8.3.2　第1课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 （教学设计) 数学人教A版必修第二册

8.3.2　第1课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019选择性必修第二册第八章“立体几何初步”中8.3.2节的第1课时内容，核心围绕圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积展开，具体包括：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图与表面积的关系，底面积、侧面积、全面积计算公式的推导；圆柱、圆锥、圆台体积计算公式的推导与统一；三类旋转体表面积和体积公式的直接应用；简单组合体（旋转体之间、旋转体与多面体结合）的表面积和体积求解；结合鱼缸制作、零件加工等实际情境，运用公式解决生活和工程中的相关计算问题。 内容解析 本节是旋转体度量知识的基础与入门，承接前面已学的多面体（棱柱、棱锥、棱台）表面积和体积公式，以及圆柱、圆锥、圆台的结构特征与直观图知识，为第2课时球的表面积和体积学习奠定方法和思想基础。其核心是通过展开图转化、类比推导的方法建立旋转体的度量公式，集中体现“空间问题平面化” “复杂问题简单化”的数学思想，是培养学生数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养的重要载体。 从知识关联看，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式源于其侧面展开图（矩形、扇形、扇环）与底面圆面积的叠加，体积公式可通过类比多面体体积公式实现统一，台体公式是柱体、锥体公式的一般形式，当台体上底面半径与下底面半径相等时转化为柱体公式，当上底面半径为0时转化为锥体公式，体现了数学知识“特殊到一般，一般到特殊”的发展规律。从学习意义看，本节课的学习让学生初步掌握旋转体的度量方法，形成“观察结构—转化模型—套用公式—精准计算”的解题流程，为后续复杂组合体的度量和空间几何综合应用筑牢基础。 本节课的核心思想为转化思想和类比思想：利用转化思想将旋转体的侧面积问题转化为平面展开图的面积问题，利用类比思想将多面体的体积公式迁移到旋转体中，同时让学生体会平面几何与立体几何的内在联系。 教学目标 1. 理解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图与表面积的关系，能通过展开图独立推导三类旋转体的侧面积公式，准确表述圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积计算公式，并明确公式中各字母的几何意义。 1. 能根据几何体的结构特征，结合已知条件（半径、高、母线长）选择合适的公式计算圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积；能运用“割补法” “等积法”处理简单组合体的度量问题，正确处理拼接面的面积取舍。 1. 能从鱼缸制作、快递包装等实际问题中提取圆柱、圆锥、圆台的几何模型，明确已知量与待求量的关系，代入公式计算并验证结果的合理性，解决简单的实际应用问题。 1. 体会“展开转化” “类比归纳”在几何度量中的应用，提升空间想象能力和数学运算能力；感受数学与生活、工程技术的联系，增强运用数学知识解决实际问题的意识，培养数学建模素养。 目标解析 1. 能准确区分圆柱、圆锥、圆台的底面半径、母线长、高的几何意义，独立画出三类旋转体的侧面展开图，推导侧面积公式，并能说明柱体、锥体、台体体积公式之间的内在联系。 1. 给定旋转体的半径、高、母线长等已知条件，能直接套用公式精准计算表面积和体积；对于组合体，能分析其组成结构，准确判断需要计算的面（舍去拼接面），通过分割或补形转化为基本旋转体进行计算。 1. 能从实际问题中提取几何模型，明确度量类型（表面积或体积），排除实际条件中的干扰因素（如损耗面积），完成公式代入和计算，并能对计算结果的合理性进行简单验证。 1. 能总结圆柱、圆锥、圆台表面积和体积的解题步骤，规避“平面与立体图形切换不清” “拼接面重复计算”等常见错误；能对比多面体与旋转体的度量方法，梳理几何度量的共性思路，在小组讨论中清晰表达公式推导和解题思路。 达成上述目标的标志是： 1. 能独立准确写出圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式，注明各字母含义，并能阐述侧面积公式的推导过程。 2. 能正确求解教材例题及基础变式题，如鱼缸玻璃用量计算、圆柱与圆锥的体积比求解等问题，计算准确率达标。 3. 能解决简单的组合体度量问题，掌握“分析结构—处理拼接面—套用公式”的基本方法，避免重复计算或遗漏面的错误。 4. 能从实际问题中快速提取旋转体几何模型，完成已知量与待求量的转化，运用公式解决工程、生活中的简单计算问题。 本节课的学习对象为高中选择性必修阶段的学生，在学习本节课前，学生已具备以下基础： 1. 掌握多面体（棱柱、棱锥、棱台）的表面积和体积公式，理解“表面积是各面面积之和” “体积是空间占有量”的本质，会用割补法处理简单多面体的度量问题。 2. 认识圆柱、圆锥、圆台的结构特征，能画出直观图，明确底面半径、母线长、高等几何元素的定义，理解三类旋转体之间的演变关系。 3. 具备平面几何中圆的周长、面积公式，以及矩形、扇形、梯形的面积公式应用能力，拥有基本的代数运算、方程求解能力。 4. 初步体会过“转化思想” “类比思想”在立体几何中的应用，能将多面体的度量思路迁移到新的学习内容中。 学生的认知难点主要体现在： 1. 空间想象能力不足，难以快速将圆柱、圆锥、圆台的立体图形与侧面展开图建立对应关系，容易混淆母线长、高、底面半径的数量关系。 2. 对圆台的侧面积和体积公式推导理解困难，难以体会台体公式与柱体、锥体公式的统一关系，对“类比归纳”的数学思想运用不熟练。 3. 组合体的表面积计算中，容易忽略旋转体之间的“拼接面”（如圆柱与半球的黏合面）不需要计算的情况，出现重复计算的错误；体积计算中，对复杂组合体的模型转化不灵活。 4. 从实际问题中提取几何模型时，容易混淆“表面积”和“体积”的度量需求，忽略实际条件（如材料损耗、几何体无盖等），导致数学模型与实际问题脱节。 基于以上分析，确定本节课的： 教学重点：圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式及其推导；三类旋转体公式的直接应用；简单组合体的度量转化方法。 教学难点：旋转体侧面展开图与表面积的关系及公式推导；台体公式与柱体、锥体公式的统一关系；组合体表面积中拼接面的面积处理。 知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 1．圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱(底面半径为r，母线长为l) 圆锥(底面半径为r，母线长为l) 圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l) 侧面展开图 底面面积 S底＝πr2 S底＝πr2 S上底＝πr′2， S下底＝πr2 侧面面积 S侧＝2πrl S侧＝πrl S侧＝πl(r′＋r) 表面积 S表＝2πr(r＋l) S表＝πr(r＋l) S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl． 知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 圆柱 V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h是高) 圆锥 V圆锥＝πr2h(r为底面半径，h是高) 圆台 V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别为上、下底面半径，h是高) 知识点三　柱体、锥体、台体的体积公式 V柱体＝Sh(S为底面积，h为柱体高)； V锥体＝Sh(S为底面积，h为锥体高)； V台体＝(S′＋＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高)． 当S′＝S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式． 导入新知1：定制鱼缸的材料预算问题 家里准备打造创意鱼缸，主体是底面半径0.4m、高0.8m的圆柱体，顶部加装与底面完全贴合的半球形玻璃罩（半球半径与圆柱底面半径相同）；鱼缸无盖，底部为承重玻璃，侧面和半球罩为透明观赏面。已知每平方米玻璃单价120元，制作需预留0.1㎡损耗面积。思考以下问题： 1. 该鱼缸的圆柱部分需要计算的表面积有哪些？圆柱的侧面积公式是什么？需要知道哪些关键数据？ 2. 计算玻璃用量时，圆柱与半球的黏合面是否需要计算？为什么？组合体表面积计算的关键是什么？ 3. 要计算制作鱼缸的玻璃花费，核心需要解决什么数学问题？如何将损耗面积合理计入总玻璃用量？ 导入新知2：圆锥零件的体积计算问题 某机械厂加工一个圆锥零件，已知零件的底面直径为6cm，母线长为5cm，要计算该零件的用料体积（忽略加工损耗）。思考以下问题： 1. 要求圆锥的体积，需要先求出什么量？圆锥的高、底面半径、母线长之间有什么数量关系？ 2. 圆锥的体积公式与圆柱的体积公式有什么联系？如何通过类比圆柱体积公式记忆圆锥体积公式？ 3. 若将该圆锥截去顶部一小段形成圆台，圆台的体积该如何计算？与圆锥体积公式有什么关联？ 设计意图 1. 两个情境均贴近生活和工程实际，鱼缸制作涉及圆柱表面积及组合体度量，圆锥零件加工涉及圆锥的高与体积计算，让学生直观感受到数学与生活消费、工业生产的紧密联系，激发解决实际问题的兴趣。 1. 情境覆盖本节课核心知识点：圆柱的侧面积、圆锥的体积、组合体拼接面处理，同时引出圆台与圆锥的关系，直接呼应本节课的探究主题，为新知探究做好铺垫。 1. 通过问题链引导学生经历“分析实际问题—提取几何模型—明确关键量—思考度量方法”的过程，渗透数学建模思想，同时让学生初步感知本节课的重难点，激发探究欲望。 1. 让学生在问题思考中回顾旋转体的结构特征，唤醒已有知识储备，实现新旧知识的自然衔接。 （一）情景导入 前面已经学习了三种多面体的表面积与体积公式，那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. （二）预习课本，引入新课 阅读课本116-119页，思考并完成以下问题 1．圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、表面积公式各是什么？ 2．圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？ 3．球的表面积与体积公式各式什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 1．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和．利用圆柱、圆锥、圆台的展开图（图8.3-3），可以得到它们的表面积公式： （是底面半径，是母线长）， （是底面半径，是母线长）， （，分别是上、下底面半径，是母线长）． 思考 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即 （是底面半径，是高）， （是底面半径，是高）． 由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式 （，分别是上、下底面半径，是高）． 思考 圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？ 归纳 （为底面积，为柱体高）； （为底面积，为锥体高）； （，分别为上、下底面面积，为台体高）． 当时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式． 1.（25-26高二上·上海静安·期末）已知圆柱的底面半径为3，高为4，则该圆柱的侧面积为 ． 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】根据圆柱的展开图和侧面积公式计算即可. 【详解】因为圆柱的侧面展开图为矩形，宽为圆柱的高，长为圆柱底面圆的周长， 所以该圆柱的侧面积为. 故答案为：. 2.（25-26高三上·广西·月考）某圆锥的底面半径为3，高为，则该圆锥的表面积为 ． 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】先求得圆锥的母线长，再根据圆锥的表面积公式求得正确答案． 【详解】依题意得该圆锥的母线长为，则该圆锥的表面积为． 故答案为：. 3.（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知圆锥的高为4，体积为，则该圆锥的表面积为 . 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】先根据圆锥体积公式求出底面半径，再利用勾股定理计算母线长. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，体积为， 则：， 整理得：，即，或， 由勾股定理得：， 因为圆锥的表面积S由底面积S底和侧面积S侧组成，即， 底面积， 侧面积， 所以圆锥的表面积. 故该圆锥的表面积为. 4.（25-26高二上·上海·期中）某圆锥高为4，体积是，则该圆锥的侧面积是 . 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】先假设圆锥的高为，半径为，母线长为，利用体积公式求出半径，再利用高为，半径为，母线长为三者间的关系求出母线长，最后利用侧面积公式求解. 【详解】设圆锥的高为，半径为 ,母线长为 ，则，得到； 母线长为 则该圆锥的侧面积是 故答案为： 5.（25-26高三上·湖南湘西·期末）已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆柱的体积，若三者的体积之和为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆锥表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】设三者半径均为，根据圆锥、圆柱、球的体积公式结合题设可求得，再求得圆锥的高、母线长，进而根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】不妨设三者半径均为，由题意知圆柱的高为，故其体积为， 故圆锥的体积为，而球的体积为， 故，解得， 记圆锥的高为，由，得， 故圆锥的母线长， 于是圆锥的侧面积. 故选：D 6.（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆台的高为4，上、下底面的半径分别为3和6，现在该圆台中挖去一个圆柱，圆柱的上、下底面分别在圆台的上、下底面上，要使得到的几何体的表面积最大，则圆柱的半径为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆台表面积的有关计算 【分析】设挖去的圆柱的半径为，根据圆台中挖去一个圆柱所得几何体的结构结合圆台、圆柱的侧面积公式计算得到所求的几何体的表面积表达式，再结合一元二次函数性质即可得解. 【详解】由题意可得圆台的母线长为，圆台的侧面积为，上下底面积之和为， 由题可设挖去的圆柱的半径为，则圆柱侧面积为，圆柱的上、下底面积均为， 所以得到的几何体的表面积为. 所以当时得到的几何体的表面积最大为. 故选：B 7.（25-26高三上·湖南湘西·期末）已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆柱的体积，若三者的体积之和为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆锥表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】设三者半径均为，根据圆锥、圆柱、球的体积公式结合题设可求得，再求得圆锥的高、母线长，进而根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】不妨设三者半径均为，由题意知圆柱的高为，故其体积为， 故圆锥的体积为，而球的体积为， 故，解得， 记圆锥的高为，由，得， 故圆锥的母线长， 于是圆锥的侧面积. 故选：D 8.（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆台的上、下底面的面积分别为，，侧面积为，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】台体体积的有关计算、圆台表面积的有关计算 【分析】根据圆台的侧面积公式求出母线长，进而求出圆台高，再利用圆台的体积公式即可求解. 【详解】设圆台上、下底面圆的半径分别为，圆台上、下底面圆的面积分别为，圆台高为，母线长为， 因为圆台的上、下底面的面积分别为，， 所以，，解得，， 由题意得，圆台的侧面积为，所以， 作圆台的轴截面，如图： 所以圆台的高， 所以圆台的体积. 故选：C. 9.（25-26高三上·河北衡水·月考）已知圆锥的高为2，用平行于底面的平面截圆锥得到一圆台，圆台的侧面积是，且体积是圆锥体积的，则圆锥的母线长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆锥表面积的有关计算、圆台表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据圆锥、圆台的性质，利用圆锥体积公式求出截去圆锥的高度，从而得出圆锥与截去圆锥的底面半径及母线的比例，再利用圆锥面积公式结合已知圆台侧面积构造关于母线的方程，解方程求出母线长度． 【详解】设圆锥的高为，母线长为，底面半径为，则， 用平行于底面的平面截圆锥得到一圆台的体积是圆锥体积的， 截去圆锥的体积为圆锥体积的， 设截去圆锥的高为，母线长为，底面半径为， 则，解得，， 圆台的侧面积为，即，， 又， ，整理得，解得或（舍去）， ，． 故选：D． 10.（25-26高二上·四川达州·期中）如图1，何尊是我国西周早期的青铜器，它可以近似看作由上部分圆台和下部分圆柱组合而成的几何体，如图2所示，该几何体的高约为38 cm，上口直径约为28 cm，圆柱的底面直径约为20 cm，取的近似值为3，经计算得到圆柱的侧面积约为，则该几何体上部分圆台的体积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求组合体的体积、圆柱表面积的有关计算 【分析】结合圆柱的侧面积、体积公式，以及圆台的体积公式求解即可． 【详解】设圆台、圆柱的高分别为，圆台的上口半径和下口半径分别为， 则由题意可得，，， 由题意，1320，得， 所以， 故． 故选：C． 1.（2025·四川自贡·一模）若圆锥和圆柱的底面半径、高和侧面积都相等，设该圆锥体积为，则该圆柱的高为 ． 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据给定条件，利用圆锥、圆柱的侧面积公式及圆锥的体积公式列式求解. 【详解】设圆锥的底面半径、高分别为，则该圆锥的母线， 依题意，，则，解得， 由该圆锥体积为，得，则，， 所以该圆柱的高为. 故答案为： 2.（25-26高二上·上海·期末）若圆锥的底面半径为1，侧面的平面展开图的面积为，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】由已知得到该圆锥的母线长，利用勾股定理可得圆锥的高，再由体积公式可得答案． 【详解】如图底面半径为的圆锥中， 侧面积为， 所以，由勾股定理得， 所以该圆锥的体积． 故答案为：． 3.（25-26高二上·上海嘉定·期末）已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】先由题干条件计算圆锥的高，再求圆锥的母线，进而可求圆锥的侧面积. 【详解】由题得圆锥底面积，体积，解得， 母线长，故圆锥侧面积. 故答案为：. 4.（25-26高三上·广东·月考）已知某圆锥侧面展开后得到的扇形的面积等于其底面积的31倍，则该圆锥的高与底面圆半径的比值为 . 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】利用圆锥侧面积公式及条件列方程即得答案. 【详解】记圆锥底面半径为，高为，则其母线为. 由条件可知，即，即， 解得. 故答案为：. 1. 知识清单 (1) 圆柱的表面积：侧，表；体积：（为底面半径，为母线长，为高，圆柱）。 (2) 圆锥的表面积：侧，表；体积：（为底面半径，为母线长，为高，）。 (3) 圆台的表面积：侧，表；体积：（为上底面半径，为下底面半径，为母线长，为高）。 (4) 组合体度量：表面积=各几何体表面积和-拼接面面积×2；体积=各几何体体积和（或整体-挖去部分）。 2. 方法归纳 (1) 公式推导：展开转化法（侧面积）、类比归纳法（体积），体现“空间问题平面化” “特殊到一般”的思想。 (2) 解题步骤：观察几何体结构→确定关键量（半径、高、母线长）→选择合适公式→精准计算（组合体注意处理拼接面）。 (3) 常用方法：公式法、割补法、等积法，实际问题需结合实际条件调整（如无盖、损耗）。 3. 常见误区 (1) 混淆圆柱、圆锥的母线长与高的关系，圆台的上、下底面半径； (2) 计算表面积时，忽略组合体的拼接面，出现重复计算的错误； (3) 记忆公式时，遗漏圆锥、圆台体积公式中的； (4) 实际问题中，混淆“表面积”和“体积”的度量需求，忽略无盖、损耗等实际条件。 教材第 119 页第 1,3 题 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 练习（第119页） 1．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径． 解：设圆锥的底面半径为，母线长为则由题意得 ① 又圆锥的侧面展开图为半圆，，即 ② 将②式代入①式得，，即． 故圆锥的底面直径为． 2．当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？ 解：设球的半径为时，其体积和表面积的数值相等．则，． 即球的半径时，其体积和表面积的数值相等． 3．将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积． 解：由题意知，球内切于正方体，，． ，即可制作的最大零件的体积为． 4．一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有200 000cm3的水，现放入一个直径为50cm的木球．如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？ 解：，水中球的体积， ，． 故水不会从水槽中溢出． 习题5.2（第119页） 1．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点，，，在同一个平面内．如果四边形是边长为的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？ 1．解：由题意，每个面都是边长为的正三角形， ， 即这个八面体的表面积是． 2．如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比． 解： 设长方体的三条棱长分别为，，，则 ， 剩下的几何体的体积 ， 所以棱雉的体积与剩下的几何体的体积之比为 3．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点．那么当底面水平放置时，水面高为多少？ 解：当三棱柱的侧面水平放置时，液体部分是四棱柱， 其高即为原三棱柱的高，侧棱长．设当底面水平放置时，液面高度为，由已知条件，知四棱柱与三棱柱的底面面积之比为，由于两种状态下液体体积相等，即，，∴当底面水平放置时，液面高为6． 4．如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 解：设圆锥底面半径为，圆柱底面半径为，则，． 又可知圆柱母线长，圆锥母线长． 剩下几何体的表面积． 剩下几何体的体积． 答：剩下几何体的表面积为，体积为 ． 5．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是cm，求球的体积． 解：正方体的棱长为cm，正方体的体对角线长为 球的半径 综合运用 6．如图是一个烟筒的直观图（图中数据的单位为厘米），它的下部是一个正四棱台形物体，上部是一个正四棱柱形物体（底面与四棱台形物体的上底面重合）．为防止雨水的侵蚀，同时使烟筒更美观，现要在烟筒外部粘贴瓷砖，请你计算需要多少平方厘米的瓷砖？（结果精确到1cm2，可用计算工具）． 解： 由题意， 需贴瓷砖的部分为四棱柱与四棱台的侧面积． 四棱台的斜高 故需要瓷砖的面积为 ． 7．有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.9×103kg/m3）六角螺母共重5.8kg．如图，每一个螺母的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，这堆螺母大约有多少个？（可用计算工具，π取3.14） 解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即 所以螺帽的个数为 答：这堆螺帽大约有248个． 8．分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积之间有什么关系？ 解：设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为． 以边长为的直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，其体积为，记为．同理，以边长为的直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体也是圆锥，其体积为，记为．以斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥组合而成的简单组合体，其体积为 ，记为．所以 ． 9．如下页图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积．（可用计算工具，尺寸如图，单位：cm，取3.14，结果取整数．） 9．解析：由三视图画出它的直观图如图所示 ，球的直径为，， ，，，． 四棱台的面上的斜高， 四棱台的面上的斜高， ，， ，， ， ∴奖杯的表面积， 奖杯的体积． 奖杯的表面积约为，体积约为． 1. 学生对圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图与立体图形的对应关系理解是否到位？是否需要通过实物模型、动画演示等直观手段进一步辅助教学？ 1. 学生能否准确理解台体公式与柱体、锥体公式的统一关系？在公式推导中，对“类比归纳”的数学思想体会是否深刻？ 1. 例题和练习的难度梯度是否合理？组合体的度量问题是否需要增加更多基础型题目，帮助学生逐步掌握拼接面的处理方法？ 1. 学生的数学核心素养（直观想象、数学运算、数学建模）是否得到有效提升？在实际问题的解决中，学生能否快速提取几何模型，准确判断度量类型并结合实际条件计算？ 学科网（北京）股份有限公司 $