（篇四）第二单元圆柱和圆锥·圆柱的体积和容积篇其二·进阶应用【十六大考点】-2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」（原卷版+解析版）苏教版

篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2026年1月26日晚 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第二单元圆柱和圆锥·圆柱的体积和容积篇其二·进阶应用【十六大考点】 专题名称 第二单元圆柱和圆锥·圆柱的体积和容积篇其二·进阶应用 专题内容 本专题以圆柱体积的进阶问题为主，其中包括旋转构成法，切拼问题，等积变形问题，排水法求不规则物体的体积，以及求不规则或组合立体图形的体积问题等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题作为圆柱体积的进阶内容，考点划分较多，不易理解，考查难度较大，题型多以填空、计算、应用等题型为主，建议作为本章核心内容进行讲解，并根据学生实际水平和总体情况选择性进行讲解。 考点数量 十六大考点 【考点一】圆柱的旋转构成法在体积中的应用其一：求体积 4 【考点二】圆柱的旋转构成法在体积中的应用其二：卷圆柱的最大体积问题 8 【考点三】圆柱的切拼问题在体积中的应用其一：高的变化引起的表面积变化 14 【考点四】圆柱的切拼问题在体积中的应用其二：“横切”与“竖切” 17 【考点五】圆柱的切拼问题在体积中的应用其三：圆柱与长方体的拼切转化引起的表面积变化 21 【考点六】等积变形问题其一：熔铸问题 24 【考点七】等积变形问题其二：倒水问题 26 【考点八】等积变形问题其三：利用转化法求不规则物体的体积 30 【考点九】排水法求不规则物体的体积其一：求体积 34 【考点十】排水法求不规则物体的体积其二：求水深或物高 37 【考点十一】排水法求不规则物体的体积其三：溢水问题 39 【考点十二】长方体中的最大圆柱与圆柱中的最大长方体 41 【考点十三】正方体中的最大圆柱 45 【考点十四】求组合立体图形的体积 47 【考点十五】求不规则立体图形的体积其一 50 【考点十六】求不规则立体图形的体积其二 53 【考点一】圆柱的旋转构成法在体积中的应用其一：求体积 方法点拨 圆柱的旋转构成法，即长方形在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，分别以长方形的长和宽为轴旋转一周得到两个圆柱，为轴的边就是圆柱的高（h），与轴相邻的边就是圆柱的底面半径（r）。其中以较短的一条边为轴旋转一周得到的圆柱的体积较大。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 下面这个长方形的长是20厘米，宽是10厘米。分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱。它们的体积各是多少？ 【答案】6280立方厘米， 12560立方厘米 【分析】圆柱的体积＝，当以长为轴旋转一周时，这个圆柱体的底面半径是10厘米，高为20厘米，再根据圆柱的体积公式算体积；当以宽为轴旋转一周时，这个圆柱体的底面半径是20厘米，高为10厘米，再根据圆柱的体积公式算体积。 【详解】以长为轴旋转一周 3.14×102×20 ＝3.14×100×20 ＝6280（立方厘米） 以宽为轴旋转一周 3.14×202×10 ＝3.14×400×10 ＝12560（立方厘米） 答：以长为轴旋转一周的圆柱的体积为6280立方厘米，以宽为轴旋转一周的圆柱的体积为12560立方厘米。 【对应练习1】 把同一个长方形分别以长和宽所在直线为轴旋转一周（如下图），形成的圆柱是什么样子？ （1）先下表补充完整。 方法 底面半径 高 表面积 体积 一 2cm 1cm （    ）cm2 （    ）cm3 二 1cm 2cm （    ）cm2 （    ）cm3 （2）观上表，你发现用不同的方法旋转得到的圆柱，体积和表面积有什么不同？ 【答案】（1）37.68；12.56 18.84；6.28 （2）见详解 【分析】（1）根据题意，方法一是将长方形绕着宽旋转一周，得到一个圆柱体，那么这个圆柱的底面半径等于长方形的长，圆柱的高等于长方形的宽； 方法二是将长方形绕着长旋转一周，得到一个圆柱体，那么这个圆柱的底面半径等于长方形的宽，圆柱的高等于长方形的长； 然后根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝2πrh，S底＝πr2；圆柱的体积公式V＝πr2h，分别代入数据计算求出两种方法形成的圆柱的表面积和体积，并将表格补充完整。 （2）比较两种方法得到的圆柱的体积、表面积的大小，得出结论。 【详解】（1）方法一： 圆柱的表面积： 2×3.14×2×1＋3.14×22×2 ＝3.14×4＋3.14×4×2 ＝12.56＋25.12 ＝37.68（平方厘米） 圆柱的体积： 3.14×22×1 ＝3.14×4×1 ＝12.56（立方厘米） 方法二： 圆柱的表面积： 2×3.14×1×2＋3.14×12×2 ＝3.14×4＋3.14×1×2 ＝12.56＋6.28 ＝18.84（平方厘米） 圆柱的体积： 3.14×12×2 ＝3.14×1×2 ＝6.28（立方厘米） 方法 底面半径 高 表面积 体积 一 2cm 1cm 37.68cm2 12.56cm3 二 1cm 2cm 18.84cm2 6.28cm3 （2）37.68＞18.84 12.56＞6.28 答：方法一得到的圆柱的表面积和体积比方法二的大。 【点睛】本题考查圆柱的表面积、体积公式的运用，关键是弄清长方形的哪条边是圆柱的高，哪条边是圆柱的底面半径。 【对应练习2】 下面这个长方形的长是10厘米，宽是2厘米，分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱体。 ①以宽为轴旋转一周后得到的圆柱的占地面积是多少平方厘米？ ②以长为轴旋转一周后得到的圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】①314平方厘米 ②125.6立方厘米 【分析】①以宽为轴旋转一周后得到的圆柱的底面半径是10厘米，根据圆的面积公式：S＝πr2，据此求出占地面积即可； ②以长为轴旋转一周后得到的圆柱的底面半径是2厘米，高是10厘米，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此代入数值进行计算即可。 【详解】①3.14×102＝314（平方厘米） 答：以宽为轴旋转一周后得到的圆柱的占地面积是314平方厘米。 ②3.14×22×10 ＝3.14×4×10 ＝12.56×10 ＝125.6（立方厘米） 答：以长为轴旋转一周后得到的圆柱的体积是125.6立方厘米。 【点睛】本题考查圆柱的体积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习3】 一块长方形硬纸板，长20厘米，宽12厘米，现绕着它的一条对称轴旋转180度，转过部分的体积最大是多少？ 【答案】3768立方厘米 【分析】长方形有2条对称轴，绕如图中的对称轴旋转，分别得到圆柱，圆柱底面半径＝长方形的长÷2，圆柱的高＝长方形的宽，（或圆柱底面半径＝长方形的宽÷2，圆柱的高＝长方形的长），根据圆柱体积＝底面积×高，分别求出体积，比较即可。 【详解】3.14×（20÷2）2×12 ＝3.14×100×12 ＝3768（立方厘米） （立方厘米） 3768＞2260.8 答：转过部分的体积最大是3768立方厘米。 【点睛】关键是熟悉圆柱特征，掌握圆柱体积公式。 【考点二】圆柱的旋转构成法在体积中的应用其二：卷圆柱的最大体积问题 方法点拨 ①同一个长方形，以长为底面周长比以宽为底面周长卷成的圆柱体积大； ②侧面积相等的圆柱，底面周长比高大得越多，体积就越大，否则就越小。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图一张长方形纸，沿着长或宽卷一卷、转一转，可以变出四种不同的圆柱体。不考虑粘结处，要使变成的圆柱体最大。比较四个圆柱体，解决下列问题。 （1）哪几个立体图形的侧面积相等？________（填序号） （2）圆柱①和圆柱②相比，哪个体积大？它的体积是多少立方厘米？ （3）圆柱③和圆柱④相比，哪个体积大？它的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）圆柱①和圆柱②、圆柱③和圆柱④ （2）圆柱①；立方厘米 （3）圆柱③；314立方厘米 【分析】（1）由图可知，圆柱①和圆柱②的侧面积都等于这个长方形的面积，因此； 圆柱①和圆柱②的侧面积相等； 圆柱③的底面半径是5厘米，高是4厘米；圆柱④的底面半径是4厘米，高是5厘米；根据圆柱的侧面积＝，分别求出③和④的侧面积，最后比较大小即可； （2）由图可知，圆柱①的底面半径是（）厘米，高是4厘米；圆柱②的底面半径是（）厘米，高是5厘米；根据圆柱的体积＝，把数据代入求解然后比较大小即可； （3）由图可知，圆柱③的底面半径是5厘米，高是4厘米；圆柱④的底面半径是4厘米，高是5厘米；根据圆柱的体积＝，把数据代入求解然后比较大小即可。 【详解】（1）圆柱①的侧面积：5×4＝20（平方厘米） 圆柱②的侧面积：5×4＝20（平方厘米） 圆柱③的侧面积：2×3.14×5×4 ＝6.28×5×4 ＝31.5×4 ＝125.6（平方厘米） 圆柱④的侧面积：2×3.14×4×5 ＝6.28×4×5 ＝25.12×5 ＝125.6（平方厘米） 所以，圆柱①和圆柱②、圆柱③和圆柱④的侧面积相等。 （2）圆柱①的体积：×（）2×4 ＝××4 ＝（立方厘米） 圆柱②的体积：×（）2×5 ＝××5 ＝（立方厘米） ＞ 所以圆柱①的体积大。 答：圆柱①的体积大，它的体积是立方厘米。 （3）圆柱③的体积：3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝78.5×4 ＝314（立方厘米） 圆柱④的体积：3.14×42×5 ＝3.14×16×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方厘米） 314＞251.2 所以圆柱③的体积大。 答：圆柱③的体积大，它的体积是314立方厘米。 【对应练习1】 下面3张纸的面积都是36平方分米，将这些纸分别按下图所示的方式卷成圆柱，接口处忽略不计。 （1）几号纸卷成的圆柱体积最大？（请写出主要解答过程） （2）通过上面的解答，你有什么发现？ 【答案】（1）①号体积最大 （2）长方形的长是圆柱的周长，周长越大，半径越大，底面积就大，圆柱的体积就大。 【分析】（1）根据圆柱的底面周长公式：，分别求出3个图形的底面半径，再根据圆柱的体积公式：，分别求出3个图形的体积，即可比较大小。 （2）根据解答，结合公式可知，长方形的长就是圆柱的周长，周长越大，半径越大，底面积就大，圆柱的体积就大。 【详解】（1）①号的底面半径：18÷2÷＝9÷（分米） ①号的体积： ＝ ＝ ＝（立方分米） ②号的底面半径：12÷2÷＝6÷（分米） ②号的体积： ＝ ＝ ＝（立方分米） ③号的底面半径：9÷2÷＝÷（分米） ③号的体积： ＝ ＝ ＝ ＝（立方分米） ＞＞ 答：①号纸卷成的体积最大。 （2）通过上面解答发现，长方形的长是圆柱的周长，周长越大，半径越大，底面积就大，圆柱的体积就大。 【对应练习2】 明明要用三个面积相等的长方形围成圆柱的侧面（见如图的示意图），再配合上适合的底面就成为了圆柱（以水平方向的边作为圆柱的底面周长）。 （1）明明用表格进行了研究，请你帮他把表格补充完整。 图形 长（厘米） 宽（厘米） 圆柱的体积（立方厘米） ① 25.12 1 ② 12.56 2 ③ 6.28 4 （2）通过观察表格，哪一个长方形围成的圆柱体体积最大呢？你有什么发现？ 【答案】（1）50.24；25.12；12.56 （2）长方形①；见详解 【分析】（1）把长方形的长作为圆柱的底面周长，宽作为圆柱的高，围成圆柱体；根据r＝C÷π÷2，求出圆柱的底面半径，然后根据V柱＝πr2h，分别求出长方形①②③围成圆柱的体积，据此把表格补充完整。 （）根据表格中的数据，比较各圆柱体积的大小，得出发现，合理即可。 【详解】（1）①25.12÷3.14÷2＝4（厘米） 3.14×42×1 ＝3.14×16×1 ＝50.24（立方厘米） ②12.56÷3.14÷2＝2（厘米） 3.14×22×2 ＝3.14×4×2 ＝25.12（立方厘米） ③6.28÷3.14÷2＝1（厘米） 3.14×12×4 ＝3.14×1×4 ＝12.56（立方厘米） 填表如下： 图形 长（厘米） 宽（厘米） 圆柱的体积（立方厘米） ① 25.12 1 50.24 ② 12.56 2 25.12 ③ 6.28 4 12.56 （2）50.24＞25.12＞12.56 长方形①围成的圆柱的体积最大。 我发现：当圆柱的侧面积相等时，圆柱的底面周长越大，围成圆柱的体积就越大。（答案不唯一） 【点睛】本题考查圆柱侧面展开图的特征及应用，明确圆柱的侧面积相等时，底面周长越大即底面半径越大的，圆柱的体积就越大。 【对应练习3】 聪聪把一张长方形的硬纸贴在木棒上（如图1），快速转动木棒，转出的形状是（    ）。 明明用一张长6厘米、宽2厘米的硬纸做了这个实验，他尝试了图2中的4种情况（木棒分别贴在纸的某一条边或某一条边的中间位置）：下面哪种情况转出的立体图形体积最大？为什么？（请说明理由） 【答案】圆柱；①的体积最大，理由见详解 【分析】沿长方形或正方形的一边为轴旋转一周得到的图形是圆柱体，根据圆柱的体积公式，代入数据计算比较即可。 【详解】聪聪把一张长方形的硬纸贴在木棒上（如图1），快速转动木棒，转出的形状是圆柱。 ①6×6×2＝72（立方厘米） ②3×3×2＝18（立方厘米） ③2×2×6＝24（立方厘米） ④1×1×6＝6（立方厘米） 72＞24＞18＞6 由此可知①的体积最大。 【点睛】关键是熟悉圆柱特征，掌握圆柱体积公式。 【考点三】圆柱的切拼问题在体积中的应用其一：高的变化引起的表面积变化 方法点拨 1. 高的变化引起的表面积变化。 圆柱高的变化引起的表面积变化问题，在高的增减变化过程中，圆柱的底面积并没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以利用侧面积的反求公式，先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 横切引起的表面积变化。 横切引起的表面积变化，即沿着底面或平行于底面的方向将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，如果将圆柱截成几个小圆柱，增加的表面积为2（n－1）个底面的面积（n为截成的小圆柱的个数），与之相反，多个底面相同的小圆柱拼成一个大圆柱，减少的表面积为2（n－1）个底面的面积（n为小圆柱的个数）。 3. 竖切引起的表面积变化。 竖切引起的表面积变化，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图，一个圆柱高10厘米，如果它的高增加4厘米，那么它的表面积将增加50.24平方厘米，求原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 解析： 原来圆柱的底面半径为： 50.24÷2÷3.14÷4 ＝25.12÷3.14÷4 ＝2（厘米） 原来圆柱的体积为： 3.14×22×10 ＝3.14×4×10 ＝12.56×10 ＝125.6（立方厘米） 答：原来圆柱的体积是125.6立方厘米。 【对应练习1】 一根圆柱形木料，长8米，高减少2厘米，表面积减少18.84平方厘米，这根木料的体积是多少？ 解析： 18.84÷2＝9.42（厘米） 9.42÷2÷3.14＝1.5（厘米） 8米＝800厘米 3.14×1.52×800 ＝3.14×2.25×800 ＝5652（立方厘米） 答：这根木料的体积是5652立方厘米。 【对应练习2】 如图，一个圆柱高8cm，如果它的高增加4cm，那么它的表面积就增加50.24cm2。求原来圆柱的体积。 【答案】100.48cm3 【分析】已知圆柱的高增加4cm，则侧面的面积增加了，又已知表面积增加50.24 cm2，根据圆柱的侧面积：S＝2πrh，用50.24÷2÷3.14÷4即可求出圆柱的底面半径，已知原来的高度为8cm，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h求解原来圆柱的体积。 【详解】原来圆柱的底面半径为： 50.24÷2÷3.14÷4 ＝25.12÷3.14÷4 ＝8÷4 ＝2（cm） 原来圆柱的体积为：3.14×22×8 ＝3.14×4×8 ＝12.56×8 ＝100.48（cm3） 答：原来圆柱的体积是100.48cm3。 【对应练习3】 王大伯家原有一个圆柱形木桶，高是35厘米，他想把这个木桶增高5厘米，则需要增加628平方厘米的木板，算一算这个木桶增高后的容积是多少立方厘米？ 【答案】50240立方厘米 【分析】根据题意可知：表面积增加的628平方厘米是高5厘米的圆柱的侧面积，圆柱的侧面积＝底面周长×高，底面周长＝圆柱的侧面积÷高；代入数据，求出底面周长，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，进而求出底面半径，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】底面周长：628÷5＝125.6（厘米）， 底面半径：125.6÷3.14÷2 ＝40÷2 ＝20（厘米） 容积：3.14×202×（35＋5） ＝3.14×400×40 ＝1256×40 ＝50240（立方厘米）， 答：这个木桶增高后的容积是50240立方厘米。 【点睛】解答本题的关键明确增加的部分就是高是5厘米的圆柱侧面积。 【考点四】圆柱的切拼问题在体积中的应用其二：“横切”与“竖切” 方法点拨 1. 高的变化引起的表面积变化。 圆柱高的变化引起的表面积变化问题，在高的增减变化过程中，圆柱的底面积并没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以利用侧面积的反求公式，先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 横切引起的表面积变化。 横切引起的表面积变化，即沿着底面或平行于底面的方向将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，如果将圆柱截成几个小圆柱，增加的表面积为2（n－1）个底面的面积（n为截成的小圆柱的个数），与之相反，多个底面相同的小圆柱拼成一个大圆柱，减少的表面积为2（n－1）个底面的面积（n为小圆柱的个数）。 3. 竖切引起的表面积变化。 竖切引起的表面积变化，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图，一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的表面积将增加25.12平方厘米；如果沿底面直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加40平方厘米，求原圆柱体的体积。（π取3.14） 【答案】62.8立方厘米 【分析】如果截成两个小圆柱体，它的表面积将增加25.12平方厘米，将25.12平方厘米除以2，即可求出圆柱的底面积。将圆柱底面积除以3.14，求出圆柱的底面直径。如果沿底面直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加40平方厘米，增加的两个面每个面都是长方形，长和宽分别是圆柱的高和底面直径。那么，将40平方厘米除以2，再除以底面直径即可求出圆柱的高。根据“圆柱体积＝底面积×高”列式求出原圆柱体的体积。 【详解】底面积：25.12÷2＝12.56（平方厘米） 底面直径：12.56÷3.14＝4（厘米） 高：40÷2÷4＝5（厘米） 体积：12.56×5＝62.8（立方厘米） 答：原圆柱体的体积是62.8立方厘米。 【对应练习1】 康康把一块橡皮泥揉成圆柱形，切成三块（如图1），表面积增加了50.24平方厘米；切成四块（如图2），表面积增加了48平方厘米。圆柱形橡皮泥的体积是多少立方厘米？ 解析： 50.24÷4÷3.14 ＝12.56÷3.14 ＝4（厘米） 圆柱的半径为：4÷2＝2（厘米） 圆柱的高：48÷2÷（2×2） ＝24÷4 ＝6（厘米） 3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝12.56×6 ＝75.36（立方厘米） 答：圆柱形橡皮泥的体积是75.36立方厘米。 【对应练习2】 把一个圆柱沿底面直径竖直切成四块（如图①），表面积增加了120平方厘米；平行于底面切成三块（如图②），表面积增加了113.04平方厘米。这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 图1 图2 【答案】141.3立方厘米 【分析】把一个圆柱沿底面直径竖直切成四块，需要切2次，每切一次增加2个长方形面积（长方形的长和宽分别是圆柱的底面直径和高），所以共增加2×2＝4个长方形面积，已知表面积增加了120平方厘米，则一个长方形面的面积是120÷4＝30平方厘米。 平行于底面切成三块，需要切2次，每切一次增加2个底面面积，所以共增加2×2＝4个底面面积，已知表面积增加了113.04平方厘米，那么一个底面面积为113.04÷4＝28.26平方厘米；根据圆的面积公式计算出半径的平方为28.26÷3.14＝9，因为3×3＝9，所以圆柱的底面半径是3厘米，则圆柱的底面直径为3×2＝6厘米；用长方形面积除以底面直径即为圆柱的高。 最后根据“圆柱体积＝底面积×高”即可计算出圆柱的体积。 【详解】120÷（2×2） ＝120÷4 ＝30（平方厘米） 113.04÷（2×2） ＝113.04÷4 ＝28.26（平方厘米） 28.26÷3.14＝9（平方厘米） 3×3＝9（平方厘米） 所以圆柱的底面半径是3厘米。 30÷（3×2） ＝30÷6 ＝5（厘米） 28.26×5＝141.3（立方厘米） 答：这个圆柱的体积是141.3立方厘米。 【对应练习3】 如图，把两个同样大小的小圆柱拼成一个大圆柱，表面积减少6.28平方厘米，然后把新的圆柱沿直径截成两个半圆柱，表面积又增加80平方厘米，原来每个小圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】31.4立方厘米 【分析】用表面积减少的面积÷2，即可求出圆柱的底面积；再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，半径2＝底面积÷π，据此求出圆柱底面半径；用增加的面积÷2，求出一个截面的面积，也就是长方形的面积，长方形的面积＝圆柱的底面直径×新圆柱的高，新圆柱的高＝长方形面积÷圆柱底面直径，据此求出新圆柱的高；再用新圆柱的高÷2，求出原来一个圆柱的高；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】6.28÷2÷3.14 ＝3.14÷3.14 ＝1 1×1＝1，圆柱的底面半径是1厘米。 1×2＝2（厘米） 80÷2÷2＝20（厘米） 20÷2＝10（厘米） 6.28÷2×10 ＝3.14×10 ＝31.4（立方厘米） 答：原来每个小圆柱的体积是31.4立方厘米。 【考点五】圆柱的切拼问题在体积中的应用其三：圆柱与长方体的拼切转化引起的表面积变化 方法点拨 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时拼成的长方体会比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图，将一个底面半径为5厘米的圆柱的底面分成许多相同的扇形，把圆柱切开拼成一个近似的长方体。已知表面积增加了100平方厘米。求圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】785立方厘米 【分析】把圆柱切开拼成一个近似的长方体，表面积增加了2个长方形，长方形的长＝圆柱的高，长方形的宽＝圆柱底面半径，增加的表面积÷2÷底面半径＝圆柱的高，根据圆柱体积＝底面积×高，即可求出这个圆柱的体积。 【详解】100÷2÷5＝10（厘米） 3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝785（立方厘米） 答：圆柱的体积是785立方厘米。 【对应练习1】 把一个底面周长62.8厘米的圆柱底面平均分成若干份，沿底面半径切开，拼成一个近似的长方体后，表面积增加了400平方厘米，这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】6280立方厘米 【分析】分析题目，把圆柱拼成一个近似的长方体，长方体的上下面等于圆柱的上下底面，长方体的前后面等于圆柱的侧面，所以表面积增加了长方体的左右面，长方体左面的面积等于长是圆柱的底面半径，宽等于圆柱的高的长方形的面积，据此用400除以2求出左面的面积，再根据r＝C÷π÷2求出圆柱的底面半径，用左面的面积除以圆柱的底面半径即可得到圆柱的高，最后根据圆柱的体积＝πr2h代入数据求出圆柱的体积即可。 【详解】400÷2＝200（平方厘米） 62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） 200÷10＝20（厘米） 3.14×102×20 ＝3.14×100×20 ＝314×20 ＝6280（立方厘米） 答：这个圆柱的体积是6280立方厘米。 【对应练习2】 将一个底面直径是8分米的圆柱按下面的方式切开，再拼成一个近似的长方体后，它的表面积增加80平方分米，原来这个圆柱的体积是多少立方分米？ 【答案】502.4立方分米 【分析】把圆柱切拼成近似长方体后，表面积增加的部分是两个以圆柱的高为长、圆柱底面半径为宽的长方形的面积。已知圆柱底面直径是8分米，那么底面半径为8÷2＝4分米。因为表面积增加了80平方分米，且增加的是两个长方形的面积，所以一个这样的长方形面积是80÷2＝40平方分米。又因为长方形的宽是底面半径4分米，根据“长方形的长＝面积÷宽”，这里的长就是圆柱的高h，所以h为40÷4＝10分米。圆柱的体积公式为V＝πr2h（π取3.14），把r＝4分米，h＝10分米代入公式即可解答。 【详解】底面半径：8÷2＝4（分米） 80÷2＝40（平方分米） 40÷4＝10（分米） 3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（立方分米） 答：原来这个圆柱的体积是502.4立方分米。 【对应练习3】 刘小薇在研究圆柱的体积时，将圆柱体模型切拼成一个近似的长方体，她发现如果将这个长方体“躺倒”放（如下图），底面就是圆柱侧面的一半，高就是圆柱的半径，因此她得出一个结论： 圆柱的体积＝侧面积的一半×半径 现有一个圆柱，侧面积是37.68平方厘米，体积是37.68立方厘米，这个圆柱的高是多少厘米？（π取3.14） 【答案】3厘米 【分析】根据题意，先用侧面积除以2计算出侧面积的一半；再根据“圆柱的体积＝侧面积的一半×半径”可知“半径＝圆柱的体积÷侧面积的一半”，代入数值计算出圆柱的半径；最后根据“圆柱的体积＝πr2h”可知“h＝圆柱的体积÷π÷r2”，代入数值计算即可。 【详解】37.68÷（37.68÷2） ＝37.68÷18.84 ＝2（厘米） 37.68÷3.14÷22 ＝37.68÷3.14÷4 ＝12÷4 ＝3（厘米） 答：这个圆柱的高是3厘米。 【考点六】等积变形问题其一：熔铸问题 方法点拨 解决等积变形问题的关键是抓住“体积不变”，先求出物体的体积，然后根据问题对应图形的体积公式进行解答；也可以根据“变形前的体积=变形后的体积”列方程解答。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 有一个长方体铁块，长8分米，宽4分米，高3分米。把它完全铸成一个圆柱，圆柱的底面半径是5分米，高是多少分米？（保留一位小数） 【答案】1.2分米 【分析】铁块的体积不变，即熔铸成的圆柱的体积＝长方体体积，要求熔铸成的圆柱体的高，先要计算出长方体的体积，运用长方体的体积＝长×宽×高求出长方体的体积，然后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可解答。 【详解】 （立方分米） （分米） 答：高是1.2分米。 【对应练习1】 把一块底面积是64平方分米，高是8分米的圆柱形铁块熔铸成一个长16分米，宽8分米的长方体。长方体高多少分米？ 【答案】4分米 【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，求出铁块体积，再根据长方体的高＝体积÷长÷宽，列式解答即可。 【详解】64×8÷16÷8 ＝512÷16÷8 ＝4（分米） 答：长方体高4分米。 【对应练习2】 把一块长方体钢坯熔铸成一根底面直径为4分米的圆柱形钢材，求钢材的长度。 【答案】20分米 【分析】把一块长方体钢坯熔铸成一根圆柱形钢材，形状发生变化，但体积不变。 根据公式：长方体的体积＝长×宽×高，先求出长方体钢坯的体积，也是圆柱形钢材的体积；再根据公式：圆柱的底面积＝圆周率×半径×半径，求出圆柱的底面积；最后根据公式：高＝圆柱的体积÷底面积，即可求出圆柱的长度。 【详解】12.56×5×4 ＝62.8×4 ＝251.2（立方分米） 4÷2＝2（分米） 3.14×22＝12.56（平方分米） 251.2÷12.56＝20（分米） 答：钢材的长度是20分米。 【对应练习3】 把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体和一块棱长是5厘米的正方体铁块熔铸成一个圆柱，它的底面半径是4厘米，圆柱的高是多少厘米？这个圆柱重多少克？（每立方厘米铁重7.8克） 【答案】6.25厘米；2449.2克 【分析】根据长方体的体积计算公式，，分别计算出出长方体铁块、正方体铁块的体积，二者体积之和就是铸成的这个圆柱的体积；根据圆柱的体积计算公式即可求出这个圆柱的高； 这个圆柱的克数＝这个圆柱的体积（立方厘米数）×7.8。 【详解】9×7×3＋5×5×5 ＝189＋125 ＝314（立方厘米） 314÷（3.14×42） ＝314÷3.14÷42 ＝100÷16 ＝6.25（厘米） 314×7.8＝2449.2（克） 答：圆柱的高是6.25厘米，这个圆柱重2449.2克。 【考点七】等积变形问题其二：倒水问题 方法点拨 解决等积变形问题的关键是抓住“体积不变”，先求出物体的体积，然后根据问题对应图形的体积公式进行解答；也可以根据“变形前的体积=变形后的体积”列方程解答。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一个长方体容器中有一些果汁，果汁高度为18厘米，然后倒入旁边的圆柱体玻璃杯中，玻璃杯数据从里面量得到。倒满一杯后，长方体容器中果汁高度降至15厘米，这时长方体容器中的果汁大约还有多少升？（保留一位小数）      【答案】1.4升 【分析】根据圆柱的容积公式：V＝πr2h，据此求出圆柱形玻璃杯中果汁的体积，此果汁的体积就是高18－15＝3厘米长方体的容积。然后根据长方体的容积公式：V＝Sh求出长方体容器的底面积，进而求出此时长方体容器中剩下的果汁的升数。 【详解】3.14×（6÷2）2×10 ＝3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝28.26×10 ＝282.6（立方厘米） 282.6÷（18－15） ＝282.6÷3 ＝94.2（平方厘米） 94.2×15＝1413（立方厘米）＝1.413（升）≈1.4（升） 答：这时长方体容器中的果汁大约还有1.4升。 【点睛】本题考查圆柱和长方体的容积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习1】 一个长方体玻璃容器长是20厘米，宽和高都是15厘米。里面盛有12厘米深的水。 （1）与水接触的玻璃面积有多大？ （2）如果把这些水倒入一个底面直径是16厘米，高是20厘米的圆柱形玻璃容器中，水面高约多少厘米？（得数保留整数） 【答案】（1）1140平方厘米 （2）18厘米 【分析】（1）根据题意可知，与水接触的玻璃面积相当于一个无盖的长为20厘米、宽为15厘米、高为12厘米的长方体5个面的面积之和；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算即可。 （2）把长方体容器里的水倒入圆柱形玻璃容器中，那么水的体积不变；先根据长方体的体积公式V＝abh，求出水的体积；再根据圆柱的高h＝V÷S，其中S＝πr2，代入数据计算求出圆柱形容器中水面的高度。 【详解】（1）20×15＋20×12×2＋15×12×2 ＝300＋480＋360 ＝1140（平方厘米） 答：与水接触的玻璃面积有1140平方厘米。 （2）水的体积： 20×15×12 ＝300×12 ＝3600（立方厘米） 圆柱的底面积： 3.14×（16÷2）2 ＝3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 水面高度： 3600÷200.96≈18（厘米） 答：水面高约18厘米。 【点睛】（1）观察图形得出与水接触的面是长方体的哪些面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。 （2）本题考查长方体、圆柱体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键。 【对应练习2】 小红做实验时要将装在长方体容器中的酒精溶液（如图1），倒入圆柱体容器中（如图2），请问酒精溶液在圆柱体容器中的液面高度是多少分米？（图中单位为“分米”）    图1                             图2 【答案】2分米 【分析】先根据长方体的体积求出酒精溶液的体积；再根据圆的面积求出圆柱的底面积；由圆柱的体积可推导出圆柱的高，据此求出酒精溶液在圆柱体容器中的液面高度。 【详解】4×2×3.14÷[3.14×（4÷2）2] ＝8×3.14÷[3.14×22] ＝25.12÷[3.14×4] ＝25.12÷12.56 ＝2（分米） 答：酒精溶液在圆柱体容器中的液面高度是2分米。 【点睛】解决此题的关键是明确酒精溶液从长方体容器倒入圆柱体容器后，形状发生了变化，但体积不变。 【对应练习3】 有两个高度相等的容器和，已知容器半径是6厘米，容器的半径是8厘米，现在把容器装满水，然后全部倒入容器中，测得容器中的水深比容器高的低了3厘米。求、两个容器的高是多少厘米？ 【答案】16厘米 【分析】把容器的高的高度看作单位“1”，设容器的高为厘米，根据分数乘法的意义，则容器中的水深就是厘米，根据等量关系：水的体积前后没有改变，利用圆柱的体积公式：V＝πr2h，即可列出方程解决问题。 【详解】解：设容器的高度为厘米，则容器中的水深就是厘米。由题意得： 所以容器的高是16厘米。 因为容器、的高度相等， 所以容器的高度也是16厘米。 答：、两个容器的高都是16厘米。 【点睛】本题考查了等积变形，关键是理解水的体积前后没有改变，掌握相应的体积公式是解答本题的关键。 【考点八】等积变形问题其三：利用转化法求不规则物体的体积 方法点拨 求不规则物体的体积或容积，可以利用体积不变的特性和转化的方法，将不规则物体转化成规则物体进行计算。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 下图，在瓶子内倒入150毫升水，其水的高度是6厘米，把瓶盖拧紧倒置，无水部分是个圆柱形，高度是18厘米。这个瓶子的容积是多少？ 【答案】600毫升 【分析】根据圆柱的容积公式：V＝Sh，用150除以6即可求出瓶子的底面积，再用瓶子的底面积乘（6＋18）厘米，据此可求出瓶子的容积。 【详解】150÷6×（6＋18） ＝25×24 ＝600（毫升） 答：这个瓶子的容积是600毫升。 【点睛】本题考查圆柱的容积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习1】 一种饮料瓶形状如图，倒入300毫升水后，水面高度是10厘米。把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高8厘米。这个瓶子的容积是多少？ 【答案】540毫升 【分析】由题意可知，饮料瓶和的水的容积都不变。当饮料瓶正放时，水的容积等于饮料瓶底面积乘水的高度，由此可以用水的容积除以水的高度求出饮料瓶的底面积。当饮料瓶倒置时，无水部分的容积等于饮料瓶底面积乘无水部分的高。最后把水的容积加无水部分的容积就是瓶子的容积，据此解答。 【详解】300÷10＝30（平方厘米） 30×8＝240（毫升） 300＋240＝540（毫升） 答：这个瓶子的容积是540毫升。 【对应练习2】 一个水瓶的瓶身高20cm（如图），当向瓶子里倒入300mL水时，水面高是瓶身高的一半。若把瓶盖拧紧后倒置放平，则水面高13cm。这个瓶子的容积是多少毫升？ 【答案】510mL 【详解】300mL＝300cm3   300÷（20÷2）＝30（cm2） 30×（20－13）＋300＝510（cm3）   510cm3＝510mL 答：这个瓶子的容积是510mL。 【对应练习3】 下图是玻璃材质的饮料瓶，从外面测得瓶高，瓶底直径。 （1）如果以12瓶一箱按上图方式摆放，则制作这样的一只包装箱至少要用硬板纸至少多少平方厘米？（接头、空隙均忽略不计） （2）把600毫升的饮科倒入瓶中，其正放、倒放饮料的高度如下图，求这个瓶的最大容积。 【答案】（1）6600平方厘米；（2）1升 【分析】（1）饮料瓶放3排，每排4瓶，此时包装箱的尺寸长是40厘米、宽是30厘米，高是30厘米，根据长方体表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，即可解答； （2）已知瓶内饮料容积600毫升，也就是600立方厘米，正放水深12厘米，根据圆柱体积公式：，求出瓶子底面积，进而求出瓶子倒放时底部到水面空间容积，以此解答。 【详解】（1）10×3＝30（厘米） 10×4＝40（厘米） （30×40＋30×30＋40×30）×2 ＝（1200＋900＋1200）×2 ＝3300×2 ＝6600（平方厘米） 答：制作这样的一只包装箱至少要用硬板纸至少6600平方厘米。 （2）600毫升＝600立方厘米 瓶子内底面积：600÷12＝50（平方厘米） 瓶子倒放时上空的容积：50×8＝400（立方厘米） 瓶子的容积：600＋400＝1000（立方厘米）＝1升 答：这个瓶的最大容积是1升。 【点睛】此题主要考查学生对长方体表面积和圆柱容积的解题能力。 【考点九】排水法求不规则物体的体积其一：求体积 方法点拨 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 小丁为了测量一个鸡蛋的体积，按以下步骤进行实验： 步骤一：拿一个圆柱形状的玻璃杯，从里面量得底面直径是长8厘米，高15厘米； 步骤二：把鸡蛋放入玻璃杯，然后倒入一定量的水后，使鸡蛋完全浸入水中，这时水面高8厘米； 步骤三：将这个鸡蛋取出，量得水面的高度是7厘米。 根据以上信息，请你计算这个鸡蛋的体积。 【答案】50.24立方厘米 【分析】鸡蛋的体积等于下降部分水的体积，下降水的高度利用放入鸡蛋后水的高度减去拿出鸡蛋后水的高度，再根据圆柱的体积：V＝πr2h，代入数据计算即可。 【详解】8÷2＝4（厘米） 4×4×3.14×（8－7） ＝16×3.14×1 ＝50.24（立方厘米） 答：这个鸡蛋的体积是50.24立方厘米。 【对应练习1】 晶晶的爸爸在“琉璃厂”买了一块砚台，为了测量它的体积，做了以下试验： ①天平称出这块砚台的质量是1.44千克； ②天平称出1立方分米砚台材料质量为2.5千克； ③测量一个圆柱形玻璃容器的底面半径是8厘米； ④用直尺量出容器的高是10厘米； ⑤在容器里注入一定量的水，量出水面高度为5厘米； ⑥将砚台完全浸入水中（水未溢出），量出水面高度为8厘米。 根据信息，你能用两种不同的方法求出这块砚台的体积吗？（π取值3进行计算） 【答案】0.576立方分米，两种方法见详解 【分析】要想求出砚台的体积，可以从质量和体积的关系思考计算，也可以从注水之后，水位的变化高度来思考计算。 方法一：利用质量和体积的关系来进行计算。 结合①和②中的数据可知：1立方分米砚台材料质量为2.5千克，而这块砚台的质量是1.44千克，根据“包含”除法的意义，直接用除法即可求出这块砚台的体积。 方法二：利用水位的变化高度进行计算。 把砚台放入有水的圆柱形容器，水量发生了变化，其中水位上升部分的体积就是这块砚台的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】方法一：利用质量和体积的关系来进行计算。 1.44÷2.5＝0.576（立方分米） 方法二：利用水位的变化高度进行计算。 3×8×8×（8－5） ＝3×64×3 ＝192×3 ＝576（立方厘米） 576立方厘米＝0.576立方分米 答：这块砚台的体积是0.576立方分米。 【点睛】本题考查不规则物体的体积的测量方法以及应用，“包含”除法的应用，圆柱的体积公式的应用。再进行计算的时候要分清楚方法，选择对应数据进行计算。 【对应练习2】 为测量一个不规则铁块的体积，一个学习小组做了以下实验： ①用天平称出这个铁块的重量是1.22千克；②测量出一个圆柱形容器的底面半径是5厘米；③用直尺量出圆柱形容器的高是10厘米；④在容器里注入一定量的水，量出水面高度为6厘米；⑤将铁块浸没水中（水没溢出），量出水面高度为8厘米。 要求出这个铁块的体积，记录单里，哪些信息是必须的？根据选出的信息，可得这个铁块的体积是多少？ 【答案】②④⑤；157立方厘米 【分析】将铁块浸没水中（水没溢出），水面上升的体积就是铁块的体积，圆柱形容器底面积×水面上升的高度＝铁块的体积，因此需要知道②圆柱形容器的底面半径（求底面积），还需要知道④水面原来的高度和⑤浸入铁块后水面高度（求水面上升的高度），据此分析。 【详解】3.14×52×（8－6） ＝3.14×25×2 ＝157（立方厘米） 答：记录单里②④⑤这些信息是必须的，根据选出的信息，可得这个铁块的体积是157立方厘米。 【对应练习3】 拓展课上，徐老师和四名同学测量一些螺丝钉的体积，合作进行如下操作： （1）小潜准备了一个圆柱体玻璃杯，从里面测得底面直径是6厘米，高是10厘米。 （2）小阳往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离之比是1∶1. （3）小龙把30枚螺丝钉放入水中（螺丝钉完全浸没在水中）。 （4）小霞测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3∶2. 请根据以上信息，计算出一枚螺丝钉的体积。 【答案】0.942立方厘米 【分析】根据题意，通过两次距离之比，分别求出放螺丝钉前后的水的高度，结合圆柱的体积公式：，用3.14乘上半径的平方再乘上两次水的高度之差，可算出30枚螺丝钉的体积，再除以30即可得出答案。 【详解】因为高是10cm，所以放螺丝钉之前水的高度： 10× ＝10× ＝5（厘米） 放螺丝钉之后水的高度： 10× ＝10× ＝6（厘米） 3.14××（6－5） ＝3.14××1 ＝3.14×9×1 ＝28.26×1 ＝28.26（立方厘米） 28.26÷30＝0.942（立方厘米） 答：一枚螺丝钉的体积是0.942立方厘米。 【考点十】排水法求不规则物体的体积其二：求水深或物高 方法点拨 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 有一只底面半径为3dm的圆柱形水桶，桶内盛满水，并浸有一块底面为正方形边长为2dm的长方体铁块（完全浸没水中）。当铁块从水中完全取出时，桶内的水面下降了5cm，求这块长方体铁块的高。（得数保留一位小数） 解析： 5厘米＝0.5分米； 3.14×3²×0.5÷（2×2） ＝14.13÷4 ≈3.5（分米） 答：这块长方体铁块的高是3.5分米。 【对应练习1】 将石块放入A容器中（全部淹没水中），水位上升2.5厘米，如果将其放入B容器中（全部淹没水中），水位会上升多少厘米？（水没有溢出）    解析： 12×8×2.5÷60 ＝240÷60 ＝4（厘米） 答：水位会上升4厘米。 【对应练习2】 在一个长方体容器内盛满水，从里面量测得它的长是10cm、宽10cm、高20cm，容器内完全浸没了一个底面半径是4cm，高5cm的圆柱体铁块，如果把铁块完全取出，容器内的水面会下降多少cm？ 解析： 圆柱容积：3.14×42×5＝251.2（cm3） 水面下降：251.2÷10÷10＝2.512（cm） 答：如果把铁块完全取出，容器内的水面会下降2.512cm。 【对应练习3】 在一个底面半径为的圆柱形水桶里，有一段底面半径为的圆柱形钢材浸没在水中。把钢材从水桶中取出后，桶里水的高度下降了，这段钢材有多长？ 解析： ＝5024×6 ＝30144（立方厘米） 答：这段钢材有长。 【考点十一】排水法求不规则物体的体积其三：溢水问题 方法点拨 溢水问题，由于物体放入容器中有水溢出，所以物体的体积应由水上升部分的体积加上水溢出部分的体积，即：V物体=V上升部分+V溢出部分 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 在一个装有部分水的圆柱形容器中（如图）放入一块石头，结果溢出了的水。这块石头的体积是多少立方厘米？ 解析：上升的水的体积＋溢出水的体积就是这块石头的体积。 答：这块石头的体积是2530立方厘米。 【对应练习1】 把一个铁圆锥放入底面半径是10cm的盛满水的圆柱形容器里，溢出了150.72cm³的水，如果取出这个圆锥，容器里的水面将下降多少？ 解析： 150.72÷（3.14×10） ＝150.72÷314 ＝0.48（厘米） 答：容器里的水面将下降0.48厘米。 【对应练习2】 一个盛有水的圆柱形容器的底面直径是10厘米，水深12厘米，放入一块石头，从容器中溢出50毫升水，这个容器的高是22厘米，石头的体积是多少？ 解析： 50毫升＝50立方厘米 石头体积： 3.14×（10÷2）2×（22－12）＋50 ＝3.14×25×10＋50 ＝78.5×10＋50 ＝785＋50 ＝835（立方厘米） 答：石头的体积是835立方厘米。 【对应练习3】 一个底面直径是6dm、高7dm的圆柱形玻璃器皿里装有5dm深的水，现将一块棱长为4dm的正方体铁块放入水中，铁块沉入水底。容器里会溢出多少升的水？ 解析： 6÷2＝3（分米） 4×4×4－3.14×3×（7－5） ＝64－56.52 ＝7.48（立方分米） ＝7.48（升） 答：容器里会溢出7.48升的水。 【考点十二】长方体中的最大圆柱与圆柱中的最大长方体 方法点拨 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题1】长方体中的最大圆柱 一个长方体木块，长为10分米、宽为8分米、高为6分米，把它削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？ 【答案】301.44立方分米 【分析】根据长方体切割出最大圆柱的特点可知，有3种切割方法：（1）以8分米为底面直径，以6分米为圆柱高；（2）以6分米为底面直径，10分米为高；（3）以6分米为底面直径，8分米为高；由此利用圆柱的体积公式计算出它们各自的体积，即可求得这个圆柱的最大体积是多少。 【详解】（1）以8分米为底面直径，以6分米为圆柱高； 体积为：3.14××6 ＝3.14×16×6 ＝301.44（立方分米） （2）以6分米为底面直径，10分米为高； 3.14××10 ＝3.14×9×10 ＝282.6（立方分米） （3）以6分米为底面直径，8分米为高； 3.14××8 ＝3.14×9×8 ＝226.08（立方分米） 答：这个最大圆柱的体积是301.44立方分米。 【点睛】此题要抓住长方体内切割最大圆柱的方法，得出以上3种不同的切割方法进行计算，得出体积最大的那个圆柱的体积。 【对应练习1】 长方体的高是5厘米，上底、下底是边长4厘米的正方形，把它削成最大的圆柱。计算出圆柱的体积。 【答案】62.8cm3 【分析】由题意分析可知，圆柱的底面直径是长方体底面的边长，即4厘米，高等于长方体的高，然后根据圆柱的体积公式进行计算即可。 【详解】3.14×（4÷2）2×5 ＝3.14×4×5 ＝62.8（立方厘米） 答：圆柱的体积是62.8立方厘米。 【点睛】本题主要考查长方体和圆柱的关系以及圆柱的体积公式。 【对应练习2】 在一个长、宽、高分别是2dm、2dm、5dm的长方体盒子中，正好能放下一个圆柱，形物体（如图）。这个圆柱形物体的体积最大是多少立方分米？盒子中空余的空间是多少立方分米？ 【答案】15.7立方分米；4.3立方分米 【分析】观察图形，根据长方形内最大的圆的特点可知，这个圆柱的底面直径是2分米，高等于长方体的高，是5分米，据此利用圆柱的体积＝πr2h，代入数据即可解答；用长方体的体积－圆柱体的体积，即可得出盒子中空余的空间的体积。 【详解】3.14×（2÷2）2×5 ＝3.14×1×5 ＝15.7（立方分米） 2×2×5－15.7 ＝20－15.7 ＝4.3（立方分米） 答：这个圆柱形物体的体积最大是15.7立方分米，盒子空余的空间是4.3立方分米。 【点睛】此题考查圆柱与长方体的体积公式的计算应用，关键是明确圆柱的底面直径和高。 【对应练习3】 汪师傅把一块长40cm、宽30cm、高20cm的长方体木料加工成一个圆柱体，聪聪利用所学的知识提了建议，加工后的圆柱体体积最大，加工后的体积是多少？ 【答案】14130立方厘米 【分析】根据题干，这里有两种最大的加工方法：以20厘米为底面直径，以40厘米为高；以30厘米为底面直径，以20厘米为高，由此利用圆柱的体积公式进行计算比较即可解决问题。 【详解】以20厘米为底面直径，以40厘米为高： 3.14×（20÷2）2×40 ＝3.14×100×40 ＝12560（立方厘米） 以30厘米为底面直径，以20厘米为高： 3.14×（30÷2）2×20 ＝3.14×225×20 ＝14130（立方厘米） 则14130＞12560 答：以30厘米为底面直径，以20厘米为高加工的圆柱的体积最大，是14130立方厘米。 【点睛】根据长方体内加工最大的圆柱的特点，得出两种加工方法，是解决此类问题的关键。 【典型例题2】圆柱中的最大长方体 一个圆柱木料的底面直径6分米，高9分米，把它加工成一个最大的长方体。这个长方体的体积是多少立方分米？ 【答案】162立方分米 【分析】根据题干，这个最大的长方体的高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径。正方形的面积＝对角线×对角线÷2，据此先求出长方体的底面积。再根据“长方体体积＝底面积×高”求出这个长方体的体积。 【详解】6×6÷2×9 ＝36÷2×9 ＝18×9 ＝162（立方分米） 答：这个长方体的体积是162立方分米。 【对应练习】 一个圆柱体的底面周长是62.8厘米，高是30厘米，把它加工成一个最大的长方体，削去部分的体积是多少立方厘米？ 【答案】3420立方厘米 【分析】削去的体积＝圆柱的体积﹣长方体的体积，根据题干分析可得，削出的这个长方体的高是3分米，底面积是圆柱的底面圆的内接正方形，这个正方形的面积＝圆柱的底面直径×半径，即2r2，由此利用圆柱和长方体的体积公式即可解答。 【详解】圆柱的底面直径是：62.8÷3.14＝20（厘米），半径是：20÷2＝10（厘米）， 3.14×102×30﹣20×10÷2×2×30， ＝3.14×100×30－200×30 ＝9420﹣6000， ＝3420（立方厘米）； 答：应削去3420立方厘米。 【点睛】此题考查圆柱和长方体的体积公式的灵活应用，关键是根据圆内接正方形的特点求出长方体的底面积。 【考点十三】正方体中的最大圆柱 方法点拨 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 把一个棱长是12.56米的正方体，削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少？ 【答案】1555.38739456立方米 【分析】消成的最大圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，根据圆柱的体积＝底面积×高解答。 【详解】12.56÷2＝6.28（米） 3.14××12.56 ＝3.14×39.4384×12.56 ＝123.836576×12.56 ＝1555.38739456（立方米） 答：圆柱的体积是1555.38739456立方米。 【对应练习1】 一个棱长是6厘米的正方体，削成体积最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是多少？ 【答案】169.56立方厘米 【分析】由题意可知：这个圆柱体的直径和高均为正方体的棱长，然后再依据圆柱的体积公式，V＝Sh即可解答。 【详解】3.14×（6÷2）2×6 ＝28.26×6 ＝169.56（立方厘米） 答：这个圆柱体的体积是169.56立方厘米。 【点睛】本题主要考查了圆柱的体积计算公式的应用，解答本题需要明确：这个圆柱体的直径和高均为正方体的棱长，这是解答本题的关键所在。 【对应练习2】 美术室有一块棱长2分米的正方体石膏。把这块石膏加工成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少立方分米？ 【答案】6.28立方分米 【分析】由题意可知，这个圆柱的底面直径和高相当于正方体的棱长，然后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此代入数值进行计算即可。 【详解】3.14×（2÷2）2×2 ＝3.14×1×2 ＝6.28（立方分米） 答：圆柱的体积是6.28立方分米。 【点睛】本题考查圆柱的体积，明确圆柱的底面直径和高相当于正方体的棱长是解题的关键。 【对应练习3】 为丰富校园文化生活，培养学生的创新精神和实践能力，学校要举办2021年度的大型科技文化节。科技组在制作过程中需要将一块正方体木料加工成一个最大的圆柱（如下图），已知它的棱长是8dm，求这个圆柱的体积是多少？ 【答案】401.92dm3 【分析】把正方体加工成一个最大的圆柱，也就是圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h，代入数据计算即可。 【详解】3.14×2×8 ＝3.14×16×8 ＝401.92（dm3） 答：这个圆柱的体积是401.92dm3。 【点睛】解答此题重点弄清：把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径和高与正方体棱长的关系，再利用公式解答。 【考点十四】求组合立体图形的体积 方法点拨 求组合立体图形的体积，注意分析该图是由些立体图形组合而成的，再分别求出各图形的体积，最后相加或相减。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题】 1．【相减法】下面几何体是用铁制作的，中间有一个圆柱形孔，求它所用的铁的体积。 【答案】632.88cm3 【分析】由图可知，这个几何体的体积＝长方体的体积－圆柱的体积，根据长方体体积公式V＝abc，圆柱体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【详解】12×9×9＝972（cm3） 6÷2＝3（cm） 3.14×32×12 ＝3.14×9×12 ＝28.26×12 ＝339.12（cm3） 972－339.12＝632.88（cm3） 这个几何体所用的铁的体积是632.88cm3。 2．【相加法】计算下面图形的体积。 【答案】429.44立方分米 【分析】这个图形包括圆柱和长方体两部分： 圆柱体的高为6分米，底面圆直径为8分米，，代入数据即可求出圆柱体体积； 长方体的长为8分米，宽为8分米，高为2分米，，代入数据即可求出长方体的体积； 将二者的体积加在一起即可求出图形的体积。 【详解】 （立方分米） （立方分米） 301.44＋128＝429.44（立方分米） 即这个图形的体积为429.44立方分米。 【对应练习1】 求出下面图形的体积。（单位：厘米） 【答案】2512立方厘米 【分析】观察可知，图形的体积等于上面小圆柱体积加下面大圆柱体积，根据半径＝直径÷2，圆柱的体积公式，代入数据计算即可。 【详解】 （立方厘米） 【对应练习2】 求下面立体图形的体积。 【答案】1392.5cm3 【分析】观察图形可知，立体图形的体积＝棱长是10cm的正方体的体积＋半径是（10÷2）cm，高是10cm的圆柱的体积的一半，根据正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，圆柱的体积公式：体积＝π×半径2×高，代入数据，即可解答。 【详解】10×10×10＋3.14×（10÷2）2×10÷2 ＝10×10×10＋3.14×52×10÷2 ＝100×10＋3.14×25×10÷2 ＝1000＋78.5×10÷2 ＝1000＋785÷2 ＝1000＋392.5 ＝1392.5（cm3） 立体图形的体积是1392.5cm3。 【对应练习3】 求出下面圆柱体空心钢管的体积。（单位：厘米） 【答案】2512立方厘米 【分析】由图可知，大圆柱的底面直径是12厘米，小圆柱的底面直径是8厘米，它们的高都是40厘米，，圆柱体空心钢管的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积，据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝800×3.14 ＝2512（立方厘米） 所以，圆柱体空心钢管的体积是2512立方厘米。 【考点十五】求不规则立体图形的体积其一 方法点拨 求不规则圆柱体的体积，注意分析图形，寻找底面半径和高，再根据公式求体积。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题】 如图，一根长1m，横截面直径为10cm的圆柱形木头浮在水面上，东东发现它正好是一半露出水面，露出水面的木头的体积是多少立方厘米？ 解析： 1m＝100cm 3.14×（10÷2）2×100÷2 ＝3.14×25×100÷2 ＝3925（立方厘米） 答：露出水面的木头的体积是3925立方厘米。 【对应练习1】 求下面个圆柱的体积和表面积。（单位：） 解析： 体积： ＝226.08÷4 ＝56.52（立方厘米） 表面积： ＝14.13＋48＋37.68 ＝99.81（平方厘米） 【对应练习2】 计算下面图形的和体积。 半圆柱的底面直径是10cm 解析： V＝15×20×30－×3.14××30 ＝9000-1177.5 ＝7822.5() 【对应练习3】 求图形的体积（单位：厘米）（π取3.14）。 【答案】214.2立方厘米 【分析】观察图形可知，图形的体积＝圆柱的体积×＋长方体的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算即可求解。 【详解】3.14×22×10×＋6×10×2 ＝3.14×4×10×＋60×2 ＝94.2＋120 ＝214.2（立方厘米） 图形的体积是214.2立方厘米。 【考点十六】求不规则立体图形的体积其二 方法点拨 计算不规则立体图形的体积时，可以先构造一个规则的立体图形，然后根据规则的立体图形的体积公式推算出不规则立体图形的体积。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题】 世间万物千姿百态，下图就是一个不规则的立体图形。你能计算它的体积（单位：厘米）吗？ 解析： 3.14×（4÷2）2×（4＋6） ＝3.14×4×10 ＝3.14×40 ＝125.6（立方厘米） 125.6÷2＝62.8（立方厘米） 答：它的体积是62.8立方厘米。 【对应练习1】 纪念品店加工一种艺术节比赛奖杯（如图）。加工时，一个有机玻璃圆柱正好可以截成两个这样的奖杯。求一个奖杯的体积。 解析： ＝1507.2÷2 ＝753.6（立方厘米） 答：一个奖杯的体积为。 【对应练习2】 如图是圆木沿某一平面截去一部分后的剩余部分，请计算剩余部分的体积。（单位：厘米） 解析： 3.14×（）2×13+3.14×（）2×（15﹣13）÷2 =3.14×9×13+3.14×9×2÷2 =367.38+28.26 =395.64（立方厘米） 答：这个立体图形的体积是395.64立方厘米。 【对应练习3】 右图是一个底面半径为3厘米的圆柱木块被削去一半后的形状，请你计算出它的体积。 解析： 7﹣5＝2（ 厘米） 3.14×32×2÷2＝28.26（立方厘米） 3.14×32×5＝141.3（立方厘米） 28.26＋141.3＝169.56（立方厘米） 答：它的体积是169.56立方厘米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 10】数学创作社 2026年1月26日晚 第1页共55页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春】 第二单元圆柱和圆锥圆柱的体积和容积篇其二进阶应用【十六大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 第二单元圆柱和圆锥·圆柱的体积和容积篇其二·进阶应用 知专题内容 本专题以圆柱体积的进阶问题为主，其中包括旋转构成法，切拼问题，等积变 形问题，排水法求不规则物体的体积，以及求不规则或组合立体图形的体积问 题等内容。 ⊙评价体系 基础：★：迁移：★★：综合：★★★：多维度：☆★★★：重难点：★★★★★ 旦讲解建议 本专题作为圆柱体积的进阶内容，考点划分较多，不易理解，考查难度较大， 题型多以填空、计算、应用等题型为主，建议作为本章核心内容进行讲解，并 根据学生实际水平和总体情况选择性进行讲解。 回考点数量 十六大考点 第二篇章 考点导航篇 只【考点一】圆柱的旋转构成法在体积中的应用其一：求体积… …4 原【考点二】圆柱的旋转构成法在体积中的应用其上：卷圆柱的最大体积问题★★★★★8 冥【考点三】圆柱的切拼问题在体积中的应用其一：高的变化引起的表面积变化…14 只【考点四】圆柱的切拼问题在体积中的应用其二：“横切”与"竖切”…7 只【考点五】圆柱的切拼问题在体积中的应用其三：圆柱与长方体的拼切转化引起的表面积变化…21 只【考点六】等积变形问题其一：熔铸问题… .24 冥【考点七】等积变形问题其二：倒水问题 ..26 原【考点八】等积变形问题其三：利用转化法求不规则物体的体积★★★★★ .30 第2页共55页 品学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 冥【考点九】排水法求不规则物体的体积其一：求体积… 34 只【考点十】排水法求不规则物体的体积其二：求水深或物高…。 .37 只【考点十一】排水法求不规则物体的体积其三：溢水问题★★★★★… 39 具【考点十二】长方体中的最大圆柱与圆柱中的最大长方体. ..41 原【考点十三】正方体中的最大圆柱… ..45 冥【考点十四】求组合立体图形的体积。 .…47 俱【考点十五】求不规侧立体图开形的体积其-50 原【考点十六】求不规则立体图开形的体积其二★★★★★.53 第3页共55页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 原【考点一】圆柱的旋转构成法在体积中的应用其一：求体积 耍方法点拨 圆柱的旋转构成法，即长方形在旋转时， 以不同的边作为轴进行旋转所得到 的圆柱是不一样的，分别以长方形的长和宽为轴旋转一周得到两个圆柱，为 轴的边就是圆柱的高()，与轴相邻的边就是圆柱的底面半径(r)。其中 以较短的一条边为轴旋转一周得到的圆柱的体积较大。 目考察形式 应用 過动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 下面这个长方形的长是20厘米，宽是10厘米。分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱。 它们的体积各是多少？ 20 cm 【答案】6280立方厘米，12560立方厘米 【分析】圆柱的体积=π2h,当以长为轴旋转一周时，这个圆柱体的底面半径是10厘米，高 为20厘米，再根据圆柱的体积公式算体积：当以宽为轴旋转一周时，这个圆柱体的底面半径 是20厘米，高为10厘米，再根据圆柱的体积公式算体积。 【详解】以长为轴旋转一周 3.14×102×20 =3.14×100×20 =6280(立方厘米) 以宽为轴旋转一周 3.14×202×10 =3.14×400×10 =12560(立方厘米) 答：以长为轴旋转一周的圆柱的体积为6280立方厘米，以宽为轴旋转一周的圆柱的体积为 第4页共55页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 12560立方厘米。 0【对应练习1】 把同一个长方形分别以长和宽所在直线为轴旋转一周（如下图），形成的圆柱是什么样子？ 2cm 2cm 方法一 方法二 (1)先下表补充完整。 方法 底面半径 高 表面积 体积 2cm 1cm ()cm2 ()cn3 1cm 2cm ( )cm2 ()cm3 (2)观上表， 你发现用不同的方法旋转得到的圆柱，体积和表面积有什么不同？ 【答案】(1)37.68：12.56 18.84:6.28 (2)见详解 【分析】(1)根据题意，方法一是将长方形绕着宽旋转一周，得到一个圆柱体，那么这个圆 柱的底面半径等于长方形的长，圆柱的高等于长方形的宽； 方法二是将长方形绕着长旋转一周，得到一个圆柱体，那么这个圆柱的底面半径等于长方形的 宽，圆柱的高等于长方形的长； 然后根据圆柱的表面积S表=S侧十2S底，其中S侧=2πh,S底=π2：圆柱的体积公式V=h, 分别代入数据计算求出两种方法形成的圆柱的表面积和体积，并将表格补充完整。 (2)比较两种方法得到的圆柱的体积、表面积的大小，得出结论。 【详解】(1)方法一： 圆柱的表面积： 2×3.14×2×1+3.14×22×2 =3.14×4+3.14×4×2 =12.56+25.12 第5页共55页 多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =37.68(平方厘米) 圆柱的体积： 3.14×22×1 =3.14×4×1 =12.56(立方厘米) 方法二： 圆柱的表面积： 2×3.14×1×2+3.14×12×2 =3.14×4+3.14×1×2 =12.56+6.28 =18.84(平方厘米) 圆柱的体积： 3.14×12×2 =3.14×1×2 =6.28(立方厘米) 方法 底面半径 高 表面积 体积 2cm 1cm 37.68cn2 12.56cm3 1cm 2cm 18.84cm2 6.28cm3 (2)37.68>18.84 12.56>6.28 答：方法一得到的圆柱的表面积和体积比方法二的大。 【点睛】本题考查圆柱的表面积、体积公式的运用，关键是弄清长方形的哪条边是圆柱的高， 哪条边是圆柱的底面半径。 肥【对应练习2】 下面这个长方形的长是10厘米，宽是2厘米，分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱体。 10cm 第6页共55页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ①以宽为轴旋转一周后得到的圆柱的占地面积是多少平方厘米？ ②以长为轴旋转一周后得到的圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】①314平方厘米 ②125.6立方厘米 【分析】①以宽为轴旋转一周后得到的圆柱的底面半径是10厘米，根据圆的面积公式：S=π， 据此求出占地面积即可； ②以长为轴旋转一周后得到的圆柱的底面半径是2厘米，高是10厘米，根据圆柱的体积公式： V=πh,据此代入数值进行计算即可。 【详解】①3.14×102=314（平方厘米） 答：以宽为轴旋转一周后得到的圆柱的占地面积是314平方厘米。 ②3.14×22×10 =3.14×4×10 =12.56×10 =125.6(立方厘米) 答：以长为轴旋转一周后得到的圆柱的体积是125.6立方厘米。 【点睛】本题考查圆柱的体积，熟记公式是解题的关键。 肥【对应练习3】 一块长方形硬纸板，长20厘米，宽12厘米，现绕着它的一条对称轴旋转180度，转过部分的 体积最大是多少？ 【答案】3768立方厘米 【分析】长方形有2条对称轴，绕如图 中的对称轴旋转，分别得到圆 柱，圆柱底面半径=长方形的长-2，圆柱的高=长方形的宽，（或圆柱底面半径=长方形的宽 2,圆柱的高=长方形的长)，根据圆柱体积=底面积×高，分别求出体积，比较即可。 【详解】3.14×(20-2)2×12 =3.14×100×12 第7页共55页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =3768(立方厘米) 3.14×(12÷2)}×20 =3.14×36×20 =2260.8(立方厘米) 3768>2260.8 答：转过部分的体积最大是3768立方厘米。 【点睛】关键是熟悉圆柱特征，掌握圆柱体积公式。 原【考点二】圆柱的旋转构成法在体积中的应用其二：卷圆柱的最大体积问题 职方法点拨 ①同一个长方形，以长为底面周长比以宽为底面周长卷成的圆柱体积大： ②侧面积相等的圆柱，底面周长比高大得越多，体积就越大，否则就越小。 目考察形式 应用 蜀动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 如图一张长方形纸，沿着长或宽卷一卷、转一转，可以变出四种不同的圆柱体。不考虑粘结处， 要使变成的圆柱体最大。比较四个圆柱体，解决下列问题。 3 5cm (1)哪几个立体图形的侧面积相等？ (填序号) (2)圆柱①和圆柱②相比，哪个体积大？它的体积是多少立方厘米？ (3)圆柱③和圆柱④相比，哪个体积大？它的体积是多少立方厘米？ 【答案】(1)圆柱①和圆柱②、圆柱③和圆柱④ (2)圆柱①：5立方厘米 (3)圆柱③：314立方厘米 【分析】(1)由图可知，圆柱①和圆柱②的侧面积都等于这个长方形的面积，因此： 圆柱①和圆柱②的侧面积相等： 圆柱③的底面半径是5厘米，高是4厘米：圆柱④的底面半径是4厘米，高是5厘米：根据圆 柱的侧面积=2πh,分别求出③和④的侧面积，最后比较大小即可： 第8页共55页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)由图可知，园柱0的底面半径是（)厘米，高是4厘米：圆柱②的底面半径是（点 厘米，高是5厘米；根据圆柱的体积=h,把数据代入求解然后比较大小即可： (3)由图可知，圆柱③的底面半径是5厘米，高是4厘米：圆柱④的底面半径是4厘米，高 是5厘米；根据圆柱的体积=πh,，把数据代入求解然后比较大小即可。 【详解】(1)圆柱①的侧面积：5×4=20（平方厘米） 圆柱②的侧面积：5×4=20（平方厘米） 圆柱③的侧面积：2×3.14×5×4 =6.28×5×4 =31.5×4 =125.6(平方厘米) 圆柱④的侧面积：2×3.14×4×5 =6.28×4×5 =25.12×5 =125.6(平方厘米) 所以，圆柱①和圆柱②、圆柱③和圆柱④的侧面积相等。 (2)圆柱①的体积：π×(3)2×4 2π =πx25 4玩24 36 = (立方厘米) 4 圆柱②的体积：π×()2×5 2兀 4 ×5 20 (立方厘米) 25>20 兀 所以圆柱①的体积大。 答：圆柱①的体积大，它的体积是5立方厘米。 (3)圆柱③的体积：3.14×52×4 =3.14×25×4 第9页共55页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =78.5×4 =314(立方厘米) 圆柱④的体积：3.14×42×5 =3.14×16×5 =50.24×5 =251.2(立方厘米) 314>251.2 所以圆柱③的体积大。 答：圆柱③的体积大，它的体积是314立方厘米。 0【对应练习1】 下面3张纸的面积都是36平方分米，将这些纸分别按下图所示的方式卷成圆柱，接口处忽略 不计。 ①号 ]2分米 ②号 3分米 ③号 4分米 18分米 12分米 9分米 h=2分米 h=3分米 h=4分米 (1)几号纸卷成的圆柱体积最大？（请写出主要解答过程） (2)通过上面的解答，你有什么发现？ 【答案】(1)①号体积最大 (2)长方形的长是圆柱的周长，周长越大，半径越大，底面积就大，圆柱的体积就大。 【分析】(1)根据圆柱的底面周长公式：C=2π，分别求出3个图形的底面半径，再根据圆 柱的体积公式：V=h,分别求出3个图形的体积，即可比较大小。 (2)根据解答，结合公式可知，长方形的长就是圆柱的周长，周长越大，半径越大，底面积 就大，圆柱的体积就大。 【详解】(1)①号的底面半径：18÷2÷π=9：π（分米） ①号的体积：π×(9÷π)×2 2元× 第10页共55页多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 10】数学创作社 2026年1月26日晚 第1页共31页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春】 第二单元圆柱和圆锥圆柱的体积和容积篇其二进阶应用【十六大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 第二单元圆柱和圆锥·圆柱的体积和容积篇其二·进阶应用 知专题内容 本专题以圆柱体积的进阶问题为主，其中包括旋转构成法，切拼问题，等积变 形问题，排水法求不规则物体的体积，以及求不规则或组合立体图形的体积问 题等内容。 ⊙评价体系 基础：★：迁移：★★：综合：★★★：多维度：☆★★★：重难点：★★★★★ 旦讲解建议 本专题作为圆柱体积的进阶内容，考点划分较多，不易理解，考查难度较大， 题型多以填空、计算、应用等题型为主，建议作为本章核心内容进行讲解，并 根据学生实际水平和总体情况选择性进行讲解。 回考点数量 十六大考点 第二篇章 考点导航篇 只【考点一】圆柱的旋转构成法在体积中的应用其一：求体积… 4 原【考点二】圆柱的旋转构成法在体积中的应用其上：卷圆柱的最大体积问题★★★★★6 冥【考点三】圆柱的切拼问题在体积中的应用其一：高的变化引起的表面积变化…8 只【考点四】圆柱的切拼问题在体积中的应用其二：“横切”与"竖切”…0 只【考点五】圆柱的切拼问题在体积中的应用其三：圆柱与长方体的拼切转化引起的表面积变化…12 只【考点六】等积变形问题其一：熔铸问题… .13 冥【考点七】等积变形问题其二：倒水问题 ..15 原【考点八】等积变形问题其三：利用转化法求不规则物体的体积★★★★★ .17 第2页共31页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 冥【考点九】排水法求不规则物体的体积其一：求体积… .19 只【考点十】排水法求不规则物体的体积其二：求水深或物高…。 …21 只【考点十一】排水法求不规则物体的体积其三：溢水问题★★★★★… 22 具【考点十二】长方体中的最大圆柱与圆柱中的最大长方体. ...23 原【考点十三】正方体中的最大圆柱… .25 冥【考点十四】求组合立体图形的体积。 ..26 俱【考点十五】求不规侧立体图开形的体积其-.28 原【考点十六】求不规则立体图开形的体积其二★★★★★29 第3页共31页 学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 原【考点一】圆柱的旋转构成法在体积中的应用其一：求体积 耍方法点拨 圆柱的旋转构成法，即长方形在旋转时， 以不同的边作为轴进行旋转所得到 的圆柱是不一样的，分别以长方形的长和宽为轴旋转一周得到两个圆柱，为 轴的边就是圆柱的高(h)，与轴相邻的边就是圆柱的底面半径(“)。其中 以较短的一条边为轴旋转一周得到的圆柱的体积较大。 目考察形式 应用 過动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 下面这个长方形的长是20厘米，宽是10厘米。分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱。 它们的体积各是多少？ 20 cm 0【对应练习1】 把同一个长方形分别以长和宽所在直线为轴旋转一周（如下图），形成的圆柱是什么样子？ cm cm 2cm 2cm 方法一 方法二 第4页共31页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)先下表补充完整。 方法 底面半径 高 表面积 体积 2cm 1cm (）cm2 ()cn3 二 1cm 2cm ( ）cm2 ()cm3 (2)观上表， 你发现用不同的方法旋转得到的圆柱，体积和表面积有什么不同？ 即【对应练习2】 下面这个长方形的长是10厘米，宽是2厘米，分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱体。 2cm 10cm ①以宽为轴旋转一周后得到的圆柱的占地面积是多少平方厘米？ ②以长为轴旋转一周后得到的圆柱的体积是多少立方厘米？ 即【对应练习3】 一块长方形硬纸板，长20厘米，宽12厘米，现绕着它的一条对称轴旋转180度，转过部分的 体积最大是多少？ 第5页共31页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点二】圆柱的旋转构成法在体积中的应用其二：卷圆柱的最大体积问题 冥方法点拨 ①同一个长方形，以长为底面周长比以宽为底面周长卷成的圆柱体积大： ②侧面积相等的圆柱，底面周长比高大得越多，体积就越大，否则就越小。 目考察形式 应用 過动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 如图一张长方形纸，沿着长或宽卷一卷、转一转，可以变出四种不同的圆柱体。不考虑粘结处， 要使变成的圆柱体最大。比较四个圆柱体，解决下列问题。 3 5cm (1)哪几个立体图形的侧面积相等？ (填序号) (2)圆柱①和圆柱②相比，哪个体积大？它的体积是多少立方厘米？ (3)圆柱③和圆柱④相比，哪个体积大？它的体积是多少立方厘米？ 肥【对应练习1】 下面3张纸的面积都是36平方分米，将这些纸分别按下图所示的方式卷成圆柱，接口处忽略 不计。 ①号 门2分米 ②号 3分米 ③号 4分米 18分米 12分米 9分米 ↓ h=2分米 h=3分米 h=4分米 (1)几号纸卷成的圆柱体积最大？（请写出主要解答过程） (2)通过上面的解答，你有什么发现？ 第6页共31页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0【对应练习2】 明明要用三个面积相等的长方形围成圆柱的侧面（见如图的示意图），再配合上适合的底面就 成为了圆柱（以水平方向的边作为圆柱的底面周长）。 1cm 2cm 4cm 25.12cm 12.56cm 6.28cm ① ② ③ (1)明明用表格进行了研究，请你帮他把表格补充完整。 图形 长（厘米） 宽（厘米） 圆柱的体积（立方厘米） ① 25.12 ② 12.56 2 ③ 6.28 4 (2)通过观察表格，哪一个长方形围成的圆柱体体积最大呢？你有什么发现？ 肥【对应练习3】 聪聪把一张长方形的硬纸贴在木棒上（如图1），快速转动木棒，转出的形状是()。 图1 明明用一张长6厘米、宽2厘米的硬纸做了这个实验，他尝试了图2中的4种情况（木棒分别 贴在纸的某一条边或某一条边的中间位置)：下面哪种情况转出的立体图形体积最大？为什 第7页共31页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 么？（请说明理由） (① e ③ 4) 图2 原【考点三】圆柱的切拼问题在体积中的应用其一：高的变化引起的表面积变化 冥方法点拨 1.高的变化引起的表面积变化。 圆柱高的变化引起的表面积变化问题，在高的增减变化过程中，圆柱的底面 积并没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以利用侧面积的反 求公式，先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积： 变化的高度。 2.横切引起的表面积变化。 横切引起的表面积变化，即沿着底面或平行于底面的方向将圆柱切一刀，此 时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，如果将圆柱截成几个小圆 柱，增加的表面积为2(n一1)个底面的面积(n为截成的小圆柱的个数)， 与之相反，多个底面相同的小圆柱拼成一个大圆柱，减少的表面积为2( 1)个底面的面积(n为小圆柱的个数)。 3.竖切引起的表面积变化。 竖切引起的表面积变化，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是 长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 目考察形式 应用 過动态评价 ★★★★★ 第8页共31页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 吕【典型例题】 如图，一个圆柱高10厘米，如果它的高增加4厘米，那么它的表面积将增加50.24平方厘米， 求原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 4cm 50.24cm 10cm 即【对应练习1】 一根圆柱形木料，长8米，高减少2厘米，表面积减少18.84平方厘米，这根木料的体积是多 少？ 肥【对应练习2】 如图，一个圆柱高8cm,如果它的高增加4cm,那么它的表面积就增加50.24cm2。求原来圆柱 的体积。 肥【对应练习3】 王大伯家原有一个圆柱形木桶，高是35厘米，他想把这个木桶增高5厘米，则需要增加628 平方厘米的木板，算一算这个木桶增高后的容积是多少立方厘米？ 第9页共31页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点四】圆柱的切拼问题在体积中的应用其二：“横切与“竖切 冥方法点拨 1.高的变化引起的表面积变化。 圆柱高的变化引起的表面积变化问题，在高的增减变化过程中，圆柱的底面 积并没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以利用侧面积的反 求公式，先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷ 变化的高度。 2.横切引起的表面积变化。 横切引起的表面积变化，即沿着底面或平行于底面的方向将圆柱切一刀，此 时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，如果将圆柱截成几个小圆 柱，增加的表面积为2(n一1)个底面的面积（n为截成的小圆柱的个数)， 与之相反，多个底面相同的小圆柱拼成一个大圆柱，减少的表面积为2( 1)个底面的面积(n为小圆柱的个数)。 3.竖切引起的表面积变化。 竖切引起的表面积变化，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是 长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 目考察形式 应用 蜀动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 如图，一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的表面积将增加25.12平方厘米；如果沿 底面直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加40平方厘米，求原圆柱体的体积。（π取3.14） 第10页共31页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2026年1月26日晚 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第二单元圆柱和圆锥·圆柱的体积和容积篇其二·进阶应用【十六大考点】 专题名称 第二单元圆柱和圆锥·圆柱的体积和容积篇其二·进阶应用 专题内容 本专题以圆柱体积的进阶问题为主，其中包括旋转构成法，切拼问题，等积变形问题，排水法求不规则物体的体积，以及求不规则或组合立体图形的体积问题等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题作为圆柱体积的进阶内容，考点划分较多，不易理解，考查难度较大，题型多以填空、计算、应用等题型为主，建议作为本章核心内容进行讲解，并根据学生实际水平和总体情况选择性进行讲解。 考点数量 十六大考点 【考点一】圆柱的旋转构成法在体积中的应用其一：求体积 4 【考点二】圆柱的旋转构成法在体积中的应用其二：卷圆柱的最大体积问题 6 【考点三】圆柱的切拼问题在体积中的应用其一：高的变化引起的表面积变化 8 【考点四】圆柱的切拼问题在体积中的应用其二：“横切”与“竖切” 10 【考点五】圆柱的切拼问题在体积中的应用其三：圆柱与长方体的拼切转化引起的表面积变化 12 【考点六】等积变形问题其一：熔铸问题 13 【考点七】等积变形问题其二：倒水问题 15 【考点八】等积变形问题其三：利用转化法求不规则物体的体积 17 【考点九】排水法求不规则物体的体积其一：求体积 19 【考点十】排水法求不规则物体的体积其二：求水深或物高 21 【考点十一】排水法求不规则物体的体积其三：溢水问题 22 【考点十二】长方体中的最大圆柱与圆柱中的最大长方体 23 【考点十三】正方体中的最大圆柱 25 【考点十四】求组合立体图形的体积 26 【考点十五】求不规则立体图形的体积其一 28 【考点十六】求不规则立体图形的体积其二 29 【考点一】圆柱的旋转构成法在体积中的应用其一：求体积 方法点拨 圆柱的旋转构成法，即长方形在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，分别以长方形的长和宽为轴旋转一周得到两个圆柱，为轴的边就是圆柱的高（h），与轴相邻的边就是圆柱的底面半径（r）。其中以较短的一条边为轴旋转一周得到的圆柱的体积较大。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 下面这个长方形的长是20厘米，宽是10厘米。分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱。它们的体积各是多少？ 【对应练习1】 把同一个长方形分别以长和宽所在直线为轴旋转一周（如下图），形成的圆柱是什么样子？ （1）先下表补充完整。 方法 底面半径 高 表面积 体积 一 2cm 1cm （    ）cm2 （    ）cm3 二 1cm 2cm （    ）cm2 （    ）cm3 （2）观上表，你发现用不同的方法旋转得到的圆柱，体积和表面积有什么不同？ 【对应练习2】 下面这个长方形的长是10厘米，宽是2厘米，分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱体。 ①以宽为轴旋转一周后得到的圆柱的占地面积是多少平方厘米？ ②以长为轴旋转一周后得到的圆柱的体积是多少立方厘米？ 【对应练习3】 一块长方形硬纸板，长20厘米，宽12厘米，现绕着它的一条对称轴旋转180度，转过部分的体积最大是多少？ 【考点二】圆柱的旋转构成法在体积中的应用其二：卷圆柱的最大体积问题 方法点拨 ①同一个长方形，以长为底面周长比以宽为底面周长卷成的圆柱体积大； ②侧面积相等的圆柱，底面周长比高大得越多，体积就越大，否则就越小。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图一张长方形纸，沿着长或宽卷一卷、转一转，可以变出四种不同的圆柱体。不考虑粘结处，要使变成的圆柱体最大。比较四个圆柱体，解决下列问题。 （1）哪几个立体图形的侧面积相等？________（填序号） （2）圆柱①和圆柱②相比，哪个体积大？它的体积是多少立方厘米？ （3）圆柱③和圆柱④相比，哪个体积大？它的体积是多少立方厘米？ 【对应练习1】 下面3张纸的面积都是36平方分米，将这些纸分别按下图所示的方式卷成圆柱，接口处忽略不计。 （1）几号纸卷成的圆柱体积最大？（请写出主要解答过程） （2）通过上面的解答，你有什么发现？ 【对应练习2】 明明要用三个面积相等的长方形围成圆柱的侧面（见如图的示意图），再配合上适合的底面就成为了圆柱（以水平方向的边作为圆柱的底面周长）。 （1）明明用表格进行了研究，请你帮他把表格补充完整。 图形 长（厘米） 宽（厘米） 圆柱的体积（立方厘米） ① 25.12 1 ② 12.56 2 ③ 6.28 4 （2）通过观察表格，哪一个长方形围成的圆柱体体积最大呢？你有什么发现？ 【对应练习3】 聪聪把一张长方形的硬纸贴在木棒上（如图1），快速转动木棒，转出的形状是（    ）。 明明用一张长6厘米、宽2厘米的硬纸做了这个实验，他尝试了图2中的4种情况（木棒分别贴在纸的某一条边或某一条边的中间位置）：下面哪种情况转出的立体图形体积最大？为什么？（请说明理由） 【考点三】圆柱的切拼问题在体积中的应用其一：高的变化引起的表面积变化 方法点拨 1. 高的变化引起的表面积变化。 圆柱高的变化引起的表面积变化问题，在高的增减变化过程中，圆柱的底面积并没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以利用侧面积的反求公式，先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 横切引起的表面积变化。 横切引起的表面积变化，即沿着底面或平行于底面的方向将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，如果将圆柱截成几个小圆柱，增加的表面积为2（n－1）个底面的面积（n为截成的小圆柱的个数），与之相反，多个底面相同的小圆柱拼成一个大圆柱，减少的表面积为2（n－1）个底面的面积（n为小圆柱的个数）。 3. 竖切引起的表面积变化。 竖切引起的表面积变化，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图，一个圆柱高10厘米，如果它的高增加4厘米，那么它的表面积将增加50.24平方厘米，求原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 【对应练习1】 一根圆柱形木料，长8米，高减少2厘米，表面积减少18.84平方厘米，这根木料的体积是多少？ 【对应练习2】 如图，一个圆柱高8cm，如果它的高增加4cm，那么它的表面积就增加50.24cm2。求原来圆柱的体积。 【对应练习3】 王大伯家原有一个圆柱形木桶，高是35厘米，他想把这个木桶增高5厘米，则需要增加628平方厘米的木板，算一算这个木桶增高后的容积是多少立方厘米？ 【考点四】圆柱的切拼问题在体积中的应用其二：“横切”与“竖切” 方法点拨 1. 高的变化引起的表面积变化。 圆柱高的变化引起的表面积变化问题，在高的增减变化过程中，圆柱的底面积并没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以利用侧面积的反求公式，先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 横切引起的表面积变化。 横切引起的表面积变化，即沿着底面或平行于底面的方向将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，如果将圆柱截成几个小圆柱，增加的表面积为2（n－1）个底面的面积（n为截成的小圆柱的个数），与之相反，多个底面相同的小圆柱拼成一个大圆柱，减少的表面积为2（n－1）个底面的面积（n为小圆柱的个数）。 3. 竖切引起的表面积变化。 竖切引起的表面积变化，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图，一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的表面积将增加25.12平方厘米；如果沿底面直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加40平方厘米，求原圆柱体的体积。（π取3.14） 【对应练习1】 康康把一块橡皮泥揉成圆柱形，切成三块（如图1），表面积增加了50.24平方厘米；切成四块（如图2），表面积增加了48平方厘米。圆柱形橡皮泥的体积是多少立方厘米？ 【对应练习2】 把一个圆柱沿底面直径竖直切成四块（如图①），表面积增加了120平方厘米；平行于底面切成三块（如图②），表面积增加了113.04平方厘米。这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 图1 图2 【对应练习3】 如图，把两个同样大小的小圆柱拼成一个大圆柱，表面积减少6.28平方厘米，然后把新的圆柱沿直径截成两个半圆柱，表面积又增加80平方厘米，原来每个小圆柱的体积是多少立方厘米？ 【考点五】圆柱的切拼问题在体积中的应用其三：圆柱与长方体的拼切转化引起的表面积变化 方法点拨 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时拼成的长方体会比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图，将一个底面半径为5厘米的圆柱的底面分成许多相同的扇形，把圆柱切开拼成一个近似的长方体。已知表面积增加了100平方厘米。求圆柱的体积是多少立方厘米？ 【对应练习1】 把一个底面周长62.8厘米的圆柱底面平均分成若干份，沿底面半径切开，拼成一个近似的长方体后，表面积增加了400平方厘米，这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 【对应练习2】 将一个底面直径是8分米的圆柱按下面的方式切开，再拼成一个近似的长方体后，它的表面积增加80平方分米，原来这个圆柱的体积是多少立方分米？ 【对应练习3】 刘小薇在研究圆柱的体积时，将圆柱体模型切拼成一个近似的长方体，她发现如果将这个长方体“躺倒”放（如下图），底面就是圆柱侧面的一半，高就是圆柱的半径，因此她得出一个结论： 圆柱的体积＝侧面积的一半×半径 现有一个圆柱，侧面积是37.68平方厘米，体积是37.68立方厘米，这个圆柱的高是多少厘米？（π取3.14） 【考点六】等积变形问题其一：熔铸问题 方法点拨 解决等积变形问题的关键是抓住“体积不变”，先求出物体的体积，然后根据问题对应图形的体积公式进行解答；也可以根据“变形前的体积=变形后的体积”列方程解答。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 有一个长方体铁块，长8分米，宽4分米，高3分米。把它完全铸成一个圆柱，圆柱的底面半径是5分米，高是多少分米？（保留一位小数） 【对应练习1】 把一块底面积是64平方分米，高是8分米的圆柱形铁块熔铸成一个长16分米，宽8分米的长方体。长方体高多少分米？ 【对应练习2】 把一块长方体钢坯熔铸成一根底面直径为4分米的圆柱形钢材，求钢材的长度。 【对应练习3】 把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体和一块棱长是5厘米的正方体铁块熔铸成一个圆柱，它的底面半径是4厘米，圆柱的高是多少厘米？这个圆柱重多少克？（每立方厘米铁重7.8克） 【考点七】等积变形问题其二：倒水问题 方法点拨 解决等积变形问题的关键是抓住“体积不变”，先求出物体的体积，然后根据问题对应图形的体积公式进行解答；也可以根据“变形前的体积=变形后的体积”列方程解答。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一个长方体容器中有一些果汁，果汁高度为18厘米，然后倒入旁边的圆柱体玻璃杯中，玻璃杯数据从里面量得到。倒满一杯后，长方体容器中果汁高度降至15厘米，这时长方体容器中的果汁大约还有多少升？（保留一位小数）      【对应练习1】 一个长方体玻璃容器长是20厘米，宽和高都是15厘米。里面盛有12厘米深的水。 （1）与水接触的玻璃面积有多大？ （2）如果把这些水倒入一个底面直径是16厘米，高是20厘米的圆柱形玻璃容器中，水面高约多少厘米？（得数保留整数） 【对应练习2】 小红做实验时要将装在长方体容器中的酒精溶液（如图1），倒入圆柱体容器中（如图2），请问酒精溶液在圆柱体容器中的液面高度是多少分米？（图中单位为“分米”）    图1                             图2 【对应练习3】 有两个高度相等的容器和，已知容器半径是6厘米，容器的半径是8厘米，现在把容器装满水，然后全部倒入容器中，测得容器中的水深比容器高的低了3厘米。求、两个容器的高是多少厘米？ 【考点八】等积变形问题其三：利用转化法求不规则物体的体积 方法点拨 求不规则物体的体积或容积，可以利用体积不变的特性和转化的方法，将不规则物体转化成规则物体进行计算。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 下图，在瓶子内倒入150毫升水，其水的高度是6厘米，把瓶盖拧紧倒置，无水部分是个圆柱形，高度是18厘米。这个瓶子的容积是多少？ 【对应练习1】 一种饮料瓶形状如图，倒入300毫升水后，水面高度是10厘米。把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高8厘米。这个瓶子的容积是多少？ 【对应练习2】 一个水瓶的瓶身高20cm（如图），当向瓶子里倒入300mL水时，水面高是瓶身高的一半。若把瓶盖拧紧后倒置放平，则水面高13cm。这个瓶子的容积是多少毫升？ 【对应练习3】 下图是玻璃材质的饮料瓶，从外面测得瓶高，瓶底直径。 （1）如果以12瓶一箱按上图方式摆放，则制作这样的一只包装箱至少要用硬板纸至少多少平方厘米？（接头、空隙均忽略不计） （2）把600毫升的饮科倒入瓶中，其正放、倒放饮料的高度如下图，求这个瓶的最大容积。 【考点九】排水法求不规则物体的体积其一：求体积 方法点拨 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 小丁为了测量一个鸡蛋的体积，按以下步骤进行实验： 步骤一：拿一个圆柱形状的玻璃杯，从里面量得底面直径是长8厘米，高15厘米； 步骤二：把鸡蛋放入玻璃杯，然后倒入一定量的水后，使鸡蛋完全浸入水中，这时水面高8厘米； 步骤三：将这个鸡蛋取出，量得水面的高度是7厘米。 根据以上信息，请你计算这个鸡蛋的体积。 【对应练习1】 晶晶的爸爸在“琉璃厂”买了一块砚台，为了测量它的体积，做了以下试验： ①天平称出这块砚台的质量是1.44千克； ②天平称出1立方分米砚台材料质量为2.5千克； ③测量一个圆柱形玻璃容器的底面半径是8厘米； ④用直尺量出容器的高是10厘米； ⑤在容器里注入一定量的水，量出水面高度为5厘米； ⑥将砚台完全浸入水中（水未溢出），量出水面高度为8厘米。 根据信息，你能用两种不同的方法求出这块砚台的体积吗？（π取值3进行计算） 【对应练习2】 为测量一个不规则铁块的体积，一个学习小组做了以下实验： ①用天平称出这个铁块的重量是1.22千克；②测量出一个圆柱形容器的底面半径是5厘米；③用直尺量出圆柱形容器的高是10厘米；④在容器里注入一定量的水，量出水面高度为6厘米；⑤将铁块浸没水中（水没溢出），量出水面高度为8厘米。 要求出这个铁块的体积，记录单里，哪些信息是必须的？根据选出的信息，可得这个铁块的体积是多少？ 【对应练习3】 拓展课上，徐老师和四名同学测量一些螺丝钉的体积，合作进行如下操作： （1）小潜准备了一个圆柱体玻璃杯，从里面测得底面直径是6厘米，高是10厘米。 （2）小阳往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离之比是1∶1. （3）小龙把30枚螺丝钉放入水中（螺丝钉完全浸没在水中）。 （4）小霞测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3∶2. 请根据以上信息，计算出一枚螺丝钉的体积。 【考点十】排水法求不规则物体的体积其二：求水深或物高 方法点拨 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 有一只底面半径为3dm的圆柱形水桶，桶内盛满水，并浸有一块底面为正方形边长为2dm的长方体铁块（完全浸没水中）。当铁块从水中完全取出时，桶内的水面下降了5cm，求这块长方体铁块的高。（得数保留一位小数） 【对应练习1】 将石块放入A容器中（全部淹没水中），水位上升2.5厘米，如果将其放入B容器中（全部淹没水中），水位会上升多少厘米？（水没有溢出）    【对应练习2】 在一个长方体容器内盛满水，从里面量测得它的长是10cm、宽10cm、高20cm，容器内完全浸没了一个底面半径是4cm，高5cm的圆柱体铁块，如果把铁块完全取出，容器内的水面会下降多少cm？ 【对应练习3】 在一个底面半径为的圆柱形水桶里，有一段底面半径为的圆柱形钢材浸没在水中。把钢材从水桶中取出后，桶里水的高度下降了，这段钢材有多长？ 【考点十一】排水法求不规则物体的体积其三：溢水问题 方法点拨 溢水问题，由于物体放入容器中有水溢出，所以物体的体积应由水上升部分的体积加上水溢出部分的体积，即：V物体=V上升部分+V溢出部分 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 在一个装有部分水的圆柱形容器中（如图）放入一块石头，结果溢出了的水。这块石头的体积是多少立方厘米？ 【对应练习1】 把一个铁圆锥放入底面半径是10cm的盛满水的圆柱形容器里，溢出了150.72cm³的水，如果取出这个圆锥，容器里的水面将下降多少？ 【对应练习2】 一个盛有水的圆柱形容器的底面直径是10厘米，水深12厘米，放入一块石头，从容器中溢出50毫升水，这个容器的高是22厘米，石头的体积是多少？ 【对应练习3】 一个底面直径是6dm、高7dm的圆柱形玻璃器皿里装有5dm深的水，现将一块棱长为4dm的正方体铁块放入水中，铁块沉入水底。容器里会溢出多少升的水？ 【考点十二】长方体中的最大圆柱与圆柱中的最大长方体 方法点拨 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题1】长方体中的最大圆柱 一个长方体木块，长为10分米、宽为8分米、高为6分米，把它削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？ 【对应练习1】 长方体的高是5厘米，上底、下底是边长4厘米的正方形，把它削成最大的圆柱。计算出圆柱的体积。 【对应练习2】 在一个长、宽、高分别是2dm、2dm、5dm的长方体盒子中，正好能放下一个圆柱，形物体（如图）。这个圆柱形物体的体积最大是多少立方分米？盒子中空余的空间是多少立方分米？ 【对应练习3】 汪师傅把一块长40cm、宽30cm、高20cm的长方体木料加工成一个圆柱体，聪聪利用所学的知识提了建议，加工后的圆柱体体积最大，加工后的体积是多少？ 【典型例题2】圆柱中的最大长方体 一个圆柱木料的底面直径6分米，高9分米，把它加工成一个最大的长方体。这个长方体的体积是多少立方分米？ 【对应练习】 一个圆柱体的底面周长是62.8厘米，高是30厘米，把它加工成一个最大的长方体，削去部分的体积是多少立方厘米？ 【考点十三】正方体中的最大圆柱 方法点拨 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 把一个棱长是12.56米的正方体，削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少？ 【对应练习1】 一个棱长是6厘米的正方体，削成体积最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是多少？ 【对应练习2】 美术室有一块棱长2分米的正方体石膏。把这块石膏加工成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少立方分米？ 【对应练习3】 为丰富校园文化生活，培养学生的创新精神和实践能力，学校要举办2021年度的大型科技文化节。科技组在制作过程中需要将一块正方体木料加工成一个最大的圆柱（如下图），已知它的棱长是8dm，求这个圆柱的体积是多少？ 【考点十四】求组合立体图形的体积 方法点拨 求组合立体图形的体积，注意分析该图是由些立体图形组合而成的，再分别求出各图形的体积，最后相加或相减。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题】 1．【相减法】下面几何体是用铁制作的，中间有一个圆柱形孔，求它所用的铁的体积。 2．【相加法】计算下面图形的体积。 【对应练习1】 求出下面图形的体积。（单位：厘米） 【对应练习2】 求下面立体图形的体积。 【对应练习3】 求出下面圆柱体空心钢管的体积。（单位：厘米） 【考点十五】求不规则立体图形的体积其一 方法点拨 求不规则圆柱体的体积，注意分析图形，寻找底面半径和高，再根据公式求体积。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题】 如图，一根长1m，横截面直径为10cm的圆柱形木头浮在水面上，东东发现它正好是一半露出水面，露出水面的木头的体积是多少立方厘米？ 【对应练习1】 求下面个圆柱的体积和表面积。（单位：） 【对应练习2】 计算下面图形的和体积。 半圆柱的底面直径是10cm 【对应练习3】 求图形的体积（单位：厘米）（π取3.14）。 【考点十六】求不规则立体图形的体积其二 方法点拨 计算不规则立体图形的体积时，可以先构造一个规则的立体图形，然后根据规则的立体图形的体积公式推算出不规则立体图形的体积。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题】 世间万物千姿百态，下图就是一个不规则的立体图形。你能计算它的体积（单位：厘米）吗？ 【对应练习1】 纪念品店加工一种艺术节比赛奖杯（如图）。加工时，一个有机玻璃圆柱正好可以截成两个这样的奖杯。求一个奖杯的体积。 【对应练习2】 如图是圆木沿某一平面截去一部分后的剩余部分，请计算剩余部分的体积。（单位：厘米） 【对应练习3】 右图是一个底面半径为3厘米的圆柱木块被削去一半后的形状，请你计算出它的体积。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $