8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式及应用，通过日常生活实物抽象出旋转体，以问题导入引发思考，衔接旋转体概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于梳理公式间逻辑联系，如圆柱、圆锥、圆台侧面积和体积公式的递进关系，结合例题与跟踪训练强化应用，培养直观想象和数学运算素养。助力学生构建知识体系，提升解题能力，方便教师系统教学。

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 新课程标准解读 核心素养 1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式 直观想象 2.能用公式解决简单的实际问题 数学运算 　　在日常生活中，我们经常遇到下列各类实物或它们的组合体. 　　这些物体分别可以抽象出圆柱、圆锥、圆台及球，它们均属于立体几何中的旋转体. 【问题】　你会求上述几何体的表面积及体积吗？ 　　 　　 　　 　　 知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 图形 表面积和体积 圆柱 S圆柱＝　2πr（r＋l）　（r是底面半径，l是母线长）； V圆柱＝　πr2h　（r是底面半径，h是高） 图形 表面积和体积 圆锥 S圆锥＝　πr（r＋l）　（r是底面半径，l是母线长）； V圆锥＝　πr2h　（r是底面半径，h是高） 圆台 S圆台＝　π（r'2＋r2＋r'l＋rl）　（r'，r分别是上、下底面半径，l是母线长）； V圆台＝　πh（r'2＋　 　r'r＋r2）　（r'，r分别是上、下底面半径，h是高） 提醒　圆柱、圆锥、圆台的关系： ①侧面积公式间的关系，S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π（r＋r'）lS圆锥侧＝πrl； ②体积公式间的关系 V＝ShV＝（S'＋＋S）hV＝Sh. 知识点二　球的表面积和体积公式 1.球的表面积公式S＝　4πR2　（R为球的半径）. 2.球的体积公式V＝　πR3　. 1.若圆锥的底面半径为，高为1，则圆锥的体积为π，表面积为（3＋2）π. 解析：V＝Sh＝×π×3×1＝π.S＝πr（r＋l）＝π（＋2）＝（3＋2）π. 2.已知两个球的半径之比为2∶3，则它们的表面积之比为，体积之比为. 解析：设两个球的半径为R，r，由题意可得R∶r＝2∶3，所以表面积之比为＝＝＝，体积之比为＝＝＝. 3.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为2，则该圆台的侧面积为3π. 解析：圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为2，则圆台的母线长l＝＝，所以该圆台的侧面积S＝π（1＋2）l＝3π. 题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积 【例1】　（1）若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为（　B　） A.40π B.36π C.26π D.20π 解析：圆锥的母线长l＝＝5，所以圆锥的表面积为π×42＋π×4×5＝36π. （2）圆台的上、下底面半径分别为10 cm，20 cm，它的侧面展开图是扇环，其圆心角为π，则圆台的表面积为1 100πcm2.（结果中保留π） 解析：如图所示，设圆台的上底面周长为l cm，因为扇环的圆心角是π，所以l＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20 cm.同理可得SB＝40 cm，所以AB＝SB－SA＝20 cm，所以表面积S＝π（10＋20）×20＋π×102＋π×202＝1 100π（cm2）. 通性通法 　　解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下： （1）得到空间几何体的平面展开图； （2）依次求出各个平面图形的面积； （3）将各平面图形的面积相加. 【跟踪训练】 1.（多选）如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一条母线，已知AB＝4，AC＝2，AA1＝3，则下列说法正确的是（　　） A.圆柱的侧面积为2π B.圆柱的侧面积为6π C.圆柱的表面积为6π＋12π D.圆柱的表面积为2π＋6π 解析：BC　因为AB＝4，AC＝2，所以BC＝＝2，即r＝，又因为AA1＝3，所以圆柱的侧面积是2πrl＝2π××3＝6π，圆柱的表面积是2πrl＋2πr2＝6π＋12π.故选B、C. 2.（2024·枣庄质检）若圆台的上、下底面半径分别为2，6，且侧面面积等于两底面面积之和，则圆台的母线长为5，表面积为80π. 解析：设圆台的母线长为l，则由题意得π（2＋6）l＝π×22＋π×62，所以8πl＝40π，所以l＝5，所以该圆台的母线长为5.圆台的表面积为S＝π×（2＋6）×5＋π×22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π. 题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积 【例2】　（1）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是（　A　） A. B. C.64π D.128π 解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴2r＝ ，即l＝r，由题意得，侧面积S侧＝πr·l＝πr2＝16π，∴r＝4.∴l＝4，高h＝ ＝4.∴圆锥的体积V＝Sh＝π×42×4＝π，故选A. （2）已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为224π. 解析：设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如图.∵母线长为10，∴102＝（4r）2＋（4r－r）2，解得r＝2.∴下底面半径R＝8，高h＝8，∴V圆台＝π（r2＋rR＋R2）h＝224π. 通性通法 圆柱、圆锥、圆台体积的求法 　　求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，即由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解. 【跟踪训练】 1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为（　　） A.5π　　 　B.6π C.20π　　 　D.10π 解析：D　 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 2.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（　　） A.2π B.π C.π D.π 解析：D　设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径r＝1，则由2π×1＝πl得l＝2，所以h＝＝，所以V＝πr2h＝π×12×＝π.故选D. 题型三 球的表面积与体积 【例3】　（1）一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是（　B　） A.12π cm3 B.36π cm3 C.64π cm3 D.108π cm3 解析：设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，如图所示，在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，∴球的半径R＝OA＝＝3 cm，∴球的体积V＝π×33＝36π cm3.故选B. （2）半径为2的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如果不计损耗，可铸成的大金属球的表面积为（　D　） A.100 B.400 C.100π D.400π 解析：设大金属球的半径为r，则×23×125＝×r3⇒r＝10，∴其表面积为4πr2＝400π.故选D. 通性通法 　　因为球的表面积与体积都是球的半径的函数，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键. 【跟踪训练】 1.若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6，则两球的体积之差的绝对值为π. 解析：设两个球的半径分别为R，r（R＞r），则由题意得即整理，得解得故两球的体积之差的绝对值为π×43－π×23＝π（43－23）＝π. 2.（2024·湖州月考）长、宽、高分别为2，，的长方体的外接球的表面积为12π. 解析：该长方体的体对角线长为＝2，设外接球的半径为R，∴2R＝2，∴R＝，∴S球＝4πR2＝12π. 1.球的体积是，则此球的表面积是（　　） A.12π　　　B.16π C.　　　D. 解析：B　设球的半径为R，∴πR3＝π，∴R＝2，∴S球＝4πR2＝16π. 2.若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（　　） A.π B.2π C.3π D.4π 解析：C　设圆锥的母线长为l，则l＝＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×（1＋2）＝3π. 3.已知圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析：A　设圆台的高为h，由题意知V＝π（12＋1×2＋22）h＝7π，故h＝3. 4.一个底面半径与高都为R的圆柱内挖掉一个等高、等底的圆锥的几何体（如图所示），则该几何体的体积为πR3. 解析：圆柱的体积V1＝πR2·R＝πR3，圆锥的体积V2＝πR3，所以所求的几何体的体积为V1－V2＝πR3－πR3＝πR3. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $