高频考点专练之图形的相似2025-2026学年苏科版数学九年级下册(七考点)

高频考点专练之图形的相似2025-2026学年苏科版 九年级下册(七考点) 考点一：图上距离与实际距离 1．某两地的实际距离为千米，画在地图上的距离是厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（    ）． A． B． C． D． 2．在中国地理地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为（    ） A．3858千米 B．3218千米 C．2314千米 D．1543千米 3．在比例尺为的地图上，量得甲乙两地的距离是，则两地的实际距离是 ． 考点二：黄金分割 1.点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2.如图，若点C可看作是线段的黄金分割点（），，则的长为（    ）．      A． B． C． D． 3.在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为8cm，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 4.在中华经典美文阅读中，小明发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长是24厘米，则它的宽为 厘米． 5.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，将雕像分为上下两部分，其中C为的黄金分割点，即．已知为2米，则的长为 米．（结果保留根号） 考点三：相似图形 1.下列选项中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 2.下列说法正确的是（    ） A．有一个角是两个等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似 C．等弧所对的圆心角相等 D．相等的圆心角所对的弧相等 3.如图所示的两个矩形相似，则矩形的面积为（　　）    A．312.5 B．300 C．600 D．337.5 4．把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是 ． 5.如图，四边形四边形，，． (1)___________； (2)求边的长度． 考点四：探索三角形相似的条件 1.已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 2.如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 4.如图，，，求证：． 考点五：相似三角形的性质 1．若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 3．如果两个相似三角形对应角平分线之比为，其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 5.如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 考点六：图形的位似 1.视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 2.用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（    ） A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置 3.如图，以点O为位似中心，将放大得到．若，则与的周长之比为（    ）    A． B． C． D． 4.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍，则点A对应点的坐标为（    ）    A． B．或 C． D．或 5.如图，DE是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6.如图，六边形ABCDEF与六边形是位似图形，O为位似中心，：：2，则B′C′： ． 7.如图，点和在平面直角坐标系中，点的坐标是，根据下列要求，解答相应的问题：    (1)作关于轴对称的，直接写出点的对应点的坐标； (2)作关于点成位似中心的位似，与的相似比为，且这两个三角形在点同侧，直接写出点的对应点的坐标． 考点七：用相似三角形解决问题 1.如图所示，在离某建筑物4m处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为2m，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2m，则这棵树高约有多少米         A．米 B．米 C．米 D．米 2.在阳光下，一名同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.42米，则树高为（　　） A．6.93米 B．8米 C．11.8米 D．12米 3.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为（    ）米． A．5 B．4 C．3 D．2 4.如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图②中，杠杆的端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点），要把这块石头翘起，至少要将杠杆的点向下压 ．    5.如图，建筑物上有一个旗杆，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树，小芳沿后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆米，米，米，米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，、均垂直于，请你帮助小芳求出这座建筑物的高． 【答案】 高频考点专练之图形的相似2025-2026学年苏科版 九年级下册(七考点) 考点一：图上距离与实际距离 1．某两地的实际距离为千米，画在地图上的距离是厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 2．在中国地理地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为（    ） A．3858千米 B．3218千米 C．2314千米 D．1543千米 【答案】A 3．在比例尺为的地图上，量得甲乙两地的距离是，则两地的实际距离是 ． 【答案】 考点二：黄金分割 1.点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2.如图，若点C可看作是线段的黄金分割点（），，则的长为（    ）．      A． B． C． D． 【答案】A 3.在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为8cm，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 4.在中华经典美文阅读中，小明发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长是24厘米，则它的宽为 厘米． 【答案】 5.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，将雕像分为上下两部分，其中C为的黄金分割点，即．已知为2米，则的长为 米．（结果保留根号） 【答案】 考点三：相似图形 1.下列选项中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 2.下列说法正确的是（    ） A．有一个角是两个等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似 C．等弧所对的圆心角相等 D．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】C 3.如图所示的两个矩形相似，则矩形的面积为（　　）    A．312.5 B．300 C．600 D．337.5 【答案】D 4．把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是 ． 【答案】 5.如图，四边形四边形，，． (1)___________； (2)求边的长度． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴ ∴ 故答案为： （2）解：∵四边形四边形 ∴ ∵， ∴ 解得： 考点四：探索三角形相似的条件 1.已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3．如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 【答案】C 4.如图，，，求证：． 【答案】 【详解】解：， ． ， ． 考点五：相似三角形的性质 1．若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2．如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 3．如果两个相似三角形对应角平分线之比为，其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为 ． 【答案】 4．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 【答案】 5.如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 【答案】(1)的长是 (2)的长是 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是； （2）解：， ， ，， ， ， ， 的长是． 考点六：图形的位似 1.视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】B 2.用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（    ） A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置 【答案】D 3.如图，以点O为位似中心，将放大得到．若，则与的周长之比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 4.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍，则点A对应点的坐标为（    ）    A． B．或 C． D．或 【答案】D 5.如图，DE是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 6.如图，六边形ABCDEF与六边形是位似图形，O为位似中心，：：2，则B′C′： ． 【答案】1：2 7.如图，点和在平面直角坐标系中，点的坐标是，根据下列要求，解答相应的问题：    (1)作关于轴对称的，直接写出点的对应点的坐标； (2)作关于点成位似中心的位似，与的相似比为，且这两个三角形在点同侧，直接写出点的对应点的坐标． 【答案】(1)作图见详解， (2)作图见详解， 【详解】（1）如图，      即为所求， 结合图形，点的对应点的坐标为：； （2）如图，      即为所求， 结合图形，点的对应点的坐标． 考点七：用相似三角形解决问题 1.如图所示，在离某建筑物4m处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为2m，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2m，则这棵树高约有多少米         A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 2.在阳光下，一名同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.42米，则树高为（　　） A．6.93米 B．8米 C．11.8米 D．12米 【答案】B 3.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为（    ）米． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 4.如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图②中，杠杆的端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点），要把这块石头翘起，至少要将杠杆的点向下压 ．    【答案】 5.如图，建筑物上有一个旗杆，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树，小芳沿后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆米，米，米，米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，、均垂直于，请你帮助小芳求出这座建筑物的高． 【答案】这座建筑物的高BC为14米． 【详解】解：由题意可得，∠ACE=∠FDE=90°，∠AEC=∠FED， ∴△ACE∽△FDE， ∴，即 ， ∴， 由题意可得，∠BCG=∠FDG=90°，∠BGC=∠FGD， ∴△BCG∽△FDG， ∴，即 ， ∴6.5BC=4（CD+6.5）， ∴， ∴BC=14， ∴这座建筑物的高BC为14米． 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