甘肃兰州市某校2025-2026学年高三下学期诊断考试数学试卷

西北师大附中2025 — 2026学年第二学期高三诊断考试数学参考答案 一、单选题 1.D 2.D 3.A 4.C 5.A 6.B 7.B 【详解】曲线.x=√4-y²+1 等价于(x-1)²+y²=4,x≥1; 可知其表示为圆(x-1)²+y²=4 的右半部分，圆心C(1,0), 半径为2,上顶点A(1,2), 3x-4y+12| 表示曲线上的点(x,y) 到直线3x-4y+12=0 的距离的5倍，如下图： 圆心C 到直线3x-4y+12=0 的距离为 顶点A 到直线3x-4y+12=0 的距离为 则|3x-4y+12| 的最大值为5×(3+2)=25, |3x-4y+12| 的最小值为 故|3x-4y+12| 的取值范围为[7,25]. 故选：B 8.B 【分析】求导得到切线方程，将原点代入切线方程，求出 m=e, 再由Inx₀+x₀=0, 计算出 mxe=e. 【详解】 ,切点为P(m,In m+m), 则切线方程为 因为过原点， ,解得m=e, 则P(e,e+1), 由Inx₀+x₀=0, 可得x₀=-Inx₀, 答案第1页，共8页 故选：B 二、多选题 9 ．ABD 10 ．AD 11．ABC 【详解】对于 A ，由双纽线的定义得： PF1 PF2 (x a)2 y2 (x a)2 y2 a2 ， 即[(x a)2 y2 ][(x a)2 y2 ] a4 ，化简得： (x2 +y2 )2 = 2a2 (x2 -y2 ) ， 当a 1 时，点 P 的轨迹方程为 (x2 y2 )2 2(x2 y2 ) ， 令y 0 ，解得x 或x 0 ，所以| AB | 2 ，A 正确； 对于 B ， F1 (a, 0), F2 (a, 0) ，由 PF1 PF2 ，得点 P 在y 轴上， 在方程(x2 y2 )2 2(x2 y2 ) 中，令x 0 ，解得y 0 ， 答案第 2页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 ( PF ) ( 2 )则满足PF1 的点 P 为P(0, 0) ，只有一个，B 正确； 对于 C ， SFPF 1 1 2 2 PF1 PF2 sin F1PF2 sin F1PF2 ， ( x 2 y 2 x y )当且仅当 F1PF2 ，即 2 2 1 1 时取等号，C 正确； 2 对于 D ， PF1F2 的周长为 PF1 PF2 F1F2 2 PF1 PF2 , 设F1PF2 ， ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( PF PF ) ( FF ) ( 则 cos 1 2 ) ( 1 2 ) ( 2 PF ) ( PF ) ( 1 ) ( 2 ) 1， 当且仅当PF1 PF2 时取等号，当xP 时， 0 ，而点 P 不能在 x 轴上，则 (0, π) ， 于是 PF1 2 PF2 2 4 PF1 PF2 2 6 2 cos 即 PF1 PF2 2 2 cos 6 [4, 8]，则 PF1 PF2 2 2 cos 6 (4, 8) ， PF1 PF2 (2, 2 ) ，因此PF1F2 的周长的取值范围为(4, 2 2) ，D 错误. 故选：ABC 三、填空题 12 ． 2 13 ．6 14 ．14 ． 2 / 2 【详解】当大球半径最小时，四个小球两两外切并均与大球内切， 大球的半径是棱长为 4 的正四面体的外接球半径加小球半径 2 ，如图所示， 把棱长为4的正四面体扩成棱长为2 √ 2的正方体，其中正四面体的棱为正方体各面的对角 线，如图所示， 则正四面体的外接球也是正方体的外接球，外接球半径为 所以这时大球的半径为 √ 6+2. 故答案为： √ 6+2. 三 、解答题 15.(1)(x-3)²+(y-2)²=8 (2)x²+y²+x+2y=0. 【详解】(1)设圆心C(x,5-x), 圆 心C 到 l₂的距离 由题意易知半径为 因为圆C 经过点A(1,0), 所以CA|=√(x- 1)²+(5-x)²=2√2, , 解 得x=3, 解得C(3,2), 圆 C:(x-3)²+(y-2)²=8. (2)设圆心(3,2)关于l₃ 的对称点为C'(x₀,y%), 则 答案第3页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 答案第 4页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 ( x 0 3 y 0 2 1 0 ) ( 1 2 ) ( y 0 1 y 0 x 0 3 ) 2 2 2 ，解得 x0 , 所以圆C ： x 1 2 y 2 2 8 ， 因为过原点 O 的直线m 交圆C 于M ， N 两点，弦MN 中点为Q ， 所以OQ CQ ，所以Q 在以CO 为直径的圆上， 设Qx, y ，则Q 轨迹方程为 x 1 x y 2 y 0 ， 即x2 y2 x 2y 0 . 16 ．(1) an 22n1 14n n2 , n 7 (2)Tn 2 n 14n 98, n 8 【详解】（1）当 n 2 时， 由题意可知an 3Sn1 2 ， 因为an1 an 3Sn 3Sn1 3an ，即an1 4an ， 当n 1 时， a2 3S1 2 3a1 2 8 ，则a2 4a1 ， 所以数列an 是以2 为首项， 4 为公比的等比数列， 所以an 2 4n1 22n1 ； （2） 由（1）可得bn log2 an 14 2n 15 ， 所以bn ( 15 2 n , n 7 ) ( 2 n 15, n 8 ) , 当n 7 时， T n 13 15 2n 14 n n ( 2) ， n 2 当n 8 ， Tn b1 b2 b7 b8 b9 bn b1 b2 b7 b8 b9 bn ， 因为T7 b1 b2 b7 b1 b2 b7 49 ， 所以 = + 27 = 2 − 14 + 98， 14n n2 n 7 ( n n 14 n 98, n 8 . )综上， T 2 , 17(1) (2) 【详解】(1)由正弦定理得， 所以 化简得： 即tanA=√3, 又A∈(0,π),所以 (2)由正弦定理得： 所以b=4 √2sinB,c=4 √2sinC, 因为eABC 是锐角三角形，所以,解得 所以 ,所以 18. (1)证明见解析. ② 【详解】(1)证明：如下图所示，取BD的中点O, 连接OA,OC, ∵AB=AD, ∴BD⊥AO, ∵△BCD为等边三角形，∴BD⊥CO, 又∵AO∩CO=0,OA,OCc 平面 AOC, 答案第5页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 ∴BDI 平面AOC, ∴BD⊥AC. (2)由(1)不难知道，在平面AOC 内，若过C 作直线AO 的垂线，则该垂线亦为平面ABD 的垂线，故直线AC 在平面ABD内的射影为直线AO, ∴∠OAC为直线AC 与平面ABD 所成的角，即 不放设BD=2, , 0 为BD 的中点，∴ OA=OB=OD=1, ∵△BCD 为等边三角形，二0C=√3, 在△AOC中，由正弦定理得, 即OA⊥OC, 由 ( 1 ) 知 ，OD⊥OC, 且OD⊥OA, 以O 为坐标原点，OC,OD,OA 所在的直线分别为x,y,z轴，建立如下图所示的空间直角坐标 答案第6页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 系，易得0(0,0,0), c(J3,0,0),B(0,-1,0), 易知n=(0,0,1) 为平面BCD 的一个法向量， 设m=(x, y,z)为平面BCE 的一个法向量， ( 即 )则 则平面BCE的一个法向量为m=(1,-√3,2√3), 由下图所示可知，二面角E-BC-D 为锐角， ∴二面角E-BC-D 19(1) 的余弦值为 二面角的大小为 (2)[2,+] (3)(0,1). 【详解】（1） 由f x ln x 1 ln x 1 2 ， 得f x ， 当a 3 时， f 0 1 , f 0 0 ， 所以曲线y f x 在点 0, f 0 处的切线方程为y 0 ，即y x . （2）因为f x 在 0, 上单调递增，所以x 0, , f x 0 . 由（1）知f x 0 ， 因为x 1 0, (x a)2 0 ，所以x2 a2 2a 0 ，即a2 2a x2 在 0, 上恒成立， 所以a2 2a 0 ，又a 0 ，所以a 2 ， 即a 的取值范围为 2, . （3）①当a 2 时， f x 0 在1, 上恒成立，所以f x 在1, 上单调递增， 所以f x 不存在极值，不合题意； ②当a 1 时， f x ，所以当 1 x 1 时， f x 0 ；当x 1 时， f x 0 ，所以f x 在 1, 1 上单调递减，在1, 上单调递增， 所以f x 无极大值，不合题意； ③当1 a 2 时， f x 的定义域为 1, , 2a a2 0, 1 ， ( , 当 x 1 , x 1 x 2 , 时 ， f x 0 ，当 ) ( 2 a a 2 )令f x 0 ，得x1 2a a2 , x2 x x1, x2 时， f x 0 ，所以f x 在1, x1 , x2, 上单调递增，在 x1, x2 上单调递减， 所以f x 的极大值为f x1 ，极小值为f x2 ，且f x1 f x2 ，不合题意； ④当0 a 1 时， f x 的定义域为 1, a a, , 2a a2 0, 1 ，且 a ， 令f x 0 ，得x1 2a a2 , x2 2a a2 ，且1 x1 a ， 当x 1,x1 时， f x 0 ；当x x1, a 时， f x 0 ；当x a, x2 时， f x 0 ； 当x x2, 时， f x 0 ， 答案第 7页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 所以f x 在 1, x1 上单调递增，在 x1, a 上单调递减，在 a, x2 上单调递减，在 x2, 上单调递增， 所以f x 的极大值为f x1 ，极小值为f x2 ，且f x1 ln x1 1 2 ， f x2 ln x2 1 2 ， f x1 f x2 ln x1 1 ln x2 1 ln ， 因为x1 a x2 ，所以ln 0, 0 ，所以f x1 f x2 0 ， 即f x1 f x2 ，符合题意. 综上所述， a 的取值范围为0, 1 . 答案第 8页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西北师大附中 2025—2026 学年第二学期高三诊断考试试题 数学 一、单选题：本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1 ．复数z 的共轭复数的虚部为 ( ) A ． i B ． C ． i D . 2 ．设集合 A x N* | 2 ，集合B y y x 2 2 ，则 A B ( ) A ． 1, 4 B ． 2, 4 C ． 1, 2, 3, 4 D ． 2, 3, 4 3 ．已知向量 (3, x), (2x, 6) ，则“ x 3”是 “ / / ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知等差数列an 的前n 项和为Sn .若S7 S4 0 ，S13 0 ，则当Sn 取得最大值时，n ( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 5 ．已知正数a, b 满足 a 1 ，则 的最大值为 ( ) 1 1 1 A ． B ． C ． D . 8 4 4 2 6 ．已知正三棱台ABC A1B1C1 的高为 ，AB 3A1B1 3 ，则该棱台的侧面积为 ( ) A ． 24 B ． 12 C ．18 D ． 4 7 ．点 x, y 在曲线x 1上，则 3x 4y 12 的取值范围为 ( ) A ． , 5 B ． 7, 25 C ． 7, 15 D ． , 3 8 ．已知函数f x ln x x 的零点为x0 ，过原点作曲线y f x 的切线l ，切点为P m, n ， 则mx0 ex0 ( ) A ． B ． e C ． D ． e2 试卷第 1页，共 3页 学科网（北京）股份有限公司 二、多项选择题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9 ．已知 m ，n 是两条不同的直线，α , β是两个不同的平面，则下列说法正确的是 ( ) A ．若m ， n / / ，则 m 与 n 相交或异面 B ．若m ， n ， m // n ，则 / / C ．若m ， m n ，则n / / D ．若m / / ， / / ， n / / ，则 m 与 n 平行或相交或异面 10．将函数f(x) tan 2x 的图象向右平移个单位长度得到函数g (x) 的图象，则下列结论正 确的为 ( ) A ． g x 的最小正周期为 B ． g x 的图象关于直线x 对称 C ． g x 在区间(0, ) 上单调递减 D ． f x 的图象与g , 0) 对称 11．伯努利双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在 平面直角坐标系 xOy 中，把到定点F1 (a, 0), F2 (a, 0) 距离之积等于a2 (a 0) 的点的轨迹称为 双纽线，已知点P(x, y) 是a 1 的双纽线 C 上一点，下列说法正确的是 ( ) A ．若直线F1F2 交双纽线 C 于 A ，B ，O 三点（O 为坐标原点），则| AB | 2 B ．双纽线 C 上满足PF1 PF2 的点有 1 个 C ． PF1F2 的面积的最大值为 D ． PF1F2 的周长的取值范围为[4, 2 2] 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12 ．已知 2 ，则tan . 13 ．已知圆 C1 ： x2 y2 2 和圆 C2 ： x2 y2 4x 4y m 0 有 3 条公切线，则m . 14 ．将四个半径为2 的小球放入一个大球中，则这个大球半径的最小值为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 ．已知圆C 经过点A (1, 0)，圆心C 在直线l1 ：x y 5 0 上，圆C 被直线l2 ：x y 3 0 截得的弦长为2 ， (1)求圆C 的标准方程； (2)若圆C 与圆 C' 关于直线l3 ： x y1 0 对称，过原点 O 的直线m 交圆C 于M ， N 两点， 试卷第 2页，共 3页 学科网（北京）股份有限公司 求弦MN 中 点Q 的轨迹方程. 16. 已知数列{a} 的前n 项和为S 。, 且a=2,an+1=3Sₙ+2(n∈n'). (1)求数列{aₙ} 的通项公式； (2)设bₙ=log₂an-14, 求数列{ b| |}的前n 项的和Tₙ . 17. 已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 且满足 (1)求角A 的大小； (2)若△ABC为锐角三角形且a=2√6, 求△ABC面积的取值范围. 18. 如下图所示，在三棱锥A-BCD 中，△ABD 为等腰直角三角形， AB=AD,△BCD 为 等边三角形. ( 一 )(1)证明：BD⊥AC; ( 3 )(2)若直线AC 与平面ABD 所成角为 , 点E 在棱AD 上，且DE=2EA, 求二面角E-BC-D 的大小. 19. 已知函数 (1)当a=3 时，求曲线y=f(x) 在点(0,f(0)) 处的切线方程； (2)若f(x) 在(0,+∞)上单调递增，求a 的取值范围； (3)若f(x) 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a 的取值范围. 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $西北师大附中2025一2026学年第二学期高三诊断考试数学参考答案 一、单选题 1.D2.D3.A4.C5.A6.B 7.B 【详解】曲线x=√4-y2+1等价于(x-1)+y2=4,x≥1； 可知其表示为圆(x-1)2+y2=4的右半部分，圆心C(1,0),半径为2，上顶点A(1,2), 3x-4y+12表示曲线上的点(x,y)到直线3x-4y+12=0的距离的5倍，如下图： 圆心C到直线3x-4y+12=0的距离为+() 3+12 =3， 顶点A到直线3x-4y+12=0的距离为 3×1-4×2+12_7 V32+4)2 则3打12的发大值为5×B+2)-25,3x412的0小值为5x子=7， 故3x-4y+12的取值范围为[7,25] 故选：B 8.B 【分析】求导得到切线方程，将原点代入切线方程，求出=e,再由hx+x,=0,计算出 nxe=e】 【详解】f(x)=上+1，切点为Pml血m+m, 则切线方程为y=(侵1](x-m)+n+m, 因为过原点，所以0= L+1(←m)+n+m,解得m=e,则P(e,e+), 由lnx,+=0,可得x。=-hx。, 故xeo=ex。·eo=ex。· x。 答案第1页，共8页 故选：B 二、多选题 9.ABD 10.AD 11.ABC 【详解】对于A,由双纽线的定义得：PP=Vc+a2+yVc-a+y2=a2, 即[(x+a2+y2][(x-2+y2]=a,化简得：(x2+y2)2=2a2(x2-y), 当a=1时，点P的轨迹方程为(x2+y2)2=2(x2-y2), 令y=0,解得x=±√2或x=0,所以川AB=2√2，A正确： 对于B,F(-a,O),F(a,0),由P=PF,得点P在y轴上， 在方程(x2+y2)2=2(x2-y)中，令x=0,解得y=0, 则满足P=P的点P为P(O,O),只有一个，B正确： 对于C..Psin∠RP职n∠RP限 x2+y2=1 当且仅当∠RPR= x-1时取等号，C正确， 2即 22 对于D,△P耳E的周长为P+PF+EF=2+P+PE引，设∠PF,=a, 则cosa= P8E+IPEF-I88E-F+F-42P-4--1 2 PR PF 2 2 当且仅当P=PF引时取等号，当x2=±√2时，a=0,而点P不能在x轴上，则ue(0,m), 于是|Pr+|PF'-4-(PA+P)'-6-2cosa 即(Pr+PF)'=2cosa+6∈[4,8，则PF+PF)=2cosa+6∈(4,8)， Pr+PF,e(2,2V②)，因此△PFE的周长的取值范围为(4,2+2√2)，D错误. 故选：ABC 三、填空题 12.-213.614.14.2+√61√6+2 【详解】当大球半径最小时，四个小球两两外切并均与大球内切， 大球的半径是棱长为4的正四面体的外接球半径加小球半径2，如图所示， 答案第2页，共8页 把棱长为4的正四面体扩成棱长为2√5的正方体，其中正四面体的棱为正方体各面的对角 线，如图所示， 则正四面体的外接球也是正方体的外接球，外接球半径为22矿+(2)+(2) 6 2 所以这时大球的半径为√6+2. 故答案为：√6+2， 三、解答题 15.(1)(x-3)2+(y-22=8 (2)x2+y2+x+2y=0. 【详解】(1)设圆心C(化5-)，圆心c到，的距离d-5-3V5, 由题意易知半径为r= 2√6 =√2+6=2√2， 2 因为圆C经过点A(1,0), 所以CA=V(x-1)2+(5-x)2=2√2，解得x=3, 解得C(3,2),圆C:(x-3)2+(y-2)2=8. (2)设圆心(3,2)关于1，的对称点为C"(x),则 答案第3页，共8页 5+3++2-1=0 2 2 x=-1 。-2=1 ,解得 =-2’ 。-3 所以圆C:(x+1)2+(y+2)2=8, 因为过原点O的直线m交圆C'于M,N两点，弦N中点为2， 所以OQ⊥CQ,所以2在以Co为直径的圆上， 设2(x,y),则Q轨迹方程为(x+1)x+(y+2)y=0, 即x2+y2+x+2y=0. 16.(1)0,=221 14n-n2,n≤7 (QZ.=r-14n+98,n28 【详解】(1)当n≥2时，由题意可知an=3Sn1+2, 因为a41-an=3Sn-3S-1=3a。,即a1=4a, 当n=1时，42=3S+2=34+2=8,则a42=44, 所以数列{a}是以2为首项，4为公比的等比数列， 所以a=2×41=221； (2)由(1)可得b.=1og2a。-14=2n-15, 所以b= [15-2n,n≤7 2n-15,n≥8' 当n≤7时，T=”13+15-20=14m-i, 2 当n≥8，Tn=b+lb2+…+b,+b。+b,+…+b =-b1-b2--b,+b+b,+…+bn, 因为T,=b+b,+…+b,=-b-b--b,=49, 所以Tn=-13+2n=1+2T,=n2-14n+98, 2 综上，T= 14n-n2,n≤7 n2-14n+98,n≥8 答案第4页，共8页 1a肾 (2(4W5,63 【详解】(1)由正弦定理得， √3sinc --sin B=tan A.cos B, sin A 所以V3sinc sinB sinA sinAcosB cosB cosA 即v3simc =sinA cos B+cos Asin B sin(A+B) sinAcosB cosA cos B cos Acos B cosAcos B 化简得： sinA=√5，即tanA=V5, cosA 又A(0,m),所以A= (2)由正弦定理得：sin A sin B sin C 26-45 兀 所以b=4√2sinB,c=4W2sinC, 所以SAABC=bc sin A=8v3 sin BsinC=8V3 sin Bsin(g-B） -8/3 sin Bcos B+sin B)-6sin2B-2/3cos2B+2/3 -4Vsimn2B-cos2B)+2V3=4V3sin(2B-)+2V3. /0<B< 因为ABC是锐角三角形，所以 2 2-B∠ π 解得<B< 0< 3 2 所以SNABC=4W3sim(2B-君+2V3e(4V3,6v3 18.(1)证明见解析. a培 【详解】(1)证明：如下图所示，取BD的中点O,连接QA,OC, :AB=AD,.BD⊥AO, D C △BCD为等边三角形，.BD⊥CO, 又：AO∩C0=O,OA,OCc平面AOC, 答案第5页，共8页 .BD⊥平面AOC,.BD⊥AC (2)由(1)不难知道，在平面AOC内，若过C作直线AO的垂线，则该垂线亦为平面ABD 的垂线，故直线AC在平面ABD内的射影为直线AO, ·∠OAC为直线AC与平面ABD所成的角，即∠OAC= Γ3 不放设D=2,:∠AMD-行0为BD的中点，0A=0B=0D=1, :△BCD为等边三角形，.OC=V3, 在△40C中，面正弦定理用0<0cA-04名40C至即aA1a0 由(1)知，OD⊥OC,且OD⊥OA, 以O为坐标原点，OC,OD,OA所在的直线分别为x,y,z轴，建立如下图所示的空间直角坐标 系，易得o(0.0,0),C(50.0),B(0,-10),0 12 则治-1o西=0引 易知n=(O,0,1)为平面BCD的一个法向量， 设=(x,y,z)为平面BCE的一个法向量， BC.m=0 [√3x+y=0 [y=-V3x 则 即 2 BE.m=0 3 则平面BCE的一个法向量为m=(1,-V3,2V5) cos(n.m)= m255 阿1x42, 由下图所示可知，二面角E-BC-D为锐角， Z D 二面角B-C-D的余弦值为5，三面角的大小为 2 19.y= 3 (2)[2,+0) (3)(0,1) 答案第6页，共8页 【详解】()由fx)=h(x+1）-2=n(x+1)-2+2a x+a x+a 得f"()=1 2a +1x+a四2， 当a=3时，了0-1g}1o)-0, 所以曲线y-f()在点(Qfo)处的切线方程为y-0=c-0叭，即y=吉 (2)因为f(x)在[0，+w)上单调递增，所以x∈[0，+∞)，f'(x)≥20. 由1)知f)=12a=+g-2a≥0. x+1(x+2(x+1)(x+a2 因为x+1>0,(x+a2>0,所以x2+d2-2a≥0，即ad2-2a≥-x2在[0，+o）上恒成立， 所以a2-2a≥0，又a>0,所以a≥2， 即a的取值范围为[2，+w). (3)①当a≥2时，f(x)≥0在(-1，+o)上恒成立，所以f(x)在(-1，+∞)上单调递增， 所以∫(x)不存在极值，不合题意： x2-1x-1 ②当a=1时，f)++少x+,所以当-1≤x<1时)<0：当1时 '(x)>0,所以f(x)在(-1,1)上单调递减，在(1，+0)上单调递增， 所以∫(x)无极大值，不合题意： ③当1<a<2时，f(x)的定义域为(-1，+o),2a-d∈(0,1)， 令f'(x)=0,得x=-V2a-a,x2=V2a-ad,当xe(-1x)U(c,+o)时，f"(x)>0,当 x∈(s,)时，f"(x)<0,所以f(x)在(1，x),(,+)上单调递增，在(，x)上单调递减， 所以f(x)的极大值为f(),极小值为f(x),且f(x)>f(x2),不合题意： ④当0<a<1时，f(x)的定义域为(-l,-aU(-a,+∞)，2a-d∈(0,1)，且√2a-d>a, 令f"(x)=0,得x=-√2a-a2,x,=√2a-a,且-1<x<-a, 当x∈(-l,x)时，f'(x)>0:当x∈(x,-a)时，f'(x)<0;当x∈(-a,x)时，f'(x)<0: 当x∈(x2,+o)时，f'(x)>0, 答案第7页，共8页 所以f(x)在(-1，x)上单调递增，在(：，-上单调递减，在(-α，x)上单调递减，在(x2,+∞) 上单调递增， 所以f(四的极大值为f(5),极小值为f(飞)，且f)=nk+1)-2+2a x+a f(,)=n(k,+1)-2+2a x2+a1 f(x,)f)=nk,+1)h+1)片2a20h当斗2a-) x+a x,+a x2+16+a)62+a)' 因为5<-a<5.所以h1<02a)<0,所以6）j,)<0. x2+1”(x+a)(x2+ad 即f(x)<f(x2),符合题意 综上所述，a的取值范围为(0,1) 答案第8页，共8页西北师大附中 2025一2026学年第二学期高三诊断考试试题 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.复数：=4-1 的共轭复数的虚部为() 1+i 4 B.2 C.i 2.设集合A={x∈NIE≤2}，集合B={y少=x2+2,则AnB=() A.[14] B.[2,4] C.1,2,3,4} D.{2,3,4} 3.已知向量a=(3,x),b=(2x,6,则x=3”是“a/乃”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S,-S4>0,S3<0,则当Sn取得最大值时，n=() A.8 B.7 C.6 D.5 5.已知正数ab满足a+2-1,则二的最大值为() b 6 A B.月 C.v 4 D. 6.已知正三棱台ABC-AB,C的高为√3，AB=3AB,=3W3,则该棱台的侧面积为() A.245 B.123 C.18 D.4W3 7.点(x,y)在曲线x=V4-y2+1上，则3x-4y+12的取值范围为() B.[7,25] c.[7,15] D 33 8.己知函数f(x)=lnx+x的零点为x。,过原点作曲线y=f(x)的切线l,切点为P(m,n), 则x,e。=() A.1 1 B.e C. D.e2 e 试卷第1页，共3页 二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.己知，n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列说法正确的是() A.若m⊥a,n/1a,则m与n相交或异面 B.若m⊥a,n⊥B,ml∥n,则xI1B C.若m⊥，m⊥n,则n/1a D.若m/1a,a/1B,n/1B,则m与n平行或相交或异面 10.将函数f(x)=tan2x的图象向右平移亚个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列结论正 6 确的为() A.8()的最小正周期为5 B。8)的图象关于直线x铅对称 C.8()在区间0孕上单调递减D.(9的图象与()的图象关于合0)对称 11.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在 平面直角坐标系xOy中，把到定点耳(-a,0),F,(a,0)距离之积等于a(a>0)的点的轨迹称为 双纽线，己知点P(x,y)是a=1的双纽线C上一点，下列说法正确的是() A.若直线交双纽线C于A,B,O三点(O为坐标原点)，则AB=2W2 B.双纽线C上满足P=PF的点有1个 C.△PR?的面积的最大值为； D.△P耳F2的周长的取值范围为[4,2+2√2] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知3sin9-cos0-2,则tm0+ cos0+sine 4 13.已知圆C:x2+y2=2和圆C2:x2+y2+4x-4y+=0有3条公切线，则m= 14.将四个半径为2的小球放入一个大球中，则这个大球半径的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.已知圆C经过点A1,0),圆心C在直线1：x+y-5=0上，圆C被直线2：x+y-3=0 截得的弦长为2√6， (1)求圆C的标准方程： (2)若圆C与圆C关于直线l:x+y-1=0对称，过原点O的直线m交圆C"于M,N两点， 试卷第2页，共3页 求弦MN中点Q的轨迹方程 16.己知数列{a}的前n项和为Sn,且4=2，a1=3Sn+2(neN) (1)求数列{a}的通项公式： (2)设b=log2an-14,求数列{b.}的前n项的和T元 17.已知AABC的内角AB,C的对边分别为ab,c,且满足5c -sinB=tanA.cosB (1)求角A的大小： (2)若△ABC为锐角三角形且a=2√6，求△ABC面积的取值范围. 18.如下图所示，在三棱锥A-BCD中，△ABD为等腰直角三角形，AB=AD,△BCD为 等边三角形， (1)证明：BD⊥AC: (2)若直线AC与平面ABD所成角为花，点E在棱AD上，且DB=2BA,求二面角B-BC-D 的大小 19.已知函数f(y=n(c+1)-2x(a>0) x+a (1)当a=3时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若f(x)在[0，+o)上单调递增，求a的取值范围： (3)若∫(x)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a的取值范围. 试卷第3页，共3页