数学一模突破卷（宁夏专用）学易金卷：2026年中考第一次模拟考试

2026年中考第一次模拟考试 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B B C D C D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9． 10． 11．（答案不唯一） 12．0.95 13．24 14．①③/③① 15． 16．4米 三、解答题（本大题共10个小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17． 【详解】解：解不等式①得：，............2分 解不等式②得：，.............4分 ∴不等式组的解集为．.............6分 18． 【详解】解： .............3分 当时， 原式.............6分 19． 【详解】（1）解：如图线段即为所求． .............3分 （2）解：如图线段即为所求． .............6分 20． 【详解】（1）解：， 证明：平分， ， 而， ；.............3分 （2）解：设， ， ， ， 解得（负值舍去）， ．.............6分 21． 【详解】（1）解：设每个型垃圾桶元，每个型垃圾桶元，依题意得： ，解得：， 答：每个型垃圾桶元，每个型垃圾桶元；.............3分 （2）解：设可回收物为，厨余垃圾为，有害垃圾为，其它垃圾为， 列表如下： 由表可知，共有种等可能情况，其中小明和弟弟同时扔对的只有种， ∴两人均将垃圾投放正确的概率．.............6分 22． 【详解】（1）解：九年级20名学生的竞赛成绩中等级为A的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： ∵八年级20名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是76， ∴八年级20名学生的竞赛成绩的众数是76，即， ∵九年级20名学生的竞赛成绩的中位数是从小到大排列后的第10和第11个数据的平均数，其中等级为D的人数为7人，等级为C的人数为2人，B等级包含的所有数据为：85，85，85，85，87． ∴九年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列后的第10和第11个数据是85和85， ∴中位数．.............3分 （2）解：九年级成绩更好．理由：九年级的众数大于八年级；九年级的中位数大于八年级；九年级的优秀率大于八年级．（合理即可）.............4分 （3）解：根据题意得：八年级20人中优秀人数为6人， 九年级20人中优秀人数为11人，两个年级40人中优秀总人数为17人． 所以1000人中的优秀人数约为：（人）． 答：该校八、九两个年级约有425人成绩为优秀．.............6分 23． 【详解】（1）解：（1）①把代入， 得， 故答案为：；.............2分 ②、③如图： .............4分 （2）解：答案不唯一，如：①图象关于y轴对称； ②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ③函数值小于0．.............6分 （3）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围或．.............8分 24． 【详解】（1）证明：连接，，交于， ∵的切线， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；.............4分 （2）解：连结、， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴为等边三角形． ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴．.............8分 25． 【详解】（1）证明：，， ∴， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴点E是中边上的“平方点”；.............3分 （2）证明：∵点E是中边上的“平方点”， ∴， ∵是的内接三角形， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴；.............6分 （3）解：∵，，， ， ， 设，由题意得：，， ， 解得：，， ∴的长为5或8．.............10分 26． 【详解】（1）将点代入得， ，解得， ∴该抛物线的解析式为；.............3分 （2）过点P作轴，交于点Q， 如图，抛物线与y轴交点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴的面积为， ∴当时，S有最大值，S的最大值为；.............7分 （3）存在． ①如图2，当四边形 为平行四边形时，． ∵抛物线的对称轴为直线，点． ∴点； ②如图3，当四边形为平行四边形时，过点M作轴于点Q． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，． 设点， ∴，解得，， ∴点 或， 综上所述，点M的坐标为或 或 ．.............10分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【√1[/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分）》 1[A][B][C][D] 4.A][B][C1[D1 7.[A1[B1[C1[D] 2[A][B][C][D] 5.A][BJ[C1[D1 8.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分) 10. 11. 12 13 14 15 16. 三、解答题（本大题共10个小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题 10分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(6分) ① ② 20.(6分) D E G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 金 22.(6分) 九年级抽取学生竞赛成绩条形统计图 朵人数/人 87 6 5 3 B D 等级 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 6 4 3 -1 6432-10 123456 24.(8分) D F B C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) B A B B D B E D 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) A B 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列各数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．王林周末跟随学校“溯古社”社团到河南博物院参观，他发现一件镇院之宝主视图与左视图是一样的．王林看到的镇院之宝是（   ） A．B． C． D． 4．如图是某种单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．某位运动员在一次射击训练中，10次射击的成绩如图，则这10次成绩的众数和中位数分别是（    ） 某位运动员在一次射击训练中，10次射击的成绩如图，则这10次 A．9.7，9.5 B．9.5，9.8 C．9.8，9.8 D．9.8，9.7 6．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一．其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，设规定的时间为x天，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 8．已知矩形的顶点，，，分别在正六边形的边，，，上，在点从移动到的过程中，下列对矩形的判断： ①矩形的面积与周长保持不变； ②矩形的面积逐渐减少； ③矩形的周长逐渐增大； ④矩形的对角线长存在最小值． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．小李做水温下降实验，他把一杯水的温度由下降到记作；过一会儿，他测到这杯水的温度是，此时这杯水的温度应记作 ． 10．天王星围绕太阳公转的轨道半径约为，数字用科学记数法表示为 ． 11．在平面直角坐标系中，若函数在时，y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的函数表达式 ． 12．广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据： 实验种子数量/颗 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子数量/颗 93 188 473 954 1906 4748 种子发芽的频率（精确到0.001） 0.930 0.940 0.946 0.954 0.953 0.950 则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为 ．（结果精确到0.01） 13．如图，把图1中周长为的菱形分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图2所示的弦图，且弦图中间的小正方形面积为，则菱形的面积为 ． 14．如图， 直线， A， B为直线上的两个定点， C是直线上一动点， E， F分别为的中点， 对于下列各值： ①线段的长； ②的周长； ③的面积； ④的度数， 其中不随点C的移动而改变的是 ． 15．观察以下等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， 第五个等式：， …… 按照以上规律，第n个等式为 ． 16．图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，，测得，，．则雕塑的高为（即点到直线的距离） ．（结果保留整数，参考数据：，，）        三、解答题（本大题共10个小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解不等式组： 18．先化简，再求值：，其中． 19．在中，，点A在以为直径的半圆内．仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹)． (1)请在图①中画出边上的高； (2)请在图②中画出弦，使得． 20．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，平分． (1)写出一个与相似（不全等）的三角形，并证明你的结论． (2)已知，求的长． 21．为构建美好家园，提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购，两种型号的新型垃圾桶．若购买2个型垃圾桶和3个型垃圾桶共需要420元，购买5个型垃圾桶和1个型垃圾桶共需要400元． (1)求每个型垃圾桶和每个型垃圾桶各为多少元； (2)如图，小区并排放置4个垃圾桶，分别是标有：可回收物，厨余垃圾，有害垃圾，其它垃圾．小明拿了一袋有害垃圾，弟弟拿了一袋厨余垃圾，随机投进其中1个垃圾桶．利用画树状图或列表的方法，求两人均将垃圾投放正确的概率． 22．为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校八、九年级进行了爱国知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级：A：，B：，C：，D：），部分信息如下：八年级20名学生的竞赛成绩为：60，60，61，65，68，70，70，72，76，76，76，76，77，78，85，87，90，93，100，100． 九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为：85，85，85，85，87．根据以上信息，解答下列问题： 八、九年级抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 八年级 77 76 30% 九年级 77 85 55% (1)请补全条形统计图，并填空：______，_____． (2)根据上述数据，你认为该校八、九年级的爱国知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校八、九年级参加本次竞赛活动的共有1000人，请估计该校八、九两个年级共有多少人成绩为优秀． 23．小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 24．如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 25．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“平方点”．如图1，中，点E是边上一点，连接，若，则称点E是中边上的“平方点”． (1)如图2，已知在四边形中，平分于点，求证：点E是中边上的“平方点”； (2)如图3，是的内接三角形，点E是中边上的“平方点”，延长交于点D，若，求证：； (3)如图4．在中，，过点A作于点D，点E是边上的“平方点”，求线段的长． 26．综合与探究 如图，抛物线经过点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于m的函数表达式．当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值． (3)若点M是抛物线上的一点，过点M作交x轴于点N，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列各数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．王林周末跟随学校“溯古社”社团到河南博物院参观，他发现一件镇院之宝主视图与左视图是一样的．王林看到的镇院之宝是（   ） A．B． C． D． 4．如图是某种单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．某位运动员在一次射击训练中，10次射击的成绩如图，则这10次成绩的众数和中位数分别是（    ） 某位运动员在一次射击训练中，10次射击的成绩如图，则这10次 A．9.7，9.5 B．9.5，9.8 C．9.8，9.8 D．9.8，9.7 6．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一．其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，设规定的时间为x天，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 8．已知矩形的顶点，，，分别在正六边形的边，，，上，在点从移动到的过程中，下列对矩形的判断： ①矩形的面积与周长保持不变； ②矩形的面积逐渐减少； ③矩形的周长逐渐增大； ④矩形的对角线长存在最小值． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．小李做水温下降实验，他把一杯水的温度由下降到记作；过一会儿，他测到这杯水的温度是，此时这杯水的温度应记作 ． 10．天王星围绕太阳公转的轨道半径约为，数字用科学记数法表示为 ． 11．在平面直角坐标系中，若函数在时，y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的函数表达式 ． 12．广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据： 实验种子数量/颗 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子数量/颗 93 188 473 954 1906 4748 种子发芽的频率（精确到0.001） 0.930 0.940 0.946 0.954 0.953 0.950 则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为 ．（结果精确到0.01） 13．如图，把图1中周长为的菱形分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图2所示的弦图，且弦图中间的小正方形面积为，则菱形的面积为 ． 14．如图， 直线， A， B为直线上的两个定点， C是直线上一动点， E， F分别为的中点， 对于下列各值： ①线段的长； ②的周长； ③的面积； ④的度数， 其中不随点C的移动而改变的是 ． 15．观察以下等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， 第五个等式：， …… 按照以上规律，第n个等式为 ． 16．图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，，测得，，．则雕塑的高为（即点到直线的距离） ．（结果保留整数，参考数据：，，）        三、解答题（本大题共10个小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解不等式组： 18．先化简，再求值：，其中． 19．在中，，点A在以为直径的半圆内．仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹)． (1)请在图①中画出边上的高； (2)请在图②中画出弦，使得． 20．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，平分． (1)写出一个与相似（不全等）的三角形，并证明你的结论． (2)已知，求的长． 21．为构建美好家园，提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购，两种型号的新型垃圾桶．若购买2个型垃圾桶和3个型垃圾桶共需要420元，购买5个型垃圾桶和1个型垃圾桶共需要400元． (1)求每个型垃圾桶和每个型垃圾桶各为多少元； (2)如图，小区并排放置4个垃圾桶，分别是标有：可回收物，厨余垃圾，有害垃圾，其它垃圾．小明拿了一袋有害垃圾，弟弟拿了一袋厨余垃圾，随机投进其中1个垃圾桶．利用画树状图或列表的方法，求两人均将垃圾投放正确的概率． 22．为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校八、九年级进行了爱国知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级：A：，B：，C：，D：），部分信息如下：八年级20名学生的竞赛成绩为：60，60，61，65，68，70，70，72，76，76，76，76，77，78，85，87，90，93，100，100． 九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为：85，85，85，85，87．根据以上信息，解答下列问题： 八、九年级抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 八年级 77 76 30% 九年级 77 85 55% (1)请补全条形统计图，并填空：______，_____． (2)根据上述数据，你认为该校八、九年级的爱国知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校八、九年级参加本次竞赛活动的共有1000人，请估计该校八、九两个年级共有多少人成绩为优秀． 23．小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 24．如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 25．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“平方点”．如图1，中，点E是边上一点，连接，若，则称点E是中边上的“平方点”． (1)如图2，已知在四边形中，平分于点，求证：点E是中边上的“平方点”； (2)如图3，是的内接三角形，点E是中边上的“平方点”，延长交于点D，若，求证：； (3)如图4．在中，，过点A作于点D，点E是边上的“平方点”，求线段的长． 26．综合与探究 如图，抛物线经过点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于m的函数表达式．当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值． (3)若点M是抛物线上的一点，过点M作交x轴于点N，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列各数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根，根据无限不循环小数即为无理数，进行作答即可． 【详解】解：A、是整数，不是无理数，故该选项不符合题意； B、是无限不循环小数，故该选项符合题意； C、是有限小数，不是无理数，故该选项不符合题意； D、，不是无理数，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂的乘除，完全平方公式．根据积的乘方，同底数幂的乘除，完全平方公式计算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 3．王林周末跟随学校“溯古社”社团到河南博物院参观，他发现一件镇院之宝主视图与左视图是一样的．王林看到的镇院之宝是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图． 根据从不同方向看到的图形解答即可． 【详解】解：由题意可知，主视图与左视图是一样的是， 故选：B． 4．如图是某种单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了应用平行线的性质求角度，先根据“两直线平行，内错角相等”求出，进而求出，然后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 5．某位运动员在一次射击训练中，10次射击的成绩如图，则这10次成绩的众数和中位数分别是（    ） 某位运动员在一次射击训练中，10次射击的成绩如图，则这10次 A．9.7，9.5 B．9.5，9.8 C．9.8，9.8 D．9.8，9.7 【答案】C 【分析】本题主要考查了折线统计图，中位数和众数的知识，理解并掌握中位数和众数的定义是解题关键．将10次射击的成绩按照从小到大的顺序排列，结合中位数和众数的定义即可获得答案． 【详解】解：根据题意，将10次射击的成绩按照从小到大的顺序排列， 为9.3，9.5，9.5，9.5，9.8，9.8，9.8，9.8，10，10， 其中出现次数最多的为9.8，共计4次， ∴这10次成绩的众数是9.8， ∵10次射击的成绩排在第5位和第6位的是9.8和9.8， ∴这10次成绩的中位数是． 故选：C． 6．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一．其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，设规定的时间为x天，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出方程即可． 【详解】解：设规定的时间为x天，则慢马送所需的时间为天，快马送所需的时间为天， 根据题意，得， 故选：D． 7．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题，根据二次函数与x轴有交点得到，列不等式求解即可，注意二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：∵二次函数的图象和轴有交点， ∴方程有实数解， ∴且， 解得且， 故选：C． 8．已知矩形的顶点，，，分别在正六边形的边，，，上，在点从移动到的过程中，下列对矩形的判断： ①矩形的面积与周长保持不变； ②矩形的面积逐渐减少； ③矩形的周长逐渐增大； ④矩形的对角线长存在最小值． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题属于代数几何综合题，是中考填空题的压轴题，考查了正多边形和圆，矩形的性质，一次函数的性质，二次函数的最值，解决本题的关键是掌握正多边形的性质． 以的对称轴为y轴，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设正六边形的边长为2，连接，过点E作轴于点H，根据正六边形的性质可得，，设解析式为，代入值可得解析式为，根据M在上，设，根据矩形，点M和点N关于y轴对称，可得，点M和点Q关于x轴对称，可得，所以，，然后表示矩形的周长、面积、对角线，进而可以逐一进行判断． 【详解】解：∵正六边形是轴对称图形， ∴以的对称轴为y轴，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图， 设正六边形的边长为2，连接，过点E作轴于点H， ∴，， ∴，， ∴，， 设解析式为， ， 解得， ∴解析式为， ∵M在上，设， 矩形中，点M和点N关于y轴对称， ∴， ∵点M和点Q关于x轴对称， ∴， ∴，， ∴矩形周长 ， ∵， ∴C的值随x的增大而减小，点M从E移动到D的过程中，x不断增大， 故周长C会逐渐减小，故①③错误； ∵矩形的面积 ∵， ∴抛物线开口向下，当时，S随x的增大而减小， 故矩形的面积S逐渐减小，故②正确； ∵矩形的对角线 ∴当时，有最小值，此时，对角线最小，故④正确． 综上所述：②④正确． 故选：D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．小李做水温下降实验，他把一杯水的温度由下降到记作；过一会儿，他测到这杯水的温度是，此时这杯水的温度应记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法的应用，相反意义的量，根据题意得出，即可得出答案． 【详解】解：， 一杯水的温度由下降到，记作， 故答案为： 10．天王星围绕太阳公转的轨道半径约为，数字用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是确定a（）和n（整数位数减1）的值． 将原数转化为形式，移动小数点使a满足范围，整数位数减1得n． 【详解】解：， 故答案为：． 11．在平面直角坐标系中，若函数在时，y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的函数表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了函数的性质，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：依题意，在时，y随x的增大而增大，这个函数可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 12．广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据： 实验种子数量/颗 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子数量/颗 93 188 473 954 1906 4748 种子发芽的频率（精确到0.001） 0.930 0.940 0.946 0.954 0.953 0.950 则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为 ．（结果精确到0.01） 【答案】0.95 【分析】本题考查频率估计概率，读懂表格是关键．根据表格即可求出． 【详解】解：由表格可得：随着实验种子数量的增加，其发芽的频率稳定在0.95左右，即估计它能发芽的概率为0.95， 故选：C． 13．如图，把图1中周长为的菱形分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图2所示的弦图，且弦图中间的小正方形面积为，则菱形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理的运用，掌握菱形的性质，正确列式是关键．设菱形中的较长的对角线为，较短的对角线为，结合勾股定理，完全平方公式的变形计算即可求解． 【详解】解：由题意：， 设菱形中的较长的对角线为，较短的对角线为， ， ， 菱形的面积为， 故答案为：24． 14．如图， 直线， A， B为直线上的两个定点， C是直线上一动点， E， F分别为的中点， 对于下列各值： ①线段的长； ②的周长； ③的面积； ④的度数， 其中不随点C的移动而改变的是 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形中位线定理、三角形面积等知识．判断出长为定值，到的距离为定值，再根据三角形的中位线与平行线的性质即可判断①③，根据运动得出不断发生变化、的大小不断发生变化，即可判断②④． 【详解】解：、为定点， 长为定值， 点，分别为，的中点， 是的中位线， 为定值，故①正确； 点，为直线上定点，直线， 到的距离为定值， 是的中位线， ， 到的距离为定值， 又为定值， 的面积为定值，故③正确； 当点移动时，的长发生变化， 则的长发生变化， 的周长发生变化，故②错误； 当点移动时，发生变化，则发生变化，故④错误； 故答案为：①③． 15．观察以下等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， 第五个等式：， …… 按照以上规律，第n个等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，关键是能通过正确地观察、猜想、证明得到问题中蕴含的规律．根据前几个等式左右式子的变化，进而可得结论． 【详解】解：第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， 第五个等式：， …… 按照以上规律，第n个等式为， 故答案为： 16．图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，，测得，，．则雕塑的高为（即点到直线的距离） ．（结果保留整数，参考数据：，，）        【答案】4米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．连接，过点作，交的延长线于点，根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出，在中，得出，则，在中，根据，即可求解． 【详解】解：连接，过点作，交的延长线于点，如下图： ∵， ∴ ∵ 即 ∴ 即 在中， ， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴ （米）． 故雕塑的高约为4米． 故答案为：4米． 三、解答题（本大题共10个小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法．先分别解出两个不等式的解集，然后确定两个解集的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先将分式进行化简，再代入a的值化简即可． 【详解】解： 当时， 原式 19．在中，，点A在以为直径的半圆内．仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹)． (1)请在图①中画出边上的高； (2)请在图②中画出弦，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）延长交于点D，连接，线段即为所求． （2）延长交于点D，延长交于点E，连接，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图线段即为所求． （2）解：如图线段即为所求． 20．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，平分． (1)写出一个与相似（不全等）的三角形，并证明你的结论． (2)已知，求的长． 【答案】(1)，证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是正确解答此题的关键． （1）由两角相等很容易得到； （2）根据相似比列方程，再解方程即可得解． 【详解】（1）解：， 证明：平分， ， 而， ； （2）解：设， ， ， ， 解得（负值舍去）， ． 21．为构建美好家园，提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购，两种型号的新型垃圾桶．若购买2个型垃圾桶和3个型垃圾桶共需要420元，购买5个型垃圾桶和1个型垃圾桶共需要400元． (1)求每个型垃圾桶和每个型垃圾桶各为多少元； (2)如图，小区并排放置4个垃圾桶，分别是标有：可回收物，厨余垃圾，有害垃圾，其它垃圾．小明拿了一袋有害垃圾，弟弟拿了一袋厨余垃圾，随机投进其中1个垃圾桶．利用画树状图或列表的方法，求两人均将垃圾投放正确的概率． 【答案】(1)每个型垃圾桶元，每个型垃圾桶元； (2)． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，用列表法或画树状图法求概率等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）设每个型垃圾桶元，每个型垃圾桶元，依题意列出方程，求解即可； （2）设可回收物为，厨余垃圾为，有害垃圾为，其它垃圾为，列出表格，即可求解． 【详解】（1）解：设每个型垃圾桶元，每个型垃圾桶元，依题意得： ，解得：， 答：每个型垃圾桶元，每个型垃圾桶元； （2）解：设可回收物为，厨余垃圾为，有害垃圾为，其它垃圾为， 列表如下： 由表可知，共有种等可能情况，其中小明和弟弟同时扔对的只有种， ∴两人均将垃圾投放正确的概率． 22．为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校八、九年级进行了爱国知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级：A：，B：，C：，D：），部分信息如下：八年级20名学生的竞赛成绩为：60，60，61，65，68，70，70，72，76，76，76，76，77，78，85，87，90，93，100，100． 九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为：85，85，85，85，87．根据以上信息，解答下列问题： 八、九年级抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 八年级 77 76 30% 九年级 77 85 55% (1)请补全条形统计图，并填空：______，_____． (2)根据上述数据，你认为该校八、九年级的爱国知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校八、九年级参加本次竞赛活动的共有1000人，请估计该校八、九两个年级共有多少人成绩为优秀． 【答案】(1)见解析，， (2)九年级成绩更好．理由：九年级的众数大于八年级；九年级的中位数大于八年级；九年级的优秀率大于八年级．（合理即可） (3)425人 【分析】本题主要考查了众数、中位数，用样本估计总体等知识点，熟练掌握众数、中位数的意义和求法是解题的关键． （1）求出九年级20名学生的竞赛成绩中等级为A的人数，即可补全条形统计图，再根据众数、中位数的定义进行计算即可； （2）可以从众数、中位数以及优秀率三个方面进行判断即可解答； （3）根据样本估计总体的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：九年级20名学生的竞赛成绩中等级为A的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： ∵八年级20名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是76， ∴八年级20名学生的竞赛成绩的众数是76，即， ∵九年级20名学生的竞赛成绩的中位数是从小到大排列后的第10和第11个数据的平均数，其中等级为D的人数为7人，等级为C的人数为2人，B等级包含的所有数据为：85，85，85，85，87． ∴九年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列后的第10和第11个数据是85和85， ∴中位数． （2）解：九年级成绩更好．理由：九年级的众数大于八年级；九年级的中位数大于八年级；九年级的优秀率大于八年级．（合理即可） （3）解：根据题意得：八年级20人中优秀人数为6人， 九年级20人中优秀人数为11人，两个年级40人中优秀总人数为17人． 所以1000人中的优秀人数约为：（人）． 答：该校八、九两个年级约有425人成绩为优秀． 23．小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 【答案】(1)①；②见解析；③见解析 (2)①图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（不唯一）． (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． （1）把代入解析式即可求得，进而即可描点连线，补充图象； （2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可； （3）根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）①把代入， 得， 故答案为：； ②、③如图： （2）解：答案不唯一，如：①图象关于y轴对称； ②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ③函数值小于0． （3）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围或． 24．如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，扇形的面积． （1）连接，，交于，由切线得到，再由结合垂径定理得到，即，则； （2）连结、，由垂直平分，得到，则为等边三角形．，推出，得到，，最后根据计算即可． 【详解】（1）证明：连接，，交于， ∵的切线， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连结、， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴为等边三角形． ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 25．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“平方点”．如图1，中，点E是边上一点，连接，若，则称点E是中边上的“平方点”． (1)如图2，已知在四边形中，平分于点，求证：点E是中边上的“平方点”； (2)如图3，是的内接三角形，点E是中边上的“平方点”，延长交于点D，若，求证：； (3)如图4．在中，，过点A作于点D，点E是边上的“平方点”，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5或8 【分析】（1）先证，得，再由平分，得，即可得答案； （2）由点E是中边上的“平方点”得，再证，得，可得，即可得结论； （3）先求出，，的长，设，得，解答即可． 【详解】（1）证明：，， ∴， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴点E是中边上的“平方点”； （2）证明：∵点E是中边上的“平方点”， ∴， ∵是的内接三角形， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ， ， 设，由题意得：，， ， 解得：，， ∴的长为5或8． 【点睛】本题考查了几何新定义，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，一元二次方程的解法，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 26．综合与探究 如图，抛物线经过点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于m的函数表达式．当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值． (3)若点M是抛物线上的一点，过点M作交x轴于点N，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，S有最大值，S的最大值为 (3)存在，点M的坐标为或 或 【分析】（1）将点A、B坐标直接代入函数解析式即可得出答案； （2）过点P作x轴的垂线交线段于Q，再根据，根据二次函数的性质即可得答案； （3）分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别求解即可得答案． 【详解】（1）将点代入得， ，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）过点P作轴，交于点Q， 如图，抛物线与y轴交点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴的面积为， ∴当时，S有最大值，S的最大值为； （3）存在． ①如图2，当四边形 为平行四边形时，． ∵抛物线的对称轴为直线，点． ∴点； ②如图3，当四边形为平行四边形时，过点M作轴于点Q． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，． 设点， ∴，解得，， ∴点 或， 综上所述，点M的坐标为或 或 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） LIAUBUCIDI 4[A][B][C][D] 7[AJ[BJ[CI[D] 2[AJ[BJ[C][D] 5[A]IB][C][D] 8[A][B][C][D] 3[A][B]IC][D] 6[AJIBIIC]ID] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 10. 11. 12 13. 14. 15. 16. 三、解答题（本大题共10个小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题 10分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(6分) B 0 ① ② 20.(6分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 安 金 22.(6分) 九年级抽取学生竞赛成绩条形统计图 本人数/人 7 6 5 4 3 D 等级 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 65 3 6-3-4-32-1 1234.36 24.(8分) D F C E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) 4 E D B 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) B p 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！