循环小数（教学设计）-2025-2026学年五年级上册数学沪教版

循环小数 教学设计 教学内容 （1）本节课的主要教学内容是认识循环小数，理解其概念、掌握循环节的识别与简便表示方法，并学会比较循环小数的大小。 （2）本节课主要介绍了三方面知识点：一是通过除法计算（如 1÷3=0.333…）发现 “除不尽” 时商的小数部分会无限且重复出现数字，理解 “循环” 在数学中的体现；二是明确循环小数的定义（从小数部分某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现的小数），并能识别循环节（如 0.333… 的循环节是 3，1.24545… 的循环节是 45）；三是掌握循环小数的简便写法（循环节一位数字点一个点，多位数字首尾点两点），以及比较大小的方法（展开小数部分后逐位比较）。 （3）通过学习本节课，学生能够通过计算发现循环现象，准确判断一个小数是否为循环小数，写出其循环节和简便形式，并能正确比较循环小数的大小。 教学目标 （1）数学眼光：通过观察除法计算过程及结果，发现商的小数部分存在 “依次不断重复出现” 的数字特征，初步感知循环小数的现象，培养用数学眼光观察现实世界中规律的能力。 （2）数学思维：通过分析不同除法算式的商的小数部分特点，归纳总结循环小数的概念，理解余数重复导致商重复的规律，发展抽象概括与逻辑推理的数学思维。 （3）数学语言：能用数学语言准确描述循环小数的定义，正确写出循环小数的简便表示形式（如 0./、1.2//等），并能比较两个循环小数的大小。 教学重点 （1）理解循环小数的本质特征：从小数部分某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现，能结合除法运算（如余数重复导致商重复）判断循环小数。 （2）掌握循环小数的简便表示方法，能准确识别循环节并正确使用循环点和省略号标记。 教学难点 （1）理解循环小数的 “无限重复” 本质，准确判断循环节的起始位置与范围。学生在除法运算中难以直观感知 “无限延伸” 的小数部分，易混淆 “部分重复” 与 “依次不断重复出现”，尤其对 “从小数部分某一位起” 的关键条件理解模糊，导致误判非循环小数（如有限小数的重复数字）。从知识角度，需通过 “余数重复→商重复” 的逻辑推理建立循环小数概念，而学生对除法中余数与商的关系（余数相同则商重复）缺乏直观认知，影响对循环小数产生原因的深层理解。 （2）规范用符号表示循环小数，能结合运算意义解释循环节的标记规则。学生对 “循环节” 的符号化表示（一位数循环节与多位数循环节的标记差异）易出现漏点或点错位置的错误，且难以用数学语言说明 “省略号表示无限延伸” 的意义。从知识角度，需在 “循环节” 概念基础上，通过对比有限小数与无限循环小数的表示方法，培养符号意识与模型意识，这对抽象的 “无限” 概念与具体符号标记的结合是关键挑战。 教学方法 情境导入法、实验法、引导发现法、自学法、提问法、练习法、讲授法 教学准备 （1）多媒体设备（含投影仪、电脑，用于展示教学课件）。 （2）沪教版五年级上册数学教材（供学生查阅课文定义及示例）。 （3）循环小数专项练习题卡（含除法计算、循环节判断及表示法练习）。 教学活动及主要语言 一、新课导入 （师：同学们，在我们的生活中，有很多现象像 “四季更替” 一样，会周而复始地重复出现。比如春天百花盛开，夏天蝉鸣蛙噪，秋天落叶纷飞，冬天白雪皑皑，然后又回到春天；还有我们每周的七天，周一到周二…… 周日，再从周一开始；一年的 12 个月，1 月、2 月……12 月，周而复始。这些现象都有一个共同特点 ——重复出现。）（师：谁能再举一个生活中 “重复出现” 的例子？）（生：每天太阳从东边升起，西边落下，也是重复的！）（生：钟表的指针一圈一圈转，每过 12 小时就回到原来的位置！）（师：非常好！这些例子都在告诉我们：事物会按照一定的顺序周而复始地重复出现。那么，在数学世界里，有没有这样 “重复” 的现象呢？比如除法计算中，商会不会也像这样一直重复下去？今天我们就来探索数学中的 “循环” 奥秘！）（板书：循环小数） 二、新课探索 （1）探究一：初步探究循环小数的意义 （师：我们先通过几道除法计算，看看商有什么特点。请大家拿出练习本，计算这三道题：①1÷3= ，②11.56÷6= ，③13.7÷11= 。算完后，仔细观察商的小数部分有没有重复出现的数字，开始吧！）（生：开始计算……） （2）分析第一题：1÷3 （师：我们先看第一题 1÷3，谁来说说计算结果？）（生：0.333…！因为 1 除以 3 除不尽，一直除下去都是 3！）（师：你怎么知道小数部分全是 3 呢？能具体说说计算过程吗？）（生：我列竖式算了：1÷3，商 0，余 1；余数 1 添 0 变成 10，10÷3 商 3，余 1；余数 1 再添 0 变成 10，继续商 3，余 1…… 这样一直除下去，余数总是 1，余数重复出现，商的小数部分自然也会重复出现 3。）（师：太棒了！你发现了关键：每次除得的余数都是 1，余数重复出现，商的小数部分自然也会重复出现 3。那这个商可以怎么写呢？）（生：可以写成 0.333…，用省略号表示后面还有无限个 3！）（师：对！这里的 “…” 不是随便写的，而是表示小数部分的 3 会无限重复出现，所以 1÷3 的商是 0.333…） （3）分析第二题：11.56÷6 （师：接下来算第二题 11.56÷6，谁能说说商的特点？）（生：我算出来是 1.92666…，因为除到千分位后，后面都是 6！）（师：我们一起用竖式验证一下：11.56÷6，整数部分 11÷6 商 1，余 5；余数 5 添 5 变成 55，55÷6 商 9，余 1；余数 1 添 6 变成 16，16÷6 商 2，余 4；余数 4 添 6 变成 40，40÷6 商 6，余 4；余数 4 再添 6 变成 40，又商 6，余 4…… 所以余数 4 重复出现，商的小数部分从千分位开始，6 就一直重复了！）（师：所以商的小数部分可以写成 1.92666…，这里的 “…” 表示后面还有无限个 6。） （4）分析第三题：13.7÷11 （师：再来算第三题 13.7÷11，继续除下去，商会怎样？为什么？）（生：我觉得商的小数部分会重复出现 4 和 5！）（师：我们用竖式仔细算一遍：13.7÷11，整数部分 13÷11 商 1，余 2；余数 2 添 7 变成 27，27÷11 商 2，余 5；余数 5 添 0 变成 50，50÷11 商 4，余 6；余数 6 添 0 变成 60，60÷11 商 5，余 5；余数 5 添 0 变成 50，又商 4，余 6…… 所以余数 5 和 6 重复出现，商的小数部分就会重复出现 4 和 5，即 1.2454545…）（师：完全正确！当每次除得的余数重复出现时，商的小数部分也会重复出现，这就是循环的秘密！） （5）得到循环小数的概念 （师：现在我们来看这三个商：0.333…、1.92666…、1.2454545…，它们有什么共同特点？）（生：它们的小数部分都是无限的，而且都有重复出现的数字！）（师：对！像这样 “从小数部分某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现的无限小数”，我们把它叫做 “循环小数”。）（师：注意哦，循环小数必须是 “无限小数”，比如 2.33 虽然有重复的 3，但它是有限小数，不是循环小数！）（板书：循环小数：无限小数，小数部分某一位起，一个或几个数字依次重复出现） （2）探究二：循环小数的写法、读法与循环节 （师：循环小数的小数部分，哪些数字在重复呢？我们继续自学课本 27 页，看看小熊猫和小丁丁怎么说。）（生：阅读课本后……）（师：谁来告诉大家？）（生：循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，叫做 “循环节”！）（师：非常好！我们来给这三个循环小数找循环节：①0.333… 的循环节是？）（生：3！因为只有 3 在重复！）（师：对！循环节是 3，怎么写更简便呢？）（生：在循环节的数字上面点一个点，写成 0.3̇！）（师：正确！②1.92666… 的循环节是？）（生：6！因为 6 从千分位开始重复！）（师：所以可以写成 1.926̇！③1.2454545… 的循环节是？）（生：45！因为 45 从百分位开始重复！）（师：对！循环节是 45，简便写法是 1.2̇45̇！）（师：总结一下循环小数的简便写法：如果循环节只有 1 个数字，就在这个数字上面点一个点；如果循环节有多个数字，就在循环节的第一位和最后一位数字上面各点一个点。）（师：现在请大家在练习本上写出这三个循环小数的简便写法，写完后同桌互相检查！） 三、课堂练习 （师：我们来检验一下学习成果！第一题：判断下面哪些是循环小数，并写出循环节和简便写法。题目：①0.3757，②0.417417…，③1.66666…，④5.7234242…，⑤3.161616…，⑥4.373737，⑦1.1380413804…，⑧0.50507…） （1）判断①0.3757： （生：不是循环小数！因为它的小数部分只有 4 位，没有无限重复的数字，是有限小数！）（师：对！循环小数必须是无限的，所以①不是。） （2）判断②0.417417…： （生：是循环小数！循环节是 417，因为 417 不断重复！简便写法是 0.̇417̇！）（师：正确！） （3）判断③1.66666…： （生：是循环小数，循环节是 6，简便写法 1.6̇！）（师：对！） （4）判断④5.7234242…： （生：是循环小数！循环节是 42，因为 42 从第四位开始重复！简便写法 5.723̇42̇！）（师：非常好！） （5）判断⑤3.161616…： （生：是循环小数，循环节 16，简便写法 3.̇16̇！）（师：正确！） （6）判断⑥4.373737： （生：不是！因为它是有限小数，只有 6 位，没有无限重复！）（师：对！） （7）判断⑦1.1380413804…： （生：是循环小数，循环节 13804，因为 13804 不断重复！简便写法 1.̇13804̇！）（师：完全正确！） （8）判断⑧0.50507…： （生：不是！因为小数部分 50507 之后的数字不确定，没有重复出现的部分！）（师：对！） （师：我们再来一个难点：比较循环小数的大小。比如 0.333… 和 0.3333，谁大？）（生：0.333… 大！因为 0.333…=0.333333…，比 0.3333 多一位 3！）（师：非常棒！比较时可以把循环小数多写几位，再从高位到低位比较。） 四、课堂小结 （师：今天我们学习了什么？）（生：循环小数！）（师：谁能说说循环小数的定义？）（生：循环小数是无限小数，从小数部分某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现！）（师：循环节是什么？）（生：循环小数的小数部分重复出现的数字！）（师：循环小数的简便写法怎么写？）（生：循环节一位数字，点在这个数字上；多位数字，点在第一位和最后一位上！）（师：大家都掌握得很好！生活中，比如分糖果时，每人分 3 颗，还剩 1 颗，继续分，每人又得 0.3 颗，这样无限分下去就是循环小数；钟表的秒针转动，每 60 秒转一圈，也是一种循环哦！希望大家今后能灵活运用循环小数的知识解决更多问题！） $