第6章 图形的相似 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

∴.AC=√AB+BC=√8+6=10. AE=GF=4,AG=EF=3, ∠AGF=90°， .AF=√GF2+AG=√4+3=5. 船把号 易知∠DAC=∠FAG, ∴.∠DAC+∠CAG=∠FAG+ ∠CAG,即∠DAG=∠FAC. ∴.△DAG∽△CAF 器0多 (3)如图②，当点G在线段CF上时， 连接AC. ∠AGC=90°， ∴.CG=V√AC2-AG= √102-32=√9T ∴.CF=CG+GF=√91+4 如图③，当点F在线段CG上时，连 接AC. ,∠AGC=90°， ∴.CG=√AC2-AG=√10-3= √. .CF=CG-GF=√9I-4, 综上所述，C℉的长为√⑨T十4或 √9I-4. ① ③ (第5题) 数学活动测量两地 间的距离 1.67.5 2.延长AB交EP的反向延长线于点 H,则易知四边形BDEH是矩形. .BH=DE=0.75米，EH=BD= 3.2米，BDEH. AB=1.6米， .AH=AB+BH=1.6+0.75= 2.35(米). BD//OH, '.△ABD∽△AHO. “胎带 ∴.HO=4.7米 .PM=PN,MF=4.5米，FP= 0.75米， '.PN=MF+FP=5.25米 AH⊥EP,PN⊥EP, '.AH∥PN .∴.△AHO∽△NPO .AH_Ho NP PO .P0=10.5米 ∴.EP=PO+OE=10.5+(4.7- 3.2)=12(米). .河宽EP是12米 3.过点C作CE⊥PQ,交PQ的延长 线于点E,交AB的延长线于点D. AB//PQ, ∴.CD⊥AB. 设CD=xm,则CE=(x+60)m. .AB//PQ, .'.△ABCC∽△PQC “品铝即千而品解特 x=300. ..x+60=360. ∴.电视塔C到公路南侧PQ的距离 是360m. 第6章整合拔尖 [高频考点突破] 典例176 [变式]4 典例2D [变式](1).·AB=AC, .∠B=∠C. 在△ACE和△ABF中， AC=AB, ∠C=∠B CE=BF, .'.△ACE≌△ABF 41 '.∠CAE=∠BAF (2)由(1)知，△ACE≌△ABF, ..AE=AF. AE2=AQ·AB,AC=AB, “活器腊船 又.∠CAE=∠BAF ∴.△ACE∽△AFQ. 典例3(1)：DC⊥CE, ∴.∠DCE=90. :CD是Rt△ABC斜边AB上的 中线， .DA=DC,∠ACB=90°=∠DCE. ∴.∠A=∠ACD. AC//DE, .∠ACD=∠CDE. ∴.∠A=∠CDE. 又.∠ACB=∠DCE, ∴.△ABC∽△DEC. (2).CD是Rt△ABC斜边AB上 的中线， ∴CD= AB= 在Rt△DCE中，DE= √CD+CE=√42+32=5. △ABC∽△DEC, AC BC AB xD元，即AC=C8 43 5 ,BC=24 ·AC=32 51 ·△ABC的周长=2+24 5 5 [变式](1)，四边形ABCD是正 方形， ∴.AC⊥BD,∠ADF=90°. ∴.∠AEG=∠ADF=90°. :AF平分∠DAC, ∴.∠EAG=∠DAF. ∴.△AEG∽△ADF. (2)△DGF是等腰三角形. 理由：由(1)，得△AEGc∽△ADF. ∴.∠AGE=∠AFD. ∠AGE=∠DGF, ∴.∠DGF=∠AFD,即∠DGF= ∠DFG. .DG=DF. ∴.△DGF是等腰三角形. (3)·四边形ABCD是正方形， ∴.AC⊥BD,EA=ED ∴.△AED是等腰直角三角形. ,.易得AD=√2AE △AEGC△ADF, “服号 AG=1, .AF=√2. ∴.GF=AF-AG=√2-1. 典例4如图，过点D作DM⊥AB于 点M,交EH于点N. ·AEBG,AB⊥BG ∴.AE⊥AB. DM⊥AB, ∴.AE//MD∥BG. ∴.AM等于△ADE的边AE上 的高. ,AB⊥BG,EH⊥BG,CD⊥BG, ∴.AB//EH//CD. ,'.易得AE=BH=3米，BM=CD= 1.8米 ,AE∥BG .△ADEO△GDF “部器即品 ∴.AM=3.6米， .AB=AM+BM=3.6+1.8 5.4(米). ∴.路灯主杆AB的高度为5.4米。 典例4图) [变式]如图，过点A作AG⊥DE 于点G,交BC于点F 由题意，得AF=CM=60厘米= 0.6米，AG=EN=30米，BC=24厘 米=0.24米 BC//DE, '.△ABC∽△ADE,△ABFc∽ △ADG. BC AB AF ·DE-AD AG DE=BC·AG AF =12米. '.城墙的高度DE为12米 D B [综合素能提升] 1.A2.A 3.A解析：如图，过点E作EH∥ BC,交AC于点H..△AEHc∽ △ADC,△FEH∽△FBC.∴.EH: DC=AE AD,EF:BF=EH BC.AE-ADEH DC= AE:AD=1:3,AE:ED=1:2. AD是边BC上的中线，.EH: BC=1:6..∴.EF:BF=1:6,即 EF:BE=1:5.:△AEF的面积 为S1,△BED的面积为S2, .S△ABE=5S△A5F=5S1,S△ABE= 1 1 1 2SAM =2 Sa.5S =2 S2. S11 ·50 B D (第3题) 4.6或8解析：由题意，可得BD= √/AB2+AD2=12,∠ABF= ∠FDE=45°.，E是边CD的中点， &CE=DE=CD=×6E 3√2.设BF=x,则DF=12-x. ①当△FDE∽△ABF时，由BA DF 得行-32解得=： 6W2 x 6.经检验，x1=x2=6是原分式方程 的解，且符合题意.②当△EDFC∽ △ABF时，由器既得 x 6万·解得x=8经检验x=8是原 3W2 分式方程的解，且符合题意.综上所 述，BF的长为6或8. 5.5解析：如图，标出各点：四 42 边形BCGH是正方形，.BE∥CF. :四边形CDMN是正方形，∴.CF∥ DM.∴.BE∥DM.∴.△ABEC∽ △ADM熙-0又：DM= 5cm,AB=2cm,AD=2+3+5= 10(cm),∴.BE=1cm..BE∥CF, △ABBACF.器又 BE=1 cm,AB=2 cm,AC=2+ 3=5(cm),∴.CF=之cm ∴.S阴影部粉分=S正方形仪GH一S梯形CFE= 2×(1+）×3= 15 (cm). N 5cm M H3cmG 2 cm F E形 C D (第5题) 6.由题意，得AB=1m,CD=1.5m, AC 4 m,FB GD 1.5 m, ∠AOE=∠ABF=∠CDG=90°， ∠BAF=∠OAE,∠DCG=∠OCE. .'∠OAE=∠BAF,∠AOE=∠ABF, ∴.△OAE∽△BAF. ∴器器器照 ..OE=1.50A. 设OA=xm,则OE=1.5.xm. .'∠DCG=∠OCE,∠CDG=∠COE, '.△GDC△EOC. 品--aAAc,即 GD DCDC 1.5.x 解得=8 经检验，x=8是原分式方程的解，且 符合题意. ∴.OE=1.5×8=12(m). ∴.楼OE的高度为12m. 第7章锐角三角函数 7.1正切 1.C2.D3.tan79°>tan46°> tan38°4.2 5..·四边形ABCD是矩形， .∠D=∠B=90°，CD=AB=10. 由折叠的性质，得CF=CD=10,第6章图形的相似 第6章整合拔尖 “答案与解析”见P41 壁]知识体系构建 比例线段 比例尺 比例的基本性质 成比例线段 比例中项 黄金分割、黄金分割点、黄金比 相似多边形的概念及性质 相似三角形 相似三角形的概念 相似比 相似的符号 平行线分线段成比例 图形的相似 三角形相似的条件 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 三角形的重心及其性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 相似三角形的性质 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 相似三角形对应线段的比等于相似比 图形的位似的概念及其性质 相似三角形的应用 测量高度 测量河宽 与线段有关的计算 ⑧]高频考点突破 考点一比例的基本性质 为 典例1 若号=骨=年且x+2y+32=40.则 考点二三角形相似的条件 典例2(2025·河北)如图，在五边形ABCDE 3x+4y+5x的值为 中，AE∥BC,延长BA、BC,分别交直线DE于 [变式](2025·成布)如果号-3，那么产的值 点M、N.若添加下列一个条件后，仍无法判定 67 拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 △MAEp△DCN,则这个条件是 )[变式]如图，在正方形ABCD中，E为对角线 A.∠B+∠4=180° AC、BD的交点，AF平分∠DAC,交BD于点 B.CD∥AB G,交DC于点F C.∠1=∠4 (1)求证：△AEG∽△ADF C D.∠2=∠3 (典例2图) (2)判断△DGF的形状，并说明理由. [变式](2025·苏州姑苏期中)如图，在等腰三 (3)若AG=1,求GF的长. 角形ABC中，AB=AC,点E、F在线段BC上， CE=BF,点Q在线段AB上，且AE=AQ· AB.求证： (1)∠CAE=∠BAF. (2)△ACE∽△AFQ. 考点四用相似三角形解决实际问题 典例4(2024·无锡惠山段考)小明利用数学 课所学知识测量学校门口路灯的高度如图， AB为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，CD是长为 1.8米的标杆.已知路灯悬臂AE与地面BG平 考点三相似三角形的性质 行，且AB⊥BG.当标杆竖立于地面时，主杆顶 端A、标杆顶端D和地面上一点G在同一直线 典例3 (2025·准安模拟)如图，CD是 上，此时小明发现路灯E、标杆顶端D和地面上 Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的 另一点F也在同一条直线上（路灯主杆底端B、 平行线，过点C作CD的垂线，两直线相交于 标杆底端C和地面上点F、G在同一水平线 点E 上).这时小明测得FG的长为1.5米，路灯的正 (1)求证：△ABC∽△DEC. 下方H距离路灯主杆底端B的距离为3米.请 (2)若AB=8,CE=3,求△ABC的周长 根据以上信息求出路灯主杆AB的高度. D (典例3图) HC下 (典例4图) 68 第6章图形的相似 [变式]节假日，乐乐想要测量一城墙的高度长为24厘米，AN⊥EN,CM⊥AN,DE⊥EN. DE.如图，他拿着一根笔直的小棍BC,在距城 求城墙的高度DE. 墙30米的点N处（即EV=30米），把手臂向前 伸直且让小棍BC竖直，BC∥DE,乐乐看到点 B和城墙顶端点D在同一条直线上，点C和底 端点E在同一条直线上（乐乐的眼睛在点A 处).已知乐乐的臂长CM为60厘米，小棍BC的 综合素能提升 1E知云期+的值为 6.如图，强强为了测量学校的一座楼OE的高 度，在操场上的点A处放一面平面镜，从点 A-17B-1c9 D.17 A处后退1m到达点B处，恰好在平面镜中 2.如图，在△ABC中，∠ACD=∠B.若AD= 看到楼的顶部点E的像.再从点A处向后退 4m(即AC=4m)将平面镜放在点C处，从 2,AC=√10，则AB的长为 点C处后退1.5m到达点D处，恰好再次在 A.5 B.7 C.2√5 D.2√/10 平面镜中看到楼的顶部点E的像，测得强强 的眼睛距地面的高度FB、GD为1.5m.已知 点O、A、B、C、D在同一水平线上，且GD、 D FB、EO均与OD垂直.求楼OE的高度（平 (第2题) (第3题) 面镜的厚度忽略不计). 3.如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一 点，且AE-AD,连接BE并延长，交AC 于点F.记△AEF的面积为S1,△BED的面 为5，则的值为 AB CD (第6题) A R司 c D. 4.如图，有一正方形ABCD,边长为6√2，E是 边CD的中点，对角线BD上有一动点F,连 接AF、EF.当△ABF与△DEF相似时，BF 的长为 5cm cm (第4题) (第5题)》 5.将三个边长分别为2cm、3cm、5cm的正方 形按如图所示的方式排列，则图中阴影部分 的面积为 cm2. 69