数学一模提分卷（宁夏专用）学易金卷：2026年中考第一次模拟考试

画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第一次模拟考试 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 题号 2 3 5 6 8 答案 B B A C D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9.-1 10.x≤3 u6 12.4 13.1 14.-4,-3 15.60 16.11.48°/11.48度 三、解答题（本大题共10个小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10 分，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17. 【详解】解：-32+1-2-2cos45°+ +20259 =-9+2-1-2xV +8+13分 =-9+V2-1-√2+8+1 =-1.6分 18. 1/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】解： a+1-3）sa2-4a+4 a-1 a-1 =g-13a-2 a-1a-1a-1 -a2-4(a-22 a-1a-1 -(a+2(a-2.a-1 a-1(a-22 =0+2 0-2’3分 :a-1≠0，a-2≠0， ∴.a≠1，a≠2， 取a=0,则原式=-1.6分 19. 【详解】(1)解：如图所示： D 2分 0 E B (2)证明：BF⊥AE, ∠AFB=90°， :四边形ABCD是菱形， :AD∥BC,AD=BC,AC⊥BD, LA0B=90°， :BE=BC :AD BE, 又：AD∥BC, :四边形ADBE为平行四边形， AF∥OB, .∠AFB+∠FB0=180°， .∠FB0=90°， :∠AFB=∠A0B=∠FB0=90°， 2/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ·四边形A0BF为矩形.6分 20. 【详解】解：(1)如图，BD即为所所求作的中线； B :∠CDE=∠ADF,∠CED=∠AFD=90°，CE=AF, .aCDE≌△ADF(AAS), .AD=CD, .BD为ABC的中线；3分 (2)AE即为所求作的角平分线，如图所示： :∠BDE=∠ECF=90°，∠BED=∠CEF,BD=CF, .△BDE≌△FCE(AAS, .BE =EF, .AB=AF=5, AE平分∠BAC.6分 21. 【详解】(1)解：①由定义“个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为互异数”可知， 60,63,66中，“互异数”为63 故答案为：63. ②f(23)=（23+32)÷11=5. 故答案为：5.2分 (2)解：：这个“互异数”b的十位数字是k,个位数字是2(k+1) 3/11 应学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .b=10×k+2(k+1)=12k+2. 将这个数的个位和十位调换后为：10×2(k+1)+k-21+20 .f(b)=(12k+2+21+20)÷11=3k+2 又f(b)=8 .3k+2=8 .k=2 故这个“互异数”b=12k+2=26. 故答案为：26.4分 (3)解：f(m)+f(nm)的值与m无关，理由是： :m,n都是“互异数”，且m+n=100 ∴.设m=10x+y,则n=10(9-x)+(10-y) :fm)Hfm)=10x++10y+y,0(9-+10-y]+010-y月+(9-x] 11 11 11x+11y,209-11x-11y 11 11 =19 f(m)+f(n)的值与m无关.6分 22. 【详解】(1)解：设甲礼盒生产x万套，乙礼盒生产y万套， 由题意得， x+y=80 25x+28y=2150 x=30 解得 (y=50' 答：甲礼盒生产30万套，乙礼盒生产50万套；…2分 (2)解：由题意得，(30-25)(30+a)+38-28)50+b)=690, .150+5a+500+10b=690, .b=4-0.5a, .W=2530+a+2850+b =750+25a+1400+28b =750+25a+1400+284-0.5a =750+25a+1400+112-14a 4/11 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =11a+2262, :a,b都为正整数， ∴.b=4-0.5a21, .1≤a≤6，且a为偶数， 11>0, ∴.W随a的增大而增大， .当a=2时，W有最小值，最小值为2284万元.6分 23. 【详解】(1)解：由题意，八年级A等级的人数为20-5-4-8=3， 八年级数据中第10个和第11个数据分别为：88,89， 88+89=88.5; .a= 九年级中A等级的人数为20×20%=4，B等级的人数为20×15%=3，C等级的人数为20×45%=9，D等 级的人数为20×20%=4，数据中出现次数最多的是88， .b=88; 补全条形图如图： 八年级抽取学生竞赛成绩的条形统计图 人数不 7 6 5 4 A B CD等级 故答案为：88.5,88；4分 (2)解：360°×20%=72°；6分 (3)解：560×3+425×20%=169（人）： 20 答：估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有169人.8分 24. 【详解】(1)证明：：AB为直径， ∠ADB=∠AEB=90°， ∠CAD+∠ACB=∠CBE+∠ACB=90 5/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠CAD=∠CBE :AB=AC,.∠ADB=90 ∠BAD=∠CAD, .∠CBE=LBAD, :LBDQ=∠ADB, ∴.△BDQn△ADB, DO BD “BDAD' .DB2=DQ·DA.4分 (2)解：如图，连接CQ, 夕 D :AD⊥BC,BD=CD, 9 A E C0=B0=3, QE=2, CE=V32-22=5, 设AE=x, ..AC=x+5=AB, 在Rt△ABE中， AE2+BE2=AB2, 即x2+52=(x+V5)2, x=25, :.AC=35, 5c4c-E-35x5-5.8分 25. 【详解】(1)解：抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C.直线 y=x-3经过B,C两点， 6/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在y=x-3中，当y=0时，得：0=x-3, 解得：x=3; 当x=0时，得：y=-3, .B(3,0),C(0,-3), 将点B,C的坐标分别代入抛物线y=x2+bx+c,得： 9+3b+c=0 c=-3’ 「b=-2 解得： c=-31 抛物线的解析式为：y=x2-2x-3;3分 (2)解：过点P作PG∥y轴交BC于点G,如图1， 图1 设P(,2-2t-3,则G(1,t-3), PG=t-3-(2-2t-3=-2+3t, s+刘=- 当：-时，5的能最大、设大值为名：一6分 (3)解：抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点（点A在点B左边）， 当y=0时，得：x2-2x-3=0, 解得：x=-1,x2=3, A-1,0, :A是A(-1,0)关于y轴的对称点， 7/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .A'1,0, 如图2， 图2 设F(m,m-3, A'1,0),C(0,-3, AF2=(m-1)2+(m-3)2,CF=m2+(m-3+32=2m2,A'C2=12+32=10, 当∠A'FC=90°时，由勾股定理得：AC2=AF2+CF2, .10=m-12+(m-32+2m2, 解得：m=0（舍去)或m=2, F(2,-1, 当∠FA'C=90°时，由勾股定理得：A'C2+AF2=CF2, .10+(m-1)+(m-32=2m2, 解得：m r3 综上所运，当△FHC是直角三角形时，F2,-或r3》0分 26. 【详解】[发现结论] 结论1： 解：AB=AC, 8/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠ABC=∠ACB. 又：BD、CE是角平分线， AD-ABC.ACE-ACB. .∠ABD=∠ACE, 在△ABD和△ACE中， I∠ABD=∠ACE AB=AC, ∠A=∠A :.△ABD≌△ACE(ASA). .BD CE 故答案为：= 结论2： 解：点D,E分别是边AC,AB的中点，AB=AC, 4E=48,4D=34C. 1 .AE AD. 在△ABD和△ACE中， 「AB=AC ∠A=∠A, AD=AE .△ABD≌△4CE(SAS .BD CE 故答案为：三，2分 [拓展应用] 解：(1)添加条件：AD=AE. 证明：在△ABD和△ACE中， 「AB=AC ∠A=∠A, AD=AE 9/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 △ABD≌△ACE(SAS. .BD=CE.4分 解：(2)能.0<CF<√5-1.5分 如图，在AC上取一点D,使得BD=CE. .BF CE, .BF BD BD<AB, :BF AB. 不妨设BF=AB· ∠A=36°， .∠BFA=∠A=36°. .∠ABF=180°-2∠A=180°-2×36°=108°. 又：AB=AC,∠A=36°， .∠ABC=∠ACB=72° .∠BCF=108°. .ZABF ZBCF 在△ABF和BCF中， :∠ABF=∠BCF,∠AFB=∠BFC, .△ABF∽△BCF. BF CF AF BE 设CF=x. .AB=AC=2, :BF=2,AF=2+x. 10/11 ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．将直尺与角的三角板如图所示叠放在一起，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 4．如图①，古代叫“斗”，在官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图②是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（   ） A． B． C． D． 5．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现在拿斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．下列命题正确的是（   ） A．的算术平方根是9 B．若甲、乙两组数据的方差，则甲组数据比乙组数据稳定 C．顺次连接四边形各边的中点所得到的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 7．如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 8．如图1，在菱形中，对角线交于点O，，，点P沿从点B匀速运动到点D．设点P的运动时间为，图2是点P运动时y随x变化的函数关系图象，则图2中最低点的纵坐标a的值为（    ） A． B． C． D．3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．计算： ． 10．不等式组的解集是 ． 11．直线和直线相交于点，则关于的方程组的解是 ． 12．为培养学生运用的意识，某校主办的科学社团展示活动，确定了“灵光”“”“豆包”和“千问”四个主题．若八年级的13班和14班分别随机选择其中一个主题来展示，则这两个班选择同一主题的概率是 ． 13．如图，在中，，，，则的内切圆半径 ． 14．在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为 ．    15．如图，正九边形中，边，的延长线交于点B，则 度． 16．如图是一个窗户开窗时的简易示意图，其中矩形为窗框，矩形为窗户，．为了限制窗户开合，小明在，两点间装了一条长为细软钢丝绳（可拉直但不能弹性拉伸），则窗户打开角的度数最大可为 ．（结果保留两位小数，参考数(据：，，，） 三、解答题（本大题共10个小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算： 18．先化简，再从0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 19．如图，在菱形中，对角线、相交于点． (1)尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点；(保留作图痕迹，不写作法) (2)求证：四边形为矩形 20．（1）如图1，已知，请你仅用无刻度的直尺作出边上的中线． （2）如图2，已知中，，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线． 21．定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：a=12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12=33，和33与11的商为3，所以=3．根据以上定义，回答下列问题： (1)填空： ①下列两位数：60，63，66中，“互异数”为______； ②计算：______； (2)如果一个“互异数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且=8，求b． (3)如果m，n都是“互异数”，且．的值是否与有关，请说明理由． 22．某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共80万套，两种礼盒的成本和售价如表所示： 甲 乙 成本（元/套） 25 28 售价（元/套） 30 38 (1)该工厂计划筹集资金2150万元，且全部用于生产甲乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ (2)经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒a万套，增加生产乙种礼盒b万套（a，b都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为690万元，设实际生产的两种礼盒的总成本为W万元，请写出W与a的函数关系式，并求出当a为多少时成本W有最小值，并求出成本W的最小值为多少万元？ 23．为提升信息素养，学校组织八、九年级开展“AI小达人·校园智创赛”．老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，分A、B、C、D四个等级，90分及以上为优秀，并评为“校园智创之星”． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2：八年级B、C两组同学的成绩分别为： 85，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级C组同学的成绩分别为： 89，89，88，88，88，88，88，87，86． 信息3： 【数据分析】 八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 a 95 九年级 88 88 b (1)完成填空：________，______，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中D等级所占的圆心角度数； (3)若该校八年级学生有560人，九年级学生有425人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 24．如图，在中，，以为直径作，分别交、于点上的点为、，连接、，线段与线段交于点． (1)求证：； (2)如果，，求的面积．（提示：连接） 25．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点F为直线上一点，作点A关于y轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标． 26．综合与实践．在中，． 【发现结论】 结论1：如图1，当是的角平分线时，则_______ ；（数量关系）． 结论2：如图1，当点D，E分别是边的中点，连接，则______，并证明此结论． 【拓展应用】 探究发现：在中，，D为边上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边上的任意位置，在另一边上总能找到一个与其对应的点E，使得． （1）如图2，在中，，点D，E分别在边，的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得，并证明． （2）如图3，在中，，，点E为边上任意一点（不与点A，B重合），点F为边延长线上一点．判断与能否相等．若能，请直接写出的取值范围，若不能，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴．由题意得，手掌遮住的数大于且小于0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0， ∴四个选项中只有C选项中的数符合题意， 故选：C． 2．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、零指数幂、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂，根据同底数幂的乘法法则、零指数幂、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂的运算法则计算，再判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 3．将直尺与角的三角板如图所示叠放在一起，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据题意可知，再由三角形内角和定理确定的值，然后根据“两直线平行，内错角相等”，即可获得答案． 【详解】解：如下图， 根据题意，可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．如图①，古代叫“斗”，在官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图②是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟知三视图的特点是解答的关键．根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示： 故选C． 5．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现在拿斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据5斗酒和斗谷子列方程组即可得到答案； 【详解】解：设清酒斗，醑酒斗， 由题意可得，， 故选：A． 6．下列命题正确的是（   ） A．的算术平方根是9 B．若甲、乙两组数据的方差，则甲组数据比乙组数据稳定 C．顺次连接四边形各边的中点所得到的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据算术平方根的概念、方差的性质、中点四边形、正方形的判定判断即可． 【详解】解：A、的算术平方根是3，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、若甲、乙两组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、顺次连接四边形各边的中点所得到的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 7．如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设，两点的坐标分别为 、 ，根据点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同，得到点B的坐标为，点D的坐标为，由，，得到，根据与的距离为5，把代入中，即可求解． 【详解】解：设，两点的坐标分别为 、 ， ∵轴， ∴点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴点B的坐标为，点D的坐标为， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∵与的距离为5， ∴ ， 把代入中，得： ， 即， 解得：， 故选：D． 8．如图1，在菱形中，对角线交于点O，，，点P沿从点B匀速运动到点D．设点P的运动时间为，图2是点P运动时y随x变化的函数关系图象，则图2中最低点的纵坐标a的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，，，由菱形的性质可知，点与点关于对称，根据两点之间线段最短可知，当、、三点共线时，的最小值为，在中，解直角三角形可得，，于是，，易证，，由相似三角形的性质分别求出和，易知，则为直角三角形．再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，， 四边形为菱形，， 点在上，，， 垂直平分， ，， 当、、三点共线时，的最小值为 在中， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在中， ， 的最小值为，即． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根、零指数幂和绝对值是解题的关键．根据立方根、零指数幂和绝对值计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 故答案为：． 11．直线和直线相交于点，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握一次函数与二元一次方程组的关系． 根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解即为两条直线交点的坐标． 【详解】解：∵直线和直线相交于点， ∴该点的坐标同时满足两个方程， 因此方程组的解是． 故答案为：． 12．为培养学生运用的意识，某校主办的科学社团展示活动，确定了“灵光”“”“豆包”和“千问”四个主题．若八年级的13班和14班分别随机选择其中一个主题来展示，则这两个班选择同一主题的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用列表或树状图求概率，画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】解：依题意，把“灵光”“”“豆包”和“千问”四个主题分别记为，，， 列表如下： D D 共有16种等可能结果，其中这两个班选择同一主题的结果有4种， 这两个班选择同一主题的概率是， 故答案为：． 13．如图，在中，，，，则的内切圆半径 ． 【答案】1 【分析】设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接，求出的长，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于r的方程，即可求解． 此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接， 则，，， ∵， ∴四边形是正方形， 设半径为r，， ，，， ， ，， ， ， 的内切圆的半径为1； 故答案为：1． 14．在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似变换，对应顶点所在直线相交于一点即为位似中心，确定位似中心是解题的关键． 连接、，并延长交于一点，交点即为所求． 【详解】解：如图，    连接、，并延长交于一点，点即为所求．由网格图形可知，点的坐标为． 故答案为：． 15．如图，正九边形中，边，的延长线交于点B，则 度． 【答案】60 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边对等角．根据正多边形的性质求得，，再利用等边对等角求解即可． 【详解】解：连接， ∵正九边形每个外角的度数为：， ∴正九边形每个内角的度数为：， 即，． ∵多边形是正九边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：60． 16．如图是一个窗户开窗时的简易示意图，其中矩形为窗框，矩形为窗户，．为了限制窗户开合，小明在，两点间装了一条长为细软钢丝绳（可拉直但不能弹性拉伸），则窗户打开角的度数最大可为 ．（结果保留两位小数，参考数(据：，，，） 【答案】/11.48度 【分析】本题考查解直角三角形的应用，准确构造直角三角形是解题的关键． 过点作交于点，由三线合一可得为中点，且平分，结合边长关系，可求出，得出的近似度数，再求出的近似度数即可． 【详解】解：当的度数最大时， 应最长，即，过点作交于点，如下图所示： ∵，， ∴点为中点，且平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据有理数的乘方，绝对值，特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 18．先化简，再从0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ， ∴取，则原式． 19．如图，在菱形中，对角线、相交于点． (1)尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点；(保留作图痕迹，不写作法) (2)求证：四边形为矩形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图作垂线，菱形的性质，矩形的判定定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意完成尺规作图即可； （2）根据作图可得，根据四边形是菱形，证明四边形为平行四边形，进而得出，证明，根据矩形的判定定理，即可得证． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明： ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 四边形为矩形． 20．（1）如图1，已知，请你仅用无刻度的直尺作出边上的中线． （2）如图2，已知中，，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中线，角平分线作图，解题的关键是熟练掌握格点特点，等腰三角形的性质． （1）取格点D，连接即可； （2）取格点F，连接，交于点E，连接，则即为所求． 【详解】解：（1）如图，即为所所求作的中线； ∵，，， ∴， ∴， ∴为的中线； （2）即为所求作的角平分线，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 21．定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：a=12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12=33，和33与11的商为3，所以=3．根据以上定义，回答下列问题： (1)填空： ①下列两位数：60，63，66中，“互异数”为______； ②计算：______； (2)如果一个“互异数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且=8，求b． (3)如果m，n都是“互异数”，且．的值是否与有关，请说明理由． 【答案】(1)①63，②5 (2)26 (3)的值与无关，理由见解析 【分析】（1）①由“互异数”的定义直接判断即可； ②根据定义计算可得； （2）先将这个“互异数”用k的代数式表示为：12k+2，再计算的值，最后利用等式=8从而求出k的值，然后即可求得b． （3）根据题意，可以表示出m和n，然后即可计算出的值即可作出判断． 【详解】（1）解：①由定义“个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为互异数”可知，60，63，66中，“互异数”为63． 故答案为：63． ②==（23+32）÷11=5． 故答案为：5． （2）解：∵这个“互异数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1） ∴b=10×k+2（k+1）=12k+2． 将这个数的个位和十位调换后为：10×2（k+1）+k=21k+20 ∴=（12k+2+21k+20）÷11=3k+2 又=8 ∴3k+2=8 ∴k=2 故这个“互异数”b=12k+2=26． 故答案为：26． （3）解：的值与无关，理由是： ∵ m，n都是“互异数”，且 ∴设m=10x+y，则n=10（9-x）+（10-y） ∴= = = ∴的值与无关． 【点睛】本题属于新定义题目，考查了列代数式和一元一次方程的应用，解题的关键是能理解题目意思，理解“互异数”． 22．某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共80万套，两种礼盒的成本和售价如表所示： 甲 乙 成本（元/套） 25 28 售价（元/套） 30 38 (1)该工厂计划筹集资金2150万元，且全部用于生产甲乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ (2)经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒a万套，增加生产乙种礼盒b万套（a，b都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为690万元，设实际生产的两种礼盒的总成本为W万元，请写出W与a的函数关系式，并求出当a为多少时成本W有最小值，并求出成本W的最小值为多少万元？ 【答案】(1)甲礼盒生产30万套，乙礼盒生产50万套 (2)，当时，W最小值为2284万元 【分析】 本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出方程组和函数关系式是解题的关键． （1）设甲礼盒生产x万套，乙礼盒生产y万套，根据一共有80万套礼盒，生产资金为2150万元建立方程组求解即可； （2）根据种礼盒售完后所获得的总利润恰为690万元可推出a与b的关系，再列出W关于a的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲礼盒生产x万套，乙礼盒生产y万套， 由题意得，， 解得， 答：甲礼盒生产30万套，乙礼盒生产50万套； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴ ， ∵a，b都为正整数， ∴， ∴，且a为偶数， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴当时，W有最小值，最小值为2284万元． 23．为提升信息素养，学校组织八、九年级开展“AI小达人·校园智创赛”．老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，分A、B、C、D四个等级，90分及以上为优秀，并评为“校园智创之星”． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2：八年级B、C两组同学的成绩分别为： 85，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级C组同学的成绩分别为： 89，89，88，88，88，88，88，87，86． 信息3： 【数据分析】 八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 a 95 九年级 88 88 b (1)完成填空：________，______，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中D等级所占的圆心角度数； (3)若该校八年级学生有560人，九年级学生有425人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 【答案】(1)，88，图见解析 (2) (3)估计该校八、九年级成绩为等级的学生共有169人 【分析】本题考查条形图和扇形图，求中位数和众数，利用样本估计总体． （1）根据中位数和众数的计算方法求解即可，根据频数之和求出等级的人数，补全条形图即可； （2）用乘以D等级的百分比即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，八年级等级的人数为， 八年级数据中第10个和第11个数据分别为：， ∴； 九年级中等级的人数为，等级的人数为，等级的人数为，等级的人数为，数据中出现次数最多的是88， ∴； 补全条形图如图： 故答案为：，88； （2）解：； （3）解：（人）； 答：估计该校八、九年级成绩为等级的学生共有169人． 24．如图，在中，，以为直径作，分别交、于点上的点为、，连接、，线段与线段交于点． (1)求证：； (2)如果，，求的面积．（提示：连接） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的性质的应用，等腰三角形性质、勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为为直径，则，利用等腰三角形三线合一可证明，又可证，则，进而能证明，则题目结论即可证明； （2）连接，根据勾股定理求出，设，，再根据勾股定理求出，即可利用三角形面积公式求出面积． 【详解】（1）证明：为直径， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，连接， ，， ， ， ， 设， ， 在中， ， 即， ， ， ． 25．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点F为直线上一点，作点A关于y轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出B，C两点坐标，再代入抛物线解析式中，即可求出解析式； （2）过点P作轴交于点G，设，则，表示长，进而表示面积求最大值； （3）先求得，根据勾股定理分别表示出，，，根据是直角三角形时，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点， 在中，当时，得：， 解得：； 当时，得：， ∴，， 将点B，C的坐标分别代入抛物线，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：过点P作轴交于点G，如图1， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，最大值为； （3）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）， 当时，得：， 解得：，， ∴， ∵是关于y轴的对称点， ∴， 如图2， 设， ∵，， ∴，，， 当时，由勾股定理得：， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 当时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，当是直角三角形时，或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的应用，二次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理；三角形的面积等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想考虑问题． 26．综合与实践．在中，． 【发现结论】 结论1：如图1，当是的角平分线时，则_______ ；（数量关系）． 结论2：如图1，当点D，E分别是边的中点，连接，则______，并证明此结论． 【拓展应用】 探究发现：在中，，D为边上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边上的任意位置，在另一边上总能找到一个与其对应的点E，使得． （1）如图2，在中，，点D，E分别在边，的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得，并证明． （2）如图3，在中，，，点E为边上任意一点（不与点A，B重合），点F为边延长线上一点．判断与能否相等．若能，请直接写出的取值范围，若不能，请说明理由． 【答案】[发现结论]结论1：=；结论2：= [拓展应用]（1）添加条件：，证明见解析（2）能． 【分析】[发现结论] 结论1：利用证明，即得． 结论2：利用证明，即得． [拓展应用] （1）添加条件，利用证明，即得． （2）在上取一点D，使得，根据，得到，当时，可证，运用相似性质，求得的长即可． 【详解】[发现结论] 结论1： 解：∵， ∴． 又∵是角平分线， ∴，． ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 故答案为：=． 结论2： 解：∵点D，E分别是边的中点，， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 故答案为：=． [拓展应用] 解：（1）添加条件：． 证明：在和中， ， ∴． ∴． 解：（2）能．． 如图，在上取一点D，使得． ∵， ∴． ∵， ∴． 不妨设． ∵， ∴． ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴． 在和中， ∵，， ∴． ∴． 设． ∵， ∴，． ∴． 解得，（舍）． 经检验是分式方程的解． ∴． ∵点E为边上任意一点（不与点A，B重合）， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） LIAUBUCIDI 4[A][B][C][D] 7[AJ[BJ[CI[D] 2[AJ[BJ[C][D] 5[A]IB][C][D] 8[A][B][C][D] 3[A][B]IC][D] 6[AJIBIIC]ID] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 10. 11. 12 13. 14. 15. 16. 三、解答题（本大题共10个小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题 10分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 18.(6分) 19.(6分) B 20.(6分) B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 22.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 八年级抽取学生竞赛成绩的条形统计图九年级抽取学生竞赛成绩的扇形统计图 人数 8 A D 65 20% 20% 32 45% A B D等级 24.(8分) B D E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) AO B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) 必庆 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【√1[/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分）》 1[A][B][C][D] 4.A][B][C1[D1 7.[A1[B1[C1[D] 2[A][B][C][D] 5.A][BJ[C1[D1 8.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分) 10. 11. 12 13 14 15 16. 三、解答题（本大题共10个小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题 10分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(6分) A D B 20.(6分) 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 22.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 八年级抽取学生竞赛成绩的条形统计图 九年级抽取学生竞赛成绩的扇形统计图 人数 8 8 7 A 20% 15% 3 45% A B C D等级 24.(8分) B O D 9 E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) y AO B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) 盛头 图1 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．将直尺与角的三角板如图所示叠放在一起，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 4．如图①，古代叫“斗”，在官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图②是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（   ） A． B． C． D． 5．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现在拿斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．下列命题正确的是（   ） A．的算术平方根是9 B．若甲、乙两组数据的方差，则甲组数据比乙组数据稳定 C．顺次连接四边形各边的中点所得到的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 7．如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 8．如图1，在菱形中，对角线交于点O，，，点P沿从点B匀速运动到点D．设点P的运动时间为，图2是点P运动时y随x变化的函数关系图象，则图2中最低点的纵坐标a的值为（    ） A． B． C． D．3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．计算： ． 10．不等式组的解集是 ． 11．直线和直线相交于点，则关于的方程组的解是 ． 12．为培养学生运用的意识，某校主办的科学社团展示活动，确定了“灵光”“”“豆包”和“千问”四个主题．若八年级的13班和14班分别随机选择其中一个主题来展示，则这两个班选择同一主题的概率是 ． 13．如图，在中，，，，则的内切圆半径 ． 14．在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为 ．    15．如图，正九边形中，边，的延长线交于点B，则 度． 16．如图是一个窗户开窗时的简易示意图，其中矩形为窗框，矩形为窗户，．为了限制窗户开合，小明在，两点间装了一条长为细软钢丝绳（可拉直但不能弹性拉伸），则窗户打开角的度数最大可为 ．（结果保留两位小数，参考数(据：，，，） 三、解答题（本大题共10个小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算： 18．先化简，再从0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 19．如图，在菱形中，对角线、相交于点． (1)尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点；(保留作图痕迹，不写作法) (2)求证：四边形为矩形 20．（1）如图1，已知，请你仅用无刻度的直尺作出边上的中线． （2）如图2，已知中，，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线． 21．定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：a=12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12=33，和33与11的商为3，所以=3．根据以上定义，回答下列问题： (1)填空： ①下列两位数：60，63，66中，“互异数”为______； ②计算：______； (2)如果一个“互异数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且=8，求b． (3)如果m，n都是“互异数”，且．的值是否与有关，请说明理由． 22．某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共80万套，两种礼盒的成本和售价如表所示： 甲 乙 成本（元/套） 25 28 售价（元/套） 30 38 (1)该工厂计划筹集资金2150万元，且全部用于生产甲乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ (2)经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒a万套，增加生产乙种礼盒b万套（a，b都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为690万元，设实际生产的两种礼盒的总成本为W万元，请写出W与a的函数关系式，并求出当a为多少时成本W有最小值，并求出成本W的最小值为多少万元？ 23．为提升信息素养，学校组织八、九年级开展“AI小达人·校园智创赛”．老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，分A、B、C、D四个等级，90分及以上为优秀，并评为“校园智创之星”． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2：八年级B、C两组同学的成绩分别为： 85，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级C组同学的成绩分别为： 89，89，88，88，88，88，88，87，86． 信息3： 【数据分析】 八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 a 95 九年级 88 88 b (1)完成填空：________，______，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中D等级所占的圆心角度数； (3)若该校八年级学生有560人，九年级学生有425人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 24．如图，在中，，以为直径作，分别交、于点上的点为、，连接、，线段与线段交于点． (1)求证：； (2)如果，，求的面积．（提示：连接） 25．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点F为直线上一点，作点A关于y轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标． 26．综合与实践．在中，． 【发现结论】 结论1：如图1，当是的角平分线时，则_______ ；（数量关系）． 结论2：如图1，当点D，E分别是边的中点，连接，则______，并证明此结论． 【拓展应用】 探究发现：在中，，D为边上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边上的任意位置，在另一边上总能找到一个与其对应的点E，使得． （1）如图2，在中，，点D，E分别在边，的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得，并证明． （2）如图3，在中，，，点E为边上任意一点（不与点A，B重合），点F为边延长线上一点．判断与能否相等．若能，请直接写出的取值范围，若不能，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $