专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型（几何模型讲义）数学苏科版九年级下册

专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.米勒最大张角（视角）模型 6 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 12 19 1471年，德国数学家‌约阿希姆·米勒‌（又称雷吉奥蒙塔努斯 Regiomontanus）向他的老师—数学教授克里斯托夫·诺德尔（Christian Roder）提出一个看似简单却极富深意的问题：“在地球表面的什么位置观察一根垂直悬挂的杆子，才能使它看起来最长？” 换句话说，‌从哪个位置看这根杆子，视角最大？‌ 这个问题看似属于视觉感知，实则蕴含深刻的几何极值思想。它被后人称为“‌雷奇奥莫塔努斯极大值问题‌”（Regiomontanus' Maximum Problem），并被载入《100个著名初等数学问题—历史和解》一书中，成为‌世界数学史上第一个被正式记录的极值问题‌。 有趣的是，米勒当时提出这个问题，并非为了考试或竞赛，而是源于对‌美术欣赏角度‌的思考：如何站在最佳位置欣赏一幅高挂在墙上的画作，使视觉效果最优？这一灵感后来也广泛应用于壁画观赏、雕塑欣赏等场景。 “探照灯模型”这个生动的名字，并非出自教科书或学术论文，而是‌由一线教师和学生在解题实践中口口相传而来‌。探照灯模型的精妙之处，在于它巧妙融合了‌隐形圆思想与最值原理‌。虽然题干中从不提“圆”，但解法核心却是构造一个过动点的外接圆，利用圆的性质分析弦长变化。 （2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______，，，______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． （2025·广东广州·一模）如图，在中，，，为锐角，且，点是边上的动点，连接，作，与边交于点，则外接圆半径的最小值为 ． 1）米勒最大张角（视角）模型 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 证明：如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 因为∠ACB＞∠ADB，所以∠ACB＞∠AC’D， 2）定角定高模型（探照灯模型） 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。 模型1.米勒最大张角（视角）模型 例1（25-26九年级上·江苏镇江·期中）在2025镇江市足球联赛（简称“镇超”）第1轮句容对经开区队的比赛中，客场作战的句容队以的比分战胜经开区队，某校数学兴趣小组对进球进行了数学探究：足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门的张角大小，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点M，N，E，F，G均在格点上，球员带球沿方向进攻，最好的射点在（    ） A．点F B．点G C．线段（异于端点）上一点 D．线段（异于端点）上一点 例2（2025·广东·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，y轴的正半轴（坐标原点除外）上两点、，C为x轴的正半轴（坐标原点除外）上一动点．当取最大值时，点C的横坐标为（    ）    A．5 B．2 C．21 D． 例3（2025·江苏宿迁·三模）如图，在正方形中，，点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为 ． 例4（24-25九年级上·江苏南京·期中）【问题提出】当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？ 【数学眼光】如图①，设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地面m米，当过A，B，C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想． 【数学思维】小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点C的水平线上任取异于点C的点，连接交于点D，连接，．（1）按照小明的思路完成证明过程； 【问题解决】（2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？ （3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含a，b，m的代数式表示） 例5（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【概念认识】自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图1，是点对线段的视角． 【问题探究】如图2，已知线段与直线，在直线上取一点，使点对线段的视角最大． 【数学思考】如图2，圆越大，越小 点在直线上圆与直线有公共点圆与直线相交或相切 当圆与直线相切且点为切点时，最大 （1）请说明图2中，； 【问题解决】如图3，矩形是足球场的示意图，分别以直线、直线为轴和轴建立如图所示平面直角坐标系，两点的坐标分别为，，摄像机在上移动拍摄． （2）请求出当摄像机对球门的视角最大时点的坐标．（用含的代数式表示） （3）在足球比赛中，足球位置对球门的视角越大，越容易被踢进，如图4，已知球门，一名球员从点处带球，沿方向跑动，，，． ①这名球员继续跑多远可到达对球门视角最大的射门位置？ ②为了给观众呈现更好的现场画面，另安排了无人机拍摄，某架无人机在移动拍摄过程中始终保持对的视角为（无人机离地面的高度忽略不计），已知足球场宽，若摄像机位于对的视角最大的位置，在点移动的过程中，水平距离最近时相距______m． 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 例1（2025九年级下·广东·专题练习）如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的距离为2，点是直线l上的两个动点，且，求线段长度的最小值． 例2（2025·陕西·校考二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    例3（2025·山东淄博·校考二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为______．    例4（2025·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图1，已知在等边三角形中，边长为，为上一点，且，则______； （2）如图2，是的外接圆，，，，求面积的最小值； （3）如图3，有一块四边形草地，，．已知，，．在，上有，两点，且，区里决定在区域内安排夜市集，但为了保证其他居民的休闲娱乐，所以要使夜市集的面积尽可能地小，的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 例5（2025·陕西咸阳·模拟预测）问题提出    （1）如图①，在中，，为边上的高，若，则的最小值为______； 问题探究（2）如图②，在四边形中，，，E是边上一点，若，求的面积； 问题解决（3）如图③，某地有一片足够大的绿化带四边形，其中，，且．现在绿化公司想在这块绿化带中规划出一片花卉区，要求点E落在边上，点F落在边上，为了花卉区的美观，要保证．由于绿化公司的经费预算有限，要求的面积最小，是否存在符合要求的设计方案？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，甲、乙、丙三名同学比赛定点射门，PQ是球门，且甲、乙、丙三名同学位于以点O 为圆心的同一圆弧上，仅从射门角度考虑的话，进球概率最大的是（   ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．三名同学一样大 2.（2025·广东深圳·模拟预测）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门的张角达到最大值，故可以称点Q为直线上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，为球门一部分，于点，米，米．某球员沿向球门进攻，设最佳射门点为点Q． ___． 3．（25-26九年级上·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点．已知点，，是的外接圆．（1）点的横坐标为 ；（2）若最大时，则点的坐标为 ． 4.（25-26浙江·九年级校考期中）为了迎接新年的到来某市举办了迎新年大型灯光秀表演。其中一个镭射灯距地面30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图：若将两根光线(AB、AC)和光线与地面的两交点的连接的线段(BC)看作一个三角形，记为△ABC，三角形面积的最小值为_______平方米，其周长最小值为_______米。 5．（2025·陕西西安·校考二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ． 6．（24-25九年级上·广东·期中）如图，某雕塑位于河段上，游客在步道上由点出发沿方向行走．已知，，当观景视角最大时，游客行走的距离是多少米？    7．（2025·山东济宁·一模）如图，抛物线与轴交于点、，且经过点． (1)求抛物线的表达式；(2)在轴下方的抛物线上任取一点，射线、分别与抛物线对称轴交于点、，点关于轴的对称点为，求的面积；(3)点是轴上一动点，当最大时，请直接写出点的坐标． 8．（24-25九年级上·江苏南京·期中）【问题提出】当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？ 【数学眼光】如图①，设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地面m米，当过A，B，C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想． 【数学思维】小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点C的水平线上任取异于点C的点，连接交于点D，连接，．（1）按照小明的思路完成证明过程； 【问题解决】（2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？ （3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含a，b，m的代数式表示） 9．（2025·广东珠海·一模）综合实践：足球运动已成为一种世界性的运动，也是我们大家喜欢的一种体育活动．如图，点表示球门边框（不考虑球门的高度）的两端点，点表示射门点，连接，则叫做射门角，在不考虑其他因素的情况下，射门角越大，射门进球的可能性就越大．当射门角最大时，此时点叫做最佳射门点．以下是运动员常见的四种带球跑动路线（用直线表示）： ．横向跑动 ．竖向跑动（，垂足在线段上） ．竖向跑动（，垂足在线段外） ．斜向跑动（） (1)如图，过两点作与相切于点，直线上存在，，且在的两侧，当运动员带球沿横向跑动，最佳射门点为 （填“”、“”或“”）； (2)如图，当运动员带球沿竖向跑动时，请用你所学得数学知识证明在点射门进球的可能性大于点射门进球的可能性； (3)如图，设与直线交于点，，，点在直线上，，当运动员速度为，求运动员从点沿直线向点带球跑动到最佳射门点的时间？ (4)如图，设与直线交于点，当，，点在直线上，，当运动员速度为，求运动员从点沿直线向点带球跑动到最佳射门点的时间？ 10．（25-26九年级上·江苏南通·期中）（1）如图1，在足球比赛场上，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到A点时，同伴乙已冲到B点，甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？ 对上面这个问题，小明结合图1判断甲的视角小于乙的视角，根据“仅从射门角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进”的经验，认为甲应该将球传给乙．请结合图1给出小明得到的理由； （2）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，并得到这样的结论：如图2，点A，B是平面内两个定点，C是直线l上的一个动点，当且仅当的外接圆与l相切于点C时，最大． 如图3，，点A，B是边上两点，，点C是边上一动点． ①若最大为，请求出当时，的长； ②若最大不超过，直接写出的取值范围．    11．（2025·陕西西安·一模）综合与实践 【问题提出】（1）如图①，点A为上一点，点D为外一点，(点A、点D在直线的同侧)，则与的大小关系为：________ (填“”、“”、“”) 【探究】（2）如图②，已知线段，点B为上一点，且，过点A作直线于点A，经过B、C两点的恰好与l相切于点P，连接，求． 【问题解决】（3）我们把摄像头拍摄某一线段时，拍摄视角最大时拍摄点的位置称为“鹰眼点”，此时视角的余弦值称为“鹰眼值”． 如图③，在四边形中，为一个导轨，为一段铁轨，，．米，米，米，摄像头E从点D出发沿导轨滑动拍摄铁轨，求摄像头E到达“鹰眼点”时的移动距离及“鹰眼值”． 12．（2025·陕西榆林·二模）【问题提出】（1）如图1，在中，，平分交于点，设的长为，点到边的距离为，则_______；（填“＞”“＜”或“＝”） 【问题探究】（2）如图2，在梯形中，，，，为对角线，且，求面积的最小值； 【问题解决】（3）某景点有一个形状为菱形的草坪，如图3，米，，现欲将该草坪扩建为，使得点、分别在、的延长线上，且边经过点，为了节省成本，要求扩建后的草坪面积（的面积）尽可能小，问的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由． 13．（2025·陕西·一模）问题提出：（1）如图①，已知在边长为10的等边△ABC中，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，则△ACD的面积为　 　； 问题探究：（2）如图②，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF＝45°．若EF＝5，求△AEF的面积； 问题解决：（3）如图③是某座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD区域内开挖一个△AEF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上（不与B、C、D重合），且∠EAF＝45°，为了减少对该路段的拥堵影响，要求△AEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF？若存在，请求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由． 14．（2025·陕西咸阳·二模）【问题提出】（1）如图①，为的一条弦，圆心O到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为_______； 【问题探究】（2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值； 【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图③，为基地的大致规划示意图，其中，平分交于点，点为上一点，学校计划将四边形部分修建为农业实践基地，并沿铺设一条人行走道，部分修建为兴趣活动基地．根据规划要求，米，．且农业实践基地部分（四边形）的面积应尽可能小，问四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．    15．（2025·陕西咸阳·二模）【问题提出】（1）如图1，在中，点D、E分别在上，若，，则的长为______； 【问题探究】（2）如图2，在中，，点D在边上，且，点E是内距离点B为2的一个动点，求的最小值； 【问题解决】（3）如图3，某植物园有一块矩形空地，E、F分别在边上，且，沿铺设一条观赏通道，再从A向铺设一条小路，要求，在点M处修一个观景台（大小忽略不计），点C处是游客休息中心，为方便游客去休息中心，需要沿铺设公路，要求尽可能的短，已知．请问是否存在最小值，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由． 16．（2025·陕西西安·模拟预测）问题提出（1）如图①，直线与相切于点是直线上一点，则 ______；（填“”“”或“”） 问题探究（2）如图②．正方形的边长为是上一点，是的中点，连接，当最大时，求； 问题解决（3）如图③，为某生态畜牧养殖区的配料区，在中，，是边上一点，为右侧羊群生活区的围栏，的中点为羊群生活区出入口，均为围墙，现该养殖区管理人员计划在边确定一点为生态养殖区的出入口，在距出入口的距离为的点安装全天监控的摄像头进行实时监控羊群，且，并在边修建一处饲料加工车间，规划内部路便于运输．已知．是否存在的位置，使得摄像头的监控效果最好（即最大），且内部路的长度最小，若存在，请求出和的长；若不存在，请说明理由． 17．（25-26九年级上·浙江金华·期末）请根据素材，完成任务． 素材一 如图，在中，，垂足为点D，若保证始终为直角，则点A、B、C在以为直径的圆上．    素材二 如图，在C中，，，垂足为点D，取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，可得 ．    素材三 如图，矩形是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板，且，点E到墙的距离为4米，到地面的距离为5米．点O为室内光源，、为光线，，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区的和最大时，该实验室“可利用比”最高．    任务一 若素材一中的，求的最大值． 任务二 若素材二中的，求的最小值． 任务三 若任务二中的改成，其余条件不变，请直接写出的最小值．    任务四 若任务二中的，改成，，请直接写出的最小值． 任务五 当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时的值 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.米勒最大张角（视角）模型 6 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 12 19 1471年，德国数学家‌约阿希姆·米勒‌（又称雷吉奥蒙塔努斯 Regiomontanus）向他的老师—数学教授克里斯托夫·诺德尔（Christian Roder）提出一个看似简单却极富深意的问题：“在地球表面的什么位置观察一根垂直悬挂的杆子，才能使它看起来最长？” 换句话说，‌从哪个位置看这根杆子，视角最大？‌ 这个问题看似属于视觉感知，实则蕴含深刻的几何极值思想。它被后人称为“‌雷奇奥莫塔努斯极大值问题‌”（Regiomontanus' Maximum Problem），并被载入《100个著名初等数学问题—历史和解》一书中，成为‌世界数学史上第一个被正式记录的极值问题‌。 有趣的是，米勒当时提出这个问题，并非为了考试或竞赛，而是源于对‌美术欣赏角度‌的思考：如何站在最佳位置欣赏一幅高挂在墙上的画作，使视觉效果最优？这一灵感后来也广泛应用于壁画观赏、雕塑欣赏等场景。 “探照灯模型”这个生动的名字，并非出自教科书或学术论文，而是‌由一线教师和学生在解题实践中口口相传而来‌。探照灯模型的精妙之处，在于它巧妙融合了‌隐形圆思想与最值原理‌。虽然题干中从不提“圆”，但解法核心却是构造一个过动点的外接圆，利用圆的性质分析弦长变化。 （2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______，，，______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． 【答案】（1）甲自己射门好，理由见解析；（2）C；（3）米 【详解】解：（1）甲自己射门好，理由如下： 如图，记与过两点的圆的交点为，连接，，， ，，甲自己射门好； （2）如图，连接，作的垂直平分线交于点O，连接， 由勾股定理得：， ∴，∴A，B，D，E四点共圆，∴， ∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大，故选：C （3）如图，以为弦作圆O，使圆O与相切于点M，则球员在点M处射门角度()最大，连接，过点O作于点G，延长交于点H，过点H作于点K，过点P作于点N， ∵，∴米， ∵米，，∴米，米， ∵四边形为矩形，∴，∴， ∴四边形，四边形，四边形为矩形， ∴米，米，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形， ∴米，∴米，米， ∵为圆O的切线，∴，∴为等腰直角三角形， 连接，设圆O的半径为r，则，∴， ∵，，∴， 解得：或（舍去），∴米， ∴米． （2025·广东广州·一模）如图，在中，，，为锐角，且，点是边上的动点，连接，作，与边交于点，则外接圆半径的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作的外接圆，连接，作，垂足分别为点，，，， ，，，，， ，，，，，， 在中，， 设的半径为，则，，， ，，，外接圆半径的最小值为．故答案为：． 1）米勒最大张角（视角）模型 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 证明：如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 因为∠ACB＞∠ADB，所以∠ACB＞∠AC’D， 2）定角定高模型（探照灯模型） 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。 模型1.米勒最大张角（视角）模型 例1（25-26九年级上·江苏镇江·期中）在2025镇江市足球联赛（简称“镇超”）第1轮句容对经开区队的比赛中，客场作战的句容队以的比分战胜经开区队，某校数学兴趣小组对进球进行了数学探究：足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门的张角大小，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点M，N，E，F，G均在格点上，球员带球沿方向进攻，最好的射点在（    ） A．点F B．点G C．线段（异于端点）上一点 D．线段（异于端点）上一点 【答案】D 【详解】连接取格点，则，∴M，N，E，F四点共圆， 设交于，取线段上任一点，交于，，， ∵同弧所对的圆周角相等，∴， 由三角形外角可得，；∴， ∵射点到球门的张角大小，张角越大，射门越好， ∴最好的射点在线段（异于端点）上一点，故选：D． 例2（2025·广东·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，y轴的正半轴（坐标原点除外）上两点、，C为x轴的正半轴（坐标原点除外）上一动点．当取最大值时，点C的横坐标为（    ）    A．5 B．2 C．21 D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，当以为弦的圆与轴正半轴相切时，最大， ∵∴此时的最大，作轴于，连接、．    ∵、，∴， 与轴相切于点C，轴， 在直角中，， ∴，∴点C的横坐标为，故选：D． 例3（2025·江苏宿迁·三模）如图，在正方形中，，点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：∵点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段， ∴点的运动轨迹是以点为圆心，为半径长的圆， 当与相切时，最大，如图，当点在左侧时， ， 根据题意可得：，，∵，∴， 过点作交的延长线于点，∴，∴， ∵，∴， ∴，即，∴，， ∴，∴； 如图，当点在右侧时，过点作于点， ， 同理可得：，，∴，∴； 综上所述，的长为或，故答案为：或． 例4（24-25九年级上·江苏南京·期中）【问题提出】当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？ 【数学眼光】如图①，设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地面m米，当过A，B，C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想． 【数学思维】小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点C的水平线上任取异于点C的点，连接交于点D，连接，．（1）按照小明的思路完成证明过程； 【问题解决】（2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？ （3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含a，b，m的代数式表示） 【答案】（1）见解析（2）观赏者站在距离墙壁米处最理想，观赏者的眼睛点C距地面的距离为1.2米（3） 【详解】解：（1），， ，，视角最大，站在此处观赏最理想． （2）连接，，，，作于点， 由题知，米，，， ，为等边三角形，米， ，米，米， ，四边形为矩形，米， 米，距地面的距离为（米)， 即观赏者站在距离墙壁米处最理想，观赏者的眼睛点C距地面的距离为1.2米； （3）展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米， 米，，，米， 米，由（2）同理可知，四边形为矩形， 米， ． 例5（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【概念认识】自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图1，是点对线段的视角． 【问题探究】如图2，已知线段与直线，在直线上取一点，使点对线段的视角最大． 【数学思考】如图2，圆越大，越小 点在直线上圆与直线有公共点圆与直线相交或相切 当圆与直线相切且点为切点时，最大 （1）请说明图2中，； 【问题解决】如图3，矩形是足球场的示意图，分别以直线、直线为轴和轴建立如图所示平面直角坐标系，两点的坐标分别为，，摄像机在上移动拍摄． （2）请求出当摄像机对球门的视角最大时点的坐标．（用含的代数式表示） （3）在足球比赛中，足球位置对球门的视角越大，越容易被踢进，如图4，已知球门，一名球员从点处带球，沿方向跑动，，，． ①这名球员继续跑多远可到达对球门视角最大的射门位置？ ②为了给观众呈现更好的现场画面，另安排了无人机拍摄，某架无人机在移动拍摄过程中始终保持对的视角为（无人机离地面的高度忽略不计），已知足球场宽，若摄像机位于对的视角最大的位置，在点移动的过程中，水平距离最近时相距______m． 【答案】（1）见解析（2）当摄像机P对球门的视角最大时点P的坐标为（3）①② 【详解】解：（1）设与小圆交于点C，连接，如图， 则，∵，∴； （2）由（1）中的【数学思考】可知：当圆与直线l相切且点P为切点时，视角最大， 设经过A，B两点的圆与相切于点P，则此时摄像机P对球门的视角最大， 连接，过点G作于点D，如图， 则．∵与相切于点P，∴， ∵A，B两点的坐标分别为，∴，∴， ∵，∴，∴． ∵，∴四边形为矩形，∴，， ∴．∴，∴． ∴当摄像机P对球门的视角最大时点P的坐标为； （3）①由（1）中的【数学思考】可知：当圆与直线l相切且点P为切点时，视角最大， 设经过A，B两点的圆与相切于点P，则此时这名球员继续跑到达点P处对球门视角最大，连接，过点O作于点E，如图， 则．∵与相切于点P，∴，∵，∴, ∵，∴，∵，∴四边形为矩形， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∴这名球员继续跑可到达对球门视角最大的射门位置． ②作经过A，B的圆，连接，使，如图， ∵无人机Q在移动拍摄过程中始终保持对的视角为，∴点Q在G中的以为弦的优弧上运动， 过点G作于点H，过点G作于点F，则， 由题意：F为的中点，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴四边形为矩形，∴，， ∵摄像机P位于对的视角最大的位置，∴点P位于经过M，N的圆且与相切的切点， 作的垂直平分线，交于点K，交于点P，则P位于对的视角最大的位置， ∴，∵，∴四边形为矩形， ∴，∴， ∵当点G，Q，P三点在一条直线上时，P、Q水平距离最近，最近距离为（如图）， ∵，， ∴P、Q水平距离最近时相距．故答案为：． 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 例1（2025九年级下·广东·专题练习）如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的距离为2，点是直线l上的两个动点，且，求线段长度的最小值． 【答案】 【详解】解：作的外接圆，连接，作于， 则∴是等边三角形，∴， ∵，∴∴，∴ ， 即线段长度的最小值为 例2（2025·陕西·校考二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    【答案】 【详解】法1：设三角形△ABC的高为AD=h=4，其外接圆半径为r， 根据定角定高（探照灯）模型知：r+rcos≥h，即， 当取等号时r有最小值（即AB=AC时）；r的最小值为：，BC的最小值为：， 此时△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC的周长有最小值：. 法2：如图所示，作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，      ∵垂直平分，∴， ∴周长 ∵在中，，∴，当点D与点M重合时，， ∴周长，∴周长的最小值， ∵，∴为等边三角形，∵为边上的高，， ∴，∴周长的最小值，故答案为：． 例3（2025·山东淄博·校考二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为______．    【答案】 【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，    ，，，， 设的半径为，则，，， ，，解得：，， ，的面积的最小值为，故答案为：. 例4（2025·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图1，已知在等边三角形中，边长为，为上一点，且，则______； （2）如图2，是的外接圆，，，，求面积的最小值； （3）如图3，有一块四边形草地，，．已知，，．在，上有，两点，且，区里决定在区域内安排夜市集，但为了保证其他居民的休闲娱乐，所以要使夜市集的面积尽可能地小，的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在， 【详解】解：（1）是等边三角形，，， ，，等边的高为， 则，故答案为：； （2）如图，连接，，，作于点． 设的半径为，由圆周角定理可知，， ，． 在中，，，． ，，即，， ，； （3）的面积存在最小值．如图，作，交的延长线于点． ，，，，． ，，，，． 作于点，于点，， ，，面积最小时，面积最小． 作，则，作的外接圆，，连接，，设的半径为．，，， ，即，，当，，三点共线时，最小，最小为， ，， ． 例5（2025·陕西咸阳·模拟预测）问题提出    （1）如图①，在中，，为边上的高，若，则的最小值为______； 问题探究（2）如图②，在四边形中，，，E是边上一点，若，求的面积； 问题解决（3）如图③，某地有一片足够大的绿化带四边形，其中，，且．现在绿化公司想在这块绿化带中规划出一片花卉区，要求点E落在边上，点F落在边上，为了花卉区的美观，要保证．由于绿化公司的经费预算有限，要求的面积最小，是否存在符合要求的设计方案？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在符合要求的设计方案，面积的最小值为 【详解】（1）作的外接圆，连接，过点O作于点E，如图，    ∵，∴，∵，∴ 设，则， ∵，即即，∴，即的最小值为； （2）如图，过点A作交的延长线于点F， ∵，∴四边形是正方形，∴， 将绕点A顺时针旋转得到，∵ ∴三点共线，由旋转的性质可知， ， ∵，∴， ∵∴，∴∴ （3）存在，如图，过点A作于点G，作于H，作交于点M，则四边形是矩形，∴，    ∵，∴∴ ∵，，∴，∴， ∴，∴ ∵ ∴在中，边上的高为，在中，边上的高为， ∴， ∴，即，当的面积最小时，的面积取得最小值， ∵，在中，， ∴当最短时，的面积取得最小值， 作的外接圆，过点O作于点N，连接， ∵∴，， ∴， ∵当三点共线时，等号成立，∴，解得， ∴，∴， ∴， ∴存在符合要求的设计方案，面积的最小值为. 1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，甲、乙、丙三名同学比赛定点射门，PQ是球门，且甲、乙、丙三名同学位于以点O 为圆心的同一圆弧上，仅从射门角度考虑的话，进球概率最大的是（   ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．三名同学一样大 【答案】D 【详解】解：∵甲、乙、丙三名同学位于以点O 为圆心的同一圆弧上，将图中点进行命名，    ∴，∴仅从射门角度考虑的话，进球概率一样大，故选：D． 2.（2025·广东深圳·模拟预测）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门的张角达到最大值，故可以称点Q为直线上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，为球门一部分，于点，米，米．某球员沿向球门进攻，设最佳射门点为点Q． ___． 【答案】/ 【详解】解：由题意，，∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，如图，过点B作于点H． ∵，∴，∵．，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴；故答案为：． 3．（25-26九年级上·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点．已知点，，是的外接圆．（1）点的横坐标为 ；（2）若最大时，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】（1）点，，的中点坐标为， 是的外接圆，点在的垂直平分线上，点的横坐标为，故答案为:； （2）连接，，根据（1）可知点一定在直线上， 是的外接圆，为轴正半轴上，，， 如图，过点作于点，，，， ，，， ，当最小时，最大，即最大，即最大， 当，即当与轴相切于点时，最大，连接， 与轴相切于点，轴，四边形是矩形，，， 在中，， ，点的坐标为，故答案为：． 4.（25-26浙江·九年级校考期中）为了迎接新年的到来某市举办了迎新年大型灯光秀表演。其中一个镭射灯距地面30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图：若将两根光线(AB、AC)和光线与地面的两交点的连接的线段(BC)看作一个三角形，记为△ABC，三角形面积的最小值为_______平方米，其周长最小值为_______米。 【解析】通过“距地面30米”，“光线夹角60°”，得到∠BAC=60°（定角），AD=30米（定高）， 可识别出定角定高模型，因此当△ABC为等腰三角形，边BC有最小值，此时△ABC为等边三角形， 解直角三角形求出BC=米，进而求出面积最小值为平分米， 周长最小值为米。可求答案：；。 5．（2025·陕西西安·校考二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ． 【答案】 【详解】如图，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM， 由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD， ∵∠ABC＝60°，∴∠ABM+∠ABC＝180°，∴M、B、E共线， ∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°， ∠EAF＝60°，AE＝AE，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴∠MEA＝∠FEA， 过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，∴AH＝AK＝AB•sin60°＝2， 作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，过O作ON⊥EF于N， ∵∠EAF＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x， Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，∴ON+OA＝OF+ON＝x， ∵OA+ON≥AK，∴x≥2，∴x≥2， ∴S△AEF＝=2x≥4，∴△AEF面积的最小值是4． 6．（24-25九年级上·广东·期中）如图，某雕塑位于河段上，游客在步道上由点出发沿方向行走．已知，，当观景视角最大时，游客行走的距离是多少米？    【答案】米 【详解】解：取的中点，过点作于，以直径作，如图所示：    根据圆周角定理，劣弧所对的圆周角都是相等的，则游客在步道上由点出发沿方向行走时，与相切时，观景视角最大， ，点是的中点，，， ，，，从而由勾股定理可得，， 又，是的切线，切点为， 当点与点重合时，观景视角最大，此时． 7．（2025·山东济宁·一模）如图，抛物线与轴交于点、，且经过点． (1)求抛物线的表达式；(2)在轴下方的抛物线上任取一点，射线、分别与抛物线对称轴交于点、，点关于轴的对称点为，求的面积；(3)点是轴上一动点，当最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为(2)的面积为(3) 【详解】（1）解：把、、代入得： ，解得，抛物线的表达式为； （2）设抛物线的对称轴交轴于，如图： 抛物线与轴交于点、，抛物线的对称轴为直线， ，，设， 设的函数表达式为，把，， 代入得：，解得，的函数表达式为， 在中，令得，，同理可得， 关于轴的对称点坐标为，， ；的面积为； （3）当的外接圆与轴相切时，切点即为使最大的点，如图： 轴，设，则，，，， ，，， ，，解得（不符合题意，舍去）或， ，． 8．（24-25九年级上·江苏南京·期中）【问题提出】当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？ 【数学眼光】如图①，设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地面m米，当过A，B，C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想． 【数学思维】小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点C的水平线上任取异于点C的点，连接交于点D，连接，．（1）按照小明的思路完成证明过程； 【问题解决】（2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？ （3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含a，b，m的代数式表示） 【答案】（1）见解析（2）观赏者站在距离墙壁米处最理想，观赏者的眼睛点C距地面的距离为1.2米 （3） 【详解】解：（1），， ，，视角最大，站在此处观赏最理想． （2）连接，，，，作于点， 由题知，米，，， ，为等边三角形，米， ，米，， 四边形为矩形，米，米， 距地面的距离为（米)，即点C距地面的距离为1.2米． （3）展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米， 米，，，米， 米，由（2）同理可知，四边形为矩形， 米， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角定理，切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等边三角形性质和判定，等腰三角形性质等知识点，解题的关键是熟练综合运用相关性质和定理． 9．（2025·广东珠海·一模）综合实践：足球运动已成为一种世界性的运动，也是我们大家喜欢的一种体育活动．如图，点表示球门边框（不考虑球门的高度）的两端点，点表示射门点，连接，则叫做射门角，在不考虑其他因素的情况下，射门角越大，射门进球的可能性就越大．当射门角最大时，此时点叫做最佳射门点．以下是运动员常见的四种带球跑动路线（用直线表示）： ．横向跑动 ．竖向跑动（，垂足在线段上） ．竖向跑动（，垂足在线段外） ．斜向跑动（） (1)如图，过两点作与相切于点，直线上存在，，且在的两侧，当运动员带球沿横向跑动，最佳射门点为 （填“”、“”或“”）； (2)如图，当运动员带球沿竖向跑动时，请用你所学得数学知识证明在点射门进球的可能性大于点射门进球的可能性； (3)如图，设与直线交于点，，，点在直线上，，当运动员速度为，求运动员从点沿直线向点带球跑动到最佳射门点的时间？ (4)如图，设与直线交于点，当，，点在直线上，，当运动员速度为，求运动员从点沿直线向点带球跑动到最佳射门点的时间？ 【答案】(1)(2)证明见解析(3)(4) 【详解】（1）解：如图，连接，设与相交于点， 则，∵，∴， ∴，同理可得，∴最佳射门点为，故答案为：； （2）证明：由三角形外角性质可得，，， ∴，即， ∴点射门进球的可能性大于点射门进球的可能性； （3）解：由（）可知，当过点的与相切于点时，点为最佳射门点，如图， 过点作，则，∴， ∵，，，∴，∴四边形是矩形， ∴，，∴，∴， ∴， ∴运动员从点沿直线向点带球跑动到最佳射门点的时间为； （4）解：如图，当过点的与相切于点时，点为最佳射门点， 连接，则，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴， ∴运动员从点沿直线向点带球跑动到最佳射门点的时间为． 10．（25-26九年级上·江苏南通·期中）（1）如图1，在足球比赛场上，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到A点时，同伴乙已冲到B点，甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？ 对上面这个问题，小明结合图1判断甲的视角小于乙的视角，根据“仅从射门角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进”的经验，认为甲应该将球传给乙．请结合图1给出小明得到的理由； （2）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，并得到这样的结论：如图2，点A，B是平面内两个定点，C是直线l上的一个动点，当且仅当的外接圆与l相切于点C时，最大． 如图3，，点A，B是边上两点，，点C是边上一动点． ①若最大为，请求出当时，的长； ②若最大不超过，直接写出的取值范围．    【答案】（1）见解析（2）①② 【详解】解：（1）连接，则：，    ∵是的外角，∴，∴； （2）①当时，的外接圆的圆心在斜边的中点上， 设圆心为，连接，则： ∵的外接圆与l相切于点C，∴， ∵，∴，∴； ②当时，如图：连接， 则：，，过点作，则：，，∴， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，，过点作，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，由题意，可知越大，越短，∴． 11．（2025·陕西西安·一模）综合与实践 【问题提出】（1）如图①，点A为上一点，点D为外一点，(点A、点D在直线的同侧)，则与的大小关系为：________ (填“”、“”、“”) 【探究】（2）如图②，已知线段，点B为上一点，且，过点A作直线于点A，经过B、C两点的恰好与l相切于点P，连接，求． 【问题解决】（3）我们把摄像头拍摄某一线段时，拍摄视角最大时拍摄点的位置称为“鹰眼点”，此时视角的余弦值称为“鹰眼值”． 如图③，在四边形中，为一个导轨，为一段铁轨，，．米，米，米，摄像头E从点D出发沿导轨滑动拍摄铁轨，求摄像头E到达“鹰眼点”时的移动距离及“鹰眼值”． 【答案】（1）；（2）；（3）米；． 【详解】（1）连接，∵，∴； （2）连接， 过作于点，连接，∵，∴， ∵恰好与l相切于点P，∴，∵，∴，∴四边形是矩形， ∵，∴，∴在中，， ∵，，∴， ∵，∴，∴； （3）以为弦，作切于直线，连接延长交于点，连接， 由（1）可知，当在线段上运动时，在如图位置时最大， ∵，，∴，∵直线切于，∴， ∴四边形是矩形，∴． ∴，∴，∴， ∵米，米，米， ∴． 设，则，∴在中， 即，解得米．∴米，米， ∵，∴∴． 答：摄像头E到达“鹰眼点”时的移动距离米，“鹰眼值”． 12．（2025·陕西榆林·二模）【问题提出】（1）如图1，在中，，平分交于点，设的长为，点到边的距离为，则_______；（填“＞”“＜”或“＝”） 【问题探究】（2）如图2，在梯形中，，，，为对角线，且，求面积的最小值； 【问题解决】（3）某景点有一个形状为菱形的草坪，如图3，米，，现欲将该草坪扩建为，使得点、分别在、的延长线上，且边经过点，为了节省成本，要求扩建后的草坪面积（的面积）尽可能小，问的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）＝；（2）；（3）存在，平方米 【详解】解：（1）如图，过点作于， ∵在中，，的长为，点到边的距离为，∴    ，，， ∵平分，∴，即：．故答案为：． （2）如图2，作的外接圆，连接、、，过点O作于点H，过点作于点，∴，，， ∵在梯形中，，，，∴， ∴四边形是矩形，∴，， ∴，∴当取得最小值时，的面积最小， ∵，∴，∴， ∴、、均为等腰直角三角形，∴， 设，则，∴，即， ∴，即，∴． （3）如图3，连接，过点作于点，作于点， ∵四边形是菱形，，，∴，平分，， ∴，，，在中，， ∴，， 在和中，，∴，   ∴，在上截取，连接． 在和中，，∴，   ∴， ∵，∴当的面积最小时，的面积最小， ∵，且，  ∴， ∴当取得最小值时，的面积最小，即的面积最小， 作的外接圆，连接、、，过点O作于点P，如图3， 则，，即，   ∵，∴， ∵，∴， ∴，，即，∴米， 即，∴的面积最小值为（平方米）， ∴的面积最小值为（平方米）． 综上所述，的面积存在最小值，最小值为平方米． 13．（2025·陕西·一模）问题提出：（1）如图①，已知在边长为10的等边△ABC中，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，则△ACD的面积为　 　； 问题探究：（2）如图②，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF＝45°．若EF＝5，求△AEF的面积； 问题解决：（3）如图③是某座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD区域内开挖一个△AEF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上（不与B、C、D重合），且∠EAF＝45°，为了减少对该路段的拥堵影响，要求△AEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF？若存在，请求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）15；（3）存在，． 【详解】（1）如图①，过点A作AH⊥BC于H， ∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∴△ACD的面积＝×CD×AH＝×4×10•sin60°＝10， 故答案为：10； （2）如图②，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH， 由旋转的性质得，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠EAH＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△AEH中，AF=AH, ∠EAH＝∠EAF，AE=AE，∴△AEF≌△AEH（SAS）， ∴EH＝EF＝5，∴S△AEF＝S△AEH＝×5×6＝15； （3）把△ADF绕点A顺时针旋转90°并缩小为，得到△ABG， 则AG＝ AF，∠EAG＝∠EAF＝45°，过点E作EM⊥AG于M，EN⊥AF于N， ∵∠EAG＝∠EAF，EM⊥AG，EN⊥AF，∴EM＝EN，∴＝， 设△AGE的外接圆圆心为O，连接OA、OG、OE，过得O作OH⊥GE于H， 则∠GOE＝2∠EAG＝90°，设△AGE的外接圆的半径为R，则GE＝R，OH＝R， 由题意得，OA+OH≥AB，即R+R≥4，解得，R≥8﹣4， ∴△AGE的面积≥××（8﹣4）×4＝16﹣16， ∴△AGE的面积的最小值为16﹣16，∴△AEF的面积的最小值为24﹣24． 14．（2025·陕西咸阳·二模）【问题提出】（1）如图①，为的一条弦，圆心O到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为_______； 【问题探究】（2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值； 【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图③，为基地的大致规划示意图，其中，平分交于点，点为上一点，学校计划将四边形部分修建为农业实践基地，并沿铺设一条人行走道，部分修建为兴趣活动基地．根据规划要求，米，．且农业实践基地部分（四边形）的面积应尽可能小，问四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）11；（2）；（3）四边形的面积存在最小值，最小值为平方米 【详解】解：（1）∵圆心O到弦的距离为4，若的半径为7， ∴上的点到弦的距离最大值为，故答案为：11； （2）作的外接圆，连接，过点O作于点，如图．        ． 设，则，由，得，即， ∴，， ．即面积的最小值为 （3）过点作于点于点，∵平分，∴． 又，． 米，，， 为等腰直角三角形，∴米， （平方米），平方米． 在上截取，连接，如图．    ，， ， 要使四边形的面积最小，只需的面积最小． ，， 作的外接圆，如图，连接，作于点， 则，∴．设，则． 由，得，解得，米， （平方米）， （平方米）． 即四边形的面积存在最小值，最小值为平方米． 15．（2025·陕西咸阳·二模）【问题提出】（1）如图1，在中，点D、E分别在上，若，，则的长为______； 【问题探究】（2）如图2，在中，，点D在边上，且，点E是内距离点B为2的一个动点，求的最小值； 【问题解决】（3）如图3，某植物园有一块矩形空地，E、F分别在边上，且，沿铺设一条观赏通道，再从A向铺设一条小路，要求，在点M处修一个观景台（大小忽略不计），点C处是游客休息中心，为方便游客去休息中心，需要沿铺设公路，要求尽可能的短，已知．请问是否存在最小值，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）的最小值为；（3）存在，的最小值为 【详解】解：（1），，， ，，解得，，故答案为：； （2）以点为圆心，为半径作，则点在内部的上运动，连接交于点，当三点共线时，最小，的最小值为的长， ，， ，，解得，， ，，，即，解得， ，的最小值为； （3）延长交的延长线于点，连接，以为直径作，则点在上，连接，交于点，过点作于点，由易得点在矩形内部的上移动，当点与点重合时，取得最小值，最小为， 四边形为矩形，，， ，，， ，， ，则是的中点，， ，点是的中点，，， 点是的中点，是的中位线，， 在中，，， ，在中，， ，最小值为． 16．（2025·陕西西安·模拟预测）问题提出（1）如图①，直线与相切于点是直线上一点，则 ______；（填“”“”或“”） 问题探究（2）如图②．正方形的边长为是上一点，是的中点，连接，当最大时，求； 问题解决（3）如图③，为某生态畜牧养殖区的配料区，在中，，是边上一点，为右侧羊群生活区的围栏，的中点为羊群生活区出入口，均为围墙，现该养殖区管理人员计划在边确定一点为生态养殖区的出入口，在距出入口的距离为的点安装全天监控的摄像头进行实时监控羊群，且，并在边修建一处饲料加工车间，规划内部路便于运输．已知．是否存在的位置，使得摄像头的监控效果最好（即最大），且内部路的长度最小，若存在，请求出和的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）存在，， 【详解】解：（1）连接，设与交于点，连接， ∵直线与相切于点，∴，即， 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，是圆周角，是圆心角，且， ∵是圆外角，则，（同弧所对圆周角相等），∴； （2）∵四边形是正方形，点是中点， ∴， 如图所示，取的中点，过点作的垂线，交于点，取线段的中点为圆心，以为半径画圆，由（1）得到，当点重合时，即与切于点时，的值最大， ∴四边形是矩形，∴， ∴，， 过点作于点，∴，∴， ∴，∴； （3）作点关于的对称点，连接交于点，此时的长度最小（两点之间线段最短）， ∵点是中点，∴过点作的垂线，交于点， 由（2）可知，当点在垂线上时，作线段的垂直平分线交于点，以点为圆心，以为半径画圆，当过点的直线与垂直时，即点为切点时，的角度最大，此时的点即为所求点的位置，∵是中点，， ∴， ∵，且，∴，∴， ∴，即，解得，，∴， 设，则， 在中，， ∴，∴，解得，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴ ． 17．（25-26九年级上·浙江金华·期末）请根据素材，完成任务． 素材一 如图，在中，，垂足为点D，若保证始终为直角，则点A、B、C在以为直径的圆上．    素材二 如图，在C中，，，垂足为点D，取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，可得 ．    素材三 如图，矩形是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板，且，点E到墙的距离为4米，到地面的距离为5米．点O为室内光源，、为光线，，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区的和最大时，该实验室“可利用比”最高．    任务一 若素材一中的，求的最大值． 任务二 若素材二中的，求的最小值． 任务三 若任务二中的改成，其余条件不变，请直接写出的最小值．    任务四 若任务二中的，改成，，请直接写出的最小值． 任务五 当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时的值 【答案】任务一：；任务二：；任务三：；任务四：；任务五： 【详解】解：任务一如图，取的中点O，连接       ∵，， ．∴，故的最大值为2．               任务二，如图1，的最小值为12．理由如下：取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可，可得，∴即， 故的最小值为12．                             任务三，如图2，解：作的外接圆，作于E，作直径，连接，   ∴，设的半径是R， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，∵∴， ∴，∴，∴，∴的最小值是． 任务四，如图2，解：作的外接圆，作于E，作直径，连接， ∴，设的半径是R，∵，，∴， ∴，，∵，∴，∴， ∵∴，∴， ∴，∴，∴的最小值是． 任务五，如图3，作于G，延长交于H， ∵，∴，设，∴， ∴，在的延长线上截取， ∵∴， ∵，∴，∴， ∴， 由任务四可知，， ∵， 当最小时，∴取得最大值，此时最大值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $