专题01多边形与平行四边形期末复习讲义(18大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题01多边形与平行四边形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记多边形、正多边形、对角线、平行四边形相关基础概念，区分图形类别。 2.掌握多边形内角和、外角和、对角线条数计算公式，牢记平行四边形性质与全部判定定理。 3.明晰平行四边形中心对称特征，理清四边形与三角形之间的图形关联。 1.熟练运用公式计算多边形边数、内角度数、对角线数量。 2.能依据条件判定平行四边形，运用性质求解边长、角度、周长与面积。 3.借助全等三角形知识完成几何推理证明，掌握图形分割转化解题思路。 4.具备图形折叠、平移类综合题型的分析思考能力。 1.快速解答多边形角度、边数基础计算题，做到计算零失误。 2.规范书写平行四边形证明步骤，符合考试答题格式要求。 3.灵活选用判定定理解题，应对选择、填空、几何证明常规考题。 题型01.多边形截角后边数与内角和问题 题型02.多边形对角线的条数问题 题型03.多边形内角和问题 题型04.对角线分成的三角形个数问题 题型05.多边形外角和的实际应用 题型06.多边形内角和与外角和综合 题型07.等腰梯形的定义 题型08.平行四边形性质求解 题型09.平行四边形性质证明 题型10.求平行线间的距离 题型11.利用平行线间距离解决问题 题型12.证明四边形是平行四边形 题型13.判断能否构成平行四边形 题型14.添条件成为平行四边形 题型15.平行四边形判定与性质求解 题型16.平行四边形判定与性质证明 题型17.平行四边形判定与性质应用 题型18.平行四边形中的最值问题 知识点01:多边形基础概念「精准定义 + 通俗理解」 1.多边形的定义 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形叫作 n 边形（n 为不小于 3 的整数）。 2.多边形的相关概念 3. 多边形的表示方法 多边形一般根据边数和各个顶点的字母顺次排列来表示，如图 1 的 1-1，分别表示为四边形 ABCD、五边形 ABCDE、六边形 ABCDEF。 4.多边形分类. 按边数分：三角形（3 边）、四边形（4 边）、五边形……n 边形 按形状分：① 凸多边形：所有内角＜180°，对角线都在图形内部（考试主流）② 凹多边形：至少一个内角＞180°，有对角线在图形外部 知识点02:对角线核心知识点 连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫作多边形的对角线。 1.从n边形一个顶点出发：可作 n−3 条对角线,总对角线条数为​ 2.对角线分割作用：把n边形分割成 n−2 个三角形 3.多边形内角和公式，由三角形内角和推导得出 知识点03:两大必考定理 1.多边形内角和: n边形内角和：(n−2)×180∘边数越大，内角和越大。 ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形） 2.多边形外角和 任意多边形的外角和永远等于 360°与边数多少无关，是本节解题关键秒杀点。 知识点04.平行四边形的性质与判定 1、核心定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作 “□ABCD 2.平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 3:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 4.平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线间的距离； ★延伸性质：①平行线间的距离处处相等；②夹在两条平行线间的平行线段相等； 已知：直线 l1∥l2，点A.C在l1上，AB⊥l2于 B，CD⊥l2于 D 结论：AB=CD，AC=BD 题型01.多边形截角后边数与内角和问题 1．将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 2．已知一个多边形被截取一个角后，内角和变为1620°，则原多边形的边数为________． 3．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 4．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 题型02.多边形对角线的条数问题 5．若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形共有______条对角线． 6．已知一个多边形的外角和等于内角和的一半，那么这个多边形的对角线条数为（　　）． A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 7．“从特殊到一般”就是从特殊、个别的事例推出一般规律的过程，是一个归纳、创新的过程，归纳、猜想、规律等都是运用了从特殊到一般的思想． 如我们在研究用边形的边数n表示对角线总条数s的式子时，可以从研究三角形、四边形、五边形、六边形等特殊情况入手： (1)完成下表 ______ ______ (2)若一个多边形是七边形，它的对角线总条数s为______，n边形的对角线总条数s为______（用含n的式子表示）； (3)如果一个多边形对角线的总条数是它的边数的3倍，求这个多边形的边数． 题型03.多边形内角和问题 8．在四边形中，其中一组对角之和为，则另外一组对角之和为_____． 9．如图，五边形中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．把边形变为边形，内角和增加了，则的值为__________． 11．如图，四边形中，，，平分交于点，平分交于点，交于点 (1)若，求的度数． (2)探究与有何位置关系？试说明理由． 题型04.对角线分成的三角形个数问题 12．从九边形的一个顶点出发作对角线，可将该九边形分成的三角形个数为（    ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 13．从六边形的一个顶点出发可以作________条对角线，它将六边形分成________个三角形． 14．如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，依此规律，过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了18个三角形，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 题型05.多边形外角和的实际应用 15．如图，是五边形的4个外角，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 16．“花影遮墙，峰峦叠窗”是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，已知，则________°． 17．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，再向左转照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（   ）米 A．36 B．42 C．45 D．48 18．求下列图中的的值． (1) (2) 题型06.多边形内角和与外角和综合 19．一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（    ）条 A．5 B．6 C．7 D．8 20．多边形的外角和与内角和之比为，则该多边形的边数为_________． 21．如图七边形中，，的延长线相交于O点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 22．已知一个正多边形的边数为． (1)若，求这个正多边形的内角和． (2)若这个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的6倍还多，求的值． 题型07.等腰梯形的定义 23．我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“完美等腰梯形”．若一个“完美等腰梯形”的对角线长为10，且该梯形的一个内角为，则这个梯形的高等于______． 24．如图，在正六边形中连接三条对角线，则该图中梯形的个数是______． 25．在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 26．如图，在梯形中，，，与相交于点O，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求梯形的面积． 题型08.平行四边形性质求解 27．如图，在中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，边于M，N两点；分别以点M，N为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点P；画射线交于点E，则的长为________． 28．在平行四边形中，如果，则（   ） A． B． C． D． 29．如图，在中，于点，，连接交于点． (1)如图1所示，，，求的值； (2)如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． 证明：； 当，时，求的长． 题型09.平行四边形性质证明 30．如图，在中，平分，若，，则__． 31．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，是对角线上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形是平行四边形的有（    ） A． B． C． D． 32．如图，在中，点E、F分别为延长线上的点，且，连接，分别与相交于点G、H．求证：． 题型10.求平行线间的距离 33．如图，，则点到的距离为_________． 34．在同一平面内，已知，，若直线a、b之间的距离为，直线b、c之间的距离为，则直线a、c间的距离为__________． 35．如图，直线，点在直线上，过点向直线引直线，与的交点分别是、D，若测得，并且其中有一条是表示直线与直线之间的距离，那么你认为直线与直线之间的距离应该是（     ） A． B． C． D． 36．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，在绿地上要修几条笔直的小路，如图，，，．求： (1)小路，，的长； (2)计算出绿地的面积（含小路）； (3)，之间的距离． 题型11.利用平行线间距离解决问题 37．如图，a，b是两条平行线，则甲、乙两个平行四边形的面积关系是______．（填“”“”或“”） 38．如图，直线，，若的面积为8，的面积为20，则线段的长度是（   ） A．5 B．6 C．6.5 D．7.5 39．如图，在中，是上一点，连结，分别以为边作，连结．则的最小值为______． 40．如图，在梯形上，，对角线，且． (1)求该梯形上下底的和； (2)求该梯形的面积． 题型12.证明四边形是平行四边形 41．依据所标数据，下列不是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 42．如图，在四边形中，，，， E是上一点，且，P从A点出发以的速度向B点运动，同时Q从D点出发以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为，当________时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形． 43．如图，在四边形中，，相交于点，且，点在上，连接，，若，求证：四边形是平行四边形． 题型13.判断能否构成平行四边形 44．把边长分别为，，的两个全等的三角形拼成四边形，一共可拼成____种不同的四边形，其中平行四边形有____个． 45．小马不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号为_____． 46．在四边形中，对角线、交于点O，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． ， B．， C．， D．， 47．已知：如图，的对角线相交于点在直线上，并且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)若，，，求的面积． 题型14.添条件成为平行四边形 48．如图，在四边形中，与相交于点E，，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 49．如图，在四边形中，，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，当_____秒时，直线在四边形内部能截出一个平行四边形．    50．如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 51．如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 题型15.平行四边形判定与性质求解 52．如图，在锐角中，点是边上的动点，连接，以为邻边作，若的面积是，则的最小值为_____． 53．如图，在中，，是的中点，过点，分别作，．若，，则四边形的面积是（   ） A．20 B．22 C．24 D．48 54．如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，其面积分别是，且，则的长度为（   ） A． B．14 C．15 D． 55．如图，在中，，P是底边上的一动点，且，，求证：． 题型16.平行四边形判定与性质证明 56．如图，平行四边形中，E、F是对角线上不同的两点，添加个条件，使得四边形为平行四边形．现有四个条件：．你添加的条件是：______（选出所有正确的答案） 57．如图，平行四边形对角线交于点O，点M，N，P，Q分别在平行四边形的四条边上（且不与顶点重合）．现有甲、乙、丙三种方案，则能判定四边形是平行四边形的是（   ） 甲：使 ； 乙：使 ； 丙：使均经过点O． A．只有甲、乙 B．只有乙、丙 C．只有甲、丙 D．甲、乙、丙 58．将一把刻度尺如图放置，刻度尺有一边分别与的顶点，重合，另一边分别交于点．连接分别与相交于点． (1)求证： (2)求证：四边形是平行四边形． 题型17.平行四边形判定与性质应用 59．图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为______cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为______cm．    60．如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（  ） A． B． C． D．不能确定 61．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，点B的对应点恰好落在的延长线上，与边交于点E，此时恰为等边三角形． (1)求证：是等边三角形； (2)求对折后重叠部分的面积． 题型18.平行四边形中的最值问题 62．如图，在中，，点E为边上的一个动点，以为邻边构造，连接，则的最小值为_______． 63．如图，在中，，，，点在线段上运动（含、两点）．连接，以点为中心，将线段逆时针旋转得到，连接，当点落在的边上时，则线段长度的最小值为______，最大值为______． 64．如图，在中，，，过点D作于点E，且．点P在上，连接，过点D作于点F，则的最大值为（　　）       A．4 B． C． D． 65．如图1，在中，为锐角， , (1)边上的高_____，________； (2)把绕点逆时针旋转，点、的对应点分别为、 ①当点的对应点落在对角线上时，与的交点为，求的长； ②如图2，点在对角线下方时，线段的延长线交线段与点，过点作于点H，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01多边形与平行四边形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记多边形、正多边形、对角线、平行四边形相关基础概念，区分图形类别。 2.掌握多边形内角和、外角和、对角线条数计算公式，牢记平行四边形性质与全部判定定理。 3.明晰平行四边形中心对称特征，理清四边形与三角形之间的图形关联。 1.熟练运用公式计算多边形边数、内角度数、对角线数量。 2.能依据条件判定平行四边形，运用性质求解边长、角度、周长与面积。 3.借助全等三角形知识完成几何推理证明，掌握图形分割转化解题思路。 4.具备图形折叠、平移类综合题型的分析思考能力。 1.快速解答多边形角度、边数基础计算题，做到计算零失误。 2.规范书写平行四边形证明步骤，符合考试答题格式要求。 3.灵活选用判定定理解题，应对选择、填空、几何证明常规考题。 题型01.多边形截角后边数与内角和问题 题型02.多边形对角线的条数问题 题型03.多边形内角和问题 题型04.对角线分成的三角形个数问题 题型05.多边形外角和的实际应用 题型06.多边形内角和与外角和综合 题型07.等腰梯形的定义 题型08.平行四边形性质求解 题型09.平行四边形性质证明 题型10.求平行线间的距离 题型11.利用平行线间距离解决问题 题型12.证明四边形是平行四边形 题型13.判断能否构成平行四边形 题型14.添条件成为平行四边形 题型15.平行四边形判定与性质求解 题型16.平行四边形判定与性质证明 题型17.平行四边形判定与性质应用 题型18.平行四边形中的最值问题 知识点01:多边形基础概念「精准定义 + 通俗理解」 1.多边形的定义 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形叫作 n 边形（n 为不小于 3 的整数）。 2.多边形的相关概念 3. 多边形的表示方法 多边形一般根据边数和各个顶点的字母顺次排列来表示，如图 1 的 1-1，分别表示为四边形 ABCD、五边形 ABCDE、六边形 ABCDEF。 4.多边形分类. 按边数分：三角形（3 边）、四边形（4 边）、五边形……n 边形 按形状分：① 凸多边形：所有内角＜180°，对角线都在图形内部（考试主流）② 凹多边形：至少一个内角＞180°，有对角线在图形外部 知识点02:对角线核心知识点 连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫作多边形的对角线。 1.从n边形一个顶点出发：可作 n−3 条对角线,总对角线条数为​ 2.对角线分割作用：把n边形分割成 n−2 个三角形 3.多边形内角和公式，由三角形内角和推导得出 知识点03:两大必考定理 1.多边形内角和: n边形内角和：(n−2)×180∘边数越大，内角和越大。 ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形） 2.多边形外角和 任意多边形的外角和永远等于 360°与边数多少无关，是本节解题关键秒杀点。 知识点04.平行四边形的性质与判定 1、核心定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作 “□ABCD 2.平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 3:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 4.平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线间的距离； ★延伸性质：①平行线间的距离处处相等；②夹在两条平行线间的平行线段相等； 已知：直线 l1∥l2，点A.C在l1上，AB⊥l2于 B，CD⊥l2于 D 结论：AB=CD，AC=BD 题型01.多边形截角后边数与内角和问题 1．将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是3或4或5． 故答案为：3或4或5． 2．已知一个多边形被截取一个角后，内角和变为1620°，则原多边形的边数为________． 【答案】10或11或12 【分析】根据多边形的内角和公式，先计算出截取之后的边数，再进行分类讨论即可． 【详解】解：设截取后多边形的边数为n， ，解得：， ，． 故答案为：10或11或12． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式以及掌握一个多边形截取一个角后边的数量可能会增加一条，可能不变，也可能减少一条． 3．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 【答案】D 【分析】先根据多边形内角和公式求出新多边形的边数，再根据多边形截去一个角的三种情况，讨论得到原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的新多边形的边数是，根据多边形内角和公式可得 ， 解得， ∵多边形截去一个角共有三种情况， ①截线不过原多边形顶点时，新多边形边数比原多边形多， ②截线过原多边形一个顶点时，新多边形边数与原多边形相等， ③截线过原多边形两个顶点时，新多边形边数比原多边形少， ∴原多边形边数为或或，即原来多边形的边数是或或． 4．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 【答案】(1)不正确；理由见解析 (2)九边形或八边形或七边形 【分析】（1）根据多边形的内角和公式，可知任意多边形的内角和一定能被整除，即可求解； （2）设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为，根据题意列式用n表示出x，然后根据x的取值范围，得到n的取值范围，求得整数解，再分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：张明的说法不正确．理由如下： 由多边形内角和定理可知，多边形的内角和为， 即任意多边形的内角和一定能被整除， ∵不能被整除， ∴张明的说法不正确． （2）解：设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∵n为整数， ∴这个正多边形为正八边形， 如图所示， 将正八边形剪去一个角后，得到的多边形的边数增加1或不变，或减少1，则得到的多边形边数为9或8或7， 即得到的新多边形是九边形或八边形或七边形． 题型02.多边形对角线的条数问题 5．若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形共有______条对角线． 【答案】 【分析】根据任意多边形的外角和为，可求出该多边形的边数，再利用多边形对角线条数公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都为， ∴该多边形的边数， 将代入多边形对角线条数公式得：． 6．已知一个多边形的外角和等于内角和的一半，那么这个多边形的对角线条数为（　　）． A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】D 【分析】先利用任意多边形外角和为定值的性质求出多边形内角和，再根据内角和公式求出边数，最后代入对角线条数公式计算得到结果． 【详解】解：设多边形边数为，根据题意得， ， 解得， 即该多边形为六边形， ∴该多边形对角线条数为（条）． 7．“从特殊到一般”就是从特殊、个别的事例推出一般规律的过程，是一个归纳、创新的过程，归纳、猜想、规律等都是运用了从特殊到一般的思想． 如我们在研究用边形的边数n表示对角线总条数s的式子时，可以从研究三角形、四边形、五边形、六边形等特殊情况入手： (1)完成下表 ______ ______ (2)若一个多边形是七边形，它的对角线总条数s为______，n边形的对角线总条数s为______（用含n的式子表示）； (3)如果一个多边形对角线的总条数是它的边数的3倍，求这个多边形的边数． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)这个多边形的边数为． 【分析】（1）根据题意画出对角线即可解答； （2）根据表格数据找到规律即可解答； （3）设多边形的边数为，结合（2）中规律列出方程即可求解． 【详解】（1）解：完成下表如下： （2）解：∵三边形的对角线条数可表示为 ， 四边形对角线条数可表示为， 五边形对角线条数可表示为 ， 六边形对角线条数可表示为 ， 七边形对角线条数可表示为 ， ， ∴边形对角线条数可表示为； （3）解：设多边形的边数为， 根据题意，得 ，即， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍）， 答：这个多边形的边数为． 题型03.多边形内角和问题 8．在四边形中，其中一组对角之和为，则另外一组对角之和为_____． 【答案】/度 【分析】根据四边形的内角和为，已知一组对角之和，用内角和减去该数值，即可得到另一组对角之和． 【详解】解：四边形内角和为， 已知其中一组对角之和为， 另外一组对角之和． 9．如图，五边形中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形内角和公式解题即可． 【详解】解：多边形的内角和为， ∴五边形的内角和为， ∴． 故选：A． 10．把边形变为边形，内角和增加了，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据多边形内角和公式列出方程，即可求解． 【详解】解：边形的内角和为， 边形的内角和为 ， 由题意得： ， 整理得 ， 解得 . 所以，的值为4． 11．如图，四边形中，，，平分交于点，平分交于点，交于点 (1)若，求的度数． (2)探究与有何位置关系？试说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题考查多边形的内角与外角，平行线的性质与判定，（2）中根据已知条件求得的度数是解题的关键． （1）利用角平分线的定义求得的度数，然后利用平行线性质即可求得答案； （2）根据角平分线的定义，结合已知条件求得的度数，然后根据同位角相等，两直线平行即可证得结论． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ； （2）解：；理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． 题型04.对角线分成的三角形个数问题 12．从九边形的一个顶点出发作对角线，可将该九边形分成的三角形个数为（    ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】C 【分析】从边形的一个顶点出发作对角线，可将多边形分成个三角形，代入九边形的边数计算即可得到结果． 【详解】解：∵从边形的一个顶点出发作对角线，可将边形分成个三角形，该多边形为九边形，即， ∴可分成的三角形个数为． 13．从六边形的一个顶点出发可以作________条对角线，它将六边形分成________个三角形． 【答案】 3 4 【详解】解：对于边形，从一个顶点出发，不能向自身以及相邻两个顶点引对角线，因此从一个顶点出发可引出对角线的条数为． 本题中六边形，因此可以作对角线条数为． 从一个顶点引出条对角线后，可将边形分成个三角形，因此六边形分成三角形的个数为． 14．如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，依此规律，过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了18个三角形，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是找出图形规律的代数式． 找出图形规律的代数式，然后求解即可． 【详解】解：过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形； 过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形； 过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形， …… 过边形一个顶点的所有对角线，将其分成个三角形， ∴， 解得， 故选：A． 题型05.多边形外角和的实际应用 15．如图，是五边形的4个外角，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由多边形外角和定理得出的外角为：，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴的外角为：， ∴． 16．“花影遮墙，峰峦叠窗”是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，已知，则________°． 【答案】80 【详解】解：∵多边形的外角和等于， ∴． 17．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，再向左转照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（   ）米 A．36 B．42 C．45 D．48 【答案】D 【分析】根据多边形的外角和定理即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，他需要转次才会回到原点， 所以一共走了（米）． 18．求下列图中的的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，三角形内角和定理，多边形外角和，解题的关键在于根据图形建立等量关系． （1）根据图形以及三角形内角和建立等量关系，即可解题； （2）根据图形以及多边形外角和建立等量关系，即可解题． 【详解】（1）解：由图知， ； （2）解：由图知， ． 题型06.多边形内角和与外角和综合 19．一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（    ）条 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】设这个多边形的边数为，根据题意列方程求出这个多边形的边数，再根据以边形的一个顶点为端点的对角线有条求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵一个多边形的内角和与外角和的和是，多边形的外角和等于， ∴， 解得， ∴以这个多边形的一个顶点为端点的对角线条数为（条）． 20．多边形的外角和与内角和之比为，则该多边形的边数为_________． 【答案】5 【分析】根据任意多边形的外角和为，结合已知的外角和与内角和的比，求出该多边形的内角和度数，再利用边形内角和公式求解边数即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，多边形外角和与内角和之比为， ∴该多边形的内角和为， 设该多边形的边数为，由边形内角和公式得： ， 等式两边同时除以得 ，解得． 21．如图七边形中，，的延长线相交于O点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形内角和定理及内外角关系，解题的关键是根据题意得到是五边形．根据七边形中，，的延长线相交于点，得到是五边形，根据、、、的外角和为，得到，结合内角和定理即可得到答案. 【详解】解：∵七边形中，，的延长线相交于点， ∴图形是五边形， ∵、、、的外角和为， ∴， ∴， 故选：A. 22．已知一个正多边形的边数为． (1)若，求这个正多边形的内角和． (2)若这个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的6倍还多，求的值． 【答案】(1)这个正多边形的内角和为 (2) 【分析】本题考查了求多边形内角与外角，掌握多边形内角和的公式是解题的关键． （1）根据多边形内角和定理解答，即可求解； （2）设这个正多边形的每个外角为，则每个内角为，根据邻补角的性质列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 这个正多边形的内角和； 答：这个正多边形的内角和为； （2）解：这个正多边形的每个外角为，则每个内角为， 根据题意得， 解得：， ， 的值为． 题型07.等腰梯形的定义 23．我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“完美等腰梯形”．若一个“完美等腰梯形”的对角线长为10，且该梯形的一个内角为，则这个梯形的高等于______． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握等边对等角，含30度角的直角三角形30度角所对的边是斜边的一半． 根据题意画出图形，过点D作与点H，即可推出，进而得出，即可解答． 【详解】解：如图：四边形为等腰梯形，， 过点D作与点H， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 24．如图，在正六边形中连接三条对角线，则该图中梯形的个数是______． 【答案】6 【分析】根据梯形定义，需要寻找一组对边平行而另一组对边不平行的四边形的个数． 首先找到图内有几组平行线，再根据平行线找关于这组平行线的截线，看构成的四边形是否满足梯形的定义． 【详解】如图，图内有一组平行线且该平行线上有两个截线的共有以下几组： ，，． 在的平行线里，可以组成梯形的四边形是，，； 在的平行线里，可以组成梯形的四边形是，，； 在的平行线里，只有一组截线和，该截线无法构成梯形． 所以图中梯形的个数是． 25．在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，梯形的性质，平行公理的推理，根据平行四边形和梯形的性质可得，，，进而由平行公理的推理可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵几何体的上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴图形中与平行的线段有，，，共条， 故选：． 26．如图，在梯形中，，，与相交于点O，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求梯形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，即可证明； （2）根据等腰梯形的定义可知四边形是等腰梯形，得到，进而得到，根据平行四边形的性质得到，，根据等腰三角形三线合一及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， 过点D作于点F， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型08.平行四边形性质求解 27．如图，在中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，边于M，N两点；分别以点M，N为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点P；画射线交于点E，则的长为________． 【答案】1 【分析】由作图可知平分，得到，根据平行四边形的性质得到，得出，继而得到，得到，即可求出的长． 【详解】解：由作图可知平分， ， ， ， ， ， ， ． 28．在平行四边形中，如果，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知的度数，根据即可计算出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 29．如图，在中，于点，，连接交于点． (1)如图1所示，，，求的值； (2)如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． 证明：； 当，时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析； 【分析】（1）在中，由勾股定理可得的长，进而可得的长，再根据平行四边形的性质即可得解； （2）根据垂直的定义结合同角的余角相等可得，由平行四边形的性质可得，由平行线的性质等量代换可得，，根据“”即可证得；连接，，，证明，进而证明，得到，，推出是等腰直角三角形，即可得解． 【详解】（1）解：，，， 在中，由勾股定理得， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）证明：， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ， ； 解：如图2，连接，，， ， ，，，， 在中，是的中点， 是的中点，即， ，即， ， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ． 题型09.平行四边形性质证明 30．如图，在中，平分，若，，则__． 【答案】3 【分析】由平行四边形的性质得ADBC，AB=CD=7，AD=BC=10，再证∠ABE=∠AEB，则AE=AB=7，即可得出结论． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定等知识熟练掌握平行四边形的性质，证出AE=AB是解答本题的关键． 31．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，是对角线上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形是平行四边形的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的判定定理逐一判断即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形，故能判定四边形是平行四边形，不合题意； 、当时，同理可得， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴能判定四边形是平行四边形，不合题意； 、当时， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴能判定四边形是平行四边形，不合题意； 、当时，无法证明，即得不到， ∴不能判定四边形是平行四边形，符合题意； 故选：． 32．如图，在中，点E、F分别为延长线上的点，且，连接，分别与相交于点G、H．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据平行四边形的性质得,可得，再证明，然后根据“角角边”证明结论即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 , ． ， ，即． 在与中 ． 题型10.求平行线间的距离 33．如图，，则点到的距离为_________． 【答案】2 【分析】设点D到的距离为h，根据三角形的面积公式求出h的值，再根据平行线间的距离处处相等可得答案． 【详解】解：设点D到的距离为h， ∵， ∴，即， ∴， ∴点D到的距离为2， ∵，且平行线间的距离处处相等， ∴点到的距离为2． 34．在同一平面内，已知，，若直线a、b之间的距离为，直线b、c之间的距离为，则直线a、c间的距离为__________． 【答案】或 【分析】根据平行线的性质可得，需分直线在，之间和直线在，外侧两种情况讨论求解． 【详解】解：，， ， 分两种情况讨论： 当直线在直线，之间时， 直线，之间的距离为： ， 当直线在直线，外侧时， 直线，之间的距离为 ， 综上，直线，间的距离为或． 35．如图，直线，点在直线上，过点向直线引直线，与的交点分别是、D，若测得，并且其中有一条是表示直线与直线之间的距离，那么你认为直线与直线之间的距离应该是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短，即可得出结果. 【详解】解：直线 ，且其中有一条线段表示直线与直线之间的距离， 该线段即为点到直线的垂线段， 从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短， 该距离应为中的最小值， ， ， 直线与直线之间的距离是. 36．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，在绿地上要修几条笔直的小路，如图，，，．求： (1)小路，，的长； (2)计算出绿地的面积（含小路）； (3)，之间的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再根据勾股定理求出，即可得； （2）根据平行四边形的面积公式解答； （3）根据面积相等可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，，．                     ， ，                     ； （2）解：绿地的面积为； （3）解：设，之间的距离为． ∵绿地的面积为， ，                 解得． 即，之间的距离为． 题型11.利用平行线间距离解决问题 37．如图，a，b是两条平行线，则甲、乙两个平行四边形的面积关系是______．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：因为，根据平行线间的距离处处相等，所以甲、乙两个平行四边形的高相等． 由图可知，甲、乙两个平行四边形的底边长度相等，则甲、乙两个平行四边形同底等高，面积关系是=． 38．如图，直线，，若的面积为8，的面积为20，则线段的长度是（   ） A．5 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】D 【分析】设直线与之间的距离为h，由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：设直线与之间的距离为h， ∵，，的面积为8，的面积为20， ∴，， ∴， ∴， ∴． 39．如图，在中，是上一点，连结，分别以为边作，连结．则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质等，根据平行四边形性质得到，要的长的最小，即，再利用平行线之间的距离处处相等，以及等面积法求解，即可解题． 【详解】解：中，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是上一点， 取最小值时，， 平行线之间的距离处处相等， 时，的长度等于点A到的距离， 记点A到的距离为， 则，即， ， 即的最小值为． 故答案为：． 40．如图，在梯形上，，对角线，且． (1)求该梯形上下底的和； (2)求该梯形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点D作的平行线交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，故，，再把数值代入计算，即可作答． （2）根据结合平行线之间距离处处相等，得出，又因为计算，即可作答． 【详解】（1）解：过点D作的平行线交的延长线于点E， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ， 在中， ∴（负值已舍去） 即该梯形上下底的和为． （2）解：由（1）得出， 结合平行线之间距离处处相等，得出（等底等高）， 题型12.证明四边形是平行四边形 41．依据所标数据，下列不是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、无法证明四边形为平行四边形，符合题意； B、如图， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形； 该选项不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，则选项中的四边形为平行四边形，不符合题意； D、如图， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， 该选项不符合题意 42．如图，在四边形中，，，， E是上一点，且，P从A点出发以的速度向B点运动，同时Q从D点出发以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为，当________时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或/3或1 【分析】分点Q在的左侧和右侧两种情形，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，建立等式求解即可． 【详解】当点Q在的左侧时，设运动时间为， 根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴ 解得． 当点Q在的右侧时，设运动时间为， 根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴ 解得． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，一元一次方程的应用，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 43．如图，在四边形中，，相交于点，且，点在上，连接，，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先证明，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】证明：∵ ∴ 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 题型13.判断能否构成平行四边形 44．把边长分别为，，的两个全等的三角形拼成四边形，一共可拼成____种不同的四边形，其中平行四边形有____个． 【答案】 4 3 【分析】先判定边长为，，的三角形是直角三角形，再把两个全等的直角三角形的相等的边拼在一起，画出拼成的四边形即可得出答案． 【详解】∵， ∴边长为，，的三角形是直角三角形， 分别将两个全等三角形中边长相等的边拼在一起，如下图所示， ∴共可拼成4种不同的四边形，其中平行四边形有3个， 故答案是4，3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定和平行四边形的判定，熟练掌握利用勾股定理的逆定理判定直角三角形和平行四边形的判定是解题的关键． 45．小马不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号为_____． 【答案】 ③④ 【详解】解：∵只有③④两块的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带③④两块碎玻璃，就可以配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃． 46．在四边形中，对角线、交于点O，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． ， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：A选项，，，该四边形可以是等腰梯形，不能判定为平行四边形，故A不符合题意； B选项，，，不能推出对角线互相平分，四边形不是平行四边形，故B不符合题意； C选项，，，该四边形可以是等腰梯形，不能判定为平行四边形，故C不符合题意； D选项，， ， ， ， ，两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 因此四边形是平行四边形，故D符合题意． 47．已知：如图，的对角线相交于点在直线上，并且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)120 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，对角线相互平分的四边形为平行四边形，垂直定理，勾股定理 （1）根据对角线相互平分的四边形为平行四边形，即可证明． （2）根据可知为直角三角形，由勾股定理可求得，的面积可看成由两个组成，即可求得答案． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形． （2）解：∵，， 在中， ∵四边形是平行四边形， ∴,即 故的面积为120. 题型14.添条件成为平行四边形 48．如图，在四边形中，与相交于点E，，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题中的条件，根据平行四边形的判定方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：由题意可得，， A、，则四边形是平行四边形，选项正确，符合题意； B、，得不出四边形是平行四边形，选项错误，不符合题意； C、，得不出四边形是平行四边形，选项错误，不符合题意； D、，得不出四边形是平行四边形，选项错误，不符合题意． 49．如图，在四边形中，，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，当_____秒时，直线在四边形内部能截出一个平行四边形．    【答案】2或3 【分析】根据平行四边形的判定可知，分两种情况：①和②，据此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设当运动秒时，直线在四边形内部能截出一个平行四边形， 则， ，， ，， 由题意，分以下两种情况： ①当时，四边形是平行四边形， 则， 解得； ②当时，四边形是平行四边形， 则， 解得； 综上，当2秒或3秒时，直线在四边形内部能截出一个平行四边形， 故答案为：2或3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键． 50．如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，根据四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，逐个分析判断即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 当时，不能证明对角线互相平分，不符合题意； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②符合题意； ③当时， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④符合题意； 综上所述，②③④符合题意， 故选：D． 51．如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)添加（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定； （1）根据平行四边形的性质得出，，结合已知条件可得，即可证明； （2）添加，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴即， 在与中， ， ∴； （2）添加（答案不唯一） 如图所示，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 当时，四边形是平行四边形． 题型15.平行四边形判定与性质求解 52．如图，在锐角中，点是边上的动点，连接，以为邻边作，若的面积是，则的最小值为_____． 【答案】3 【分析】利用三角形的面积公式求出的高，再根据平行四边形的性质对边相等，将求的最小值转化为求的最小值，点到直线垂线段最短，所以当与的高重合时，取得最小值． 【详解】解：如图所示，过点作垂直，交于点， ∵的面积是， ∴，解得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当最小时，也最小， 当与重合时，最小值为，即的最小值为． 53．如图，在中，，是的中点，过点，分别作，．若，，则四边形的面积是（   ） A．20 B．22 C．24 D．48 【答案】C 【分析】由，，可得出四边形为平行四边形，故， 由中点的性质，可得出，故求出即可得出最后结果． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵为对角线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，，， ∴， ∴． 54．如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，其面积分别是，且，则的长度为（   ） A． B．14 C．15 D． 【答案】D 【分析】在上截取，连接，得出平行四边形和相等的角，假设，表示出面积，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 假设， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， ∴． 55．如图，在中，，P是底边上的一动点，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，得到，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，于是得到结论． 【详解】证明：∵，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∵， ， ， ， ． 题型16.平行四边形判定与性质证明 56．如图，平行四边形中，E、F是对角线上不同的两点，添加个条件，使得四边形为平行四边形．现有四个条件：．你添加的条件是：______（选出所有正确的答案） 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查平行四边形的定义及其判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定，则比较简单．根据平行四边形的判定解答即可． 【详解】解：如图， ①四边形是平行四边形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 故①符合题意； ②四边形是平行四边形， ，, , ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故②符合题意； 由及现有条件无法推导出四边形是平行四边形， 故不符合题意； ④四边形是平行四边形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 故④符合题意； 故答案为：①②④ 57．如图，平行四边形对角线交于点O，点M，N，P，Q分别在平行四边形的四条边上（且不与顶点重合）．现有甲、乙、丙三种方案，则能判定四边形是平行四边形的是（   ） 甲：使 ； 乙：使 ； 丙：使均经过点O． A．只有甲、乙 B．只有乙、丙 C．只有甲、丙 D．甲、乙、丙 【答案】D 【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判断甲方案；由平行四边形的性质得到，证明，得到，再证明，得到，据此可判断乙方案；证明，得到，同理可证明，据此可判断丙方案． 【详解】解：当时，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故甲方案符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故乙方案符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当使经过点O时，， ∴， ∴， 同理可证明， ∴四边形是平行四边形，故丙方案符合题意； 58．将一把刻度尺如图放置，刻度尺有一边分别与的顶点，重合，另一边分别交于点．连接分别与相交于点． (1)求证： (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质证明即可； （2）根据平行四边形的判定与性质证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，，即 ∵ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形． 题型17.平行四边形判定与性质应用 59．图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为______cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为______cm．    【答案】 12 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解． 【详解】解：（1），， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）当窗户开到最大时，，， ， ， ，， ； 当关闭状态下，， 窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为， 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，从根据实际情况构建数学模型． 60．如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（  ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】先证明△ABD≌△CDB，△BEP≌△PGB，△HPD≌△FDP，再利用全等三角形的面积相等，得出 ，即． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EFBC，HGAB， ∴AD=BC，AB=CD，ABGHCD，ADEFBC， ∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形， ∵在△ABD和△CDB中，AB=CD，BD=BD，AD=BC， ∴△ABD≌△CDB， ∴； 同理可得：，，， ∴ 即，也即． 故选A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的面积相等结合面积做差得出结论是解题的关键． 61．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，点B的对应点恰好落在的延长线上，与边交于点E，此时恰为等边三角形． (1)求证：是等边三角形； (2)求对折后重叠部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，直角三角形角所对的边等于斜边的一半． （1）首先根据等边三角形的性质可得，，故可得出，由此得出，根据翻折变换的性质得出，据此可得出结论； （2）根据折叠的性质，，再利用平行四边形的性质证明，，利用直角三角形角所对的边等于斜边的一半可得长，进而可得的长，利用三角函数值计算出，然后根据三角形的中线平分三角形的面积可得，进而可得答案． 【详解】（1） 证明：为等边三角形， ，， ， ， 由翻折而成， ， 是等边三角形； （2） 解：根据折叠的性质，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ． 题型18.平行四边形中的最值问题 62．如图，在中，，点E为边上的一个动点，以为邻边构造，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，理解题意、找到最短时满足的条件是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，根据垂线段最短得到时取最小值，过点C作于点H，则，利用直角三角形的性质以及勾股定理求出的长度，进而完成解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当时，最小，此时最小， 过点C作于点H，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 63．如图，在中，，，，点在线段上运动（含、两点）．连接，以点为中心，将线段逆时针旋转得到，连接，当点落在的边上时，则线段长度的最小值为______，最大值为______． 【答案】 【分析】根据旋转性质得到，，结合题意分析，要使点落在的边上，分两种情况讨论：①当点落在边上时；②当点落在边上时，分别作出对应图分析即可得解． 【详解】解：依题得：，， 要使点落在的边上，则只有两种可能性： ①当点落在边上时，如下图： ，四边形是平行四边形， 平行于，，， ， ， 是等边三角形， ， ，； ②当点落在边上时，如下图： 此时点和点重合， ， 是等边三角形， ， 过点作交于点， 中，， ，， ，， ， 中，， ， 线段长度的最小值为；最大值为． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查的知识点是旋转性质、平行四边形性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形性质、勾股定理，解题关键是找到符合题意的情形． 64．如图，在中，，，过点D作于点E，且．点P在上，连接，过点D作于点F，则的最大值为（　　）       A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，由勾股定理可得，连接，由平行四边形的性质可得无论点在上何处，的面积始终是平行四边形面积的一半，表示出，则，要使最大，需要最小，由图可得，当点与点重合时，最小，为，由此即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，如图：    ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴无论点在上何处，的面积始终是平行四边形面积的一半， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴要使最大，需要最小， 由图可得，当点与点重合时，最小，为， ∴的最大值为． 65．如图1，在中，为锐角， , (1)边上的高_____，________； (2)把绕点逆时针旋转，点、的对应点分别为、 ①当点的对应点落在对角线上时，与的交点为，求的长； ②如图2，点在对角线下方时，线段的延长线交线段与点，过点作于点H，求的最大值． 【答案】(1)3;5 (2)①② 【分析】（1）根据面积公式即可求得高，再根据勾股定理即可求解； （2）①过点作交的延长线于点,根据勾股定理求得，再根据勾股定理构造方程，进而求解即可；②根据面积公式即可求解，即可知，因为三点共线，当时，最小，也最小，根据面积可知，进而即可求解． 【详解】（1）解：过点作， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①过点作交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴； ② ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当取得最小值时，取得最大值， 当时，最小，也最小， ,， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $