是25.12立方分米。 【点睛】此题主要考查圆柱的侧面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【对应练习】 一个圆柱体（如图），如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94.2平方厘米。这个圆柱体积原来是多少立方厘米？ 【答案】1177.5立方厘米 【分析】表面积减少的侧面积，减少的侧面积÷截短的高＝圆柱底面周长，底面周长÷π÷2＝底面半径，再根据圆柱体积＝底面积×高，求出原来体积即可。 【详解】94.2÷3＝31.4（厘米） 31.4÷3.14÷2＝5（厘米） 3.14×52×（12＋3） ＝3.14×25×15 ＝1177.5（立方厘米） 答：这个圆柱体积原来是1177.5立方厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱侧面积和体积公式。 【典型例题2】圆柱中横切引起的表面积变化 把一根长10米的木料锯成一样长的两段，结果表面积增加了6.28平方米，这根木料原来的体积是多少立方米？ 【答案】31.4立方米 【分析】根据题意，这个木料长是10米；锯成两段，增加的面积等于两个底面积的和；用增加的面积÷2，求出圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】（6.28÷2）×10 ＝3.14×10 ＝31.4（立方米） 答：这根木料原来的体积是31.4立方米。 【点睛】解答本题的关键明确增加的面积和原来圆柱底面的关系；再结合圆柱的体积公式，进行解答。 【对应练习】 一根长12分米，横截面直径是4厘米的圆柱形木棍，将它平均截成三段，然后全部涂上颜色，涂色部分的面积是多少？ 【答案】1582.56平方厘米 【分析】如图所示，把这根圆柱形木棍平均截成三段后，表面积比原来增加4个截面的面积，，涂色部分的面积＝原来圆柱的表面积＋增加部分的面积，据此解答。 【详解】12分米＝120厘米 （3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 3.14×4×120＋12.56×2＋12.56×4 ＝12.56×120＋12.56×2＋12.56×4 ＝12.56×（120＋2＋4） ＝12.56×126 ＝1582.56（平方厘米） 答：涂色部分的面积是1582.56平方厘米。 【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，表示出增加部分的面积并掌握圆柱的表面积计算公式是解答题目的关键。 【典型例题3】圆柱中竖切引起的表面积变化 如图，一根圆柱形木料高8分米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时表面积比原来增加了0.96平方米（π取3.14）。这根圆柱形木料的体积是多少立方分米？ 【答案】226.08立方分米 【分析】观察题意可知，圆柱形木料沿底面直径垂直切开，平均分成两部分，表面积增加了2个长方形，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径；先把0.96平方米化为96平方分米，然后用96÷2即可求出一个长方形的面积，然后再除以8即可求出底面直径，进而求出底面半径，最后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据解答即可。 【详解】0.96平方米＝96平方分米 底面直径：96÷2÷8＝6（分米） 半径：6÷2＝3（分米） 3.14×32×8 ＝3.14×9×8 ＝226.08（立方分米） 答：这根圆柱形木料的体积是226.08立方分米。 【点睛】本题主要考查了立体图形的切割以及圆柱的体积公式的灵活应用。 【对应练习】 如图，一根圆柱形木料高1米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时表面积比原来增加了1.8平方米（π取3.14）。 （1）这根木料原来的表面积是多少平方米？ （2）这根圆柱形木料的体积是多少立方米？ 【答案】（1）4.0977平方米；（2）0.63585立方米 【分析】（1）沿底面直径垂直切开，平均分成两部分，表面积比圆柱多了2个长方形的面积，已知表面积比原来增加了1.8平方米，用1.8÷2即可求出一个长方形的面积，又已知长方形的长相当于圆柱的高，宽相当于底面直径，用1.8÷2÷1即可求出底面直径；根据圆柱的表面积：S＝2πr2＋πdh求解这根木料原来的表面积即可。 （2）根据圆柱的体积：V＝πr2h求解这根圆柱形木料的体积。 【详解】（1）这根木料的底面直径为：1.8÷2÷1＝0.9（米） 底面半径：0.9÷2＝0.45（米） 这根木料原来的表面积为： 2×3.14×0.452＋3.14×0.9×1 ＝2×3.14×0.2025＋3.14×0.9×1 ＝1.2717＋2.826 ＝4.0977（平方米） 答：这根木料原来的表面积是4.0977平方米。 （2）3.14×0.452×1 ＝3.14×0.2025×1 ＝0.63585（立方米） 答：这根圆柱形木料的体积是0.63585立方米。 【点睛】本题考查了圆柱的表面积公式和体积公式的灵活应用，关键是明确多了哪两个面的面积。 【典型例题4】圆锥中竖切引起的切面积变化 将一个圆锥形糕点沿着高切成两块，表面积比原来增加了42平方厘米，测得圆锥形糕点的高是7厘米，原来这个圆锥形糕点的体积是多少立方厘米？ 【答案】65.94立方厘米 【分析】把圆锥沿着高切成两块截面是两个等腰三角形，切开之后的表面积比原来增加了两个三角形的面积，先求出一个三角形的面积，再利用“底＝三角形的面积×2÷高”求出三角形的底边，即圆锥的底面直径，最后利用“”求出圆锥的体积，据此解答。 【详解】底面直径：42÷2×2÷7 ＝21×2÷7 ＝42÷7 ＝6（厘米） 底面半径：6÷2＝3（厘米） 体积：×3.14×32×7 ＝（3.14×7）×（×32） ＝21.98×3 ＝65.94（立方厘米） 答：原来这个圆锥形糕点的体积是65.94立方厘米。 【点睛】根据增加部分的面积求出圆锥的底面半径，并掌握圆锥的体积计算公式是解答题目的关键。 【对应练习】 一个圆锥的底面半径是3分米。从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积比原来的圆锥表面积增加了24平方分米。这个圆锥的体积是多少立方分米？ 【答案】37.68立方分米 【分析】通过观察图形可知，把这个圆锥纵向切开，表面积增加的是两个切面的面积，每个切面的底等于圆锥的底面直径，每个切面的高等于圆锥的高，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，那么h＝2S÷a，据此求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式：V＝，把数据代入公式解答。 【详解】24÷2＝12（平方分米） 12×2÷（3×2） ＝24÷6 ＝4（分米） ×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝37.68（立方分米） 答：这个圆锥的体积是37.68立方分米。 【点睛】此题主要考查三角形的面积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是求出圆锥的高。 【典型例题5】圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化 把一个高为6厘米的圆柱体切割成若干等分，拼成一个近似的长方体。长方体的表面积比圆柱的表面积增加了48平方厘米，如下图，请求出原来圆柱体的表面积和体积。 【答案】251.2平方厘米；301.44立方厘米 【分析】根据题意，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，那么长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高；拼成的长方体的体积等于圆柱的体积，拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积（长方体的左右面），长方形的宽等于圆柱的底面半径，长方形的长等于圆柱的高； 先用增加的表面积除以2，求出一个长方形的面积，再除以高，即可求出长方体的底面半径； 然后根据圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝2πrh，S底＝πr2；圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【详解】圆柱的底面半径： 48÷2÷6 ＝24÷6 ＝4（厘米） 圆柱的表面积： 2×3.14×4×6＋3.14×42×2 ＝3.14×48＋3.14×16×2 ＝150.72＋100.48 ＝251.2（平方厘米） 圆柱的体积： 3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝301.44（立方厘米） 答：原来圆柱体的表面积是251.2平方厘米，体积是301.44立方厘米。 【点睛】掌握圆柱切割拼接成长方体后，各部分元素间对应的关系，以及增加的表面积是哪些面的面积，并以此为突破口，利用公式列式计算。 【对应练习】 将一个高是12厘米的圆柱体如图那样切拼，切拼后的立体图形的表面积比圆柱体大120平方厘米。求圆柱体的体积。（π取3.14） 【答案】942立方厘米 【分析】观察图形可知，切拼后的立体图形的表面积比圆柱体大120平方厘米，即表面积比原来多了两个长为12厘米，宽为圆柱的底面半径的长方形的面积，据此求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此代入数值进行计算即可。 【详解】120÷2÷12 ＝60÷12 ＝5（厘米） 3.14×52×12 ＝3.14×25×12 ＝78.5×12 ＝942（立方厘米） 答：圆柱体的体积的是942立方厘米。 【点睛】本题考查圆柱的体积，求出圆柱的底面半径是解题的关键。 【考点二】问题二：圆柱与圆锥中的旋转构成问题 方法点拨 圆柱与圆锥的旋转构成问题，作为平面图形向立体图形空间转化的核心课题，具有显著的抽象性，要求学习者掌握基础的空间想象能力，以便在几何学习中准确理解旋转过程及其三维形态的形成机制。 1. 圆柱的旋转构成法，即长方形在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，分别以长方形的长和宽为轴旋转一周得到两个圆柱，为轴的边就是圆柱的高（h），与轴相邻的边就是圆柱的底面半径（r）。其中以较短的一条边为轴旋转一周得到的圆柱的体积较大。 2. 圆锥的旋转构成法，是以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周得到一个圆锥，旋转轴所在的直角边就是圆锥的高（h），而另一条直角边就是圆锥的底面半径（r），斜边就是顶点到底面圆周上任意一点的连线。如图所示： 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题1】圆柱的旋转构成方法 画出如图图形绕BD边旋转后的图形，并求出的它的表面积和体积（单位：厘米）。 【答案】；150.72平方厘米；141.3立方厘米 【分析】圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为轴，其余各边绕轴旋转而成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱体；圆柱表面积＝两个底面积＋侧面积，圆柱体积＝底面积×高，S＝π，据此求解。 【详解】如图： 表面积：3.14×32×2＋3×2×3.14×5 ＝3.14×9×2＋18.84×5 ＝56.52＋94.2 ＝150.72（平方厘米） 体积：3.14×32×5 ＝3.14×9×5 ＝28.26×5 ＝141.3（立方厘米） 答：这个圆柱的表面积是150.72平方厘米，体积是141.3立方厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【对应练习】 如图中的长方形绕它的长或宽旋转一周，可分别得到立标图形A和B。 （1）算一算立体图形A、B的体积。 （2）立体图形A和B的体积之比与原长方形有何关系？（请用数学式子或文字加以说明） 【答案】（1）立体图形A的体积是37.68立方厘米，B的体积是56.52立方厘米。 （2）立体图形A和B的体积之比等于原长方形宽与长的长度之比。 【分析】（1）将长方形绕长旋转一周，得到一个圆柱体A，圆柱体的高是3厘米，底面半径是2厘米；绕宽旋转一周得到一个圆柱体B，圆柱体的高是2厘米，底面半径是3厘米，根据圆柱的体积＝πr2h计算即可解答； （2）求出两个圆柱的体积比，与原长方形比较即可得出结论。 【详解】（1）A的体积为：3.14×3×22＝37.68（立方厘米） B的体积为：3.14×32×2＝56.52（立方厘米） 答：立体图形A的体积是37.68立方厘米，B的体积是56.52立方厘米。 （2）立体图形A和B的体积之比是：（3.14×3×22）∶（3.14×32×2）＝2∶3 原长方形的宽与长的比是2∶3； 所以立体图形A和B的体积之比等于原长方形宽与长的长度之比。 答：立体图形A和B的体积之比等于原长方形宽与长的长度之比。 【点睛】解决本题的关键是得出旋转后图形的底面半径和高。 【典型例题2】圆锥的旋转构成法 请你在下图中，选取直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周，所形成的立体图形的体积是多少？ 【答案】37.68立方厘米；50.24立方厘米；30.144立方厘米。 【分析】由题可知，题目只说选取直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周，并未说明选取哪一条边，所以要分类讨论。（1）当AB为轴，旋转一周时，所形成的是一个高为4厘米，底面半径为3厘米的圆锥，由圆锥的体积＝底面积×高×，底面积＝πr²代入实际数据可得；（2）当BC为轴，旋转一周，所形成的是一个高为3厘米，底面半径为4厘米的圆锥。同理，代入圆锥体积公式即可得；（3）当AC为轴，旋转一周，所形成是两个圆锥的结合体，斜边上的高就是底面半径，可以设小的圆锥的高为xcm，则大的圆锥的高为（5－x）cm，然后通过圆锥的体积公式分别算出大小圆锥的体积，再相加即可解答。 【详解】（1）当AB为轴时： 3×3×3.14×4× ＝3×4×3.14 ＝12×3.14 ＝37.68（立方厘米） （2）当BC为轴时： 4×4×3.14×3× ＝4×4×3.14 ＝16×3.14 ＝50.24（立方厘米） （3）当AC为轴时： 底面半径：3×4÷2×2÷5 ＝12÷2×2÷5 ＝12÷5 ＝2.4（厘米） 解：设小的圆锥的高为xcm，则大的圆锥的高为（5－x）cm。 ×3.14×2.4×2.4×x＋×3.14×2.4×2.4×（5－x） ＝×3.14×2.4×2.4×（x＋5－x） ＝3.14×0.8×2.4×5 ＝3.14×0.8×12 ＝3.14×9.6 ＝30.144（立方厘米） 答：当AB为轴时，所形成的立体图形的体积是37.68立方厘米，当BC为轴时，所形成的立体图形的体积是50.24立方厘米，当AC为轴时，所形成的立体图形的体积是30.144立方厘米。 【点睛】此题考查的是圆锥体积公式，能熟练掌握圆锥的体积公式并分类讨论是解题的关键。 【对应练习】 如图三角形ABC是一个直角三角形，分别以三条边所在的直线为轴旋转得到三个不同的立体形体，这三个立体图形的体积分别是多少立方厘米？ 【答案】37680立方厘米；50240立方厘米；30144立方厘米 【分析】将直角三角形以AB为轴为轴旋转，得到一个高为40厘米，底面半径为30厘米的圆锥，再利用圆锥的体积公式代入数据解答； 以BC为轴旋转，得到一个高为30厘米，底面半径为40厘米的圆锥，再利用圆锥的体积公式代入数据解答； 以AC为轴旋转，得到两个圆锥，借助三角形的面积公式，列式30×40÷2，求出三角形的面积是600平方厘米，再用600×2÷50求出斜边上的高为24厘米，即底面半径为24厘米，两个圆锥的高之和是50厘米，先求出底面积，进而求出两个圆锥的体积即可。 【详解】以AB为轴旋转的圆锥： ×3.14×302×40 ＝×3.14×900×40 ＝942×40 ＝37680（立方厘米） 以BC为轴旋转的圆锥： ×3.14×402×30 ＝×30×3.14×1600 ＝31.4×1600 ＝50240（立方厘米） 以AC为轴旋转的立体图形，两个圆锥半径： 30×40÷2＝600（平方厘米） 600×2÷50＝24（厘米） 体积：×3.14×242×50 ＝×3.14×576×50 ＝602.88×50 ＝30144（立方厘米） 答：以AB为轴旋转的圆锥体积37680立方厘米；以BC为轴旋转的圆锥体积50240立方厘米；以AC为轴旋转的立体图形体积是30144立方厘米。 【点睛】掌握圆锥的特征和圆锥的体积计算公式是解答题目的关键。 【典型例题3】圆柱与圆锥的联动（混合型图形） 小明、小花两人分别以直角梯形的上底、下底和高所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周，得到了甲、乙、丙三个立体图形。小明说：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后甲、乙、丙三个立体图形的体积也相等。小花说：我不同意你的看法，我认为三个立体图形的体积不相等。 你同意谁的说法？甲、乙、丙三个立体图形的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 【答案】小花；甲141.3立方厘米；乙113.04立方厘米；丙197.82立方厘米 【分析】观察各立体图形可知，图形甲的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，图形乙的体积＝圆锥的体积＋圆柱的体积，图形丙的体积＝大圆锥的体积－小圆锥的体积； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解，然后比较三个立体图形的体积，得出结论。 【详解】甲的体积： 3.14×32×6－×3.14×32×（6－3） ＝3.14×9×6－×3.14×9×3 ＝3.14×54－3.14×9 ＝169.56－28.26 ＝141.3（立方厘米） 乙的体积： ×3.14×32×（6－3）＋3.14×32×3 ＝×3.14×9×3＋3.14×9×3 ＝3.14×9＋3.14×27 ＝28.26＋84.78 ＝113.04（立方厘米） 丙的体积： 延长圆台的两边相交于一点，形成一个大圆锥，由小圆锥的底面半径3厘米，圆台的高3厘米，推出这是一个等腰直角三角形，由此得出小圆锥的高是3厘米。 ×3.14×62×（3＋3）－×3.14×32×3 ＝×3.14×36×6－×3.14×9×3 ＝3.14×72－3.14×9 ＝226.08－28.26 ＝197.82（立方厘米） 197.82＞141.3＞113.04，所以三个立体图形的体积不相等。 答：我同意小花的说法。甲的体积是141.3立方厘米，乙的体积是113.04立方厘米，丙的体积是197.82立方厘米。 【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积公式的运用，明确以同一个平面图形的不同线段为轴旋转，形成立体图形的体积不相等。 【对应练习】 请根据下图信息回答问题。 （1）直角梯形ABCD，如果以AB为轴进行旋转，所形成的立体图形是图（     ）；如果以DC为轴进行旋转，所形成的立体图形是图（     ）。 （2）选择其中一个立体图形计算它的体积。 【答案】（1）① ； ② （2）①的体积：150.72cm3；②的体积：188.4cm3 【分析】（1）判断旋转得到的立体图形时，要知道：以直角三角形的直角边为轴旋转时，所形成的立体图形是圆锥，以其斜边为轴旋转时，所形成的图形是沙漏模型。 （2）两个不同的立体图形的体积分别是圆柱的体积与圆锥的体积的和与差；只不过图形②的圆柱的高=下部圆柱的高+上部分圆锥的高。 【详解】（2）求①的体积： 求②的体积 【点睛】判断旋转得到的立体图形要有一定的空间观念，计算量也很大，还要注意细节部分“图形②的圆柱的高=下部圆柱的高+上部分圆锥的高”不要弄错了。 【典型例题4】判断最大体积 下面3张纸的面积都是36平方分米，将这些纸分别按下图所示的方式卷成圆柱，接口处忽略不计。 （1）几号纸卷成的圆柱体积最大？（请写出主要解答过程） （2）通过上面的解答，你有什么发现？ 【答案】（1）①号体积最大 （2）长方形的长是圆柱的周长，周长越大，半径越大，底面积就大，圆柱的体积就大。 【分析】（1）根据圆柱的底面周长公式：，分别求出3个图形的底面半径，再根据圆柱的体积公式：，分别求出3个图形的体积，即可比较大小。 （2）根据解答，结合公式可知，长方形的长就是圆柱的周长，周长越大，半径越大，底面积就大，圆柱的体积就大。 【详解】（1）①号的底面半径：18÷2÷＝9÷（分米） ①号的体积： ＝ ＝ ＝（立方分米） ②号的底面半径：12÷2÷＝6÷（分米） ②号的体积： ＝ ＝ ＝（立方分米） ③号的底面半径：9÷2÷＝÷（分米） ③号的体积： ＝ ＝ ＝ ＝（立方分米） ＞＞ 答：①号纸卷成的体积最大。 （2）通过上面解答发现，长方形的长是圆柱的周长，周长越大，半径越大，底面积就大，圆柱的体积就大。 【对应练习】 将一个直角边分别为8厘米、6厘米的直角三角形，以一条直角边为轴旋转，怎样旋转得到的圆锥的体积最大？（得数保留两位小数） 【答案】以6厘米直角边为轴旋转，得到的圆锥体积最大，最大体积是401.92立方厘米 【分析】以一条直角边为轴旋转，得到的圆锥有两种情况，以8厘米为轴，那么高是8厘米，底面半径是6厘米；以6厘米为轴，那么高是6厘米，底面半径是8厘米；分别计算两种情况下的体积，然后进行比较。 【详解】情况一：以8厘米为轴，高是8厘米，底面半径是6厘米； （立方厘米） 情况二：以6厘米为轴，高是6厘米，底面半径是8厘米； （立方厘米） 401.92立方厘米＞301.44立方厘米； 答：以6厘米直角边为轴旋转，得到的圆锥体积最大，最大体积是401.92立方厘米。 【点睛】直角三角形以直角边为轴进行旋转，得到的几何体是圆锥，其中底面半径越大，体积也就越大。 【考点三】问题三：圆柱与圆锥的关系问题 方法点拨 圆柱与圆锥的关系问题由于涉及的基础知识变量多、题型变化丰富，且涉及比例与倍数关系，常常作为填空题、选择题中的难题出现，解决起来颇具难度。关键在于精准把握二者的基本关系及其变化规律，再结合具体题型灵活应对。 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的，圆锥与圆柱的体积之比是1∶3。 2. 圆柱和圆锥的体积相等时，如果底面积相等，那么圆锥的高是圆柱高的3倍，圆柱的高是圆锥高的。 3. 圆柱和圆锥的体积相等时，如果高相等，那么圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，圆柱的底面积是圆锥底面积的。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题1】基础关系 1．一个圆柱的底面直径是4分米，高5分米，它的体积是( )立方分米，与它等底等高圆锥的体积是( )立方分米。 【答案】 62.8 / 【分析】用圆柱的底面直径除以2求出圆柱的底面半径，根据圆柱的体积＝，代入数据求出圆柱的体积，与它等底等高圆锥的体积是圆柱的体积的，根据求一个数的几分之几是多少，用圆柱的体积乘解答。 【详解】4÷2＝2（分米） 3.14××5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方分米） 62.8×＝（立方分米） 所以一个圆柱的底面直径是4分米，高5分米，它的体积是62.8立方分米，与它等底等高圆锥的体积是立方分米。 2．一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆锥的底面半径是圆柱的3倍，那么圆柱与圆锥的体积比是( )。 【答案】1∶3 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，圆柱的体积＝底面积×高，解答此题即可。 【详解】假设圆锥和圆柱的高都是1，圆柱的底面半径是1，则圆锥的底面半径为3。 圆柱的体积：π××1＝π 圆锥的体积：π××1÷3＝3π π∶3π＝1∶3 因此，一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆锥的底面半径是圆柱的3倍，那么圆柱与圆锥的体积比是1∶3。 3．一个高为6厘米的圆锥，体积是75.36立方厘米，与它体积相等，底面积也相等的圆柱，高是( )厘米。 【答案】2 【分析】圆柱的体积是与其等底等高圆锥体积的3倍。圆柱和圆锥的体积相等，底面积相等，则圆锥的高是圆柱高的3倍。据此解答。 【详解】6÷3＝2（厘米） 所以圆柱的高是2厘米。 【对应练习】 1．如果圆柱的体积是48dm3，则与它等底等高的圆锥体积是( )dm3。 【答案】16 【分析】圆锥的体积是等底等高圆柱体积的，用圆柱的体积乘即可。 【详解】48×＝16（dm3） 所以如果圆柱的体积是48dm3，则与它等底等高的圆锥体积是16dm3。 2．如图，先将甲容器注满水，再将水倒入乙容器，这时乙容器中的水高( )cm。 【答案】4 【分析】甲容器注满水，水的体积就是圆锥的体积，将这些水倒入乙容器（圆柱）中，因为体积相等、底面积相等，所以圆锥的高是圆柱内水高的3倍。据此解答。 【详解】12÷3＝4（cm） 这时乙容器中的水高4cm。 3．一个圆柱和一个圆锥的体积比是3∶4，底面半径的比为2∶3，圆柱与圆锥的高之比是( )。 【答案】9∶16 【分析】根据圆柱和圆锥底面半径的比为2∶3，底面积公式S＝πr2分别求出它们的底面积，进而求出底面积的比为4∶9； 再根据圆柱和圆锥的体积比为3∶4，体积公式V＝Sh和V＝Sh分别求得圆柱和圆锥的高，进而求得高的比，列式计算即可。 【详解】因为底面半径之比是2∶3，所以圆柱和圆锥底面积比是：π×22∶π×32＝4∶9；又因为圆柱和圆锥的体积比是3∶4，所以圆柱的高是：h柱＝，h锥＝＝，因此圆柱和圆锥高的比是：∶＝9∶16； 【点睛】本题关键是运用圆柱的体积计算公式V＝Sh和圆锥的体积计算公式V＝Sh解决问题。 【典型例题2】基本问题 1．等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是。圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 【答案】 60 20 【分析】已知圆柱和圆锥等底等高，即圆柱体积是圆锥体积的3倍，它们的体积之和是80dm³，那么把圆锥体积看作1份，圆柱体积看作3份，圆柱和圆锥体积的总份数为份，用圆柱和圆锥的体积之和除以它们的总份数，求出1份的体积，即是圆锥的体积；再用圆锥体积乘3，可得到圆柱的体积，据此解答。 【详解】圆锥体积：（立方分米） 圆柱体积：（立方分米） 因此，等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是80dm³。圆柱的体积是60dm³，圆锥的体积是20dm³ 2．一个圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多，圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 【答案】 11.7 3.9 【分析】圆柱的体积等于与它等底等高的圆锥的3倍，则圆柱的体积比与它等底等高的圆锥多2倍，即多7.8立方米，则圆锥的体积是立方米，圆柱的体积是立方米。 【详解】由分析可得： 一个圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多，圆柱的体积是11.7，圆锥的体积是3.9。 【对应练习】 1．把一个圆柱削成最大的圆锥后，圆锥体积比圆柱体积少24π立方分米。如果圆锥的底面半径是3分米，圆柱的高是( )分米。 【答案】4 【分析】把一个圆柱削成最大的圆锥，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。24π立方分米相当于圆锥体积的2倍，算出圆锥的体积。根据圆锥的体积V＝，用圆锥的体积乘3除以π除以半径的平方即可算出圆锥的高，也是圆柱的高。 【详解】24π÷2＝12π（立方分米） 12π×3÷π÷32 ＝12π×3÷π÷9 ＝36π÷π÷9 ＝4（分米） 所以，圆柱的高是4分米。 【点睛】把一个圆柱削成最大的圆锥，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。24π立方分米相当于圆锥体积的2倍。 2．小悦同学用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积比圆锥的体积大( )立方厘米。 【答案】 108 【分析】由于圆柱和圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。整个橡皮泥的体积为216立方厘米，是圆柱和圆锥的总体积。设圆锥体积为V，则圆柱体积为3V，总体积为4V，可求出V，再计算圆柱体积与圆锥体积的差。 【详解】设圆锥的体积为V立方厘米，则圆柱的体积为3V立方厘米。 根据题意，圆柱和圆锥的总体积为216立方厘米， 因此： V＋3V＝216 4V＝216 V＝216÷4 V＝54 圆锥的体积为54立方厘米，圆柱的体积为3×54＝162立方厘米。 圆柱的体积比圆锥的体积大：162-54＝108立方厘米。 答：圆柱的体积比圆锥的体积大108立方厘米。 【典型例题3】稍复杂的问题其一 一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的底面直径和高都是14厘米，其中有一些水，正放时水面离容器顶部11厘米，倒放时水面离容器顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（） 【答案】2499立方厘米 【分析】已知圆柱的底面直径和高，只需要求出圆锥高即可。根据正放时水面离容器顶部11厘米，假设圆锥部分的高为厘米，如下图，则正放时空气部分的体积相当于高为的圆锥的体积加上高为（11－）的圆柱部分的体积。而圆柱和圆锥是等底的，根据等底的圆柱和圆锥的体积关系，高为的圆锥体积也可以看成是高为的圆柱的体积，这样正放时空气部分的体积相当于高为的圆柱体积。因为无论正放、倒放，空气体积是不变的，所以这一部分空气体积，也等于倒放时高为5厘米的圆柱的体积。因为圆柱的底面始终一样，所以两部分圆柱的高一定是相等的，即，解方程即可求得的值。再根据圆柱、圆锥的体积公式即可求得这个容器的容积。 【详解】解：设圆锥的高为厘米， 体积： （立方厘米） 答：这个容器的容积是2499立方厘米。 【对应练习】 用底面半径和高分别是6厘米、12厘米的空心圆锥和空心圆柱各一个，组成竖放的容器如图。在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还填了部分圆柱，圆柱部分的细砂高2厘米。若将这个容器上面封住并倒立，细沙的高度是多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆锥与圆柱的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此可以求出圆锥容器中的细沙倒入圆柱容器中沙的高是（12×）厘米，再加上原来圆柱容器中的细沙高即可。 【详解】2＋（12×） ＝2＋4 ＝6（厘米） 答：细沙的高度是6厘米。 【典型例题4】稍复杂的问题其二 实验课上，有一个圆锥体容器和一个等底等高的圆柱体容器，李老师拿来一瓶溶液先把它倒入圆锥体容器中，倒满后剩下的又全部倒入圆柱体容器中，刚好倒了这个圆柱体容器的。此时，圆锥体容器中溶液比圆柱体中少140毫升。李老师拿来的这瓶溶液一共有多少毫升？ 【答案】1540毫升 【分析】设圆柱体容器的容积为x毫升，根据圆锥体容器与圆柱体容器等底等高可得圆锥体容器的容积为x毫升，根据圆锥体容器中溶液比圆柱体中少140毫升，列方程即可求出圆柱的容积，进而求出这瓶溶液的体积。 【详解】解：设圆柱体容器的容积为x毫升。 x－x＝140 x＝140 x÷＝140÷ x＝140×15 x＝2100 2100×＋2100× ＝700＋840 ＝1540（毫升） 答：李老师拿来的这瓶溶液一共有1540毫升。 【对应练习】 圆柱形容器与一个圆锥形容器等底等高，圆柱形容器内原有8升水，将圆锥形容器盛满水再全部倒入圆柱形容器，容器内的水面上升到处，则圆柱形容器的容积是多少？ 【答案】48升 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，现将圆锥形容器盛满水再全部倒入圆柱形容器，相当于等底等高的圆柱体积的，由此可以求出圆柱容器内原来水的体积占圆柱容器容积的几分之几，然后根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。 【详解】 ＝8×6 ＝48（升） 答：圆柱形容器的容积是48升。 【点睛】关键是理解圆柱和圆锥体积之间的关系，理解分数除法的意义。 【典型例题5】稍复杂的问题其三 如下图，瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入锥形杯子中，能倒满几杯？ （1）三位同学的方法，你认为正确的在□打√。 （2）你最喜欢（     ）的解答方法，请用你喜欢的解答方法解决下面的问题。 乐乐说：“如果一个圆锥和圆柱的体积和底面积都相等，那么圆锥的高是圆柱的高的3倍”乐乐的说法对吗？为什么？ 【答案】（1）都对 （2）小明；过程见详解 【分析】（1）圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高×，分别求出液体体积和杯子容积，液体体积÷杯子容积＝能倒的杯数；也可以根据圆柱和圆锥体积之间的关系，直接用3×2即可，据此分析； （2）从圆柱和圆锥的体积公式入手，圆柱的高＝体积÷底面积，圆锥的高＝体积×3÷底面积，用圆柱的高÷圆锥的高即可解答。 【详解】（1） （2）我最喜欢小明的解答方法。 所以如果一个圆锥和圆柱的体积和底面积都相等，那么圆锥的高是圆柱的高的3倍，说法正确。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱和圆锥的体积公式。 【对应练习】 把瓶中的果汁倒入这个圆锥形玻璃杯，最多可以倒满多少杯？（容器壁厚忽略不计） 【答案】6杯 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的底面积相等，圆柱的高是圆锥高的2倍时，圆柱的体积是圆锥体积的（3×2）倍。据此解答即可。 【详解】3×2＝6（杯） 答：最多能倒满6杯。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 【考点四】问题四：圆柱与圆锥中的两种变化关系问题 方法点拨 圆柱与圆锥中主要有两种变化关系问题，其一是比例变化关系，其二是倍数变化关系。 一、比例变化关系。 1. 圆柱与比。 （1）当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比： 高之比就是体积之比。 （2）当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比： 底面积之比就是体积之比。 （3）已知底面积之比和高之比，求体积之比： 分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 2. 圆锥与比。 （1）当圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。 （2）当圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。 （3）当圆锥和圆柱如果底面积和高均相等，那么圆锥和圆柱的体积之比是1∶3。 二、倍数变化关系。 圆柱圆锥的体积随着底面积和高的扩大与缩小而变化，其规律与积的变化规律相似，即： 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】比例关系变化 1. 已知两个圆柱的底面积相等，高的比是1∶2，体积比是( )。 解析：1∶2 2. 填空。 （1）两个圆锥的底面积相等，高比是1∶2，体积比( )。 （2）两个圆锥的高相等，底面积比是2∶3，体积比是( )。 （3）两个圆锥高的比是3∶4，半径比是1∶3，则体积比是多少? 解析：（1）1:2；（2）2:3；（3）1:12 【对应练习】 1. 两个圆柱的高相等，半径比是1∶2，则体积比是多少? 解析：1∶4。 2. 已知两个圆锥的底面半径比是2∶3，高的比是2∶3，则两个圆锥的体积比是多少？ 解析：8:27 【典型例题2】倍数关系变化 1. 一个圆锥的高扩大3倍，底面积不变，则体积( )。 【答案】扩大三倍 【详解】略 2. 一个圆柱的高扩大3倍，底面半径不变，体积扩大( )倍；如果圆柱的高不变，半径扩大3倍，体积扩大( )倍。 【答案】 3 9 【分析】根据圆柱体积=，其中r表示底面圆半径，h为高；根据公式代入数据可计算出答案。 【详解】圆柱的高扩大3倍，底面半径不变，体积扩大3倍；如果圆柱的高不变，半径扩大3倍，体积扩大倍。 【对应练习】 1. 一个圆锥的底面半径扩大2倍，高也扩大2倍，圆锥的体积扩大到原来的( )倍。 【答案】8 【分析】根据圆锥的体积公式，结合底面半径和高的变化情况，分析并求出体积的变化情况即可。 【详解】因为圆锥体积＝3.14×半径2×高÷3，所以当底面半径扩大2倍，高也扩大2倍，22×2＝8，那么圆锥的体积扩大到原来的8倍。 【点睛】本题考查了圆锥的体积，熟记圆锥体积公式是解题的关键。 2. 一个圆柱的高扩大2倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大( )倍；如果圆柱的高不变，底面半径扩大4倍，则圆柱的体积扩大( )倍。 【答案】 2 16 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，当底面半径不变，底面积就不变，圆柱的体积与圆柱的高有关系，高怎么变化，体积就怎么样变化； 当圆柱的高不变，体积大小与圆柱的底面积有关系，因为底面积与半径的平方有关，所以体积的变化就等于半径的平方。 【详解】高扩大2倍，底面半径不变，圆柱的体积就扩大2倍；圆柱的高不变，底面半径扩大4倍，圆柱的体积扩大倍，也就是16倍。 【点睛】考查圆柱的体积与高的变化关系，以及圆柱的体积与底面半径的关系。 【考点五】问题五：圆柱与圆锥中的等积变形问题 方法点拨 圆柱、圆锥与长方体、正方体的等积变形问题是较常考察的题型之一，总体来说，难度不大，关键是是抓住“体积不变”，先求出物体的体积，然后根据问题对应图形的体积公式进行解答；也可以根据“变形前的体积=变形后的体积”列方程解答。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题1】基础型问题 将一个长方体铁坯（如下图）锻造成一个底面直径为4厘米的圆柱，圆柱的长是多少？ 【答案】10厘米 【分析】将长方体锻造成一个圆柱，也就是长方体的体积同圆柱体的体积相同，所以先由长乘宽乘高求出长方体体积（即为圆柱的体积），根据圆柱的体积公式，再除以底面直径为4厘米的圆柱底面积，即为圆柱的高也就是放倒后圆柱的长。 【详解】长方体体积：（立方厘米） 圆柱底面积：（立方厘米） 圆柱的长：（厘米） 答：圆柱的长是10厘米。 【对应练习】 1．一个圆锥形沙堆，底面积是，高是1.2m。用这堆沙在10m宽的公路上铺成1.5cm厚的路面，能铺多少米？ 【答案】 50.24米 【分析】根据圆锥的体积＝底面积高，长方体的体积＝长宽高，1m＝100cm，据此进行分析。 【详解】1.5厘米＝0.015米 （米） 答：能铺50.24米。 2．一个装满水的长方体容器，从里面量得长是5cm，宽是4cm，高是3cm。将水全部倒入一个高为6cm的圆锥形容器内，刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 【答案】 30平方厘米 【分析】先依据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积，再根据水的体积不变，利用圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高，代入数值即可求出圆锥形容器的底面积。 【详解】 （立方厘米） （平方厘米） 答：这个圆锥形容器的底面积是30平方厘米。 【典型例题2】进阶型问题 如下图，圆柱形容器甲的底面半径是5cm，容器内部是空的；长方体容器乙中的水深6.28cm。现将容器乙中的水全部倒入容器甲中，这时水深多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】长方体容器中的水全部倒入圆柱体容器中，水的体积没有变化。长×宽×水的高度＝水的体积，水的体积÷圆柱形容器底面积＝水的深度。据此解答。 【详解】长方体容器中水深6.28厘米 水的体积：（立方厘米） 圆柱形容器中水深：（厘米） 答：这时水深8厘米。 【对应练习】 沙漏是古人用的一种计时仪器。如图这个沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入下面的长方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在长方形木盒中会平铺大约多少厘米高的沙子？ 【答案】0.628厘米 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h（π取3.14），长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出沙的体积，然后用这些沙的体积除以长方体的底面积即可。 【详解】×3.14×（12÷2）2×10÷（30×20） ＝×3.14×62×10÷（30×20） ＝×3.14×36×10÷600 ＝×36×3.14×10÷600 ＝12×3.14×10÷600 ＝37.68×10÷600 ＝376.8÷600 ＝0.628（厘米） 答：在长方形木盒中会平铺大约0.628厘米高的沙子。 【点睛】这道题的关键是沙子体积不变，先算沙漏里圆锥形状沙子的体积，再用这个体积除以长方体木盒的底面积，就能得出沙子在木盒里平铺的高度。具体计算时，先由圆锥直径算出半径，代入圆锥体积公式求出沙子体积，再用体积除以长方体底面积，最终得到高度。 【典型例题3】拓展型问题 为了测量一个空瓶子的容积，学习小组进行了合作研究并记录信息如下。 ①测量出整个瓶子的高度是25cm；②测量出瓶子的圆柱部分的内直径是6cm； ③给瓶子注入一些水，把瓶子正放时，测出水的高度是5cm； ④把瓶盖拧紧，瓶子倒置放平，测量出无水部分圆柱的高度是15cm。 （1）选择信息（    ）可以求出这个瓶子的容积。（填序号） （2）根据选出的信息，求出瓶子的容积。 【答案】（1）②③④ （2）565.2mL 【分析】（1）因为瓶子无论正放、还是倒放，瓶子里水的体积不变，这个瓶子的容积相当于底面直径是6厘米，高是厘米的圆柱的容积； （2）根据圆柱的体积（容积）公式：，把数据代入公式解答。 【详解】（1）根据分析得：选择信息②③④可以求出这个瓶子的容积。 （2） （cm） 565.2cm＝565.2mL 答：瓶子的容积565.2mL。 【点睛】此题主要考查圆柱的体积（容积）公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式，注意：体积单位与容积单位之间的换算。 【对应练习】 小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 【答案】1570毫升 【分析】瓶子的容积等于瓶子正放时的水的体积加上瓶子倒放时上面空的部分的体积，这两部分都是圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h解决。1立方厘米＝1毫升。 【详解】10÷2＝5（厘米） 3.14×52×15＋3.14×52×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×5 ＝1177.5＋392.5 ＝1570（立方厘米） 1570立方厘米＝1570毫升 答：这个瓶子的容积是1570毫升。 【点睛】瓶子的容积等于水的体积加上空的部分的体积，把瓶子倒放时，空的部分正好是圆柱，根据圆柱体积公式。算出水的体积和空的部分的体积之和就是瓶子的容积。 【考点六】问题六：排水法求不规则物体的体积 方法点拨 排水法是一种常用于测量不规则物体的体积的方法，不规则物体的形状复杂，无法通过常规几何公式直接计算体积，而排水法利用阿基米德原理，通过物体排开的水的体积来等价于物体的体积，提供了一种间接测量的手段。 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题1】问题一 如图所示，一个底面直径为20厘米的装有一些水的圆柱的玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米、高20厘米的圆锥形状的铅锤，当取出铅锤后，杯里的水下降几厘米？ 【答案】0.6厘米 【分析】依题意，下降部分的水的体积等于圆锥的体积，先依据圆锥的体积计算公式V＝Sh，求出圆锥形状的铅锤的体积，即求出了下降部分的水的体积，再求出圆柱形玻璃杯的底面积即下降部分水的底面积， 最后用下降部分水的体积除以底面积求出杯里的水下降了多少厘米。 【详解】3.14×（6÷2）²×20× ＝3.14×9×20× ＝28.26×20× ＝188.4（平方厘米） 3.14×（20÷2）² ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 188.4÷314＝0.6（厘米） 答：杯中的水下降0.6厘米。 【对应练习1】 有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着一些石子，石子的体积为π立方厘米，在容器内到满水后，再把石子全部拿出来，求此时容器内水面的高度． 【答案】6厘米 【分析】先计算出圆锥容器的容积，又因水的体积等于圆锥的容积减去石子的体积，假设取出石子后，水面的高度为x厘米，则水面的底面半径为x＝，所以水的体积等于×3.14×x×（）2＝水的体积等于圆锥的容积减去石子的体积，解方程得x＝6，所以此时容器内水面高度为4.76厘米． 【详解】解：圆锥容器的容积为×3.14×52×10 ＝×3.14×25×10 水的体积等于圆锥的容积减去石子的体积： ×3.14×25×10－×3.14 ＝×3.14 ＝18×3.14 假设取出石子后，水面的高度为x厘米，则水面的底面半径为x＝ ×3.14×x×（）2＝18×3.14 x3＝108 x＝6 答：此时容器内水面高度为6厘米． 【点睛】深刻理解题意，水的体积等于圆锥的容积减去石子的体积。 【典型例题2】问题二 在一个装了水的圆柱形容器中（如下图），放入一个体积为580cm³的圆锥形铁块，将会溢出多少毫升水？   【答案】14.8毫升 【分析】根据题意可知，用这个圆锥形铁块的体积－圆柱形容器上面空白部分的体积＝溢出的水的体积，据此列式解答。 【详解】580－3.14×6×（20－15）   ＝580－565.2 ＝14.8（毫升） 答：将会溢出14.8毫升的水。 【点睛】本题考查了体积的等积变形，要理解圆锥形铁块放入容器体积会分成那两部分。 【对应练习】 有一个底面半径为8cm的圆柱形玻璃容器，水深6cm。把一块底面半径是6cm、高是10cm的圆锥形铁块放入水中，水会溢出45mL，那么这个玻璃容器有多高？（得数保留整数） 【答案】8cm 【详解】圆锥形铁块的体积：×3.14×6²×10＝376.8（cm³） 水的体积：3.14×8²×6＝1205.76（cm³） 45 mL＝45 cm 376.8＋1205.76－45＝1537.56（cm³） 玻璃容器的高：1537.56÷（3.14×8²）≈8（cm） 答：这个玻璃容器的高约8cm。 【考点七】问题七：求含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积 方法点拨 求解包含圆柱和圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积，是小升初的必考问题，其难点主要在于图形的复杂性，如不规则形状导致的表面积分困难、隐藏表面的计算、以及各部分体积的集成问题，这要求解题者具备较强的空间想象能力和几何分解技能，解题关键在于将组合图形分解为基本几何体，分别计算每个部分的表面积和体积，然后求和，同时注意处理接口部分以避免重复或遗漏，并熟练应用圆柱和圆锥的相关公式，如圆柱的侧面积公式和圆锥的体积公式，以确保计算的准确性。 1. 求不规则圆柱体的表面积，注意分析图形是由哪几个面组合而成的，然后分别计算这几个面的面积，最后将所计算的面相加。 2. 不规则或组合立体图形的体积是图形计算和实际应用中的常考题型，其中组合立体图形的体积等于各部分规则立体图形的体积之和。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 图形计算。 （1）计算下面图形的表面积和体积。　　　 （2）计算下面图形的体积。 【答案】（1）表面积：533.8cm2 体积：665.68cm3（2）169.56dm3 【详解】（1）表面积:3.14×14×4+3.14×4×4+2×3.14×(14÷2)2=175.84+50.24+307.72=533.8(cm2) 体积:3.14×(14÷2)2×4+3.14×(4÷2)2×4=615.44+50.24=665.68(cm3) （2）3.14×(6÷2)2×4+×3.14×(6÷2)2×6=113.04+56.52=169.56(dm3) 【对应练习】 1. 计算下面图形的表面积和体积。 半圆柱的底面直径是10 cm 【答案】体积：7822.5 表面积：2792.5 【分析】体积等于长方体的体积-圆柱体积的一半，代入数据即可； 表面积的体积等于长方体的表面积-两个半圆的面积+圆柱侧面积的一半-圆柱的横截面，代入数据即可。 【详解】V＝15×20×30－×3.14××30 ＝9000-1177.5 ＝7822.5() S＝(20×15＋20×30＋15×30)×2－＋×3.14×10×30－10×30 ＝2700-78.5+471-300 ＝2792.5() 【点睛】此题考查组合体的体积和表面积，认真观察图片，分析图形的组成，特别是算表面积时看准表面都有哪些面组成。 2. 求下图的表面积和体积。 【答案】345.4dm2，157dm3 【详解】表面积：3.14×[（6÷2）2－（4÷2）2]＝15.7（dm2） 3.14×6×10＝188.4（dm2） 3.14×4×10＝125.6（dm2） 15.7×2＋188.4＋125.6＝345.4（dm2） 体积：15.7×10＝157（dm3） 3. 计算下图（按45°斜切）的体积（单位：厘米）。 【答案】15.7立方厘米 【分析】两个这样的立体图形正好拼接成一个圆柱体，圆柱体的高是（6＋4）厘米，根据公式V柱＝πr2h求出圆柱的体积，再除以2即可。 【详解】3.14×（）2×（6＋4）÷2 ＝3.14×1×10÷2 ＝15.7（立方厘米） 【考点八】问题八：圆柱圆锥中的注水运动问题 方法点拨 注水运动类问题通常以数学实验的形式出现，重点考查学生对圆柱体体积计算在实际情境中的综合运用能力。这类题目往往配以水位高度随时间变化的关系图，要求学生从图像中提取关键信息，如注水速率、容器的几何尺寸、不同阶段的注水变化等，并将其与实际注水过程的不同阶段——例如初始注水、水位超过某个临界高度、容器形状变化节点等——建立对应关系。 审题时，学生需准确理解图形中各线段的斜率、转折点以及时间与水位数值的实际意义，能否将图像信息转化为注水动作的物理过程，是解这类题的核心难点，也直接考验学生的数学建模能力、逻辑推理能力和图形分析能力。 由于其较强的应用性和综合性，这类题目频繁出现在小升初数学分层考试、部分民办初中独立招生考试以及一些能力拓展类测评中，往往作为区分学生数学思维层次的重要题型。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 下图是一个圆柱与一个圆锥合在一起做成的水箱，开始时是空的。然后往里以180升/时的速度注水。（取3） （1）如果水箱的厚度忽略不计，这个水箱的容积是多少？ （2）多长时间可以把水箱注满？ （3）下面哪幅图能表示随着时间变化，水面高度的变化过程？ 【答案】（1）1立方米 （2）小时 （3）第二幅图 【分析】（1）由于水箱是由一个圆锥和一个圆柱组合而成，根据圆锥的体积公式：底面积×高÷3，圆柱的体积公式：底面积×高，把数代入即可求解。 （2）用水箱的容积除以每小时的注水速度即可求解。 （3）由于注水的时候先注满下面的圆锥，再注满上面的圆柱，所以水面的高度会先上升的快，再上升的慢，由此即可选择。 【详解】（1）3×（1÷2）2×1＋3×（1÷2）2×1× ＝3×0.25×1＋3×0.25× ＝0.75＋0.25 ＝1（立方米） 答：这个水箱的容积是1立方米。 （2）1立方米＝＝1000立方分米＝1000升 1000÷180＝（时） 答：小时可以把水箱注满。 （3）由分析可知，水面先快速上升，再缓慢上升； 故选第二幅图。 【点睛】本题主要考查圆柱和圆锥的体积公式，熟练掌握它们的体积公式并灵活运用。 【对应练习】 1. A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一个水龙头单独向A注水，一分钟可注满。现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求 （1）2分钟容器A中的水有多高？ （2）3分钟时容器A中的水有多高？ 【答案】（1）6厘米 （2）7.2厘米 【分析】已知B容器的底面半径是A容器的2倍，高相等，B容器的容积就是A容器的4倍；因此，单独注满B容器需要4分钟，要把两个容器都注满一共需要1＋4＝5（分钟），已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，2分钟后A中的水位是容器高的一半，即12÷2＝6（厘米）（其余的水流到B容器了）；由此可知，用2.5分钟的时间两个容器中的水的高度相等，都是6厘米；以后的时间两个容器中的水位同时上升，用3－2.5＝0.5（分钟）分钟注入两个容器的高度加上6厘米即是3分钟后的高度。 【详解】（1）A容器的容积是：3.14×12＝3.14×1＝3.14（立方厘米）， B容器的容积是：3.14×22＝3.14×4＝12.56（立方厘米）， 12.56÷3.14＝4， 即B容器的容积是A容器容积的4倍， 因为一个水龙头单独向A注水，一分钟可注满， 所以要注满B容器需要4分钟， 因此注满A、B两个容器需要1＋4＝5（分钟）， 已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通， 2分钟后A中的水位是容器高的一半，即12÷2＝6（厘米）； （2）因为注满A、B两个容器需要1＋4＝5（分钟）， 所以5÷2＝2.5（分钟）时，A、B容器中的水位都是容器高的一半，即6厘米， 2.5分钟后两容器中的水位是同时上升的， 3分钟后，实际上3－2.5＝0.5（分钟）水位是同时上升的， 0.5÷5＝ 12×＝1.2（厘米） 6＋1.2＝7.2（厘米） 答：2分钟时，容器A中的高度是6厘米，3分钟时，容器A中水的高度是7.2厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱的体积（容积）的计算，解答关键是理解现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，当A中的水高是容器高的一半时，其余的水流到B容器了；以后的时间两个容器中的水位同时上升，即注满两容器时间的乘容器高就是0.5分钟上升的水的高度。 2．在“小小科学家”嘉年华活动中，有一项连通杯注水实验。请根据实验所得数据，解决下面问题。 材料：①连通杯容器：由一根口径4厘米的玻璃导管和两个圆柱形量杯连接而成（如图）。       ②若干水、铁块。 过程： ①匀速向A杯注水。（当A杯水面与导管底部持平时，水流向B杯） ②7秒后停止注水。（水流经导管的时间忽略不计） ③再向A杯放入一个铁块（完全浸没）。 观察记录： （1）共注水（     ）毫升。 （2）铁块的体积是多少立方厘米？ （3）如果将铁块捞出，哪个杯中的水面会下降？下降几厘米？ 【答案】（1）1120；（2）160立方厘米；（3）A杯；3.2厘米 【分析】（1）把A、B两杯中的水合起来就是一共注入的水的体积。观察条形统计图可知，A杯中有800毫升水，B杯中有320毫升水。 （2）观察扇形统计图可知，A、B两杯中的水共占放入铁块后各部分总体积的（37.5%＋50%），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法先求出总体积。再用总体积减去A、B两杯中水的体积。 （3）铁块在A杯中，将铁块捞出，A杯中的水面会下降。下降的水的体积等于铁块的体积。停止注水后，A杯中水的体积是800毫升，水面高度是20－4＝16（厘米），根据S底面积＝V÷h可算出A容器的底面。通过下降的水的体积和A杯的底面积，根据h＝V÷S底面积，可算出A杯中水面下降几厘米。 【详解】（1）800＋320＝1120（毫升） 共注水1120毫升。 （2）1120÷（37.5%＋50%） ＝1120÷87.5% ＝1280（毫升） 1280－1120＝160（毫升） 160毫升＝160立方厘米 答：铁块的体积是160立方厘米。 （3）800÷（20－4） ＝800÷16 ＝50（平方厘米） 160÷50＝3.2（厘米） 答：如果将铁块捞出，A杯中的水面会下降，下降3.2厘米。 【点睛】能根据实验数据和图形进行体积计算，理解连通杯的原理。 3．一个容器，由三个大小不同的圆柱连接而成，从容器上方以均匀的速度向容器内注水，水面高度和注水时间的关系如图。 （1）量得C圆柱底面直径为6分米，高为5分米，则进水速度为每分钟多少升？（结果可用含有的式子表示） （2）B圆柱底面直径为8分米，它的高是多少分米？ （3）图中水面高度的值是多少？ 【答案】（1）升 （2）7.5分米 （3）12.5 【分析】（1）先利用“”求出C圆柱的容积，折线统计图中C圆柱注满水需要15分钟，进水速度＝C圆柱的容积÷C圆柱注满水需要的时间； （2）折线统计图中B圆柱注满水需要（55－15）分钟，B圆柱的容积＝进水速度×B圆柱注满水需要的时间，再利用“”求出B圆柱的底面积，B圆柱的高度＝B圆柱的容积÷B圆柱的底面积； （3）折线统计图中的值表示B圆柱注满水时的水面高度，此时的水面高度等于C圆柱的高度加上B圆柱的高度，据此解答。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝（立方分米） 立方分米＝升 ＝（升） 答：进水速度为每分钟升。 （2） ＝ ＝（升） 升＝立方分米 ＝ ＝（平方分米） ÷＝7.5（分米） 答：它的高是7.5分米。 （3）5＋7.5＝12.5（分米） 答：图中水面高度的值是12.5。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $