精品解析：2026年江苏省南京市鼓楼区名校联盟中考一模数学试题

南京市2026年中考模拟测试（一模） 一、单选题 1. 一元二次方程的两根是（ ） A. 0，1 B. 0，2 C. 1，2 D. 1， 【答案】A 【解析】 【分析】利用因式分解法解答即可得到方程的根． 【详解】解：， ， 解得，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，要根据不同的题目采取适当的方法解题． 2. 如图，在中，，若，，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由  可得 ，但需注意相似比是 ，而题目给的是 ，需要先求出 ． 【详解】解：∵， ，， ， ，设 ，则 ， ， ​， ， ， ， ， ． 3. 某校有19名同学参加了中学生规范汉字书写大赛的初赛，他们的成绩各不相同，在统计这些同学的成绩后取前10名代表学校参加复赛．如果小新只知道自己的成绩，想判断自己能否进入复赛，那么他需要知道这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 频数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了运用中位数作决策，将数据按小到大或大到小排序后，位于中间位置的数为中位数，结合题意，即可作答． 【详解】解：∵统计这些同学的成绩后取前10名代表学校参加复赛． ∴只有排在前10名就可以进入复赛， 故他需要知道这组数据中位数， 故选：B． 4. 如图，PA、PC是⊙O的两条切线，点A、C为切点，点B为⊙O上任意一点，连接AB、BC，若∠B=52°，则P的度数为（ ）． A. 68° B. 104° C. 70° D. 76° 【答案】D 【解析】 【分析】利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半求出∠AOC的度数，再根据切线的性质以及四边形的内角和即可求出∠P的度数． 【详解】解：连接OA、OC，如图： ∵∠B=52°， ∴∠AOC=2∠B=104°， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴OA⊥AP，OC⊥CP， ∴∠OAP=∠OCP=90°， ∴∠P =360°-（∠OAP+∠OCP+∠AOC）=76°， 故选：D． 【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理以及四边形的内角和，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 5. 如图（1），在中，点O为其中心，，．动点P从点A出发，沿运动到点E，再从点E沿直线运动到上的点F．设点P运动的路程为x，的面积为y（当点A，O，P共线时，），y与x的函数关系的图象如图（2）所示，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，中位线的性质，平行线分线段成比例的应用，连接，过作于，结合题意可得，，三点共线，由函数图象可得：当时，可得，当时，动点从点沿直线运动到上的点，此时的面积不变，可得，，再进一步求解即可，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作于，结合题意可得，，三点共线， 由函数图象可得：当时，动点从点出发，沿匀速运动到点， ， 当时，动点从点沿直线运动到上的点， 此时的面积不变， ，， ， 由条件可知， ， ，， ， 由平行线性质可知， ， ； 故选：D． 6. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象过点（﹣1，0），顶点为（1，2），则结论： ①abc＞0；②x=1时，函数最大值是2；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤2c＜3b． 其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴的位置可判断①；由函数图象的最高点的位置可判断②；根据抛物线的对称性判断图象过，从而可判断③；由抛物线的对称轴可判断④；由图象过点（-1，0）可得a-b+c=0，由对称轴可知a=- ，可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：由图象知：抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，则a<0，c>0， 由抛物线的对称轴在y轴的右侧可得b>0， 故abc<0，所以①不符合题意； 由图象知x=1时，函数最大值是2，故②符合题意； ∵图象过点（﹣1，0），顶点为（1，2）， ∴图象还过点（3，0）， ∴当x=2时，4a+2b+c>0，故③符合题意； 由图象知抛物线的对称轴为x=- =1， ∴b=-2a， ∴2a+b=0，故④符合题意； 由图象过点（-1，0）可得a-b+c=0，由对称轴可知a=- ，即--b+c=0， ∴2c=3b，故⑤不符合题意， 故正确的有3个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数间的关系，能正确地根据图象的开口方向、对称轴、与y轴交点等来确定a、b、c的符号以及利用抛物线的对称性来确定抛物线与x轴交点等是解题的关键． 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键． 8. 正九边形的中心角等于______度． 【答案】40 【解析】 【分析】用度除以边数，即可求解． 【详解】解：正九边形的中心角等于：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了正多边形中心角的计算，理解正多边形的中心角相等是关键． 9. 我国是世界上第一个成功研发和推广杂交水稻的国家某农业基地现有杂交水稻种植面积30公顷，计划逐年增加杂交水稻种植面积，两年后将杂交水稻种植面积增加到公顷，设该农业基地这两年杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，即可得出关于的一元二次方程； 【详解】解：依题意，得：． 故答案为：． 10. 一元二次方程的两根为，，则的值是__________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据韦达定理进行求解即可． 【详解】解：由韦达定理可知． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 11. 如图，反比例函数，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象的性质可得：图中两个阴影面积的和是圆的面积，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形， ∴图中两个阴影面积的和是圆的面积， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象的性质和勾股定理，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系． 12. 二次函数的图像开口向_________．（填“上”或“下”） 【答案】下 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的开口方向． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴二次函数的图象开口向下， 故答案为：下． 【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数中，，开口向上，，开口向下． 13. 当x取任意实数时，二次函数 y=x2－(2m+1)x+m2的值始终为正数，则m的取值范围是__. 【答案】m＜-## m＜-0.25 【解析】 【分析】二次函数开口向上，当x取任意实数时，都有y＞0，则b2-4ac＜0，据此即可列不等式求解． 【详解】解：∵二次函数 y=x2- (2m+1)x+m2的值始终为正数，且a=1>0， ∴b2-4ac=(2m+1)2-4×1×m2=4m+1＜0， 解得：m＜-． 故答案为：m＜-． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点个数，个数由b2-4ac的符号确定，当Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 14. 如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，根据正六边形的性质可得，则为等边三角形，再根据切线的性质得，于是可得，利用正六边形的边长等于它的半径可得正六边形的边长，同理可得正六边形的边长，依此规律求解即可． 【详解】解：连接，，，如图所示， 六边形为正六边形， ， 为等边三角形， 正六边形的外接圆与正六边形的各边相切， ， ， 正六边形的边长， 同理可得正六边形的边长， 正六边形的边长． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正多边形与圆的关系，解题的关键在于利用正六形边的一边与圆的两条半径可构成特殊的三角形——等边三角形，再利用60度角的余弦值即可求出下一个正六边形的边长． 15. 平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键． 先将原函数化为顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的平移规律计算即可． 【详解】解：∵， ∴图象向左平移个单位，根据“左加右减”原则，变为，则函数变为 ． 再向上平移个单位，根据“上加下减”原则，在函数整体上加，则函数变为 ． 展开得 ． ∴平移后图象的关系式为； 故答案为：． 16. 如图，正方形中，，连接，则之间的数量关系为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用等知识点，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 将逆时针旋转得．在中依据勾股定理可证明，接下来证明得到，再由，然后代入即可解答． 【详解】解：如图：将逆时针旋转得， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可完成求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可完成求解； （3）先去括号，再移相，再根据因式分解法解一元二次方程，即可完成求解． 【小问1详解】 ∴， ∴； 【小问2详解】 ∴，，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、. （1）画出关于轴对称的图形，并写出的坐标__________； （2）以原点为位似中心，在轴上方画出的位似图形，使它与的相似比为，并写出对应点的坐标__________. 【答案】（1）图见详解， （2）图见详解， 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，轴对称变换，关于轴，轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，的坐标． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，，即为所求，点的坐标． 故答案为：． 19. 材料：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法， 如下例： 例：求的最小值； 解：令 ∴ ∴， ∴，∴的最小值为． 请利用上述方法解决下列问题： 如图，在中，，高，矩形的一边在边上，两点分别在上，交于点．设． （1）用含的代数式表示的长； （2）求矩形的面积最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形，矩形的性质，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用矩形的性质可证明，利用相似三角形的性质即可求解． （2）由（1）可得矩形的面积为，令，利用根的判别式即可得，故矩形的面积最大值为． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴矩形的面积为， 令， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为，即矩形的面积最大值为． 20. 某校为了强化学生的环保意识，校团委在全校举办了“保护环境，人人有责”知识竞赛活动，初、高中根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队进行复赛，复赛成绩如图所示． 根据以上信息解答下列问题： （1）高中代表队五名学生复赛成绩的中位数为___________分； （2）分别计算初中代表队、高中代表队学生复赛成绩的平均数； （3）已知高中代表队学生复赛成绩的方差为20，请计算初中代表队学生复赛成绩的方差，并结合两队成绩的平均数和方差分析哪个队的复赛成绩较好． 【答案】（1）95 （2）初中代表队的平均数为90分，高中代表队的平均数为95分 （3）初中代表队学生复赛成绩的方差是40，高中代表队成绩较好 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义可得答案； （2）按照平均数的计算方法计算即可； （3）计算初中代表队的方差，再比较即可． 【小问1详解】 解：五个人的成绩从小到大排列为：90、90、95、100、100． 第3个数为中位数，所以中位数是95； 故答案为：95； 【小问2详解】 解：高中代表队的平均数为（90+90+95+100+100）÷5＝95（分）， 初中代表队的平均数为（80+90+90+90+100）÷5＝90（分）； 【小问3详解】 解：初中代表队的方差为． ∵95＞90，20＜40， ∴高中代表队成绩较好． 【点睛】本题考查数据的收集与整理，熟练掌握中位数、平均数、方差的计算方法是解题关键． 21. 一只不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外均相同． （1）从袋子中随机摸出2个球．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率； （2）在这只袋中再装入个红球（这些球与袋中原来的红球大小完全相同），摇匀后，从袋中随机摸出2个球，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是，______． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，解分式方程，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； （2）当添加个红球后，则总共有个球，画出树状图，由树状图可得一共有种等可能性的结果数，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的结果数，则由概率公式得到，再解分式方程即可． 【小问1详解】 解：由题意列表如下： 红 黄1 黄2 红 （黄1，红） （黄2，红） 黄1 （红，黄1） （黄2，黄1） 黄2 （红，黄2） （黄1，黄2） 由列表可知一共有6种等可能性的结果数，其中摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的结果数有4种， ∴摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是； 【小问2详解】 解：当添加个红球后，则总共有个球， 可画树状图为： 由树状图可得一共有种等可能性的结果数，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的结果数， ∵摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是， ∴， 整理得：， 解得：或 经检验：或都是原方程的解，但不符合题意，舍 故答案为：2． 22. 已知PA切⊙O于点A，直线l经过切点A，且垂直于PA，直线l一定经过圆心O吗？为什么？ 【答案】直线L一定经过经过圆心O. 【解析】 【分析】利用反证法结合切线性质证明即可. 【详解】 用反证法来证 假设直线l不经过圆心O,且垂直于PA，垂足为B 连结OA．由于PA是切线，所以OA垂直PA，过一点O有2条直线OA，OB都垂直PA，这与过一点有且只有一条直线垂直已知直线矛盾．于是B与A重合，所以直线l一定经过圆心O,且垂直于PA 【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系的应用，理解反证法是解题的关键. 23. 如图，一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到行线的距离是． （1）若轮船的速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需要的时间； （2）C岛在A岛的什么方向？ 【答案】（1）3小时 （2）C岛在A岛的北偏西 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、方向角，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得：，，，，利用勾股定理计算得出，再根据时间路程速度计算即可得解； （2）由勾股定理逆定理得出，结合题意计算即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∵轮船的速度为， ∴轮船从C岛沿返回A港所需要的时间为（小时）； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵一搜轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛， ∴， 故C岛在A岛的北偏西． 24. 某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时，经历以下几个学习过程： （1）列表（完成以下表格）： （2）描点并画出函数的图象； （3）根据图象完成以下问题： （）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点、，，则不等式的解集是___________； （）设函数的图象与轴交于、两点（位于的右侧），与轴交于点． ①求直线的解析式； ②探究应用：将直线沿轴平移个单位后与函数的图象恰好有个交点，求此时的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）（）或；（）①；②或 【解析】 【分析】（）根据函数解析式计算即可； （）描点、连线、画函数图象即可； （）（）根据函数图象解答即可求解； （）①利用待定系数法解答即可；②当时，可知直线与函数的图象恰好有个交点；当平移后的直线与抛物线只有个交点时，直线与函数的图象恰好有个交点，利用求出的值即可求解； 本题考查了画二次函数图象，二次函数与不等式，二次函数平移等，正确画出函数图象是解题的关键． 【小问1详解】 解：列表如下： 【小问2详解】 解：描点、连线、画函数图象如下： 【小问3详解】 解：（）如图， 由图象可知，当或时，函数， ∴不等式的解集是或， 故答案为：或； （）①如图，设直线的解析式为，由表格可知点 ，， 把 和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； ②把代入，得， ∴点在直线上， 由函数图象可知，此时直线与函数的图象恰好有个交点， 即； 由图象可知，直线只有向上平移才能与函数的图象恰好有个交点， ∴平移后的直线解析式为， 由，得， 当平移后的直线与抛物线只有个交点时，直线与函数的图象恰好有个交点， 此时， 解得； 综上，当或时，直线沿轴平移个单位后与函数的图象恰好有个交点． 25. 阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1， ． 一般地，当a、β为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：． 例如： ． 任务： （1）计算： _________； （2）如图2，在中，，求的长； （3）已知，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，利用给出的三角函数公式，将普通三角形通过作辅助线构造成特殊的直角三角形是解题的关键． （1）利用代入特殊值即可求解； （2）作的垂直平分线l交于点M，连接，过点A作，N为垂足，利用三角函求出相应线段的长即可求出的长； （3）利用进行求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：作的垂直平分线l交于点M，连接，过点A作，N为垂足， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，且， ∴， ∴ ． 26. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，点C在y轴上，，的坐标分别为，，的面积为． （1）求点A的坐标； （2）动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿射线向右运动，点P的运动时间为t，连接，的面积为，请用含t的式子表示的面积，并直接写出t的取值范围． （3）在（2）的条件下，过点A作于，交于E，连接，当的面积等于面积的时，求t的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由，两点的坐标可求得，的长，由三角形的面积公式及已知条件“的面积为”可得，于是可得，据此即可求出的长，进而可得出点的坐标； （2）分两种情况讨论：当时；当时；分别根据三角形的面积公式即可得出答案； （3）由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，进而可得，由（1）可得，利用可证得，于是可得，则，，，然后分两种情况讨论：当时；当时；分别用表示出，然后根据已知条件即可建立关于的一元一次方程，解方程即可求得t的值． 【小问1详解】 解：，， ，， 的面积为， ， ， ， 点在轴上， ； 【小问2详解】 解：如图，分两种情况讨论： 当时， ，， ； 当时， ，， ； 综上所述，； 【小问3详解】 解：于， ， ， ，， ， 由（1）可得：， 在和中， ， ， ， ， ， ， 分两种情况讨论： 当时， ，， ， ， ， 解得：； 当时， ，， ， ， ， 解得：； 综上所述，当的面积等于面积的时，t的值为或． 【点睛】本题主要考查了已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，等式的性质，线段的和与差，列代数式，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，全等三角形的判定与性质，解一元一次方程等知识点，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． 27. 在中，，平分，是边上的高，点E在边上，连接． （1）若，求的度数． （2）当时，求的长． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】（1）先根据三角形的高得，根据直角三角形性质得，根据角平分线定义得； （2）过点E作于点F，根据角平分线性质得，可得，得，，求出，设，则，根据，得，解得，根据三线合一，得． 【小问1详解】 解：∵在中，是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； 【小问2详解】 解：过点E作于点F，则， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵，平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形．熟练掌握等腰三角形性质，角平分线定义和性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市2026年中考模拟测试（一模） 一、单选题 1. 一元二次方程的两根是（ ） A. 0，1 B. 0，2 C. 1，2 D. 1， 2. 如图，在中，，若，，则 A. B. C. D. 3. 某校有19名同学参加了中学生规范汉字书写大赛的初赛，他们的成绩各不相同，在统计这些同学的成绩后取前10名代表学校参加复赛．如果小新只知道自己的成绩，想判断自己能否进入复赛，那么他需要知道这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 频数 4. 如图，PA、PC是⊙O的两条切线，点A、C为切点，点B为⊙O上任意一点，连接AB、BC，若∠B=52°，则P的度数为（ ）． A. 68° B. 104° C. 70° D. 76° 5. 如图（1），在中，点O为其中心，，．动点P从点A出发，沿运动到点E，再从点E沿直线运动到上的点F．设点P运动的路程为x，的面积为y（当点A，O，P共线时，），y与x的函数关系的图象如图（2）所示，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 4 6. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象过点（﹣1，0），顶点为（1，2），则结论： ①abc＞0；②x=1时，函数最大值是2；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤2c＜3b． 其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 计算：________． 8. 正九边形的中心角等于______度． 9. 我国是世界上第一个成功研发和推广杂交水稻的国家某农业基地现有杂交水稻种植面积30公顷，计划逐年增加杂交水稻种植面积，两年后将杂交水稻种植面积增加到公顷，设该农业基地这两年杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为______． 10. 一元二次方程的两根为，，则的值是__________． 11. 如图，反比例函数，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为________． 12. 二次函数的图像开口向_________．（填“上”或“下”） 13. 当x取任意实数时，二次函数 y=x2－(2m+1)x+m2的值始终为正数，则m的取值范围是__. 14. 如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为___________． 15. 平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为：__________ 16. 如图，正方形中，，连接，则之间的数量关系为____________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、. （1）画出关于轴对称的图形，并写出的坐标__________； （2）以原点为位似中心，在轴上方画出的位似图形，使它与的相似比为，并写出对应点的坐标__________. 19. 材料：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法， 如下例： 例：求的最小值； 解：令 ∴ ∴， ∴，∴的最小值为． 请利用上述方法解决下列问题： 如图，在中，，高，矩形的一边在边上，两点分别在上，交于点．设． （1）用含的代数式表示的长； （2）求矩形的面积最大值． 20. 某校为了强化学生的环保意识，校团委在全校举办了“保护环境，人人有责”知识竞赛活动，初、高中根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队进行复赛，复赛成绩如图所示． 根据以上信息解答下列问题： （1）高中代表队五名学生复赛成绩的中位数为___________分； （2）分别计算初中代表队、高中代表队学生复赛成绩的平均数； （3）已知高中代表队学生复赛成绩的方差为20，请计算初中代表队学生复赛成绩的方差，并结合两队成绩的平均数和方差分析哪个队的复赛成绩较好． 21. 一只不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外均相同． （1）从袋子中随机摸出2个球．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率； （2）在这只袋中再装入个红球（这些球与袋中原来的红球大小完全相同），摇匀后，从袋中随机摸出2个球，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是，______． 22. 已知PA切⊙O于点A，直线l经过切点A，且垂直于PA，直线l一定经过圆心O吗？为什么？ 23. 如图，一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到行线的距离是． （1）若轮船的速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需要的时间； （2）C岛在A岛的什么方向？ 24. 某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时，经历以下几个学习过程： （1）列表（完成以下表格）： （2）描点并画出函数的图象； （3）根据图象完成以下问题： （）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点、，，则不等式的解集是___________； （）设函数的图象与轴交于、两点（位于的右侧），与轴交于点． ①求直线的解析式； ②探究应用：将直线沿轴平移个单位后与函数的图象恰好有个交点，求此时的值． 25. 阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1， ． 一般地，当a、β为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：． 例如： ． 任务： （1）计算： _________； （2）如图2，在中，，求的长； （3）已知，且，求的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，点C在y轴上，，的坐标分别为，，的面积为． （1）求点A的坐标； （2）动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿射线向右运动，点P的运动时间为t，连接，的面积为，请用含t的式子表示的面积，并直接写出t的取值范围． （3）在（2）的条件下，过点A作于，交于E，连接，当的面积等于面积的时，求t的值． 27. 在中，，平分，是边上的高，点E在边上，连接． （1）若，求的度数． （2）当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $