8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（2）教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦球的体积与表面积公式及应用，通过设问“球无法展开成平面图形如何求积”导入，衔接柱锥台体知识，以问题链搭建学习支架，引导学生探究公式推导脉络。 特色在于淡化推导强化思想渗透，借助祖暅原理和极限思想培养数学思维，结合课件动画演示分割与构造过程发展几何直观，例题从圆柱到多面体组合体层层递进，助力教师活用教材，提升学生空间想象与模型应用能力。

§8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（2）—球的体积和表面积 常德市第一中学 李伟民 【课标解读】由于球的体积和表面积公式在推导证明上比较繁琐，学生在理解掌握上也比较困难，根据新的《数学课程标准》要求，本节的公式证明和推导应淡化处理，只需让学生简单了解推导过程，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用，不要求学生掌握其证明。在球的体积和表面积公式应用和球与几何体组合体的求解过程中，提高学生的空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。通过应用预设和相应的应用练习提高学生的提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，利用学生身边熟知的问题预设提高学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，进而形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 【教材分析】本节课是人教A版高中数学必修第二册第八章“空间几何体”第三节“简单几何体的体积和表面积”，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征。从知识上讲，球是一种高度对称的基本空间几何体，同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础；从方法上讲，它为我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法；从教材编排上，更重视学生的直观感知和操作确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础。 【学情分析】学生刚学习立体几何不久，具备的图形语言表达及空间想象能力相对不足， 几何体的内切球、外接球的位置关系较难想象，很难顺利作出正确的直观图，空间图形问题向平面图形问题的转化意识也不够，对于解决组合体的体积和表面积的问题有一定的困难，而且学生的归纳总结能力不够，独立完成自主学习任务有一定困难，还不能从一定高度去体 会和感悟数学思想。这些都是摆在学生面前的难题，也是教学中迫切需要解决的问题。 【教学方法】信息技术辅助教学，讲练结合 教学目标： 1.掌握球的体积、表面积公式及其应用。 2.会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力，发展逻辑思维能力，加强辩证唯物主义观点。 3.通过寻求如何探究球的内接和外切的方法，解决球的“内接”与“外切”的几何体问题。 教学重点： 球的体积公式和表面积公式及其应用 教学难点： 解决与球相关的“内接”和“外切”的几何问题 教学过程： 1. 创设情景，引入新课： 提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。 设疑引课：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。 二、探究新知： 1．探究球的体积公式 ①物理学上：阿基米德定律、曹冲称象。 ②数学中的极限思想：如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小时会得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应的圆柱的体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。 ③祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。 构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体积公式(见课件) ( 球的体积公式： ) 2. 探究球的表面积公式： 设球的半径为，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用表示，则球的表面积: 以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径近似地等于小棱锥的高，因此，第个小棱锥的体积，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积: ， 又∵，且 ∴可得， 又∵，∴， ∴即为球的表面积公式 三、例题示范，巩固新知： 1、公式速记，口答下列问题： 2、球与旋转体的组合问题 例1：已知一个圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：(1)球的表面积等于圆柱的侧面积； (2)球的体积等于圆柱体积的。 ( 证明:(1) 设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R. 因为 所以, (2) 因为 , , 所以, . ) 变式：它们的体积有什么关系？ 3、球与多面体的组合问题 定义1：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体为球的外接多面体，这个球是多面体的内切球. 例2：求棱长为a的正方体的内切球的体积和表面积. 分析： 切点为正方体各面的中心，且正方体的中心为球的球心， 正方体的棱长为球的直径。 解：正方体的内切球的直径为a. 定义2：若一个多面体的所有顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体为球的内接多面体，这个球为多面体的外接球. 例3.求棱长为a的正方体的外接球的体积和表面积. 分析：正方体的顶点均在球面上，正方体的中心为球的球心， 正方体的体对角线为球的直径。 解：正方体的外接球的直径为. 例4.若一个球与棱长为a的正方体的所有棱均相切， 求这个球的体积和表面积. 解：球的直径为. 课后思考题： 1、棱长为a的正四面体的内切球和外接球的表面积和体积分别为多少？ 2、若一个球与棱长为a的正四面体的所有棱均相切，求这个球的表面积和体积. 四、小结归纳： 1.球的体积、表面积公式的推导及应用； 2.与球有关的组合体的有关计算问题； 3.“分割求近似和化为准确和”的方法，是一种重要的数学思想方法——极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用． 五、作业布置： 1.课堂作业：《分层训练》P83-84 2.家庭作业：阅读教材P117-123 六、板书设计： 球的体积和表面积 ( 例3： 例4： ) ( 例1： 例2： ) ( 一、公式 （其中 R 为球的半径） 二、与球有关的组合体问题 ) 七、教学反思 翻看教材，会发现其实编写的非常简单，一目了然，就是介绍了两个简单的公式而已，根据新的《数学课程标准》要求，本节的公式证明和推导应淡化处理，不要求学生掌握其证明。但事实上，我们高中老师真的这么做了吗？这么做，学生真的可以接受，可以很好地应用解题吗？本节内容对后续的高中数学学习有指导作用吗？天赐良机，2015年11月7日，全国部分知名高中“激活课堂”活动在我校举行峰会，恰好其中就有两堂研讨课就是这个课题《球的体积和表面积》，听了这两名老师的课，结合本人上的这堂课，我有以下反思。 1.用教材，但不死用教材 以教材为基础，结合本校学生情况，活用教材。教学过程既是学生掌握知识的过程，又是发展学生智力的过程，教师要从“知识的传授者”转变为“学生学习的引导者”，在教学实践中，要认真钻研课标和教材，充分挖掘教材的优势和潜能，灵活使用教材，真正做到教与学的和谐统一。 本节课中，我立足教材，利用教材的“阅读材料”中的“祖暅原理”向学生展示球的体积公式的由来，突破其中难点“为什么构造圆柱中挖去圆锥”，使学生了解“构造法”这个高中阶段常用的数学技巧，让他们知道“为什么要构造，怎样构造，这么构造的好处是什么”，知其然，知其所以然。 再引进极限的思想方法阐述球的表面积公式的由来，既让学生知道公式怎么来，又为选修教材中的“微积分”埋下伏笔。 2.信息技术在教学中的合理体现 信息技术这个手段在数学中的使用不甚频繁，数学中的很多演算，推导等都需要教师在黑板上完成，才能使学生做到真正意义上的理解和掌握，但一些图形的演变，尤其是立体几何中的直观认识，若能借助于信息技术，会收到更好的效果。恰逢常德市信息技术应用能力提升工程培训，我积极参与，主动学习，掌握了很多以前未曾见到的信息技术辅助手段，在本节课中也充分得到了体现。 如本课中，构造圆柱中挖去圆锥，推导体积公式；切割圆的表面，推导表面积公式等，利用动画演示，学生能很直观地感受整个过程的来龙去脉，不仅印象深刻，更能快速掌握公式，提高了学习效率。 当然，本节课我还有很多地方做的不足，如板书的处理不是很到位，学生的讨论没有发展的更多等。 通过本节课的教学，引发我对以后的课堂教学产生了很多的思考：新课标下的教育理念的理解，新教材的深入钻研，教材与考试要求的完美结合等都将是我在以后的教学中深入钻研的。 简约而不简单，数学的表述是简约的，但它蕴含的道理，绝不简单！ 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $